0410202

ヨッシーの八方掲示板(算数・数学 質問掲示板)

since 2008/03/25

旧数学掲示板のログ

使用上の注意はこちらにあります
海外からはこちらが便利

質問される方は学年(質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。


過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

HOME | お知らせ(3/8) | 記事検索 | 投稿回数 | 携帯用URL | フィード | ヘルプ | 環境設定

名前
メール
URL
件名
ファイル
文字色
/ 編集パス
説明の解釈 NEW / 集合
集合についての質問です。

この写真の場合、
U = {{1, 2, ...}, {2, 3, ...}, {3, 4, ...}, ...}
と解釈しても大丈夫でしょうか。

No.64211 - 2020/04/08(Wed) 06:26:25

Re: 説明の解釈 NEW / 集合
もし僕の解釈が正しければ, 自然数を最小値に割り当てればUが加算集合であることを証明することができると思うのですが、間違ってたら訂正をお願いします
No.64212 - 2020/04/08(Wed) 06:32:25
三角形の面積の期待値 NEW / 確率統計
三角形の期待値の問題です。

答えが3番の1/πになります。
僕の答えは1/2πになってしまいました。

どなたか解説お願いします!

No.64209 - 2020/04/08(Wed) 02:56:00

Re: 三角形の面積の期待値 NEW / らすかる
∠POQ=θのとき面積はsinθ/2なので
半周分積分してπで割れば
{∫[0〜π]sinθ/2 dθ}/π=1/π

No.64210 - 2020/04/08(Wed) 03:13:57
等比数列の和 NEW / 漸化式
写真の部分はなぜ答えのような式になるのでしょうか?

解説お願いいたします

No.64201 - 2020/04/07(Tue) 19:17:24

Re: 等比数列の和 NEW / 漸化式
この部分が分かりません。
No.64202 - 2020/04/07(Tue) 19:18:43

Re: 等比数列の和 NEW / ast
初項 1, 公比 r の n-項数列 1, r, …, r^(n-1) の和は (1-r^n)/(1-r) というのが等比数列の和の公式です. r の右肩の n が項数 n に一致することに注目してください.
(どうして同じ n になるのか分からなければ, 公式の導出をしている教科書の該当部分に戻って, どんな和の取り方をしたか確認してください)

翻って, 写真の和は (n-1)-項の和なんだから r の右肩は n-1 です. (何をどこまで足しているかピンとこない場合は, 和の部分をシグマではなく + を使って書いてみてください)

(どのあたりに注目して さらに -1 すべきとお考えになったか, できればより詳しく提示して頂ければ, もしかしたらさらに補足できるかもしれません)

No.64203 - 2020/04/07(Tue) 19:31:18
関連の写真2 NEW / フジ
関連の写真2枚目です。
No.64200 - 2020/04/07(Tue) 19:00:04

Re: 関連の写真2 NEW / IT
自信がないですが

その条件を満たす点Dの位置は、いろいろありますが
どういう場合でも、BCの共役弧上の点Eで、△EBCが△DBCが内部になるようなものをとるためには、

弦BC上の(B,Cを除く)任意の点Mと点Dを結んだ線分と円γの交点をEとすると
点Dの位置による場合分けなしに点Eが取れるからだと思います。

逆に言うと、BCの共役弧上に直接点Eを取ろうとすると、点Dの位置によって場合分け#が必要となるが、弦BC上の(B,Cを除く)の点MをとってEを決めると場合分けの必要がないから。
(# 線分DB、DCがそれぞれ円γとB,C以外の交点を持つか持たないか)

No.64205 - 2020/04/07(Tue) 20:56:07

Re: 関連の写真2 NEW / フジ
IT様
大変わかりやすい説明を、有り難うございました。

複数の写真を一つにまとめる方法を、また試行錯誤してみようと思います。アドバイスまでいただきまして、感謝申し上げます。

No.64207 - 2020/04/07(Tue) 22:18:29

Re: 関連の写真2 NEW / IT
> 複数の写真を一つにまとめる方法

複数の投稿でもいいですから、元の質問の「返信」として続けて投稿されると、一連の質問になります。

No.64208 - 2020/04/07(Tue) 22:29:54
関連の写真1 NEW / フジ
図形問題の関連写真1枚目
No.64199 - 2020/04/07(Tue) 18:59:15
(No Subject) NEW / フジ
通信制の大学生で、教員免許取得を目指しています。

