0389534

ヨッシーの八方掲示板(算数・数学 質問掲示板)

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質問される方は学年(質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。


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modじゃないんですかね… NEW / 太郎次郎
(1)2018の2018乗の一の位を求めよ。
(2) (2018の2018乗)の2018乗の一の位を求めよ。
(3)2018の(2018の2018乗)乗の一の位を求めよ。

上の問題の(3)が解けません。

No.62575 - 2019/12/07(Sat) 18:45:39

Re: modじゃないんですかね… NEW / 太郎次郎
(1)2018^2018
(2)(2018^2018)^2018
(3)2018^2018^2018

いざ投稿してみたら見にくかったので、それぞれ、^を使って表しました。私は高校数学までの内容であれば全て習熟している(と思う)ので、多少難解な解法であっても提示してくださると幸いです。

No.62576 - 2019/12/07(Sat) 19:00:47

Re: modじゃないんですかね… NEW / らすかる
2018^(2018^2018)=2018^(2018^2・2018^2016)
=2018^{(2×1009)^2・2018^2016}
=2018^(4・1009^2・2018^2016)
=(2018^4)^(1009^2・2018^2016)
2018^4の一の位は8^4=4096の一の位と同じだから6
6×6=36から一の位が6の数字を何乗しても一の位は6
∴一の位は6

modを使うなら
2018≡2 (mod4)から
2018^2018≡2^2018≡0 (mod4)
よって2018^2018=4kと書ける。
2018^(2018^2018)≡8^(2018^2018)
=8^(4k)=(8^4)^k=4096^k≡6^k≡6 (mod10)
∴一の位は6

No.62577 - 2019/12/07(Sat) 19:10:26

Re: modじゃないんですかね… NEW / 太郎次郎
ありがとうございました。理解できました。思っていたよりも簡単な解法だったので良かったです。
No.62578 - 2019/12/07(Sat) 19:13:21
(No Subject) NEW / アブドゥル
この問題の点Dの座標を求めるときの解説に、「点Pと点Qが一致する点が点DだからOPベクトル=OQベクトルより...」のようなことが書いてあるのですが、なぜ点Dが点Pと点Qと一致する点としているのですか?
No.62572 - 2019/12/07(Sat) 17:51:45

Re: NEW / X
点Pは直線CD上の任意の点
点Qは直線AB上の任意の点
∴点P,Qが一致する場合、
この二点は直線CD,ABの交点
つまり点Dとなります。

No.62573 - 2019/12/07(Sat) 18:06:09

Re: NEW / アブドゥル
ありがとうございました。よく理解できました。
No.62574 - 2019/12/07(Sat) 18:10:44
(No Subject) NEW / 橋
この(5)の求め方を教えてください!
No.62571 - 2019/12/07(Sat) 16:52:57
(No Subject) / アブドゥル
画像のような図が与えられており、「3秒後に点Pが頂点Bにある確率を答えよ」という問題を数え上げて解きました。

数え上げないやり方はどうすればいいですか?詳しく教えてくださいm(__)m

答えは7/27です。

No.62560 - 2019/12/06(Fri) 23:37:14

Re: / IT
なんらか数え上げるしかないのでは?

数え易いのは、下記の方法かなと思います。

奇数秒後にPはB,D,E,Gのいずれかにある。
B,D,Eにある確率は互いに等しい。

3秒後にPがGにあるのは
AからGへの経路が6通りなので 確率は6/27

3秒後にPがB,D,Eのいずれかにある確率は
1-(6/27)=21/27

3秒後にPがBにある確率は その1/3なので 7/27

No.62562 - 2019/12/07(Sat) 00:13:13

Re: / らすかる
別解
Aから出発すると
1秒後は必ずBかDかE
2秒後はCかFかHに移る確率が2/3、Aに移る確率が1/3
3秒後は、CかFかHにいる場合は2/3の確率でBかDかEに移り、
Aにいる場合は必ず(確率1で)BかDかEに移る。
よって3秒後にBかDかEにいる確率は(2/3)(2/3)+(1/3)=7/9となり、
Bにいる確率はその1/3なので7/27

