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ヨッシーの八方掲示板(算数・数学 質問掲示板)

since 2008/03/25

旧数学掲示板のログ

使用上の注意はこちらにあります
海外からはこちらが便利

質問される方は学年(質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。


過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

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(No Subject) NEW / たいむ
画像1枚目の(2)の

直線gの方程式は、
y=a1
z=a2

と書いてあるのですが、
なぜ

x=a1+ltの式は無視されるのですか?

2枚目の画像に解説があるのですが、よく理解できません。

教えてくださいませ。

No.53080 - 2018/08/19(Sun) 02:00:22

Re: NEW / たいむ
2枚目はこちらです。

あらゆる実数値をとるのから考慮しない?
どゆことだ?
直線求めるんだからxの値は必要なのではと。。

No.53081 - 2018/08/19(Sun) 02:02:10

Re: NEW / X
例えば二次元平面で点(0,2)を通るx軸平行の
直線の方程式は
y=2
となりますが、xについての方程式は見かけ上
出てきませんね。
(xは任意の実数と書くべきところですが、
普通は省略されます。)
それと同じことです。

No.53082 - 2018/08/19(Sun) 06:08:08
(No Subject) NEW / ゆか
F(x)=3x^2-ax^3の区間0≦x≦2における最小値が-4となるaの値を出す問題で

aが負の時
aが1以上のとき
aが0<a≦1のとき

を調べていたのですが、最後の0<a≦1これはなんでしょうか?私は正か負かでのみ場合分けをしたのですが、、

No.53077 - 2018/08/19(Sun) 00:12:24

Re: NEW / IT
F'(x)=6x-3ax^2=3x(2-ax) ですね。
0<a<1かa≧1かで、 2-ax=0 になるx=2/aが区間0≦x≦2 に入るかどうかが違ってきますが、
a>0のときは x=2/aで F(x) は極大なので関係ないですね。


問題がそれだけなら、その場合分けは不要だと思います。

No.53079 - 2018/08/19(Sun) 00:38:31
中3 相似 NEW / わちゃ
1の(2)の解説がなく、解き方が分かりません。
答えは12/175倍です。
相似が苦手なので、詳しく教えてください。

No.53072 - 2018/08/18(Sat) 23:06:58

Re: 中3 相似 NEW / らすかる
△ABC:△ADC=AB:AD
△ADC:△EDC=AC:EC
△EDC:△DEF=DC:DF
なので
△DEF=(DF/DC)△EDC=(DF/DC)(EC/AC)△ADC=(DF/DC)(EC/AC)(AD/AB)△ABC
とわかりますね。

No.53074 - 2018/08/18(Sat) 23:52:10
ベクトルの問題 NEW / マジュン
この写真で、125(1)の解説の意味がわからなく、もう少し詳しく教えてください!
No.53071 - 2018/08/18(Sat) 22:53:41

Re: ベクトルの問題 NEW / X
この解答でのポイントは
(1)の解答の6行目、つまり
↑OM=(↑OA[1]+↑OA[3])/2
となることを使って、↑OA[3]
(つまり↑a[3])についての
方程式を立てるということです。

そのために別の表し方で↑OM
を求めているのが(1)の解答の
1〜5行目に当たります。

No.53075 - 2018/08/19(Sun) 00:03:40
(No Subject) NEW / くるみ
Y=x^4-4(a-1)x^3+2(a^2-1)x^2
が極大値を持つような実数aの範囲を求める問題で、
Y'=4x{x^2-3(a-1)x+(a^2-1)}と変形して
{}のなかが0でない2つの解になるように解いたのですが、答えにa<-1 13/5<a -1<a<1
とかいてあって{}の中は0以外の解をもつのでa^2-1が0になってはいけないからaはノット±1だと思うのですが、なぜ-1<a<1になるのでしょうか、、

No.53069 - 2018/08/18(Sat) 20:26:16

Re: NEW / IT
> aはノット±1だと思うのですが、なぜ-1<a<1になるのでょうか
質問の趣旨が分かりにくいと思います。
くるみさんの 答えはどうなりましたか?

