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ヨッシーの八方掲示板(算数・数学 質問掲示板)

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累乗根 NEW / Triscuit
累乗根の計算についてです。解き方教えてください!
No.49807 - 2018/04/20(Fri) 21:02:33

Re: 累乗根 NEW / 元中三
これで良いですかね?
No.49808 - 2018/04/20(Fri) 21:15:05

Re: 累乗根 NEW / らすかる
[8]√4+[4]√32
=[8]√(2^2)+[4]√(2^4×2)
=([8]√2)^2+2[4]√2
=[4]√2+2[4]√2
=3[4]√2
ぐらいが自然でしょうか。

No.49810 - 2018/04/20(Fri) 21:30:52
(No Subject) NEW / 元中三
例として
√3+√11>√6+√7であると仮定して式変形を行い誤りであることを導けば背理法で√3+√11<√6+√7であることを示せますか?

No.49805 - 2018/04/20(Fri) 20:18:08

Re: NEW / らすかる
考え方は正しいですが、
最初の仮定が √3+√11>√6+√7 ならば、示せるのは
√3+√11≦√6+√7 です。

√3+√11≧√6+√7 を仮定して矛盾を導けば
√3+√11<√6+√7 が示せます。

No.49806 - 2018/04/20(Fri) 20:35:00
ベクトル NEW / 化学の新研究
(1)からお願いします!!!
No.49804 - 2018/04/20(Fri) 19:02:55

Re: ベクトル NEW / X
3↑OP+2↑AP+3↑BP=↑O (A)
とします。

(1)
条件から
↑a・↑b=OA・OBcos∠AOB
=3・6・(-1/4)
=-9/2

(2)
前半)
(A)より
3↑OP+2(↑OP-↑a)+3(↑OP-↑b)=↑O
∴↑OP=(1/8)(↑a+↑b)
=(1/4){(↑a+↑b)/2} (A)'
これは点Pが、
点Oと辺ABの中点を結ぶ線分を1:3に内分する点
であることを示しています。
よって、条件から
↑OC=(↑a+↑b)/2
後半)
前半の結果から
OC^2=(1/4)|↑a+↑b|^2
=(1/4)(OA^2+2↑a・↑b+OB^2)
これに(1)の結果などを代入して
OC^2=9
∴OC=3

(3)
条件から
↑BQ//↑OC
∴↑BQ=k↑OC (kは実数)
と置くことができます。
(2)の過程を使うとこれより
↑OQ-↑b=k(↑a+↑b)/2
↑OQ=(k/2)↑a+(k/2+1)↑b (B)
∴(A)'により
↑PQ=↑OQ-↑OP=(k/2-1/8)↑a+(k/2+7/8)↑b (B)'
ここで条件から
↑PQ⊥↑OC
∴↑PQ・↑OC=0 (C)
(C)に(B)'と(2)前半の結果を代入すると
{(k/2-1/8)↑a+(k/2+7/8)↑b}・{(↑a+↑b)/2}=0
これより
{(4k-1)↑a+(4k+7)↑b}・(↑a+↑b)=0
(4k-1)OA^2+(8k+6)↑a・↑b+(4k+7)OB^2=0
これに更に(1)の結果などを代入すると
9(4k-1)-9(4k+3)+36(4k+7)=0
(4k-1)-(4k+3)+4(4k+7)=0
∴k=-3/2
これを(B)に代入して
↑OQ=-(3/4)↑a+(1/4)↑b

No.49809 - 2018/04/20(Fri) 21:17:26
(No Subject) NEW / こう
この問題で
方程式が、正の実数解をただ1つしか持たないような定数aの範囲を求めよ。
というか問題を教えて下さい
よろしくお願いします

No.49797 - 2018/04/19(Thu) 23:51:11

Re: NEW / IT
y=f(x)=x^3-2x^2 のグラフと y=a のグラフの交点(→共有点に訂正)の状況を調べればいいのですが。

「正の実数解をただ1つしか持たない」の解釈が分かれる気がしますが、
虚数解と0または負の実数解の個数は、いくつでもいいということなら
a=-32/27,a≧0 になると思います。