No.62564 - 2019/12/07(Sat) 00:20:52

Re: / アブドゥル
皆さんありがとうございます。とても勉強になりました!
いろんなやり方で解けるように頑張ります。

No.62565 - 2019/12/07(Sat) 00:57:17
サイコロで勝つ確率 / haddy
はじめまして

確率の出し方について質問があります。
数学全然できなくて、解き方を教えていただけると助かります。

<問題>------------------------------------------------
サイコロを3つ同時に投げて出した目を競うゲームを行う
投げる順番は相手→自分の順で投げる

相手の出した目が10の時に自分が11以上出す確率を求めよ
サイコロの目の和の範囲は3<=x<=18とする
-------------------------------------------------------

No.62559 - 2019/12/06(Fri) 23:15:17

Re: サイコロで勝つ確率 / らすかる
相手の出した目と自分が出す目は関係ありませんので、
単に「自分が11以上出す確率」と同じです。
そして
「和が3になる確率(全部1)」=「和が18になる確率(全部6)」
「和が4になる確率(1,1,2)」=「和が17になる確率(6,6,5)」
・・・
「和が10になる確率」=「和が11になる確率」
なので、確率は1/2となります。

No.62561 - 2019/12/07(Sat) 00:13:09
連立方程式の解の吟味 / AKIRA
こんばんは。連立方程式の解の吟味で質問があります。

1次のxとyの文字が入った2つの連立方程式の以下の問題の解答で
x=300、y=500の後に「求めたxとyは問題の答えとしてよい」(解の吟味)と書いてありますが、
(解答用紙に書かなくても)実際に確認A,確認B、確認Cのどれまで確認するべきですか。
よろしくお願いします。


<問題>
美術館の入場料で、子供5人と大人2人で合計2500円である。また、子供4人と大人3人で合計2700円である。
子供と大人の入場料を求めよ。

<解答>
子供と大人の入場料をそれぞれx円、y円とする。
子供5人と大人2人で合計2500円より、5x+2y=2500
子供4人と大人3人で合計2700円より、4x+3y=2700
これらを解いて、x=300、y=500  
求めたxとyは問題の答えとしてよい。
答え:子供300円、大人500円



[確認A]

連立方程式を解いて求めたxとyが、(解答用紙に書かなくてもいいが)以下のことを満たしている
を確認するだけ。

  分数、小数、マイナスなど常識の範囲になっている。
  または
  問題文の条件(例えば問題文で「子供の料金は〇〇〇円以上」などと書いてあれば、xがそれを満たしているかなど)を


[確認B]

確認Aだけは不十分で、本当に子供5人と大人2人で合計2500円、子供4人と大人3人で合計2700円になることまで(解答用紙に書かなくてもいいが)確認する。


[確認C]

確認A、確認Bだけは不十分で、本当にx=300、y=500になることまで(解答用紙に書かなくてもいいが)確認する。

No.62558 - 2019/12/06(Fri) 21:05:40

Re: 連立方程式の解の吟味 / らすかる
一般的なことはわかりませんので私の個人的考えを書きます。
[確認A]:必須
[確認B]:必須ではないが時間が許す限り確認する
[確認C]:不要(確認Bまでやっていれば、これは時間の無駄使いです)

No.62563 - 2019/12/07(Sat) 00:16:40

Re: 連立方程式の解の吟味 NEW / AKIRA
解答する生徒は
[確認A]か[確認B]から「求めたxとyは問題の答えとしてよい」かもしれませんが、実際に教科書などを作った人は[確認A][確認B][確認C]のどれから「求めたxとyは問題の答えとしてよい」を意味しているのですか。

