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ヨッシーの八方掲示板(算数・数学 質問掲示板)

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(No Subject) NEW / まい
この2のウを教えてください。
よくわかりません。
よろしくお願いいたします。

No.71217 - 2020/11/28(Sat) 13:36:26
(No Subject) NEW / 三浦
赤線を引っ張ったところのsin,cosの変形が自分でやると結果の符号が答えと逆になってしまうのですがどうやって考えますか?
No.71214 - 2020/11/28(Sat) 11:35:43

Re: NEW / 三浦
解決しました!
No.71215 - 2020/11/28(Sat) 11:38:05
積分 NEW / 赤
写真の問題が分かりません。
(1)は極形式を使って解くと(x,y)=(-t^2+(3√2/2)t,t^2-(√2/2)t)となりました。積分の問題ですが、複素数平面の形に直して解いてもいいのでしょうか?
(1)から間違っているかもしれませんが、上記の結果を使って、(2)を媒介変数表示のまま微分して図を書いた結果、a<-1/8,3/8<aとなりました。
(3)は全く分かりません。
どなたか分かる方、私の答えが合っているかどうか、また(3)の解法について教えてください。よろしくお願いします。

No.71212 - 2020/11/28(Sat) 10:12:22

Re: 積分 NEW / IT
(3)x軸、y軸の方を 45°回転した直線で考える方が分かり安いのでは。
No.71216 - 2020/11/28(Sat) 13:33:39

Re: 積分 NEW / 赤
軸の回転ってどう考えればいいか分からないのですが、やり方を教えていただけませんか。
No.71218 - 2020/11/28(Sat) 14:06:38

Re: 積分 NEW / IT
2014年 東工大数学 などで検索すると解答が見つかると思います。(受験勉強なら適切な解説解答付きの問題集をされた方が効率的と思います。)
No.71219 - 2020/11/28(Sat) 15:16:00
十分? NEW / しょうゆ
詳しい方よろしくお願いします。

f:[0,1)→Rを連続かつlim[x→1]f(x)=+∞とする。
この時,
( ア ) ⇒ ∫_0^1 f(x) dx = +∞
( イ ) ⇒ ∫_0^1 f(x) dx < +∞
となるような十分条件(ア),(イ)
は何になるのでしょうか?

No.71209 - 2020/11/28(Sat) 09:39:42

Re: 十分? NEW / らすかる
十分条件なら答えは無数にありますが、例えば
(ア) f(x)=1/(1-x)
(イ) f(x)=1/√(1-x)

No.71210 - 2020/11/28(Sat) 09:45:48
複素数 NEW / 鹿
複素数の問題です。ω=cos(2π/117)+isin(2π/117)とする。方程式z^117=-1の解の中で、虚部が正で実部が最大のものをαとする。
(1+ω)(1+ω^2)・・・(1+ω^116)の値を求めよ。

z_n=αω^nを出し、ω^n=z_n/αになるところまで解きました。
(α=e^πi/117, ω=2πi/117)
ただ代入しても値がうまく出てきません。
よろしくお願いいたします。

No.71207 - 2020/11/28(Sat) 08:48:40

Re: 複素数 NEW / らすかる
ω^nはz^117=1の解だから
(z-1)(z-ω)(z-ω^2)・・・(z-ω^116)=z^117-1
(z-ω)(z-ω^2)・・・(z-ω^116)=(z^117-1)/(z-1)
(-z+ω)(-z+ω^2)・・・(-z+ω^116)=z^116+z^115+z^114+…+1
zに-1を代入して
(1+ω)(1+ω^2)・・・(1+ω^116)=1+(-1)+1+(-1)+…+1=1

No.71208 - 2020/11/28(Sat) 09:21:29
(No Subject) NEW / まや
この問題の解き方を教えて欲しいです
お願いします。

答えは27,,,(13) 28,,,(11) 29,,,(3) 30,,,(2) 31,,,(1)
です

No.71196 - 2020/11/27(Fri) 22:05:36

Re: NEW / ヨッシー
1つ目は、x=13がわかっているので、それを代入した
 3y−4z=−18
 −7y+6z=−58
を解けばOKですが、これはおまけです。
x=13 がわかっていなくても、次の方法で解けます。

