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ヨッシーの八方掲示板(算数・数学 質問掲示板)

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三角形の面積の最大最小 NEW / 桜井和寿
この問題の解法を教えてください。
どうぞよろしくお願いいたします。

No.54536 - 2018/10/21(Sun) 02:06:33
こんばんは NEW / こういち
何故これはせっかく平方完成したのに、もとの式で軸を考えるのですか?
No.54533 - 2018/10/21(Sun) 00:46:18

Re: こんばんは NEW / らすかる
もとの式では考えていないと思います。
x^2+2(a-1)x={x+(a-1)}^2-(a-1)^2だから軸はx=1-a
よってf(x)=x^2+2(a-1)xのときy=f(x)の軸はx=1-a
ということです。

No.54534 - 2018/10/21(Sun) 01:29:48
事後確率の計算について NEW / hoge
社会人です。以下の事後確率の求め方を教えていただけますか?
[状況設定]
・飛行機に乗る際、発地の空港で荷物を預けた。着地の空港で一定時間待ったが、荷物受け取りのベルトコンベヤに荷物が現れなかった。このとき、そもそも荷物が発地に取り残された確率が知りたい。ただし、荷物は通常、客が搭乗した便で着地まで運ばれるが、一定の確率で発地の空港に取り残される場合があるものとする。
[各種仮定]
・仮に荷物が飛行機に乗っていた場合、10分以内に着地空港のベルトコンベヤに出現するものとする。
※ 1分以内に出現する確率は10%、2分以内に出現する確率は20%のように、確率は一様分布しているものとする。
・荷物が飛行機に載っている(すなわち発地に取り残されていない)無条件確率は0.5とする。
[問題]
・着地の空港で1分荷物を待ってもベルトコンベヤに出現しなかったとき、荷物が飛行機に載っている確率を求めよ
[解答]
・約47.37%(分数での解答が載っていなかったので)

No.54531 - 2018/10/20(Sat) 23:27:43

Re: 事後確率の計算について NEW / らすかる
荷物が飛行機に載っているとき、1分以内に荷物が出ない確率は9/10
荷物が飛行機に載っていないとき、1分以内に荷物が出ない確率は1
荷物が飛行機に載っている確率は1/2なので、
荷物が飛行機に載っていて、かつ1分以内に荷物が出ない確率は(1/2)(9/10)=9/20
荷物が飛行機に載っていなくて、かつ1分以内に荷物が出ない確率は(1/2)(1)=1/2
よって
(求める確率)=(荷物が飛行機に載っていて1分以内に出ない確率)÷(荷物が1分以内に出ない確率)
=(9/20)÷{(9/20)+(1/2)}
=(9/20)÷(19/20)
=9/19
=0.47368421…

No.54535 - 2018/10/21(Sun) 01:38:51
高3です。 NEW / Mimi
解き方が分かりません。。教えて下さい(>_<)
No.54525 - 2018/10/20(Sat) 21:59:02

Re: 高3です。 NEW / passer-by
※大まかな方針を示しておきますので、ご自身で計算を補完してください。

[1]平方完成するだけです。万が一やり方が分からない場合は、お手持ちの教科書・参考書等で確認してください。
[2](イ)の式にa=1を代入すると、y=(x-1)^2-5となりますので、題意の最大値、最小値を与えるxの値はそれぞれ4, 1であることが分かります。
[3]xについての方程式x^2-2ax+8a-12=0(…方程式(ロ)とする)の判別式をDとすると、「(イ)がx軸と異なる2点で交わる」⇔「(ロ)が異なる2つの実数解をもつ」⇔「D>0」となりますので、Dを具体的に計算すれば、aについての2次不等式が得られます。
[4]解の公式を用いて方程式(ロ)を解くと、x=a±√(a^2-8a+12)となりますので、{a+√(a^2-8a+12)}-{a-√(a^2-8a+12)}=4√3からaについての方程式が得られます。この方程式を解き、求めたaの値が[3]の条件を満たしていることを確認しましょう。