図形の問題で、添付写真のうち、 「幾何学1 PF2030」の、点Mを持ち出さなければならない理由、を教えていただきたいです。
他の2枚の写真は、その問題に関連する内容です。

No.64198 - 2020/04/07(Tue) 18:57:53

Re: NEW / IT
2枚目の写真の方に回答しました。
3つをまとめられたほうがいいですよ。

No.64206 - 2020/04/07(Tue) 21:33:21
(No Subject) NEW / ヒカリ
現在、数学Aの確率の計算を勉強しております。
範囲は、高校1年〜2年?だと思います。

そこで次のような問題が出ました。

10円の硬貨1枚と50円の硬貨1枚を同時に投げるとき、次の確率を求めなさい。
(1)2枚とも裏が出る確率
(2)表と裏が1枚ずつ出る確率

(1)は10円の硬貨が裏になる確率が1/2
50円の硬貨が裏になる確率も1/2なので
1/2×1/2で答えは1/4というのはわかります。

(2)も裏表もパターンを表にすれば、答えは1/2である事はわかりますし、直感的にも1/2である事はわかります。
しかし、どのような考えで、計算式を導き出せばいいのかがわからず困っています。

回答の方お待ちしております。

No.64191 - 2020/04/07(Tue) 18:27:20

確率の計算式 NEW / ヒカリ
すいません件名を入れ忘れました。
以下誤字です。

誤:(2)も裏表もパターンを表にすれば、
正:(2)もパターンを表にすれば

No.64193 - 2020/04/07(Tue) 18:32:48

Re: NEW / ヨッシー
式で書くなら
 2×1/2×1/2=1/2
です。
最初の2は、表と裏が1枚ずつ出る場合の数です。

両方表の場合の場合の数は1、両方裏も1です。よって、いずれも
 1×1/2×1/2=1/4
と考えれば、同じ基準で考えることが出来ます。

No.64195 - 2020/04/07(Tue) 18:38:45

Re: NEW / ヒカリ
回答ありがとうございます!
なるほど、とても納得しました。
また機会がありましたら、回答よろしくお願いいたします。

No.64197 - 2020/04/07(Tue) 18:55:04
(No Subject) NEW / あ
続きです。
No.64177 - 2020/04/07(Tue) 15:56:54

Re: NEW / ヨッシー
左上
1つ目の□ 因数分解(分配法則の逆)です。
2つ目の□ cos(2x) 倍角の公式そのままです。

右上
1つ目と2つ目の□ 和積の公式の和を積に直す方の式を使います。
3つ目と4つ目の□ 約分です。
5つ目の□  sinθ/cosθ=・・・ の公式です。

左中
1つ目の□     tan の加法定理そのままです。
2つ目と3つ目の□ 倍角の公式を使ってと書いてありますね。

右中 回答済み

下の方の3題 全部和積の公式そのままです。

No.64187 - 2020/04/07(Tue) 17:35:37

Re: NEW / a
ありがとうございます。
解説毎回わかりやすいです。

返信できなくてすみませんでした。

No.64188 - 2020/04/07(Tue) 17:38:54
球面上の円の重なっている部分の面積 NEW / あ
下記教えていただきたいです。
半径Rの球面上に半径r1、半径r2の円があり、球の中心からそれぞれの円の中心に線を下ろしたときの角度をθとするとき、それぞれの円の重なっている部分の(球面上の)面積S。
※それぞれの円は2点で交わっているとする。

No.64176 - 2020/04/07(Tue) 15:40:50
(No Subject) NEW / a
大学の問題
No.64174 - 2020/04/07(Tue) 15:18:37