それは、もう1つの解を求めるのにも使う方法ですが、
zを消去して
 16x=5y+38
これを満たす整数解として、
 (x,y)=(3,2),(8,18),(13,34),(18,50)
を得ます。これらの中で、条件を満たすzが得られるものを選びます。

No.71211 - 2020/11/28(Sat) 09:50:06

Re: NEW / まや
ありがとうございます。
No.71213 - 2020/11/28(Sat) 10:44:37
(No Subject) NEW / ま
複素関数のcoszを項別微分して-sinzになる途中式を教えてほしいです
cosz=Σ(n=0 to ∞)(-1)^n/(2n)!・z^2n

No.71192 - 2020/11/27(Fri) 21:47:42
mod NEW / 3すけ
m,nが2以上の自然数、kを自然数としてn!がm^kで割りきれてm^(k+1)では割り切れないとき

lim(n→∞)n/k

を求めたいのですが、教えてください。なんとなく1になりそうな気がするのですが・・・・

No.71189 - 2020/11/27(Fri) 21:30:53

Re: mod NEW / らすかる
m-1になると思います。
No.71193 - 2020/11/27(Fri) 21:56:23

Re: mod NEW / 3すけ
今度は(m-1)/mになってしまいました。

ガウス記号[ ]を用いて、
kがΣ[n/m^i](i=1..[log(n)/log(m)])になってはさみうちを
使ったのですが間違いでしょうか?

No.71197 - 2020/11/27(Fri) 23:47:09

Re: mod NEW / らすかる
どういうはさみうちにしたのかわかりませんが、答えは違います。
例えばn=5^100でm=5のとき
5^99+5^98+5^97+…+1=(5^100-1)/4
となりますのでn/k=(5^100)/{(5^100-1)/4}≒4のようになりますよね。
ですから、少なくとも(m-1)/mにはならないはずです。

No.71199 - 2020/11/28(Sat) 00:02:31

Re: mod NEW / 3すけ
こういう感じにしました。
No.71203 - 2020/11/28(Sat) 01:27:59

Re: mod NEW / らすかる
途中まで(間違いがある箇所まで)しか見ていませんが、Σの展開に間違いがあります。
Σ[i=1〜n]1/m^iは(1-1/m^n)/(1-1/m)ではありません。
(1-1/m^n)/(1-1/m)になるのは
Σ[i=0〜n-1]1/m^i
または
Σ[i=1〜n]1/m^(i-1)
です。
Σ[i=1〜n]1/m^iは
(1-1/m^n)/(1-1/m)ではなく
(1/m)・(1-1/m^n)/(1-1/m)となります。

No.71204 - 2020/11/28(Sat) 02:07:44
積分 NEW / 赤
写真の問題が分かりません。
(1)は自分で部分積分→同形出現を使って解くとak=π-2{(-1)^k+1}/(1-k^2)となったのですが、(2)でk=1を代入した時に分母が0になってしまうのでどこかで間違ったのだろうと思いましたが、何度やっても同じ答えになってしまいます。
他の解き方は思いつきませんでした。
どなたか分かる方、解説お願いします。

No.71186 - 2020/11/27(Fri) 20:29:03

Re: 積分 NEW / ast
> どこかで間違ったのだろうと思いましたが、何度やっても同じ答えになってしまいます。
k≠1 なら正しく計算できているのでそこは安心していいと思います. 同じ形が出てきてまとめた後 (1-k^2) で両辺を割ったはずで, それは k=1 のときにできないので, k=1 は別に計算しましょう, ということですね. k=1 のときは安直に
 ∫[0,π] (sin(x)-cos(x))^2 dx
 =∫[0,π] 1-2sin(x)cos(x)dx
 =[x +cos^2(x)]_0^π
 = π
とでも計算すればよいですね (この計算自体にはさほども面倒な点はないはずです).
# (2) は検討していません.