No.54530 - 2018/10/20(Sat) 23:26:12

Re: 高3です。 NEW / Mimi
おおまかでも分かりやすい回答ありがとうございました(>_<)すごく分かりやすかったです!自分で頑張って解いてみます☺️
No.54537 - 2018/10/21(Sun) 02:16:07
(No Subject) NEW / 高円寺
まったくわかりません。教えてくださいお願いします。
No.54524 - 2018/10/20(Sat) 21:36:30

Re: NEW / 高円寺
学年は高3です
No.54532 - 2018/10/20(Sat) 23:50:18
続けてすみません。 NEW / 由衣夏
こちらが理科のサイトではないことを重々承知しているのですが、どうしてもわからないので教えてもらえませんか?

6と7の問題がわからないです。イヌリンの濃縮率は120です。
宜しくお願い致します。

No.54522 - 2018/10/20(Sat) 21:00:29

Re: 続けてすみません。 NEW / 由衣夏
つけ忘れました。ごめんなさい。
No.54523 - 2018/10/20(Sat) 21:01:02
本当に申し訳ないです NEW / 由衣夏
この問題の、囲ってあるものの解き方が其々違うのですが、
なぜかわかりません。両方割合の計算かと思ったのですが…。
解き方、考え方を教えてください。

No.54520 - 2018/10/20(Sat) 20:54:13

Re: 本当に申し訳ないです NEW / 由衣夏
もう一つのものです。この2つで悩んでいます。
No.54521 - 2018/10/20(Sat) 20:54:54
(No Subject) / マジュン
この写真の下線部のような変形はだめなのですか?この計算結果は47/3なのですか、どうしても、あいません。
No.54515 - 2018/10/20(Sat) 08:19:17

Re: NEW / IT
1つめの定積分と2つめの定積分は、被積分関数が異なるので そのまま合わせることはできないと思います。

#画像がさかさまなので読み難いです

No.54516 - 2018/10/20(Sat) 08:27:18

Re: NEW / マジュン
被積分関数とはなんですか?
No.54518 - 2018/10/20(Sat) 19:32:43

Re: NEW / IT
積分される関数のことです。
例えば最初のアンダーラインの積分では(-x^2+4) のことです。

No.54519 - 2018/10/20(Sat) 20:26:06

Re: NEW / passer-by
2行目から3行目への変形は、有意義であるかどうかはさておき数学的には正しいです。
問題なのは、3行目から4行目への変形において、-∫[x=-2〜2](x^2-4)dxの先頭についているマイナス記号を無視してしまっている点です。
一般に、
  ∫[x=a〜b]f(x)dx+∫[x=b〜c]f(x)dx
 =∫[x=a〜c]f(x)dx
は成り立ちますが、
  -∫[x=a〜b]f(x)dx+∫[x=b〜c]f(x)dx
 =∫[x=a〜c]f(x)dx
は成り立ちません。

No.54529 - 2018/10/20(Sat) 22:56:14
数A 確率 / ボルト
(2)のX=3となる確率と(3)の確率の求め方が分かりません。詳しい解説よろしくお願いします。
No.54512 - 2018/10/19(Fri) 22:04:51

Re: 数A 確率 NEW / noname
3のカードを当たりくじとすると、当たりはもともとBの中にしかなく、Aで何を引いたところで外れくじが1つ増えるだけなので、Bの外れ4枚当たり1枚の中から2枚同時に取り出して当たりを1枚引く確率です。

(3)は樹形図(Aで何をひくかの分岐の先にBで何をひくかの分岐)にまとめてみると分かると思います。

No.54517 - 2018/10/20(Sat) 18:07:06

Re: 数A 確率 NEW / ボルト
nonameさん解答ありがとうございました。おかげで問題の考え方を理解することができました。これからもよろしくお願いします。
No.54527 - 2018/10/20(Sat) 22:46:15
数1 必要条件と十分条件 / ボルト
(2)の問題について、数直線の書き方と答えの出し方が分かりません。詳しい解説よろしくお願いします。
No.54511 - 2018/10/19(Fri) 21:07:24