No.53070 - 2018/08/18(Sat) 21:17:03

Re: NEW / くるみ
Y=x^4-4(a-1)x^3+2(a^2-1)x^2
が極大値を持つような実数aの範囲を求める問題で、
極大値をもつには微分した式が(+)から(-)に変化しなくてはならないが導関数のx^3が正であるために導関数のグラフは負から始まっているので導関数は3つの異なる解を持たなくてはならなくて0はひとつ確定しているのであと、2つの異なる解を探そうと思い{}を判別式を使い計算したところa<-1 13/5<a
が、出ました。
そして{}の中に0をもつ解が存在してはいけないので0を代入した結果aは±1をとってはいけない。ですがa<-1 13/5<a には±1は含まれていないために答えをa<-1 13/5<a と書いたのですが、解答には
a<-1  13/5<a   -1<a<1とかかれており-1<a<1の意味がわかりません。

No.53076 - 2018/08/19(Sun) 00:06:27

Re: NEW / IT
> 0はひとつ確定しているのであと、2つの異なる解を探そうと思い{}を判別式を使い計算したところa<-1 13/5<a
が、出ました。

判別式の計算間違いでは?


例えば a=0のとき
 x^2-3(a-1)x+(a^2-1)=x^2+3x-1 でx^2+3x-1=0の判別式>0です。

x^2-3(a-1)x+(a^2-1)=0の判別式 9(a-1)^2-4(a^2-1)=5a^2-18a+13=(a-1)(5a-13)
この判別式が正なのは a<1,a>13/5 のとき だと思います。 

No.53078 - 2018/08/19(Sun) 00:23:53
(No Subject) NEW / くるみ
{ax^5+bx^4+cx+4-(5a+4b+c)(x-1)-
(a+b+c+4)}/(x-1)^2を簡単にする方法を教えてください

No.53065 - 2018/08/18(Sat) 19:22:53

Re: NEW / らすかる
一例ですが
{ax^5+bx^4+cx+4-(5a+4b+c)(x-1)-(a+b+c+4)}/(x-1)^2
={a(x^5-1)+b(x^4-1)+c(x-1)-(5a+4b+c)(x-1)}/(x-1)^2
={a(x^4+x^3+x^2+x+1)+b(x^3+x^2+x+1)+c-(5a+4b+c)}/(x-1)
={a(x^4-1)+a(x^3-1)+a(x^2-1)+a(x-1)+b(x^3-1)+b(x^2-1)+b(x-1)}/(x-1)
=a(x^3+x^2+x+1)+a(x^2+x+1)+a(x+1)+a+b(x^2+x+1)+b(x+1)+b
=ax^3+(2a+b)x^2+(3a+2b)x+(4a+3b)

No.53068 - 2018/08/18(Sat) 19:46:33
(No Subject) NEW / ピクミン
この回答のn=3k+2の部分を3k-1にして、n=2を書かないのは間違いですか?
No.53061 - 2018/08/18(Sat) 18:18:12

Re: NEW / ピクミン
問題です
No.53062 - 2018/08/18(Sat) 18:18:53

Re: NEW / らすかる
(iii)の証明はそのままn=2の場合に使えませんので、
単純にn=3k+2をn=3k-1にするだけならば間違いです。

No.53063 - 2018/08/18(Sat) 18:30:34

Re: NEW / ピクミン
n=3k-1をn^7+7に代入して、3でくくれるから素数じゃないみたいな感じでやったんですけど・・・
No.53064 - 2018/08/18(Sat) 19:21:14

Re: NEW / らすかる
n=2の場合も問題がないように(iii)の証明を変えたのなら、問題ありません。
証明を変えるなら、3k+1も3k-2とすればn=1の場合も分けずに済ませることが出来ます。

No.53067 - 2018/08/18(Sat) 19:39:28

Re: NEW / ピクミン
なるほどー、ありがとうございます!
No.53083 - 2018/08/19(Sun) 06:32:50
分数を代入 NEW / もりん
中学二年生の問題です。答えが、6なんですが、何回やっても途中の解き方が分かりません。教えてください❗
No.53059 - 2018/08/18(Sat) 17:58:22

Re: 分数を代入 NEW / IT
出来たところまでUPしてみてください。
a=-1/3,b=6 を代入するところまではできますよね?

ab はいくらになりますか?