No.71190 - 2020/11/27(Fri) 21:43:43

Re: 積分 NEW / 赤
別に計算すれば良かったのですね。ありがとうございます。
(2)もよろしければ教えていただきたいです。

No.71195 - 2020/11/27(Fri) 21:59:22

Re: 積分 NEW / ast
(2) は単に力技でごりごり計算するくらいしか思いつきませんが……

S[n]:=納k=1,…,n]a[k], さらに便宜のため T[n]:=S[n]-nπ = -2*納k=1,…,n]{(-1)^k+1}/(1-k^2) とでも置くことにします. k が奇数のとき (-1)^k+1=0 だから, 2m,2m+1 < n であるかぎり T[2m+1]=T[2m], また k が偶数のときだけの和をとるために k=2j と書けば
  T[2m]= -2*納j=1,…m]2/(1-(2j)^2) = -2*納j=1,…m] 1/(1-2j)+1/(1+2j)
    = -2(-1+1/(1+2m)) = 4m/(2m+1)
と計算できるから,
 n=2m のとき S[n]=nπ+4m/(2m+1)=nπ+2n/(n+1),
 n=2m+1 のとき S[n]=nπ+4m/(2m+1)=nπ+2(n-1)/n
のようになりますかね.
# 多分これでいいと思いますが, 計算間違いの可能性は多々ありますので, 保証はしません.
# ほかの方がもっと見通しのいい回答をなさるかもしれません.

No.71202 - 2020/11/28(Sat) 01:19:57

Re: 積分 NEW / 赤
分かりました。ありがとうございます。
No.71206 - 2020/11/28(Sat) 08:21:44
円順列 NEW / さおり
n:自然数、黒玉3個、白玉3n個を円形に並べる並べ方の総数をS(n)とするとき、S(n)をnの式で表せという問題で、

答えは、(3n^2+3n+2)/2になるそうですが、解き方がわかりません。教えてください。

ただし、回転して重なる場合は同じものとみなします。

No.71185 - 2020/11/27(Fri) 19:56:17

Re: 円順列 NEW / IT
黒玉と黒玉の間の白玉の個数が3か所ともn個の場合は1通りです。

黒玉から始まって残りの黒玉2個白玉3n個を横に並べる方法は、全部で C(3n+2,2) 通りです。
 このうち1通りは、黒玉と黒玉の間の白玉の数が各n個です。
 それ以外は、C(3n+2,2)-1 通りですが、先頭の黒玉の位置を替えることを考えると、回転して重なる1つの並べ方を3回数えていることになります。

よって求めるS(n)=(C(3n+2,2)-1)/3 + 1 になります。

うまく説明できてないかも知れません、もっと良い説明があればお願いします。

No.71188 - 2020/11/27(Fri) 21:10:47

Re: 円順列 NEW / さおり
ありがとうございます。
黒玉4個、白玉4n個の時も同じ考え方で解こうと思ったら無理でした。

No.71191 - 2020/11/27(Fri) 21:43:59

Re: 円順列 NEW / らすかる
3個の場合は「120°回転対称」だけに注意すればよいですが、
4個の場合は「90°回転対称」の他に「180°回転対称」がありますので
その二つに注意して考えれば解けると思います。

No.71194 - 2020/11/27(Fri) 21:58:19

Re: 円順列 NEW / さおり
(8n^3+12n^2+7n+3)/3でしょうか?
No.71198 - 2020/11/28(Sat) 00:00:11

Re: 円順列 NEW / らすかる
はい、正解です。
No.71201 - 2020/11/28(Sat) 00:14:30

Re: 円順列 NEW / さおり
ありがとうございました。
No.71205 - 2020/11/28(Sat) 08:07:03
(No Subject) NEW / やま
(ii)が全く分かりません。どなたか解答を与えて頂けると助かります🙇
No.71182 - 2020/11/27(Fri) 17:36:18

Re: NEW / IT
まずは、V∈CESでないような集合Vを考えて、それのVについてV=V[1]∩V[2]となるようにV[1]、V[2]を決めれば良さそうです。 チェザロ濃度は習ってなくて、定義を見て思いついただけなので最後まできちんといくかは分かりませんが

例えば、Vとして #{V∩{1,2,...,n}}/n が 1/2,1/4,1/2,1/4,...と振動するようにすれば良いのでは?