Re: 数1 必要条件と十分条件 / X
a>0に注意すると
|x+1|≧a
より
x+1≦-a,a≦x+1

x≦-1-a,-1+a≦x (A)
一方
-2x+1≦-3
より
2≦x (B)
∴題意を満たすためには
(B)が(A)の一部である
-1+a≦x
に含まれればよいので
-1+a≦2
∴a≦3

No.54513 - 2018/10/20(Sat) 06:39:43

Re: 数1 必要条件と十分条件 / ボルト
Xさん解答ありがとうございました。おかげで理解することができました。これからもよろしくお願いします。
No.54514 - 2018/10/20(Sat) 07:03:17

Re: 数1 必要条件と十分条件 NEW / ボルト
すみません!aは正の定数なので0<a≦3ではないのですか?よろしくお願いします。
No.54528 - 2018/10/20(Sat) 22:48:40
2017 法政 A方式 I日程 数学B(4) / roswell
件名の問題で、
赤本の解説を読んでも理解できない部分があるので、
質問させていただきます。

添付の左(問題)、右(V(4)の解説)の赤線の部分で、

Aが成り立つためには
a1^m1 = 2^2 かつ a2^m2 = 5^3 (ただし、13<c1)
でなければならない。

と解説があるのですが、

a2^m2 = 5^3 とする根拠が理解できません。

また、
b2 < 13 , b2 = 13, b2 > 13 での場合分け
なぜ、
b2 13 で場合分けをするに至ったかの根拠が
理解できません。

ご教示よろしくお願いします。

No.54506 - 2018/10/19(Fri) 18:00:42

Re: 2017 法政 A方式 I日程 数学B(4) / roswell
添付されていなかったので追加しました。
No.54507 - 2018/10/19(Fri) 18:01:39

Re: 2017 法政 A方式 I日程 数学B(4) / IT
別に保存し見ても画像が小さくて判読できません。特に右ページ。
手で入力するか解像度を上げるか左右別々にアップされるといいかも知れません。

No.54508 - 2018/10/19(Fri) 18:39:57

Re: 2017 法政 A方式 I日程 数学B(4) / IT
> a[2}^m[2] = 5^3 とする根拠が理解できません。

「素因数分解の一意性定理」はお分かりですよね? 途中断りなしに使います。(数Aの教科書に証明なしで載っていると思います。)

出来るだけていねいに説明すると

以下「左辺」、「右辺」とは、それぞれ解説の式Aの左辺と右辺を指します。

左辺は5を素因数に持つ → 右辺は5を素因数に持つ
→a[2],b[2],c[2] のうち少なくともどれか1つは5…(1)
(a[2]<b[2]<c[2}なので実はどれかただ1つ)

左辺は3を素因数に持たない→右辺は3を素因数に持たない
→a[2]≠3…(2)

2=a[1]<a[2] → a[2]≧3…(3)

a[2]は素数と、(2),(3)からa[2]は5以上の素数…(4)

よって5≦a[2]<b[2]<c[2]であり,(1)よりどれか1つは5なのでa[2]=5 …(5)(∵5 <b[2]<c[2])

左辺を素因数分解したときの5の指数は3
右辺を素因数分解したときの5の指数はm[2]
素因数分解の一意性定理より,3=m[2]…(6)

(5)(6)あわせて a[2]^m[2]=5^3

(注)「→」は 本来 「なので」とか「よって」と書くべきところですが、流れが分かり易いかと思い「→」にしました。

No.54509 - 2018/10/19(Fri) 19:03:16

Re: 2017 法政 A方式 I日程 数学B(4) / IT
> b2 < 13 , b2 = 13, b2 > 13 での場合分け
> なぜ、
> b2 13 で場合分けをするに至ったかの根拠が
> 理解できません。