No.53060 - 2018/08/18(Sat) 18:05:06

Re: 分数を代入 NEW / もりん
> 出来たところまでUPしてみてください。
> a=-1/3,b=6 を代入するところまではできますよね?
>
> ab はいくらになりますか?


順番に代入して、計算したら6になりました❗
分数を間違えたりしていました。
ありがとうございます。

No.53066 - 2018/08/18(Sat) 19:37:18
三平方の定理と立体 NEW / 中学数学苦手
答え5cm  √17cm 2つの問題どちらも解けませんでした。 詳しい解説よろしくお願いします。
No.53055 - 2018/08/18(Sat) 12:27:05

Re: 三平方の定理と立体 NEW / X
二問目)
△AFGを抜き出して考えましょう。
ポイントは点Fから辺AGに垂線を下ろすことです。

条件から△AEFにおいて三平方の定理により
AF=5√2[cm]
又△AFGは∠AFG=90°の直角三角形ですので
やはり三平方の定理により
AG=√(AF^2+FG^2)=5√3[cm]
さて、点Fから辺AGに下ろした垂線の足をH
とすると
△AFG∽△AFH
となるので相似比により
AG:AF=FG:FH
AG:AF=AF:AH
よって
5√3:5√2=5:FH
5√3:5√2=5√2:AH
これより
FH=(5/3)√6[cm]
AH=(10/3)√3[cm]
一方、AP:PG=3:2により
AP=(3/5)AG=3√3[cm]
よって
PH=AH-AP=(1/3)√3[cm]
以上から△FPHにおいて三平方の定理により
PF=√(PH^2+FH^2)
=√(1/3+50/3)[cm]
=√17[cm]
となります。

No.53057 - 2018/08/18(Sat) 15:50:25

Re: 三平方の定理と立体 NEW / らすかる
1問目
2円の中心を通り円柱の底面に垂直な平面で切って考えると、
24cm×27cmの長方形に2円を入れる問題になります。
小さい円の半径をrとすれば大きい円の半径は2rなので
円の中心を結ぶ斜めの線を直角三角形の斜辺として
三平方の定理を使うと (24-3r)^2+(27-3r)^2=(3r)^2
r<12に注意してこれを解くとr=5となります。

No.53058 - 2018/08/18(Sat) 16:21:00
中学受験 NEW / しゅう👦🏻
🔲のところの問題で、答えは240って書いてあるんですが、264にしかなりません。どこが間違っていますか?よろしくお願いいたします!
No.53049 - 2018/08/18(Sat) 10:46:03

Re: 中学受験 NEW / _
その例で言うとアキスとアテスは二等辺三角形になるので数えちゃダメですね。
No.53051 - 2018/08/18(Sat) 11:31:01

Re: 中学受験 NEW / しゅう👦🏻
/_先生
二等辺三角形と正三角形をどう見分ければいいんでしょうか?

No.53052 - 2018/08/18(Sat) 11:36:10

Re: 中学受験 NEW / しゅう👦🏻
22ー2=20だから,20×(24÷2)をすればいいんですね!
No.53053 - 2018/08/18(Sat) 11:40:03

Re: 中学受験 NEW / しゅう👦🏻
よくよく考えたら真ん中にあるから二等辺三角形ですね。よくわかりました。ありがとうございます!
No.53054 - 2018/08/18(Sat) 11:44:37
質問 / 1
ルート2が無理数であることの証明で、連分数を使った証明を教えてください。よろしくお願いします。
No.53044 - 2018/08/18(Sat) 04:53:28