No.49798 - 2018/04/20(Fri) 00:10:03

Re: NEW / こう
解説ありがとうございます!
a=-32/27の時は、正の実数解に含まれるのかよく分かりません
その点を解説おねがい

No.49799 - 2018/04/20(Fri) 00:32:53

Re: NEW / こう
解説ありがとうございます!
a=-32/27の時は、正の実数解に含まれるのかよく分かりません
その点を解説おねがいします

No.49800 - 2018/04/20(Fri) 00:33:31

Re: NEW / らすかる
a=-32/27のとき
x^3-2x^2-a=x^3-2x^2+32/27=(x+2/3)(x-4/3)^2なので
解はx=-2/3,4/3であり正の実数解はただ1つですね。

No.49801 - 2018/04/20(Fri) 02:34:00
三角関数 NEW / 三角坊や
0≦θ≦2πのとき、y=cos³θ-sin³θの最大値を求める。

@x=cosθ-sinθとおく。xの範囲を求めよ。答え:-√2≦θ≦√2

A等式x²=1-2sinθcosθ と x³=-sin³θ+3sin²θcosθ-3sinθcos²θ+cos³θを用いると
y=-(1/?)x³+(?/2)xとなる。

Bこの時 x=?のときの yの最大値は?

Cこの時のθの値は?

お願いします。

No.49796 - 2018/04/19(Thu) 23:25:21

Re: 三角関数 NEW / ヨッシー
(1)
x=√2sin(θ+135°) と書けるので −√2≦x≦√2
(2)
y=x^3−3sin^2θcosθ+3sinθcos^2θ
 =x^3+3sinθcosθ(cosθ−sinθ)
 =x^3+3(1−x^2)/2・x
 =−(1/2)x^3+(3/2)x
(3)
yをxで微分して
 y’=−(3/2)x^2+(3/2)
   =(3/2)(1−x^2)
よって、yは、x=1で極大値 1を取ります。
一方、x=−√2 のとき y=−√2/2 であるので、
x=1 のとき yの最大値1
(4)
 x=√2sin(θ+135°)=1
となるのは、
 θ=315°=7π/4
のとき

No.49802 - 2018/04/20(Fri) 05:14:58
高次不等式 高1 NEW / ところてん
[2]a=2のとき
(x-2)^2≧0なのにx≧2でないのは何故なのですか?

No.49794 - 2018/04/19(Thu) 22:33:11

Re: 高次不等式 高1 NEW / IT
> (x-2)^2≧0なのにx≧2でないのは何故なのですか?
御質問の的確な答えになっているか分かりませんが

(x-2)^2≧0だからといってx≧2とは限りません。
(x-2)^2≧0 は、任意の実数xについて成り立ちます。
例えばx=0 のとき、(x-2)^2=(-2)^2=4≧0 です。

なお、解答では(x-2)^2=0のときと(x-2)^2>0のときに分けて考えています。

No.49795 - 2018/04/19(Thu) 22:49:28

Re: 高次不等式 高1 NEW / ところてん
確かにそうですね。解答ありがとうございました。
No.49803 - 2018/04/20(Fri) 08:24:17
(No Subject) / 東大夢見る浪人生
(1)からわかりません。
ベクトルは苦手なので、詳しく解答解説お願いします。

No.49791 - 2018/04/19(Thu) 18:23:45

Re: / ヨッシー
(1)
OFOBBF において、
 BEOC
 BF=(2/3)BE=(2/3)OC
以上より
 OF+(2/3)

OGOCCG において
 CDOA
 CG=(2/3)CD=(2/3)OA
以上より
 OG+(2/3)

(2)
PがFGをt:(1−t) に内分する点とすると
 OP=(1−t)OF+tOG
   =(1−t){+(2/3)}+t{+(2/3)}
   =(2t/3)+(1−t)+(2/3+t/3)    ・・・(i)
また、点Pは3点O,D,Eを通る平面上にあるので、r,sを実数として
 OP=rOD+sOE
の形に書けます。
 OD
 OE
より、
 OP=r()+s()
   =r+s+(s+r)    ・・・(ii)
(i)(ii) が同じ点Pを表しているとき、 は一次独立なので、
係数を比較して、
 2t/3=r、1−t=s、2/3+t/3=s+r
これらを解いて
 2/3+t/3=1−t+2t/3
 2t/3=1/3
 t=1/2
よって、(i) より
 OP=(1/3)+(1/2)+(5/6)