Re: NEW / ヨッシー
1つ目の□
 tan の加法定理そのままです。ただし逆数。
2つ目の□
 分母を cot(x)cot(y) にして通分したいみたいなので、
 □の中も、それに合わせるにはどうしたら良いかを考えます。

No.64179 - 2020/04/07(Tue) 16:30:56

Re: NEW / a
> 大学の問題

ありがとうございます。
毎回返信できてなくてすみませんでした。

No.64184 - 2020/04/07(Tue) 17:23:45
(No Subject) NEW / あ
前のやつが重複していました。
No.64173 - 2020/04/07(Tue) 15:13:37

Re: NEW / ヨッシー
tan の加法定理そのままです。
No.64178 - 2020/04/07(Tue) 16:04:02

Re: NEW / a
ありがとうございました。
毎回解説ありがとうございます。
とてもわかりやすいです。
返信できなくてすみませんでした。
自分の注意ミスだったので、これから気をつけます。

No.64185 - 2020/04/07(Tue) 17:24:55
(No Subject) NEW / れ
大学の問題です。
この答えになる途中式がわかりません。

No.64171 - 2020/04/07(Tue) 14:58:14

Re: NEW / ヨッシー
1)
分子分母に (1+cosα) を掛けて、
 (与式)=(1−cos^2α)/sinα(1−cosα)
    =sin^2α/sinα(1−cosα)=sinα/(1−cosα)
2)
分子分母に sinxcosx を掛けて、
 (分母)=sinxcosx(1/cosx+1/sinx)=sinx+cosx
よって、
 (与式)=sinxcosx(sinx+cosx)/(sinx+cosx)=sinxcosx
3)
分子分母に cosθ を掛けて、
 (与式)=cos^2θ/cosθ(1−sinθ)=(1−sin^2θ)/(cosθ−sinθcosθ)
分子分母をsinθで割って
 (与式)=(1/sinθ−sinθ)/(cosθ/sinθ−cosθ)=(sinθ−cscθ)/(cosθ−cotθ)
4)
 (分母)=(tanθ−cotθ)(tanθ+cotθ)
より
 (与式)=1/(tanθ+cosθ)=1/(sinθ/cosθ+cosθ/sinθ)
    =1/{(sin^2θ+cos^2θ)/sinθcosθ}=sinθcosθ
5)
分子分母 (1−sinx) を掛けて
 (与式)=(1−sinx)^2/(1−sin^2x)=(1−sinx)^2/cos^2x
    ={(1−sinx)/cosx}^2
    ={1/cosx−sinx/cosx}^2
    =(secx−tanx)^2

No.64175 - 2020/04/07(Tue) 15:29:42

Re: NEW / a
回答ありがとうございます。
返信できなくてすみませんでした。

No.64183 - 2020/04/07(Tue) 17:15:59
絶対値 NEW / ゆ
数1の範囲で質問です。
「|A|=|B|」<=>「A=±B」という同値変形について
AとBがxを変数にもつ変数だとすると、絶対値を外す時、「Aが正かつBが正」または「Aが負かつBが負」を満たすようなxの範囲においてA=B(A=−Bの時も同様)というようにxの範囲も一緒に考えると僕は思ったのですが上の同値変形ではどうしてxの範囲を考えないで良いのですか?
A=BまたはA=−Bという等式だけでは上記のようなxの範囲を満たさないようなxが出てくる可能性は無いのでしょうか
伝わりにくかったらごめんなさい。教えていただけると幸いです
例)自分のやり方
|2x+2|=|3x-3|を満たすxを求めよ
x<ー1または1<xの時2x +2=3x−3よって
x=5、これは範囲を満たす
−1≦x≦1の時2x +2=−(3x−3) よってx=1/5これは範囲を満たす
よってx=5または1/5
模範解答では2x +2=±(3x−3)を解くだけです

No.64170 - 2020/04/07(Tue) 12:44:10

Re: 絶対値 NEW / ヨッシー
なかなか悩ましいですが、
>上記のようなxの範囲を満たさないようなxが出てくる可能性は無いのでしょうか
可能性はありません。