Re: 質問 / らすかる
1<√2<2
1/(√2-1)=√2+1
2<√2+1<3
1/(√2+1-2)=√2+1
以降同じ計算の繰り返しになるので
連分数は1;2,2,2,…と無限に続く。
有理数は有限連分数になるので、√2は無理数。

No.53045 - 2018/08/18(Sat) 05:11:57

Re: 質問 / 1
二行目の部分がなぜそうなるのかわかりません。説明お願いします。すいません。
No.53046 - 2018/08/18(Sat) 05:31:09

Re: 質問 NEW / 1
すいません。よく考えたら当たり前でした。深夜で頭まわってなかったです。ありがとうございました。
No.53047 - 2018/08/18(Sat) 07:36:33
(No Subject) / くるみ
a b 実数
f(x)=x^4+ax^2-2(a+2)x+b
がただ1つの極地をもち、かつ正であるためのa bの関係を求める問題です。

f'(x)=2(x-1)(2x^+2x+a+2)
2x^+2x+a+2をg(x)とおきます。
解答ではg(x)の符号が変化しないときとg(1)=0の二つの場合わけをしていたのですが、g(1)=0は、どういう場合わけなのでしょうか?

No.53043 - 2018/08/18(Sat) 03:03:59

Re: NEW / X
g(1)=0のとき、因数定理によりg(x)は
x-1を因数に持つので、pを定数として
g(x)=(x-1)(2x+p)
と置くことができます。
このとき
f'(x)=2{(x-1)^2}(2x+p)
つまり、この場合分けはf'(x)の符号が
x=1の前後で変化しないときの場合分けです。

No.53048 - 2018/08/18(Sat) 08:20:58

Re: NEW / くるみ
これは、考え方としてx-1で符号変化させないようにしよう→にじょうにさせよう→g(x)に1を解とするものをもたせればいい

ということでいいですか?

No.53056 - 2018/08/18(Sat) 14:03:40
(No Subject) / 黄桃
ITさん:
それだと xyも整数と最初から仮定していませんか?


x,y を求めようとすると大変なので、なんとか具体的に求めないですまそうと考えます。
すると、x,yを2根とする2次方程式、つまり、x+y, xyを上手く使おうという発想になると思います。

(1)
[方針]
問題の書き方からして、x,yを具体的に求める方針は難しそうです。
x^n+y^n は対称式だから、x+y, xyが決まれば決まります。
今x+yに関する問で、x^2+y^2が既知なのでなんとかxyを消去しようと考えます。

[解]
2xy=(x+y)^2-(x^2+y^2)=(x+y)^2-a[2]=(x+y)^2+4, すなわち、
2xy=(x+y)^2+4 ...(*)
である。特に 2xyは整数である。

一方、x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2) であり、両辺に2を掛けると(ITさんのx^3+y^3=(x^2+y^2)(x+y)-xy(x+y)の方が簡単ですね)、
2(x^3+y^3)=(x+y)(2(x^2+y^2)-2xy)
となる。右辺に(*)および、a[2]=-4を代入すると、
2(x^3+y^3)=(x+y)(-8-((x+y)^2+4))=-(x+y)^3-12(x+y)
となる。左辺は 2*(3k+1), つまり、6k+2 の形だから、両辺をmod 6で考えれば
2≡-(x+y)^3 mod 6
つまり、
a[1]^3≡4 mod 6
である。mod 6 において、0^3=0, 1^3=1, 2^3=8≡2, 3^3=27≡3, 4^3≡(-2)^3≡-2≡4, 5^3≡(-1)^3=-1 なので、a[1]≡4 mod 6 である。

(2)
[方針]
前半:x,yが満たす2次方程式を上手に利用することを考える
後半:答が分かっているので数学的帰納法を使うことを考える。

[解]
a[1]=-2 より、x+y=-2。また(*)より、2xy=8, xy=4 である。
したがって、x,y は tに関する2次方程式
t^2+2t+4=0
の2つの根である。特に、
x^2+2x+4=0
y^2+2y+4=0 ...(**)
を満たす。