(3)
cos∠AOB=2/3=OB/OA より ∠OBA=90°であり、
四角形ABEDは、OBに垂直とわかります。
よって、PQは四角形ABEDに平行な平面に含まれる形になります。
点Pを通って、四角形ABEDに平行な平面がPQを含む平面であり、
この平面とOBの交点が点Qとなります。また、この平面はGDの中点Hを通り、
OQ:QB=CH:HD=5:1 より
 OQ=(5/6)
となります。
 QPOPOQ={(1/3)+(1/2)+(5/6)}−(5/6)
   =(1/3)−(1/3)+(5/6)
あらかじめ、=3・2・(2/3)=4、=0 を確認しておいて、
 |QP|^2=(1/9)||^2+(1/9)||^2+(25/36)||^2−(2/9)
   =1+4/9+25/9−8/9=10/3
よって、PQ=√30/3

No.49792 - 2018/04/19(Thu) 19:16:38
ベクトルの図形 高2 / みや
たびたび失礼します。
こちらの(ii)も解説を読んでもわからないのでお願いいたします

No.49785 - 2018/04/18(Wed) 22:43:13

Re: ベクトルの図形 高2 / みや
答えは(き)2 (く)3 (け)- (こ)4 です
No.49786 - 2018/04/18(Wed) 22:45:51

Re: ベクトルの図形 高2 / X
まず(i)と同じようにして↑AFを↑AB,↑ADを
用いて表します。(これを(B)とします。)
次に条件である
|↑AF|=(3/2)|↑AE|
に(i)の結果と(B)を代入した上で
両辺を二乗します。
更に両辺を展開し、
|↑AB|=AB=2
|↑AD|=AD=3
を代入して、↑AB・↑ADについての
方程式を導きます。

No.49789 - 2018/04/19(Thu) 05:45:01

Re: ベクトルの図形 高2 / X
No.49788でもそうですが、もしNo.49789
の内容でも分からないようであれば、
解説の画像もアップして
「解説の〜行目が分かりません」
といったような質問の仕方をすれば
回答が付きやすいと思います。

No.49790 - 2018/04/19(Thu) 05:57:52
三角関数(?)  高2 / みや
こちら(3)が、解説を読んでもわからないので教えて頂いてもよろしいでしょうか?

答えは (か)2 (き)1です

No.49784 - 2018/04/18(Wed) 22:37:33

Re: 三角関数(?)  高2 / X
(2)の結果である
y=(√2)sin(x+π/4) (A)
を使います。
条件から
0≦x<π/2
∴π/4≦x+π/4<3π/4
∴単位円上で角度であるx+π/4の値の範囲を
図示することにより
sin(π/4)≦sin(x+π/4)≦sin(π/2)
1/√2≦sin(x+π/4)≦1
よって
1≦y≦√2
となるので
最大値は√2
最小値は1
となります。

No.49788 - 2018/04/19(Thu) 05:40:38
命題の証明について / 独学社会人
命題の証明の問題で
有理数と有理数の和は有理数である。
という問題があるのですが
答えは真であるのですが

解説の答えの最後bc+ad/ac
がなぜ有理数になるかわかりません
解説してもらえないでしょうか

No.49781 - 2018/04/18(Wed) 22:17:29

Re: 命題の証明について / らすかる
bc+adは整数、acは整数で
(整数)/(整数)は有理数ですから
(bc+ad)/(ac)は有理数です。

No.49782 - 2018/04/18(Wed) 22:19:06

Re: 命題の証明について / 独学社会人
ありがとうございます
何か変なふうに難しく考えてしまいました。

No.49783 - 2018/04/18(Wed) 22:31:48
(No Subject) / 東大夢見る浪人生
(1)からわかりません。
教えて下さい。

No.49779 - 2018/04/18(Wed) 21:37:32

Re: / らすかる
(1)
f(7)=log[2](7-a)=2から
7-a=2^2=4
∴a=3

(2)
f(x)=log[2](x-3)<4
x-3<2^4=16
x<19
また真数条件からx-3>0なのでx>3
∴19-3-1=15個

log[2](x-3)<k
x-3<2^k
x<2^k+3
条件を満たすためにはf(x)<kを満たす整数が
x=4だけであればよいので
4<2^k+3≦5
1<2^k≦2
∴0<k≦1