No.62566 - 2019/12/07(Sat) 09:56:47

Re: 連立方程式の解の吟味 NEW / らすかる
[確認A]だと思います。
[確認B]と[確認C]は単なる検算ですから解答の内容とは関係ありません。
(つまり100%の自信があれば[確認A]だけで十分ということです)

No.62567 - 2019/12/07(Sat) 12:23:58

Re: 連立方程式の解の吟味 NEW / AKIRA
解の吟味とは確認Aのように、「方程式で求めたx、yなどが問題の条件に当てはまるかだけを解釈すること」(式を立ててからx、yを求めるまでの解釈はいらない)ということですか。
No.62568 - 2019/12/07(Sat) 13:51:13

Re: 連立方程式の解の吟味 NEW / らすかる
この問題のように同値変形で解を導いた場合はそうですが、
途中に非同値変形がある場合は確認Bも解の吟味に含まれます。

No.62569 - 2019/12/07(Sat) 13:59:35

Re: 連立方程式の解の吟味 NEW / AKIRA
らすかるさんの説明で解の吟味がよくわかりました。
ありがとうございました。

No.62570 - 2019/12/07(Sat) 14:42:07
(1)の答えは 2*(2k+1)であっていますか?また、これはどのように示せばよいのですか?もしよければ(2)~も教えていただけないでしょうか。よろしくお願いします。 / 大学受験生
集合E={2,4,6,8,10,12...}
において、2以上の偶数を2以上の偶数の積に分解するとき、分解できない数を偶数世界の* 素数’ *
と表す。

(1)Eの 素数’ はどのように表されるか。ただし必要ならば自然数kを用いてよい。

(2) 2012 の 約数’ の個数を求めよ。
(ただし、約数’∈Eをみたす。)

(3)Eに、属する数で、 素因数’分解が2通りできるもののうち7番目に大きい数を求めよ。

(4)Eに、属する数で、素因数’分解が3通り以上できる数はあるか。

No.62556 - 2019/12/06(Fri) 20:07:47

Re: (1)の答えは 2*(2k+1)であっていますか?また、これはどのように示せばよいのですか?もしよければ(2)~も教えていただけないでしょうか。よろしくお願いします。 / らすかる
(1)
自然数kは(高校範囲では)1以上ですから、2*(2k+1)だと2が素数’にならず不適です。
2*(2k-1)とするべきですね。

(2)
2012=2^2×503で503は素数なので、約数’は2と2×503の2個です。

(3)
「2通り」は「ちょうど2通り」、「7番目に大きい」は「7番目に小さい」と
解釈します。
2^kの分解は2×2×…×2の1通りです。
(2^k)p(pは奇素数)の分解は
2×2×…×2×2pの1通りです。
(2^k)pq(p,qは奇素数でk≧2)という数は
2×2×…×2×2pq と 2×2×…×2×2p×2qの2通りに分解できます。
これはp=qの場合も同じです。
(2^k)pqr(p,q,rは奇素数)という数も同様に
p,q,rの分け方で決まりますから、k=2のとき4通り、k≧3のとき5通りです。
ただしp,q,rのうち二つが同じである場合は3通り/4通り、三つとも
同じである場合は2通り/3通りです。
以降奇素数が増えれば分解の仕方も増えていきます。
従って「素因数’分解がちょうど2通り」であるものは
(2^k)p^2(k≧2), (2^k)pq(k≧2), (2^2)p^3
これに該当する数は小さい順に
4*3*3=36=2×18=6×6
4*3*5=60=2×30=6×10
8*3*3=72=2×2×18=2×6×6
4*3*7=84=2×42=6×14
4*5*5=100=2×50=10×10
4*3*3*3=108=2×54=6×18
8*3*5=120=2×2×30=2×6×10
となりますので、7番目に小さい数は120です。

(4)
例えば(2^2)p^(2k-1)(pは奇素数)はk通りに分解できますので、何通りでもあり得ます。

# よく考えたつもりですが、全体的に考え落としがありそうで自信がありません。

No.62557 - 2019/12/06(Fri) 21:02:20
(No Subject) / 橋
メネラウスの定理の使い方なのですが、この解答の黄色マーカーののようにも使えるのですか??
No.62552 - 2019/12/05(Thu) 18:26:47

Re: / ヨッシー
こちらに拡張形として載っています。

上のように当たり前のように使うのはどうかと思いますが、
どこかに、説明があるのではないでしょうか?