(**)の両辺にそれぞれ x^n, y^n を掛けると、
x^(n+2)+2x^(n+1)+4x^n=0
y^(n+2)+2y^(n+1)+4y^n=0
だから、辺々加えると
a[n+2]+2a[n+1]+4a[n]=0 ...(***)
を得る。これが求める関係式である。

(***)より、
a[n+3]=-2a[n+2]-4a[n+1]
=-2(-2a[n+1]-4a[n])-4a[n+1]
=8a[n]
=2^3*a[n]
となる。

後は、n=1,2,3 について確認し、数学的帰納法で一般のnについて示すのは容易なので略します。

No.53035 - 2018/08/17(Fri) 13:27:36

Re: / IT
> ITさん:
> それだと xyも整数と最初から仮定していませんか?

xyが整数は仮定してないですし もちろん使ってないつもりです。元の説明を少し詳しくしました。

a[3]=-a[1]((a[1]^2)/2 + 6) で
a[1],a[3]は整数なのでa[1]は偶数・・・

No.53038 - 2018/08/17(Fri) 20:41:08
数列と漸化式 / HC
定数x,yに対して,an=x^n+y^nで定義される数列{an}(n=1,2,…)がある.a1,a2,a3は整数で
(i)a2=-4 (ii)a3は3で割って1余る をみたすとき,次の各問いに答えよ.
(1)a1は6で割って4余る整数であることを示せ.
(2)a1=-2のとき,a(n+2),a(n+1),anのみたす関係式を求めよ.また,このとき
an=2^(n+1)(nが3の倍数のとき)またはan=-2^n(nが3の倍数でないとき)と表されることを示せ.

(1)はa3=3k+1と置いたりmodを使ったりしたのですがx,yの関係式が導かれず解けません.
(2)の3項間漸化式を求める部分は解けたのですがそれを解くと虚数単位iを含む一般項が求まってしまい,問題にある形と合いません.

No.53030 - 2018/08/17(Fri) 10:38:31

Re: 数列と漸化式 / IT
(1) a[3]=x^3+y^3=(x^2+y^2)(x+y)-xy(x+y)
=-4a[1]-((a[1]^2)/2 + 2)a[1]
=-a[1]((a[1]^2)/2 + 6)≡1 (mod3) …@

a[1],a[3]は整数なのでa[1] は偶数であることが分かり、a[1]≡0,2,4 (mod6) である。
a[1]≡0(mod6)のとき@の左辺≡0(mod6)
a[1]≡2(mod6)のとき@の左辺≡2(mod6)
a[1]≡4(mod6)のとき@の左辺≡4(mod6)

➀よりa[1]≡4(mod6)

No.53033 - 2018/08/17(Fri) 12:53:27

Re: 数列と漸化式 / X
(2)
前半の結果より
a[n+2]+2a[n+1]+4a[n]=0
∴a[n]=(-1+i√3)^n+(-1-i√3)^n
∴kを整数として
(i)n=3kのとき
a[n]=(-1+i√3)^(3k)+(-1-i√3)^(3k)
={(-1+i√3)^3}^k+{(-1-i√3)^3}^k
=8^k+8^k=2・2^(3k)
=2^(n+1)
注)
-1+i√3,-1-i√3はtの二次方程式
t^2+2t+4=0
の解ですが、この方程式の両辺にt-2をかけると
t^3-2^3=0
∴t^3=8

後は(i)と同じように
(ii)n=3k+1のとき
(iii)n=3k+2のとき
のa[n]を計算していきます。
例えば(ii)の場合だと
a[n]=(-1+i√3)^(3k+1)+(-1-i√3)^(3k+1)
=(-1+i√3)(-1+i√3)^(3k)+(-1-i√3)(-1-i√3)^(3k)
=…
と計算していきます。