(3)
f(x)=log[2](x-3)<7/3
x-3<2^(7/3)
x<2^(7/3)+3
t=2^(7/3)とおくと
t^3=2^7=128
5^3=125,6^3=216なので
5<t<6
よって5<2^(7/3)<6なので
8<2^(7/3)+3<9
従って3<x≦8なのでx=4,5,6,7,8

No.49787 - 2018/04/19(Thu) 03:48:27
(No Subject) / カップめん
自然数nと0<=m<=n-1に対して、自然数値関数g(p)は
g(0)=0
1<=g(1)<g(2)<…<g(m)<=n-1
g(m+1)=n
p<=g(p)
を満たすとする。さらに非負整数値関数f(k)を
f(k)=n-k-2(m-p), g(p)+1<=k<=g(p+1)のとき
により定める。このとき
|f(k)-f(l)|<=|k-l|
を示せ。

g(p)+1<=k<=g(p+1), g(q)+1<=l<=g(q+1)とすると
|f(k)-f(l)|=|l-k-2(q-p)|
よりp=qのときは明らか。p<qのときk<lなので
|l-k-2(q-p)|<=|l-k|
すなわち
q-p<=l-k
を示せばよい。

ここまではわかったのですが、これ以降示せません。
もしかしたら成立しない?もしくは条件が足りない?のでしょうか?

No.49773 - 2018/04/18(Wed) 19:06:27

Re: / らすかる
g(0)<g(1)<g(2)<…<g(m)<g(m+1)から
q>pのときg(q)-g(p+1)≧q-(p+1)なので
l-k≧{g(q)+1}-g(p+1)≧q-p
となると思います。

# ところでg(0)=0だと「自然数値関数」ではないのでは?

No.49775 - 2018/04/18(Wed) 19:34:42

Re: / カップめん
私もそうなると思ったのですが
p+1<=g(p+1)
なので
g(q)-g(p+1)>=q-g(p+1)
までしか言えません。


確かに非負整数値関数が正しいですね。

No.49776 - 2018/04/18(Wed) 20:01:28

Re: / Delta
1≦k≦nなる整数kに対し、g(p)+1<=k<=g(p+1)を満たすpをp[k]とします。このとき、
g(p[k])+1<=k<=g(p[k]+1)...@
g(p[k+1])+1<=k+1<=g(p[k+1]+1)...A が成立します。
Aを整理して
g(p[k+1])<=k<=g(p[k+1]+1)-1...A'

よって
g(p[k+1])≦g(p[k]+1) (これを満たさないとkは@A'を同時に満たさない)
となります。
あとはgは単調増加なので p[k+1]≦p[k]+1
これを整理して p[k+1]-p[k]≦1

以上から Σ[i=k:l-1](p[i+1]-p[i])≦Σ[i=k:l-1]1で
これを計算すると q-p≦l-k となります。

No.49777 - 2018/04/18(Wed) 21:27:27

Re: / らすかる
g(0)<g(1)<g(2)<…<g(m)<g(m+1) から
g(1)-g(0)≧1
g(2)-g(1)≧1
g(3)-g(2)≧1
・・・
g(p+1)-g(p)≧1
g(p+2)-g(p+1)≧1 … (a)
・・・
g(q)-g(q-1)≧1 … (b)
g(q+1)-g(q)≧1
・・・
ですから
(a)から(b)までを足せば
g(q)-g(p+1)≧q-(p+1)
となりますね。

No.49778 - 2018/04/18(Wed) 21:29:41

Re: / カップめん
回答ありがとうございます。

具体的にf,gを決めると成立するのに示せずにいたので、たすかりました。
ありがとうございました。

No.49780 - 2018/04/18(Wed) 22:08:07
(No Subject) / aibo
度々すみません。(2)の解き方を教えてください。
No.49771 - 2018/04/18(Wed) 16:56:19