例えば、|2x+2|=|3x-3| の場合、
x<−1 または 1<x というのは、
 2x+2>0 かつ 3x-3>0 または
 2x+2<0 かつ 3x-3<0
となるxの範囲ですね?でもって、
 2x+2=3x-3
とおいて解いたのに、x<−1 または 1<x に当てはまらない
すなわち −1<x<1 だとすると、(等号は別途考えるとしてここでは省略します)
 2x+2>0 かつ 3x-3<0 または
 2x+2<0 かつ 3x-3>0
であることを意味します。つまり 2x+2 と 3x-3 は異符号なのですが、
異符号なのに 2x+2=3x-3 となることはありえないので、
上記のようなことは起こらないのです。

その代わり異符号のときは、
 2x+2=−(3x-3)
として、符号を揃えて=で結ぶのですね。

結果として、
>2x +2=±(3x−3)を解くだけ
で良いのです。

No.64181 - 2020/04/07(Tue) 17:10:41

Re: 絶対値 NEW / ゆ
回答していただきありがとうございます!
とても納得できました 

No.64189 - 2020/04/07(Tue) 17:49:48
(No Subject) NEW / フジ
初めて投稿致します。

lim(x→∞):(e^x-1-x)/x^2

どなたか、上の極限の解き方を教えていただけないでしょうか。宜しくお願い致します。

No.64169 - 2020/04/07(Tue) 12:37:56

Re: NEW / ヨッシー
x→0 ではなく x→∞ で正しいですか?

また、対象学年は?

No.64190 - 2020/04/07(Tue) 17:56:53

Re: NEW / フジ
大変失礼いたしました。
x→0です。

通信制の大学生です。
教員免許取得を目指しています。

No.64192 - 2020/04/07(Tue) 18:28:30

Re: NEW / ヨッシー
e^x のマクローリン展開
 e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+・・・
を使うと、
 (与式)=lim[x→0](1/2!+x/3!+x^2/4!+・・・)=1/2
となります。

No.64194 - 2020/04/07(Tue) 18:34:49

Re: NEW / フジ
ありがとうございました。

マクローリン展開の利用ですね。

大変参考になりました。

No.64196 - 2020/04/07(Tue) 18:45:26
漸化式と極限 / 修業中
漸化式と極限の問題です。
数列anが
a1=1/4 2an-an+1-3anan+1=0 (n=1,2,3・・・)を満たしている。この数列の一般項は、an「 」で与えられる。

答えは1/{(1/2)}n-1+3です。
回答の解き方では、両辺をanan+1(≠0)で割る方法が書いてあり、理解できるのですが、別の問題ではan+1=Pan+Q の形で解いています。この問題でもan+1=Pan+Q の形に変形して解くことは可能でしょうか。やってみたのですが上手くいきませんでした・・・。個人的興味で申し訳ありませんが、教えてくださると幸いです。

No.64165 - 2020/04/06(Mon) 23:34:00

Re: 漸化式と極限 / らすかる
「an+1=Pan+Q の形」にはならないので、不可能です。
No.64166 - 2020/04/07(Tue) 00:22:54
円の半径 / たろう
PとQの半径が求まりません。
半円Oの半径は2です。
方針等ご教授いただけると助かります。

No.64163 - 2020/04/06(Mon) 19:06:00

Re: 円の半径 / らすかる
Pから半円の直径に垂線PHを下します。
円O'の半径は1なので、円Pの半径をrとすると
O'P=1+r、OP=2-r、PH=rです。
OH=√(OP^2-PH^2)=2√(1-r)
O'H=OO'+OH=1+2√(1-r)
これをO'H^2+PH^2=O'P^2に代入すると
{1+2√(1-r)}^2+r^2=(1+r)^2
これを解いてr=8/9