No.53034 - 2018/08/17(Fri) 13:17:06

Re: 数列と漸化式 / IT
(2) 別解 a[1]=x+y=-2,a[2]=x^2+y^2=-4
(x+y)^2-(x^2+y^2)=2xy=8 ∴xy=4

x^(n+2)+y^(n+2)=(x+y)(x^(n+1)+y^(n+1))-xy(x^n+y^n)
=-2(x^(n+1)+y^(n+1))-4(x^n+y^n)
∴a[n+2]=-2a[n+1]-4a[n]

[任意の自然数nについて, a[n]=2^(n+1)(nが3の倍数のとき),a[n]=-2^n(nが3の倍数でないとき]を(数学的帰納法)により示す。

a[1]=-2^1,a[2]=-2^2,a[3]=-2a[2]-4a[1]=16=2^(3+1)なのでn=1,2,3のとき成立。

0以上の整数kについて, a[3k+1]=-2^(3k+1)、a[3k+2]=-2^(3k+2)、 a[3k+3]=2^(3k+4) を仮定すると

 a[3k+4]=-2a[3k+3]-4a[3k+2]
 =-2^(3k+5)+2^(3k+4)  ←帰納法の仮定より
 =-2^(3k+4)

 a[3k+5]=-2a[3k+4]-4a[3k+3]
 =2^(3k+5)-2^(3k+6)  ←帰納法の仮定より
 =-2^(3k+5)

 a[3k+6]=-2a[3k+5]-4a[3k+4]
 =2^(3k+6)+2^(3k+6)
 =2^(3k+7)

よって,[任意の自然数nについて, a[n]=2^(n+1)(nが3の倍数のとき),a[n]=-2^n(nが3の倍数でないとき)]が成立。
-------------------------------------------------------
帰納法は 黄桃さん(53035)のa[n+3]=2^3*a[n]を使ったほうが簡明ですね。

No.53041 - 2018/08/18(Sat) 00:35:57
高校数学・積分(面積) / HC
xy平面上に0≦y≦sinx(0≦x≦π)で表される図形Dがある.いま,図形Dを直線y=k(0≦k≦1)に関して折り返し,折り返した部分と元の図形Dが重なった部分の面積をSとおくとき,Sが最大となるようなkの値を求めよ.
kと1/2の大小で場合分けをしたのですが,0≦k≦1/2の場合の折り返したグラフとx軸との交点のx座標を文字で置いたところ面積が求められませんでした.
宜しくお願いします.

No.53029 - 2018/08/17(Fri) 09:48:59

Re: 高校数学・積分(面積) / X
0≦k≦1/2のときの、折り返した部分のうち
y軸の下側にはみ出る部分の山形の高さは
(1-k)-k=1-2k (A)
又、この部分の面積をU、折り返した部分の
面積をTとすると
S=T-U

ご質問の内容を見る限り、
1/2<k≦1 (B)
のときのSの計算はできているようですので
これと同じ方針で上記のT,Uの計算を
してみましょう。

Tは(B)のときのSの計算結果そのまんまです。

又、(A)により、UはDを直線
y=1-(1-2k)
つまり
y=2k
で折り返した場合の折り返された部分の
面積になります。
ですので(B)のときのSにおいて、
kの代わりに2kを代入したものになります。

No.53032 - 2018/08/17(Fri) 12:51:17
三平方の定理と立体 / 中学数学苦手
(2)8√6 ㎠ (3)64㎤ が答えです。特に図形が苦手でよく解りません。詳しい解説よろしくお願いします。
No.53027 - 2018/08/17(Fri) 07:23:40

Re: 三平方の定理と立体 / ヨッシー
(2)
△APQにおいて、
 PQ=4√2
 AP=AQ=√(4^2+2^2)=2√5
なので、

図のように、PQの中点をMとすると、
 AM=√(20−8)=2√3
よって、
 △APQ=4√2×2√3÷2=4√6
求める断面の面積はこの2倍で 8√6 cm^2