Re: / ヨッシー
(2)
Pの座標を(cosθ, sinθ)と置きます。
 PA^2=(3−cosθ)^2+sin^2θ=10−6cosθ
 PB^2=cos^2θ+(4−sinθ)^2=17−8sinθ
であるので、
 PA^2+PB^2=27−(6cosθ+8sinθ)
6cosθ+8sinθが最大となる時を調べます。
 6cosθ+8sinθ=10sin(θ+α) ただし、cosα=4/5, sinα=3/5
これが最大となるのは sin(θ+α)=1 のときであり、その1つが
 θ=π/2−α のときであり、このとき
cosθ=sinα=3/5, sinθ=cosα=4/5
P:(3/5, 4/5) 
となります。

No.49772 - 2018/04/18(Wed) 17:15:43

Re: / らすかる
別解
Pの座標を(x,y)とおくと
PA^2+PB^2=(3-x)^2+y^2+x^2+(4-y)^2=27-6x-8y (∵x^2+y^2=1)
27-6x-8y=kは傾き-3/4、y切片が(27-k)/8の直線なので
この直線が円の上側に接するときの接点が求めるPの座標
よってy=(4/3)xと円の交点のうち第1象限の方なので
辺の長さ3:4:5の直角三角形を考えてP(x,y)=(3/5,4/5)

No.49774 - 2018/04/18(Wed) 19:21:33
(No Subject) / aibo
この問題の解き方を教えてください。解答はa<-√2,√2<a<3です。よろしくお願いします。
No.49768 - 2018/04/18(Wed) 12:37:43

Re: / ヨッシー
それぞれ解くと
 A:a−1≦x≦a(a−1)
 B:−a+2<x<−a+5
よって、
 a−1≦a(a−1)≦−a+2<−a+5
または
 −a+2<−a+5≦a−1≦a(a−1)
となるときは、条件を満たさず、それ以外が求めるaの範囲となります。
ただし、a=1のとき、Aはx=0 のみの集合となり、これはBに含まれないので、
もし、a=1が解に含まれていたら除外します。

i) a(a−1)≦−a+2 より −√2≦a≦√2
ii) −a+5≦a−1 より  a≧3
これ以外の部分が求めるaの範囲で、
 a<−√2 または √2<a<3
となります。a=1も含まれません。

※2次方程式を解く過程で、判別式はチェックしてあることを前提として書いています。

No.49769 - 2018/04/18(Wed) 13:27:32

Re: / aibo
ありがとうございます。
No.49770 - 2018/04/18(Wed) 16:54:52
図形 / 春
連投すみません
よろしくお願いです

No.49762 - 2018/04/17(Tue) 21:51:27

Re: 図形 / Delta
軽く方針を記しておきます。
アイウ
余弦定理 cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc と@からcosAの値を求めます。あとはAの範囲を考えれば120°となるはずです。


余弦定理 cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac と@より
a(cosB)=(a^2+c^2-b^2)/2c=(2c^2+bc)/2c=b/2+c
これをAに代入すればAの左辺は2c^2となるのでAは
(b-c)(b-2c)=0 と変形できます。 bとcは相異なるのでb=2c


@にb=2cを代入してください。a=(√7)c となるはず。

カ,キ
外接円の半径をRとすると a=2R(sinA) が成立しますのでそこから、a→c→bの順番で求めていきます。b=6,c=3だと思います。

クケコ
三角形の面積を求める公式を使ってください。S=(1/2)bc(sinA)

No.49765 - 2018/04/18(Wed) 00:51:22
不明 / 東大夢見る浪人生
(2)から分かりません。
よろしくお願います。

No.49761 - 2018/04/17(Tue) 21:51:15

Re: 不明 / X
(2)
前半)
Qのx,y座標を加法定理を使って展開します。
後半)
π/6<θ<π/2
により、点Pは第一象限、点Qは第二象限
にある点ですので
(点Pのx座標)>(点Qのx座標)
よって
S=(1/2)QR・{(点Pのx座標)-(点Qのx座標)}
=(1/2)・(点Qのy座標)・{(点Pのx座標)-(点Qのx座標)}
これに前半の結果などを代入します。
注)
π/6<θ<π/2
により
(点Qのy座標)=2sin(θ+π/3)>0
です。