「このときAは」の次の式を見て13が区切りになりそうに思えませんか?

b[2]=13かb[2]≠13かで分けるのは、ごく自然だと思います。
b[2]≠13のうちb[2]<13 はあり得ないのも直ぐ分かります。

数学の解法を完全に「必然性」でとらえようとすると無理だと思います。試行錯誤も大切です。 

No.54510 - 2018/10/19(Fri) 19:48:10
相反方程式の問題について / jt77877
問題

X^4+X^3+3X^2+X+1=0の問題を解きましょう。

という問題です。よろしくお願いします。

詳しく教えてください。よろしくお願いします。

No.54504 - 2018/10/19(Fri) 13:10:27

Re: 相反方程式の問題について / らすかる
x^4+x^3+3x^2+x+1=0でx=0は解ではないので
両辺をx^2で割ってx^2+x+3+1/x+1/x^2=0
x+1/x=tとおけばx^2+2+1/x^2=t^2なので
x^2+x+3+1/x+1/x^2=(x^2+2+1/x^2)+(x+1/x)+1
=t^2+t+1
t^2+t+1=0の解はt=(-1±i√3)/2
x+1/x=(-1±i√3)/2を解いて
x={√(2√21-9)-1±i(√(2√21+9)-√3)}/4,
{-√(2√21-9)-1±i(√(2√21+9)+√3)}/4

No.54505 - 2018/10/19(Fri) 15:10:48
(No Subject) / パグ
問題2.5.6が解けないです
どなたか回答よろしくお願いします

No.54497 - 2018/10/18(Thu) 23:21:11

Re: / ヨッシー
問題2
Aの時給をx円、Cの時給をy円とします。条件より
 Bの時給は 1.2y
 Dの時給は 1.2y+5
 Eの時給は {1.2y+y+(1.2y+5)}×0.4=1.36y+2
 Cの時給は (x+1.2y+5)÷2=0.5x+0.6y+2.5=y ・・・(i)
B,C,D,E4人の時給の合計はAの時給の6倍なので
 {1.2y+y+(1.2y+5)+(1.36y+2)}=4.76y+7=6x ・・・(ii)
(i)(ii) を解いて、
 x=735、y=925
以上より
 A:735円、B:1110円、C:925円、D:1115円、E:1260円

問題5
条件より
 160≦4a+5b≦165
 150<5a+4b≦155
辺々足して
 310<9(a+b)≦320
 34≦a+b≦35
i) a+b=34 のとき
 160≦136+b≦165
 150<a+136≦155
変形して
 24≦b≦29
 14<a≦19
以上より 38<a+b≦48 となり、適当な a, b は存在しない。
ii)a+b=35 のとき
 160≦140+b≦165
 150<a+140≦155
変形して
 20≦b≦25
 10<a≦15
以上より (a, b)=(15, 20), (14, 21), (13, 22), (12, 23), (11, 24)

問題6
xcm と 120−xcm に切ったとします。
1辺aの正三角形の面積は (√3/4)a^2 であるので
2つの正三角形の面積の和は
 (√3/4)x^2+(√3/4)(120−x)^2
 =(√3/4)(2x^2−240x+14400)
 =(√3/2)(x^2−120x+7200)
 =(√3/2){(x−60)^2+3600)
これは、x=60 のとき 最小値 1800√3 をとる。
ちょうど半分に切ればよい。

No.54498 - 2018/10/19(Fri) 01:18:59
数1 三角比を含む不等式 / ボルト
0度≦θ≦360度のとき、次の不等式を満たすθの値の範囲を求めよという問題で、(4)と(5)の答えは合っているでしょうか?間違えていたら解説よろしくお願いします。また、(6)の問題を解くときの図の書き方と最後の答えの出し方がよく分かりません。詳しい解説よろしくお願いします。
No.54495 - 2018/10/18(Thu) 21:47:01