自然数1,2,3,4,5,6,....,がVに含まれるかどうかを1から順に〇、×で表すとして
〇× ×× ×〇〇〇 ××××××××
×〇 〇〇 〇××× 〇〇〇〇〇〇〇〇

としていくと#{V∩{1,2,...,n}}/n は、1/2,1/4,1/2,1/4,...と振動します。

V=V[1]∩V[2] かつ V[1],V[2]∈CESとなるようにV[1],V[2] を適当に決めると良いのでは?

No.71184 - 2020/11/27(Fri) 19:56:12

Re: NEW / ast
"Cesaro density" でググったらまんまのに当たったのでリンクだけおいときますね.
No.71187 - 2020/11/27(Fri) 20:56:52
(No Subject) NEW / やま
この問題が全く分かりません。どなたか解答を与えて頂けると助かります🙇
No.71181 - 2020/11/27(Fri) 17:35:40
接線の方程式 / わー
写真の問が分かりません。よろしくお願いします。
No.71177 - 2020/11/27(Fri) 13:03:55

Re: 接線の方程式 / ヨッシー
公式に頼るなら、
楕円 x^2/a^2+y^2/b^2=1 上の点(x0,y0)における
接線の式は
 x0x/a^2+y0y/b^2=1
を使います。
2乗されているx,yの1つを、接点の座標に置き換えるだけの式です。

No.71178 - 2020/11/27(Fri) 13:27:03

Re: 接線の方程式 / らすかる
公式を知らない場合は
接線をy+1=m(x-2)とおいてx^2+2y^2=6にy=m(x-2)-1を代入して
(判別式)=0となるようにmを定めれば求まります。

No.71180 - 2020/11/27(Fri) 16:44:18
(No Subject) / まい
2⃣のアのφの範囲の出し方

2⃣のイのφの範囲の出し方を教えてください。

よろしくお願いいたします。

No.71172 - 2020/11/27(Fri) 00:48:55

Re: / まい
2⃣のアのθの範囲の出し方

2⃣のイのθの範囲の出し方も教えてください。


よろしくお願いします。

No.71173 - 2020/11/27(Fri) 00:58:44
ボード線図 / ha
画像の中の(1)と(5)が全く分かりません…。解ける方お願いします。
No.71168 - 2020/11/26(Thu) 20:50:44

Re: ボード線図 / X
制御工学の教科書で該当項目を復習しましょう。
(1)(5)いずれについても、言葉の意味さえ理解できていれば
高校数学の範囲で分かる問題です。

No.71179 - 2020/11/27(Fri) 14:42:07
複素数平面 / 黒
写真の問題が分かりません。
答えと解答を教えていただきたいです。

No.71167 - 2020/11/26(Thu) 20:17:49

Re: 複素数平面 / IT
(1)地道に z=x+i とおいて (1/z^2)~ がどうなるかを調べればいいと思います。

z~ などは、zの共役複素数を表す。

No.71169 - 2020/11/26(Thu) 21:49:58

Re: 複素数平面 / IT
(2) z=(1/sinα)(cosα+isinα) とおけ、このとき 1/z^2=((sinα)^2) (cos(-2α)+isin(-2α))

これを使えば簡単かも

No.71170 - 2020/11/26(Thu) 22:13:40

Re: 複素数平面 / 黒
ありがとうございます。解決しました。
No.71175 - 2020/11/27(Fri) 07:26:26
高校数学?/軌跡(外形) / さき
@、A、Bのように、円、正方形を45度傾けた図形、正方形(写真では緑の点線で描写)を各図形の中心を円状(写真では青で描写)に移動させたときの外形(写真では赤)がどうなるか知りたいです。
@の円を移動させたときの外形は円となることは図を書いてイメージできました。
A、Bように、正方形を45度傾けた図形、正方形を移動させるとそれぞれどのような外形になるのでしょうか??
写真のA,B,C,D,Eは代表点を考えていて、これを無限に増やせばどんな外形になるのかはわかりそうですが、A、Bの外形はイメージできないので、どなたか教えてください。

No.71164 - 2020/11/26(Thu) 11:56:45

Re: 高校数学?/軌跡(外形) / ヨッシー
AとBは、回転しただけで、同じ図形になります。

円に対して、正方形の大きさがどのくらいかわかりませんが、
こんな感じになります。
各頂点がどう動くかを見ていけばわかると思います。

No.71165 - 2020/11/26(Thu) 14:41:25
和集合、共通部分 / むかわ
問題2.17を教えてください。
問で与えられた集合が、なぜこのように図示されるのか教えてください。

No.71159 - 2020/11/25(Wed) 18:12:03

Re: 和集合、共通部分 / IT
まずは、n=1,2,3,4 ぐらいまででA[n]を描いてみると 見えてくるのでは?