(3)
(2)の後半の結果を二倍角の公式、半角の公式を
使って整理をし、sin2θ、cos2θの式にします。
次に三角関数の合成を適用します。
((3)についてはこのヒントで分からなかったら
その旨をアップして下さい。)

No.49766 - 2018/04/18(Wed) 06:06:28
二次関数 / 春
センター実践問題集です。
ぜんぜんわかりません
至急よろしくお願いです

No.49760 - 2018/04/17(Tue) 21:50:06

Re: 二次関数 / 春
途中までわかりましたが、下の0<t<aがどうしてなるのかかまわかりません、続きもお願いです
No.49764 - 2018/04/17(Tue) 22:06:50

Re: 二次関数 / ヨッシー
y=−x^2+(3a−1)x+4a^2+4a
 =−(x−4a)(x+a+1)
A:(4a, 0) B:(0, 4a^2+4a) ・・・アイウ

P:(t, −t^2+(3a−1)t+4a^2+4a) であるので、
△OAP=(1/2)・4a・(−t^2+(3a−1)t+4a^2+4a)
   =−2a(t^2−(3a−1)t−4a^2−4a)  ・・・エオカキクケ
△OBP=(1/2)(4a^2+4a)t
   =2a(a+1)t ・・・コサ
S=△OAP+△OBP=−2a(t^2−(3a−1)t−4a^2−4a)+2a(a+1)t
 =-2a(t^2−4at−4a^2−4a)
0<t<4a ・・・ア(既出) より t=2a のとき最大値 ・・・チ
 Smax=-2a(−4a^2−4a^2−4a)=16a^3+8a^2 ・・・ツテト
です。
0<t<a というのは出てきません。

No.49767 - 2018/04/18(Wed) 10:51:42
式の計算。 / 蘭
いつもお世話になっております。

高1の計算の問題です。

しょーもないと言われてしまうと、申し訳ないのですが、綺麗に解く方法がわかりません。
綺麗に解きたいんです!

1と2以外全部綺麗に解けません。

私の解答は無視してください。

よろしくお願いします!!

.

No.49754 - 2018/04/17(Tue) 20:20:47

Re: 式の計算。 / IT
(3)
d=a+b+cとおく
与式=d^2+(d-2a)^2+(d-2b)^2+(d-2c)^2
=d^2+(d^2-4ad+4a^2)+(d^2-4bd+4b^2)+(d^2-4cd+4c^2)
=4d^2-4(a+b+c)d+4a^2+4b^2+4c^2
=4a^2+4b^2+4c^2

(別解)
a,b,c について対称なので aに関する項のみ計算すると
a^2+2(b+c)a+a^2-2(b+c)a+a^2+2(c-b)a+a^2+2(b-c)a=4a^2
よって与式=4a^2+4b^2+4c^2

No.49755 - 2018/04/17(Tue) 20:49:38

Re: 式の計算。 / 蘭


ありがとうございます!!
理解できました!


4と5もよろしくお願いしたいです!
本当にすみません!よろしくお願いします!


.

No.49756 - 2018/04/17(Tue) 21:04:36

Re: 式の計算。 / IT
(4) x,y,z について対称なので途中xに関する項だけ計算する

(x+y+z)(-x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)=((y+z)^2-x^2)(x^2-(y-z)^2)
xに関する項=-x^4+((y-z)^2+(y+z)^2)x^2=-x^4+(2y^2+2z^2)x^2=-x^4+2(xy)^2+2(zx)^2
与式はx,y,z について対称なので
与式=-x^4-y^4-z^4+2(xy)^2+2(yz)^2+2(zx)^2

No.49757 - 2018/04/17(Tue) 21:20:42

Re: 式の計算。 / 蘭


なるほど!
結構大変なのですね!!

5もよろしくお願いします!!!

.

No.49758 - 2018/04/17(Tue) 21:28:36

Re: 式の計算。 / 蘭
解いてみました!

どーでしょう??
間違ってますかね??


.