No.62553 - 2019/12/05(Thu) 20:03:46
(No Subject) / 橋
このはてなしてあるところがなぜ求まるのか分かりません。
No.62546 - 2019/12/04(Wed) 20:47:19

Re: / らすかる
(1,0)を原点中心に反時計回りにθ回転した点のx座標がcosθですから、
(5,0)を原点中心に反時計回りにθ回転した点のx座標は5cosθです。
図からθ=2x回転した点のx座標が-3なので5cos(2x)=-3
よってcos(2x)=-3/5となります。

No.62549 - 2019/12/04(Wed) 21:14:58
(No Subject) / 橋
この矢印の変形の仕方を教えてください!
No.62545 - 2019/12/04(Wed) 20:33:06

Re: / らすかる
-log[3]3=-1=log[3](1/3)で
log[3]a+log[3]b=log[3](ab)です。

No.62548 - 2019/12/04(Wed) 21:11:29
(No Subject) / aiko
 
Dを半径1の円盤、Cをxy平面の原点を中心とする半径1の円周とする。Dが次の条件a b を満たしながらxyz平面を動くとき、Dが通過する部分の体積を求めよ。
a: Dの中心はCにある。
b: Dが乗っている平面は常にベクトル(0,1,0)と直行する。


という問題がわかりません!よろしくお願いします。

No.62541 - 2019/12/04(Wed) 17:18:33

Re: / aiko
補足ですが、

何年度かはわかりませんが、多分東京工業大学の過去問です。

No.62542 - 2019/12/04(Wed) 17:19:53

Re: / X
方針を。

条件から、問題の立体を
平面y=sinθ(-π/2≦θ≦π/2) (A)
で切った断面は
中心間の距離が2cosθ
である
半径1の円を2つ重ねてできる図形
となります。
後はこの図形の面積S(θ)を求め、
(図を書きましょう)
yについて
-1≦y≦1
の範囲でS(θ)を積分します。
積分の計算ですが、(A)より
dy=cosθdθ
(θ:-π/2→π/2)
となりますので、θについての
積分として計算できます。

注:
bからDが乗っている平面はzx平面に平行になります。

No.62544 - 2019/12/04(Wed) 18:35:58
体積 / Ran
xyz空間において、次の6個の不等式で表される立体の体積を求めよ。
x≧0 y≧0 z≧0 x+y+z≦3 x+2z≦4 y-z≦1


多分積分するのかな……?と思いましたが求めかたが全然わかりません!よろしくお願いします。

No.62540 - 2019/12/04(Wed) 17:15:25

Re: 体積 / らすかる
x≧0, y≧0, z≧0, x+y+z≦3 は
(0,0,0)(3,0,0)(0,3,0)(0,0,3)を4頂点とする
側面が直角二等辺三角形3個、底面が正三角形である正三角錐ですね。
これと他の2式との交わりを調べると
x+2z=4は(0,y,2)(2,y,1)を通りますので
(0,0,2)(0,1,2)(0,0,3)(2,0,1)を4頂点とする三角錐を削り取ることになり、
y-z=1は(x,1,0)(x,2,1)を通りますので
(0,1,0)(0,3,0)(0,2,1)(2,1,0)を4頂点とする三角錐を削り取ることになります。
削り取る二つの三角錐は互いに重なりませんので、求める体積は
(3×3×3-1×1×2-2×1×2)÷2÷3=7/2
となります。