特にx=-1,1 の近傍でどうか、
例えば (-1.1)^n、(-1)^n,(-0.9)^n,0.9^n,1^n,1.1^n などが、n →∞のとき どうなるかが ポイントになると思います。
(nが偶数のときと奇数のときで分けて考える。)

No.71160 - 2020/11/25(Wed) 19:12:17
Σ計算 / む
この計算が成り立つのはどうしてでしょうか?Σ計算が苦手なので詳しく教えていただきたいです。
No.71156 - 2020/11/25(Wed) 17:20:06

Re: Σ計算 / ヨッシー
(左辺)=(a+1)^2+(a+2)^2+・・・+(a+N-a)^2
    =(a+1)^2+(a+2)^2+・・・+N^2
(右辺)=(a+b)^2+(a+b+1)^2+・・・+N^2
なので、必ずしも等しくはありません。
(右辺)が k=a+1 〜 N であれば、等しくなります。

No.71157 - 2020/11/25(Wed) 17:33:34

Re: Σ計算 / X
>>むさんへ
これはパラメータの置き換えとパラメータの
値の変化の対応関係を混同してしまっています。

k=a+b (A)
というように
パラメータをbからkに置き換えた
のであれば、

b=1〜N-a (B)
という
bの値の変化とkの値の変化との間に
対応関係を作らなければなりません。

その意味で右辺のΣの下にある
>>k=a+b
は誤りです。
(A)の置き換えで(B)の変化を対応させるのであれば
k=a+1〜a+(N-a)
つまり
k=a+1〜N
となります。

No.71158 - 2020/11/25(Wed) 18:05:42
(No Subject) / いいいい
AD //BCである台形ABCDにおいて∠ ABC=∠ BCD =π/3,AD =1,BC = 2とする。ABの中点をM,BC上の点をPとし,→a =→AB,→b=→DCとする。→MC ⊥→DPのとき,→DPを→a,→bを用いて表せ。

この問題を比較的単純に解く方法を教えてほしいです。

No.71155 - 2020/11/25(Wed) 16:57:10

単純かは分かりませんが・・・ / 魔獣先輩
辺BCの中点をNとするとBN=1=AD,BN//ADよりABNDは平行四辺形。∴→DN=→AB=→a
更にAB//DNから同位角より∠DNC=∠ABN=π/3。
∴∠DNC=∠DCN=∠NDC=π/3より△DNCは正三角形。
これらより、|→a|=|→b|=DN=DC=NC=1…@
→a・→b=|→DN|・|→DC|cos∠NDC=1・1・cos(π/3)=1/2…A

一方、→NC=→DC-→DN=→b-→a
∴→MC=→MB+→BC=(1/2)→AB+2→NC
=(1/2)→a+2(→b-→a)
∴→MC=2→b-(3/2)→a…B
又、PはBC上の点だから→DP=→DC+→CP=→DC+k→NC(kは実数)とおける。∴→DP=→b+k(→b-→a)=(k+1)→b-k→a…C

B,C及び→MC⊥→DPすなわち→MC・→DP=0より
{2→b-(3/2)→a}{(k+1)→b-k→a}
=(3k/2)|→a|^2+(2k+2)|→b|^2-(7k/2+3/2)→a・→b=0
よって@,Aより
(3k/2)・1^2+(2k+2)・1^2-(7k/2+3/2)・(1/2)
=7k/4+5/4=0 ∴k=-5/7 よってCより

→DP=(5/7)→a+(2/7)→b

No.71171 - 2020/11/26(Thu) 23:37:13
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