(3)
AE上でAから2cmの点をS、
CG上でCから2cmの点をU、4cmの点をTとすると、
四面体A−PQSと四面体R−PQTは合同であり、
四面体A−PQSを切り取って、四面体R−PQTに収めると
EFGHを底面、高さ4cmの直方体が出来ます。

よって、求める体積は
 4×4×4=64(cm^2)

No.53028 - 2018/08/17(Fri) 08:16:48

Re: 三平方の定理と立体 / 中学数学苦手
すみません。(3)がよくわかりません。図にR−PQTどこの位置なのか解りません。図にアルファベットをつけてくれると助かります。
No.53037 - 2018/08/17(Fri) 18:20:45

Re: 三平方の定理と立体 / ヨッシー
記号の振り方が誤ってました。
AE上でAから2cmの点をS、
CG上でCから2cmの点をT、4cmの点をRとする
です。

No.53040 - 2018/08/17(Fri) 22:56:51

Re: 三平方の定理と立体 NEW / 中学数学苦手
何とか解りました。解説ありがとうございます。
No.53050 - 2018/08/18(Sat) 11:00:59
確率 サイコロ / クト
3つのサイコロを同時に投げた
そのときの三つのサイコロの目の積が40以下になる確率を求めよ。
最初の40を因数分解して2*4*5にしてサイコロの目が2,4,5以下になるパターンを調べてみたんですが答えがでませんでした...解説お願いします...

No.53022 - 2018/08/16(Thu) 14:34:13

Re: 確率 サイコロ / IT
地道に場合分けするのが結局確実で早いかと思います。

3つのサイコロを区別しその目をa,b,cとして考えてもいいです。
a=1,2,3,...6 に場合分けして考えるのが分かり易いのでは。
因数分解より不等式を使うですね。

b,cについては6×6の表で確認するのが確実です。

No.53023 - 2018/08/16(Thu) 14:42:56
因数分解について。その2 / jt77877
因数分解について。その2

まことにすみません。前回の因数分解の問題とちょっと
似たような問題ですが書きます。というか投稿します。
よろしくお願いします。

問題

A^5+B^5+C^5+D^5+E^5-5ABCDE=0はずばり
因数分解は可能か?それとも不可能か?
という問題です。大至急よろしくお願いします。

※前回と似たような問題ですみません。
よろしくお願いします。

No.53017 - 2018/08/16(Thu) 09:29:58

Re: 因数分解について。その2 / らすかる
B=C=1,D=E=0とするとA^5+2となり
これはアイゼンシュタインの既約判定法により既約。
よって元の式は既約である5次の因数を持つため、因数分解できない。

# 「A^5+B^5+C^5+D^5+E^5-5ABCDE=0は因数分解可能か」
# というのはちょっと違和感を感じます。
# 「A^5+B^5+C^5+D^5+E^5-5ABCDEは因数分解可能か」
# なら問題ないですが。

No.53019 - 2018/08/16(Thu) 11:13:12

Re: 因数分解について。その2 / jt77877
> らすかる様へ

因数分解について。その2についてですが
らすかるさまの指摘通り質問を一部変更します。

問題

>
> A^5+B^5+C^5+D^5+E^5-5ABCDEはずばり
> 因数分解は可能か?それとも不可能か?
> という問題です。よろしくお願いします。
>
> ※前回と似たような問題ですみません。
> これであらためてよろしくお願いします。

No.53031 - 2018/08/17(Fri) 12:48:19

Re: 因数分解について。その2 / らすかる
あらためて、といっても回答は上に書いた通りです。
No.53042 - 2018/08/18(Sat) 01:35:54
三平方の定理と立体 / 中学数学苦手
512/3 が答えです。どの様にして解いていいいのか解りません。できれば図解と詳しい解説お願いします。
No.53016 - 2018/08/16(Thu) 07:46:47