# 積は(底面の底辺)×(底面の高さ)×(三角錐の高さ)で、
# 「÷2」は底面(三角形)の面積の÷2、「÷3」は三角錐の体積の÷3です。

No.62543 - 2019/12/04(Wed) 18:22:12
(No Subject) / 橋
この問題で下線部のところなのですが、解答のような変形でなければダメですか?解答のようでなければ、m≧3は出てこないのですが、、。
No.62537 - 2019/12/04(Wed) 06:43:11

Re: / らすかる
解答の変形は
m^2+mn+n^2>m-n
を示すための変形ですが、
(m-n)^2+3mn>0 から言えるのは
m^2+mn+n^2>0
だけなのでダメだと思います。

あと
「解答のようでなければ、m≧3は出てこない」
とはどういう意味ですか?

No.62538 - 2019/12/04(Wed) 07:35:41
高校入試問題 / ミー
この問題がわからなくて、てこずっています。
解き方を教えて下さい。

No.62536 - 2019/12/03(Tue) 20:24:28

Re: 高校入試問題 / ヨッシー
(1) は△OAQの辺の比から、∠AOQ=60°が得られるので、
 ∠AOB=120°
です。
(2)
ABの中点をMとすると、OM=MC=10cm であり、
 AB:ST=MQ:CQ=3:2
および AB=20√3 より ST=40√3/3(cm)
また、△QPOと△QRCは相似で、相似比は2:1
よって、CR=25cm
以上より
 △RST=40√3/3×25÷2=500√3/3(cm^2)
(3)
光の当たらない側面を展開すると、半径10√29、中心角
 120°×20/10√29=240/√29°
の扇形。よって求める面積は
 π(10√29)^2×(240/√29)/360=2900π×(2/3√29)=200√29π/3(cm^2)
(πは円周率)

No.62539 - 2019/12/04(Wed) 13:50:42
指数の方程式 / ま
追加でこの方程式もお願い致します
No.62531 - 2019/12/03(Tue) 15:00:05

Re: 指数の方程式 / ま
答えはr=0.25となります
No.62533 - 2019/12/03(Tue) 15:04:39

Re: 指数の方程式 / らすかる
e^(-1.822r){0.223+0.223e^r+0.223e^(2r)+0.331e^(3r)}=1
0.223e^(-1.822r)+0.223e^(-0.822r)+0.223e^(0.178r)+0.331e^(1.178r)=1
f(r)=0.223e^(-1.822r)+0.223e^(-0.822r)+0.223e^(0.178r)+0.331e^(1.178r)とおくと
f'(r)=-0.406306e^(-1.822r)-0.183306e^(-0.822r)+0.039694e^(0.178r)+0.389918e^(1.178r)
f'(0)=-0.16
f(r)は下に凸でf(0)=1,f(1)≒1.5なので
0<r<1の範囲にr=0以外の解がある。
a[0]=1
a[n+1]=a[n]-{0.223e^(-1.822a[n])+0.223e^(-0.822a[n])+0.223e^(0.178a[n])+0.331e^(1.178a[n])-1}
 /{-0.406306e^(-1.822a[n])-0.183306e^(-0.822a[n])+0.039694e^(0.178a[n])+0.389918e^(1.178a[n])}
としてニュートン法で計算すると
a[1]=0.5926787635…
a[2]=0.3745976647…
a[3]=0.2787742875…
a[4]=0.2500774128…
a[5]=0.2469209086…
a[6]=0.2468816358…
a[7]=0.2468816298…
a[8]=0.2468816298…
従って与方程式の解はr≒0,0.2468816298

No.62535 - 2019/12/03(Tue) 19:08:17
指数を含む方程式 / ま
この方程式の解き方を教えてください
No.62530 - 2019/12/03(Tue) 14:59:24