No.49759 - 2018/04/17(Tue) 21:44:35

Re: 式の計算。 / IT
(5)
与式のうちaに関する項
=a(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+(b+c)(a^2-a(b+c))
=a^3+(b^2+c^2)a-(b+c)a^2-abc+(b+c)a^2-((b+c)^2)a
=a^3+(b^2+c^2)a-abc-(b^2+c^2+2bc)a
=a^3-3abc

与式はa,b,cについて対称なので、与式=a^3+b^3+c^3-3abc

No.49763 - 2018/04/17(Tue) 22:00:14

Re: 式の計算。 / 蘭
あらまー。
私の解答は、全然違いましたね泣

ありがとうございます!
いつも助かってます!
またよろしくお願いします。!

.

No.49793 - 2018/04/19(Thu) 19:41:01
ベクトルの問題です / しょん
ΔOABにおいて、辺OAを1:4 辺OBを1:1の比に内分する点をそれぞれD,Eとし、2つの線分AE,BDの交点をP,線分OPの延長が辺ABと交わる点をFとする。

@(→)OP=◯である
A(→)OF=◯である
B(→)AF=◯(→)ABである

(→)はベクトルの記号です。
◯の部分をよろしくおねがいします。

No.49751 - 2018/04/17(Tue) 18:17:24

Re: ベクトルの問題です / X
@
AP:PE=k:1-k
BP:PD=l:1-l
と置くと、まず線分AEに注目して
↑OP=(1-k)↑OA+k↑OE
=(1-k)↑OA+(k/2)↑OB (A)
次に線分BDに注目すると
↑OP=(1-l)↑OB+l↑OD
=(1-l)↑OB+(l/5)↑OA (B)
ここで
↑OA//↑OBでなく、かつ↑OA≠↑Oかつ↑OB≠↑O
ですので(A)(B)の係数を比較することができ
1-k=l/5 (C)
1-l=k/2 (D)
(C)(D)をk,lの連立方程式として解き
(k,l)=(8/9,5/9)
∴↑OP=(1/9)↑OA+(4/9)↑OB (E)

A
(E)より
↑OP=(5/9){(↑OA+4↑OB)/5}
これは点Pが
点Oと辺ABを4:1に内分する点
とを結ぶ線分を5:4に内分する点
であることを示しています。
∴↑OF=(↑OA+4↑OB)/5
B
Aの過程から
AF:FB=4:1
ですので
↑AF=(4/5)↑AB
となります。

No.49753 - 2018/04/17(Tue) 19:56:49
(2)を教えてください / kei
画像の問題についてです。

[b1 b2 c]のランクが[b1 b2]のランクに等しいことが解を持つ条件だと思うのですが
(b1 b2)x = cの両辺にt^(b1 b2)をかけると

t^(b1 b2)(b1 b2)x = t^(b1 b2)c

(b1・b1 b1・b2) x
(b2・b1 b2・b2)
=
(b1・c)
(b2・c)

(|b1|^2 0 ) x
(0 |b2|^2)
=
(b1・c)
(b2・c)

x =
(|b1|^2b1・c)
(|b2|^2b2・c)
/
(|b1|^2 |b2|^2)

ここで・は標準内積とした。

これではcがどんな列ベクトルでも解が存在するような気がします。
どこか計算間違いがあればご指摘おねがいします。

No.49746 - 2018/04/16(Mon) 22:38:11

Re: (2)を教えてください / kei
画像の添付ミスのため
No.49747 - 2018/04/16(Mon) 22:41:16

Re: (2)を教えてください / Delta
今回の場合、左から転置行列をかけると行列のサイズが2×2になったり、右辺の列ベクトルの次元が2になったりと全体の次元が小さくなる場合があります。
次元が小さくなるとその分、xの条件も緩くなるので元々の方程式では解とならないものも解として出現することがあります。

なので回答としては
[b1 b2 c]のランクが[b1 b2]のランクに等しいときは
c=αb1+βb2 を満たす実数α,βが存在する(1次従属)のでこのとき、x=(α,β)^T (Tは転置)が解となり、
[b1 b2 c]のランクが[b1 b2]のランクに等しくないときは
c=αb1+βb2+γb3 (b3はb1,b2と独立なベクトル)とすることで解が存在しないことが言えると思います。

No.49749 - 2018/04/17(Tue) 00:08:28

Re: (2)を教えてください / kei
理解できました。ありがとうございます。
No.49750 - 2018/04/17(Tue) 06:43:00
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