Re: 三平方の定理と立体 / X
条件から正四角錐の底面は一辺の長さが
8cmの正方形になっていますので
その面積は
8[cm]×8[cm]=64[cm^2]
後は高さを求めることを考えていきます。

今、問題の球を△ACEを含む平面で切った
断面を考え、この断面の円の中心をOと
します。
すると正四角錐の対称性から、Oは
球の中心と一致していますので
この円の半径は6cm。
円Oは△ACEの外接円ですので
OA=OE=OC=6[cm] (A)
一方、△BCEにおいて三平方の定理により
CE=8√2[cm] (B)
となるので辺CEの中点をFとすると
CF=4√2[cm] (C)
(A)により△OCEは二等辺三角形ですので
OF⊥CE
よって△OCFは直角三角形ですので
三平方の定理により
OF=√(OC^2-CF^2)=2[cm]

条件から△ACEはAC=AEの二等辺三角形
ですので、対称性により点O,A,Fは
同一直線上にあり、
AF⊥CE
つまりAFが問題の正四角錐の高さになり
AF=OA+OF=8[cm]

よって求める体積は
(1/3)×64[cm^2]×8[cm]=512/3[cm^3]
となります。

No.53018 - 2018/08/16(Thu) 09:40:56

Re: 三平方の定理と立体 / 中学数学苦手
何となく解りました。解説ありがとうございます。
No.53020 - 2018/08/16(Thu) 12:50:41

Re: 三平方の定理と立体 / らすかる
答えは512/3だけではないですね。
球の中心が正四角錐の外側にある可能性があり、
その場合の体積は256/3となります。
従って、正解は「512/3[cm^3]または256/3[cm^3]」であり、
512/3[cm^3]だけ答えるのは間違いだと思います。

No.53024 - 2018/08/16(Thu) 15:33:45

Re: 三平方の定理と立体 / X
>>らすかるさんへ
問題に与えられている略図と
解答が球の中心が正四角錐の内側
にある場合しか与えられていない
ことを見る限り、この問題の作成者は
球の中心が正四角錐の内側にある
ことを前提にして問題を作成して
いると思われます、

(球の中心が正四角錐の内側にあるという
説明が問題文にない点で問題としては
不十分でしょうが。)

No.53025 - 2018/08/16(Thu) 18:51:23

Re: 三平方の定理と立体 / らすかる
略図で球の中心Oが記載されていて
底面BCDEより上にあることが読み取れれば
512/3だけで納得できますが、
この問題と図だけではそのような条件はありませんので
「512/3だけ」を正解とするなら問題不備ですね。
入試に出たりしたら問題になるレベルだと思います。

No.53026 - 2018/08/16(Thu) 20:40:24
代数学 / 坂下

HがZの部分群なら整数d≧0があり、H=dZである。
という命題の証明についてですが、
@まず、Z(群)に定義されている演算は+であると常識的に考えるのでしょうか?

Aまた、最後の行のn∈Hは任意だからH=dZとあるのですが、
H⊂dZは言えてもdZ⊂Hを言わないとH=dZを示したことにはならないと思います。
どういうことなのでしょうか?

No.53015 - 2018/08/16(Thu) 02:37:22

Re: 代数学 / IT
> @まず、Z(群)に定義されている演算は+であると常識的に考えるのでしょうか?
そのテキストの文脈によりますが、そのZは、整数全体からなる群のようですから 演算は+と考えてよいのでは?他にどんな演算が考えられますか?×はダメですよね。

>
> Aまた、最後の行のn∈Hは任意だからH=dZとあるのですが、
> H⊂dZは言えてもdZ⊂Hを言わないとH=dZを示したことにはならないと思います。


おっしゃるとおりだと思います。証明は容易なので略してあるのでは? 
d∈H でHは部分群なので,任意の整数mについてmd=dm∈H
よってdZ⊂H

No.53021 - 2018/08/16(Thu) 14:16:22

Re: 代数学 / 坂下
ありがとうございます。
助かりました。

No.53039 - 2018/08/17(Fri) 22:51:29
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