Re: 指数を含む方程式 / ま
答えはr=1.79となります。
No.62532 - 2019/12/03(Tue) 15:04:05

Re: 指数を含む方程式 / らすかる
1+r=(e^r-1)/r
r+r^2=e^r-1
e^r=r^2+r+1
f(x)=e^x-x^2-x-1とおくと
f'(x)=e^x-2x-1
f''(x)=e^x-2
f''(x)はx<log2で負、x>log2で正なので
f'(x)はx<log2で減少、x>log2で増加
f'(0)=0,f'(1)=e-3<0,f'(2)=e^2-5>0なので
αをf'(α)=0,1<α<2を満たす値とすると
f'(x)はx<0で正、x=0で0、0<x<αで負、α<xで正
よってf(x)はx<0で増加、0<x<αで減少、α<xで増加
f(0)=0、f(1)=e-3<0,f(2)=e^2-7>0なので
βをf(β)=0,1<β<2を満たす値とすると
f(x)はx<0で負、x=0で0、0<x<βで負、β<xで正
従ってf(x)=0の解はx=0,βの二つ
e^2≒7.4からf(2)≒0.4なのでβは2より少し小さい値
a[0]=2として
a[n+1]=a[n]-(e^a[n]-a[n]^2-a[n]-1)/(e^a[n]-2a[n]-1)
={(a[n]-1)e^a[n]-a[n]^2+1}/(e^a[n]-2a[n]-1)
によりニュートン法で計算すると
a[1]=1.8371507060
a[2]=1.7957938603
a[3]=1.7932909822
a[4]=1.7932821330
a[5]=1.7932821329
a[6]=1.7932821329
a[7]=1.7932821329
従ってf(x)=0の解はx≒0,1.7932821329なので
1+r=(e^r-1)/rの解はr≒1.7932821329

No.62534 - 2019/12/03(Tue) 18:46:22

Re: 指数を含む方程式 / GandB
 解答を見たらなるほどだけど、ニュートン法に持ち込むまではけっこう大変ですな。おもしろかったです。
No.62547 - 2019/12/04(Wed) 20:56:53
空間ベクトル / Qちゃん
座標空間内に5点、A(2,0,0)、B(0,2,0)、C(-2,0,0)、D(0,-2,0)、E(0,0,-2)がある。AB、ADの中点をそれぞれM、Nとする。M、Nを通り直線AEに平行な平面πと線分CEは交点を持つか。持つならばその座標を示せ。

CEをs:1-sに内分する点Fとすると、F(-2+2s,0,-2s)です。M(1,1,0)なので、MF→=(-3+2s,-1,-2s)です。πとAEは平行なので、π上の直線MFとAEは平行となるので、MF→=kAEなる実数kが存在するけど、(-3+2s,-1,-2s)=(-2k,0
,-2k)はy成分が一致しないので、πとCEは交わらないように思えるのですが、答えは(-3/2,0,-1/2
)となってます。どこを間違えているんでしょうか?正しくはどう解けばよいのでしょうか?

No.62527 - 2019/12/03(Tue) 00:47:22

Re: 空間ベクトル / らすかる
「πとAEは平行なので、π上の直線MFとAEは平行となるので」が間違いです。
「AEと平行な平面π上の直線」がAEと平行になるとは限りません。

似たような感じで解くなら、M(1,1,0)の代わりにM(1,1,0)とN(1,-1,0)の
中点P(1,0,0)を使ってPF→=(-3+2s,0,-2s)とすれば解けます。
ただし、答えは(-1/2,0,-3/2)になりますので、
もし正解が(-3/2,0,-1/2)ならば問題に間違いがあると思います。

No.62529 - 2019/12/03(Tue) 01:10:26

Re: 空間ベクトル / Qちゃん
ようやくわかりました。ねじれの位置の関係になっているんですね。解き方もわかりました。ありがとうございました。
No.62550 - 2019/12/04(Wed) 22:53:33
(No Subject) / ラス
中1の問題です。
(1)は分かりましたが、(2)がどうしても分かりません。
ご教授お願いします。