Qから半円の直径に垂線QIを下します。
円Qの半径をsとすると
O'Q=1+s, OQ=2-s, PQ=8/9+sとなります。
OI^2+QI^2=OQ^2 と
O'I^2+QI^2=O'Q^2 から
OI^2-O'I^2=OQ^2-O'Q^2=(2-s)^2-(1+s)^2=3-6s
OI+O'I=OO'=1とOI^2-O'I^2=(OI+O'I)(OI-O'I)から
OI-O'I=3-6s
従ってOI=2-3s,O'I=-1+3sとわかり、
QI=√(OQ^2-OI^2)=√((2-s)^2-(2-3s)^2)=2√{2s(1-s)}
もわかります。
PからQIに垂線PJを下すと
QJ=QI-IJ=QI-PH=2√{2s(1-s)}-8/9
PJ=HI=OH+OI=8/3-3s
これらを
QJ^2+PJ^2=PQ^2に代入すると
{2√{2s(1-s)}-8/9}^2+(8/3-3s)^2=(8/9+s)^2
これを解いてs=8/17

従って円Pの半径は8/9、円Qの半径は8/17となります。

No.64164 - 2020/04/06(Mon) 19:06:21
数T青チャート 練習106 (2) / 岩波太郎
問題:以下の不等式を解け。ただし、aは定数とする。
(2)ax^2>x

解答:
a>0のときx<0,1/a<x
a=0のときx<0
1/a<x<0

とあります。
導出過程で、x(ax-1)>0と因数分解するまでは分かるのですが、そこからx=0,x=1/aを基準にして、0<1/a,1/a=0,1/a<0と場合分けするのではなく、aの正、0、負で場合分けする理由が分かりません。

前者(1/aを基準にする)で場合分けすると、1/a=0の時も考えないといけなく、少し違和感はあったのですが、それでもaの正、0、負での場合分けする理由が分かりません。

何故このやり方を使うのか、分かる方がいましたら回答宜しくお願いします。

No.64158 - 2020/04/06(Mon) 06:55:03

Re: 数T青チャート 練習106 (2) / ヨッシー
a≠0 においては、0<a と 0<1/a 、0>a と 0>1/a はそれぞれ同値です。
同値というからにはどちらを用いても良いわけですが、
 a=0 のとき ・・・
 a≠0 かつ 0<1/a のとき ・・・
 a≠0 かつ 0>1/a のとき ・・・
と書くより、
 a=0 のとき ・・・
 a>0 のとき ・・・
 a<0 のとき ・・・
と書いたほうが明快なので、そのようにしています。

0<1/a と書いただけで、a≠0 を前提としているのはわかりますが、読み手にそういう気を使わせるより
0<a と書いたほうが良いです。

また、a<0、a>0 で分けることは、0と1/a の大小関係だけでなく、
答えが、 x<a または b<x のパターンか、
a<x<b のパターンかを分ける境界となりますので、
その意味合いの方が強いと思います。

No.64159 - 2020/04/06(Mon) 09:08:39

Re: 数T青チャート 練習106 (2) / 岩波太郎
>>a≠0 においては、0<a と 0<1/a 、0>a と 0>1/a はそれぞれ同値です。
これは気づきませんでした。
確かに計算したら同じ不等式になります。

丁寧な回答ありがとうございました。
おかげで助かりました。

No.64167 - 2020/04/07(Tue) 00:29:03
(No Subject) / 日和
次に示す6個の自然数のデーターがある
4,7,3,9,5,4
このデーターに1≦a≦b≦19を満たす2つの奇数a,bを追加したところ以下のような変化が見られた
@平均値が0.5だけ大きくなった
A四分位範囲が1.5だけ大きくなった

模範回答よろしくお願いします
という問題を4/4に質問したものですが

4,7,3,9,5,4→4,7,3,9,5,14の間違いでした
模範回答よろしくお願いします

No.64157 - 2020/04/06(Mon) 00:58:09

Re: / ヨッシー
追加した2数a,bを求めよ。
という問題だとします。

追加前の
 合計:42 データ数:6 平均:7
これが、追加後には
 データ数:8 平均:7.5
になるので、合計は 7.5×8=60 であり、
 a+b=60−42=18
となり、a, b は、
 (a,b)=(1,17),(3,15),(5,13),(7,11),(9,9) ・・・(i)
のいずれかとなります。