Re: 数1 三角比を含む不等式 / らすかる
(4)(5)は問題ありません。
(6)の続きは
単位円上の点で、(y座標)/(x座標)が1未満となる角θの範囲を考えると、
0°≦θ<45°、90°<θ<225°、270°<θ≦360°
(図は問題ありません)

# 問題で、θの範囲は「0°≦θ≦360°」ですか?
# もしかして「0°≦θ<360°」ではありませんか?
# ※0°≦θ≦360°ならば上記の解答で問題ありません

No.54499 - 2018/10/19(Fri) 02:08:25

Re: 数1 三角比を含む不等式 / ボルト
らすかるさん解答していただきありがとうございました。おかげで最後の問題まで理解することができました。本当にありがとうございました。これからももろしくお願いします。
No.54501 - 2018/10/19(Fri) 06:26:22
大学数学 極限 / 大学1年解析学
(1)のみの回答とかでも全然いいので
教えてください


数列{an}と{bn}は全ての
自然数n∈Nに対して、以下の等式
a1>0 , b1>0 , a n+1=an+bn/2 ,
b n+1=√anbn
を同時に満たすとする。このとき、次の問に答えよ。

(1)全ての自然数n∈Nに対して、an>0, bn>0が成り立つことを証明せよ。

(2)相加平均と相乗平均の関係を用いて、2以上の全ての自然数n∈Nに対して、an≧bnが成り立つことを証明せよ。

(3)数列{an}数列{bn}はともに単調列である。どちらが単調増加列なのか単調減少列なのか判定し、証明せよ。

(4)極限lim(n→∞)anと極限lim(n→∞)bnが存在することを証明せよ

(5)α=lim(n→∞)an, β=lim(n→∞)bnとおくと、αをβを用いて表せ。

参考程度に写真を貼っておきます。

No.54494 - 2018/10/18(Thu) 21:25:14

Re: 大学数学 極限 / IT
ヒントだけ
(1) 数学的帰納法を使って容易に証明できます。
(2) 相加相乗平均の関係そのままでは?
(3) a[n+1]=(a[n]+b[n])/2 ≦(a[n]+a[n])/2=a[n] ∵a[n]≧b[n]
なので a[n]は単調減少

 b[n+1]=√(a[n]b[n])≧√(b[n]b[n])=b[n]なので b[n]は単調増加

(4) 「有界な単調数列は収束する。」という定理を習っておられませんか?

(5) α=lim(n→∞)a[n]=lim(n→∞)a[n+1]=lim(n→∞)(a[n]+b[n])/2
=lim(n→∞)a[n]/2 +lim(n→∞)b[n]/2
=α/2 + β/2
∴ α=β

No.54496 - 2018/10/18(Thu) 22:34:19
不等式の証明 / 高3理系
↓を証明する方法が分かりません。どなたか解説をお願いします。
 21<π^e<e^π (ただし、π>3.14, e>2.71である)

No.54493 - 2018/10/18(Thu) 21:19:17

Re: 不等式の証明 / らすかる
(左側の不等号)
1.77^2=3.1329<3.14なので
3.14^(3/2)>1.77×3.14=5.5578>5.5
2.71×(2/3)>2.7×(2/3)=1.8
よって
π^e>3.14^2.71={3.14^(3/2)}^{2.71×(2/3)}>5.5^1.8

5.5^9=(5.5^2)^4×5.5=30.25^4×5.5>30^4×5.5=4455000
21^5=(21^2)^2×21=441^2×21<450^2×21=202500×21<210000×21=4410000
から
5.5^9>4455000>4410000>21^5
5.5^1.8>21
∴π^e>5.5^1.8>21

(右側の不等号)
※π>3.14,e>2.71だけでは求まりませんので、e≠πは使ってよいものとします。
f(x)=logx/xとおくとf'(x)=(1-logx)/x^2なので
f(x)はx=eで最大値loge/e(=1/e)をとる
よって
logπ/π<loge/e
elogπ<πloge
∴π^e<e^π