No.62526 - 2019/12/02(Mon) 20:56:23

Re: / らすかる
アは反比例のグラフなので
yが1/5倍になればxは5倍
よってDのx座標はCのx座標の5倍すなわち
CDはCのx座標の4倍なので
CD=6cmから(Aのx座標)=(Cのx座標)=6/4=1.5cm

No.62528 - 2019/12/03(Tue) 00:56:51
(No Subject) / 2次関数
a=2/3-2tより

『at^2+t=-6』に代入したら、解答では『t=2』となっているんですが、何度計算しても-2になってしまうんです。なぜでしょうか?

(2/3-2t)t^2+t=-6
2t^2/3-2t+t=-6←ここで、tを約分しました。
2t/1+t=-6
3t=-6
t=-2
どこが間違えてるんでしょうか?

No.62523 - 2019/12/02(Mon) 18:48:36

Re: / らすかる
掲示板でa=2/3-2tと書くとa=(2/3)-(2t)という意味になってしまいます。
a=2/(3-2t)のようにカッコを付けましょう。

「2t^2/(3-2t)+t=-6」は正しいですが
次の
「2t/1+t=-6」が正しくありません。
(3-2tを削除することはできません。)

2t^2/(3-2t)+t=-6の次は両辺に3-2tを掛けて
2t^2+t(3-2t)=-6(3-2t)
整理して
9t=18
∴t=2

No.62524 - 2019/12/02(Mon) 19:29:27

Re: / 2次関数
すみません。気を付けます。

そして、ありがとうございます。両辺に分母の値を掛けるんですね。解いたらt=2になりました。

No.62525 - 2019/12/02(Mon) 19:38:59
積分 / 生鷹
図形が傘型になる積分の問題です。
計算が上手くいかないのと答えがないので困っています。ご教授お願いします┏○┓

No.62520 - 2019/12/02(Mon) 00:37:17

Re: 積分 / X
(1)
前半)
条件から
P(s/√2,s/√2)
∴直線PQの方程式は
y=-(x-s/√2)+s/√2
整理をして
y=-x+s√2 (A)
よって(A)とCとの交点について
t^2=-t+s√2
∴s=(t^2+t)/√2 (A)'
後半)
条件から
A(1,1)
∴点P、Qの座標について
0≦s/√2≦1
0≦t≦1
ということでs,tの取りうる値の範囲は
0≦s≦√2
0≦t≦1

(2)
(1)により
S=πPQ^2=π{(s/√2-t)^2+(s/√2-t^2)^2}
これに(A)'を代入して
S=π{((t^2+t)/2-t)^2+((t^2+t)/2-t^2)^2}
=(π/4){(t^2-t)^2+(-t^2+t)^2}
=(π/2)(t^2-t)^2

(3)
(2)のSを使うと
V=∫[0→√2]Sds
=(π/2)∫[0→√2]{(t^2-t)^2}ds (B)
ここで(A)'より
ds={(2t+1)/√2}dt
で(1)の結果から
s:0→√2

t:0→1
が対応しているので(B)は
V={π/(2√2)}∫[0→1]{(2t+1)(t^2-t)^2}dt
={π/(2√2)}{[(t^2+t)(t^2-t)^2][0→1]-2∫[0→1]{(t^2+t)(t^2-t)(2t-1)}dt}
=-(π/√2)∫[0→1](t^2+t)(t^2-t)(2t-1)dt
=-(π/√2)∫[0→1](t^4-t^2)(2t-1)dt
=-(π/√2)∫[0→1](2t^5-2t^3-t^4+t^2)dt
=-(π/√2)[(1/3)t^6-(1/2)t^4-(1/5)t^5+(1/3)t^3][0→1]
=π/(30√2)

No.62522 - 2019/12/02(Mon) 11:26:58
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