追加前(3,4,5,7,9,14)の四分位範囲は
第3四分位数が9,第1四分位数が4なので、
 9−4=5
これが 6.5 になる場合を (i) から選びます。
 1,3,4,5,7,9,14,17 : 11.5−3.5=8
 3,3,4,5,7,9,14,15 : 11.5−3.5=8
 3,4,5,5,7,9,13,14 : 11−4.5=6.5
 3,4,5,7,7,9,11,14 : 10−4.5=5.5
 3,4,5,7,9,9,9,14  : 9−4.5=4.5
以上より、加えた2数は、 a=5,b=13

No.64160 - 2020/04/06(Mon) 09:36:17
(No Subject) / りか
すみません。この問題の解き方を教えて頂けないでしょうか。


6×[3]√32×[3]√-2


答えが-24になるのですが
[3]√-2をどのように扱えばよいのでしょうか?

No.64153 - 2020/04/05(Sun) 17:55:32

Re: / ヨッシー
そのまま
 [3]√{32×(-2)}=[3]√(-64)
で良いです。
3乗して -64 になる数は? であれば、考えやすいですよね?

No.64154 - 2020/04/05(Sun) 17:59:38
陰関数の微分 / め
f(x y)=0のとき、yはxの陰的?関数となると思うのですが、例えば
x²+5xy²+8y=0となるとき、両辺をxで微分するなら、2x+5y²+10xyy’+8y’=0となり、yの部分の微分は、いわゆる偏微分の様にはならず、合成関数の微分の様になると思っていて、xとyが独立?にそれぞれ動けるわけでもない限り、yをxで偏微分する事はできずに合成関数の微分をしないといけないという認識でいるのですが、、以下のサイトで、四角くかこった部分の2行目から3、4行目に移る部分で、先頭の項の3xyをxで偏微分している所で、yをただの定数扱いしている気がするのですが、これはどういうことなのでしょうか…?

No.64146 - 2020/04/05(Sun) 13:54:28

Re: 陰関数の微分 / m
偏微分と微分は違います。

他の変数を定数と思ってxで微分することを「xで偏微分する」といいます。

No.64147 - 2020/04/05(Sun) 14:48:39

Re: 陰関数の微分 / め
ありがとうございます。例えばxの関数である、文字yも、xで微分するならば定数扱いされるということですか?
No.64149 - 2020/04/05(Sun) 14:59:18

Re: 陰関数の微分 / m
いいえ。その場合はyはy'になります。


口頭で説明する場合はもっとややこしいです。
例えば、f(x, y) = x^2 + y^2について、
「f(x, y)をxで微分する。」といえば、xで偏微分する(つまりyは定数扱い)ことを言い、
「f(x, y)=1を両辺xで微分する。」といえば、yをxの関数と思ってxで微分することを言います。
2つ目は暗に、yがxの関数で表せることを使っています。

どちらも間違いとまでは言わないけど不適切で、正式(文字で書くとき)には
「f(x, y)をxで偏微分する。」
「f(x, y)=1をyをxの関数とみて両辺xで微分する。」
のように書きます。

No.64150 - 2020/04/05(Sun) 15:34:51

Re: 陰関数の微分 / め
ありがとうございます。つまり、変数xとyが、互いに完全に独立しあっている場合でない限り(つまり、yが一つ決まればxも1つ以上決まるなどという関係性の時)、偏微分は不可能ということですね?
No.64151 - 2020/04/05(Sun) 15:40:19

Re: 陰関数の微分 / m
それは微妙です。
「xの関数をxで「偏微分する」」を許す派と許さない派があるので。
偏微分は多変数関数に対して定義されるもので、
許さない派は、多変数といったら2変数以上
許す派は、多変数は1変数以上
の違いです。

// 16:49
// 後半部分は勘違いしてたので消しました。

No.64152 - 2020/04/05(Sun) 16:45:51

Re: 陰関数の微分 / め
ありがとうございました!
No.64155 - 2020/04/05(Sun) 18:10:00
以下のフォームに記事No.と投稿時のパスワードを入力すれば
投稿後に記事の編集や削除が行えます。
300/300件 [ ページ : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 >> | 過去ログ | 画像リスト ]