No.54500 - 2018/10/19(Fri) 03:17:56
ベクトル / ももか
四面体OABCがあります。
OA上に1:2となる点D
OB上に1:1となる点E
BC上に2:1となる点F
をとる。
平面DEFとACとの交わる点をGとしたさいに
なぜ直線EFとDGとの交点が直線OC上にできるのかがわかりません。

No.54489 - 2018/10/18(Thu) 17:46:53

Re: ベクトル / らすかる
DはOA上にありますので、平面OCA上にあります。
GはAC上にありますので、平面OCA上にあります。
よって直線DGは平面OCA上にあります。
EとFは平面OBC上にありますので、直線EFは平面OBC上にあります。
従って直線DGと直線EFの交点は平面OCAと平面OBCの交線上、すなわち
直線OC上にあります。

No.54490 - 2018/10/18(Thu) 18:25:52
(No Subject) / 由衣夏
すみません。ここで尋ねるのは失礼かもしれないのですが、
「肺胞で受け取った酸素のうち組織で解離する割合」の求め方を教えてもらえませんか?
割合が本当に苦手です。

No.54484 - 2018/10/17(Wed) 22:53:22

Re: / X
図から
肺胞でのHbO2の割合がA[%]
組織でO2が解離したHbO2の割合がA-B[%]
HbO2とHbO2を構成しているO2のモル比が1:1
以上から求める割合は
100{(A-B)/A}[%] (A)
図から
A=95,B=45
これらを(A)に代入して
求める割合は
約52.6[%]
となります。

No.54492 - 2018/10/18(Thu) 20:12:58
(No Subject) / ベース
この最後の セ ソ がわかりません!

教えてください!

No.54480 - 2018/10/17(Wed) 19:59:33

Re: / ヨッシー
△CPOは∠C=90°の直角三角形であるので、
 tan∠CPO=CO/CP
です。

No.54485 - 2018/10/17(Wed) 23:52:07

Re: / ベース
なぜ∠C=90°とわかるんですか?
No.54486 - 2018/10/18(Thu) 07:29:23

Re: / らすかる
円の接線は中心と接点を通る直線と直交します。
証明もできますが、基本的な事項ですので覚えましょう。

No.54487 - 2018/10/18(Thu) 07:41:01
(No Subject) / はな
点Oを中心とする半径2の円Oと、点O'を中心とする半径5の円O'が点Pで外接している。
2つの円の点Pのとおる共通接線をl
点Pを通らない共通接線のひとつをmとし、mと円O、O'との接線をQ.Rとする。
またlとmとの交点をSとする。
QRの長さを答えなさい。

という問題がわかりません

No.54478 - 2018/10/17(Wed) 18:01:27

Re: / らすかる
直線OO'とmの交点をTとすると
△TOQ∽△TO'RでTO:TO'=OQ:O'R=2:5、OO'=7なのでTO=14/3
TQ=√(TO^2-OQ^2)=√{(14/3)^2-2^2}=4√10/3
∴QR=(3/2)TQ=2√10

No.54479 - 2018/10/17(Wed) 19:03:21

Re: / はな
わかりました!

すみません、これの追記で質問させていただきたいのですが
(1)SPの長さを答えよ。
(2)∠QPRは何度で、三角形PQRの外接円の半径はなにか。

これは答えがあって(1)は√10
(2)は90°、√10 です。
何度も質問すみません。

No.54481 - 2018/10/17(Wed) 20:14:21

Re: / らすかる
△TOQ∽△TSPからTP:SP=TQ:OQなので
SP=TP×OQ÷TQ=(20/3)×2÷(4√10/3)=√10

円外の点から円に引ける2接線の接点までの距離は等しいのでSQ=SP=SR
よってSは△PQRの外接円の直径なので∠QPR=90°で
(外接円の半径)=SP=√10

No.54482 - 2018/10/17(Wed) 21:42:16
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