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ヨッシーの八方掲示板(算数・数学 質問掲示板)

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関数の最大値の評価 NEW / canis
f(x)=(x^π)-(π^x)(0<x<π)とし、f(x)の最大値をMとする。

(1)f(x)は唯一つの実数解を持つことを示せ。
(2)f(x)=0の解をαとおく。最大値Mをとるxはα<x<πを満たすことを示せ。
(3)M>1/2を示せ。

(1)(2)までは自力で解答できましたが、(3)が分かりません。お願いします。

No.61852 - 2019/10/14(Mon) 23:53:06
平面におろした垂線の足の座標 NEW / KK
こんばんは。

4点P(a,b,c),Q(d,e,f),R(h,i,j),L(s,t,u)がある。
点Lから平面PQRにおろした垂線の足Kの座標を求める公式はありますか。
Kの座標が無理な場合は、座標を使わないでベクトルLKをベクトルの内積、外積を使って表す公式でも結構です。

公式は短いもの、座標を代入して簡単に求められるものであるといいのですが、
無理ならば、長い公式でも結構です。よろしくお願いします。

また公式の証明もわかれば教えてください。

No.61844 - 2019/10/14(Mon) 17:58:31

Re: 平面におろした垂線の足の座標 NEW / 赤ボールペン
PQ→とPR→から法線ベクトルn→を求めて、平面PQRの上の任意の一点Aをとり、
OK→=(LAベクトルのn→への正射影ベクトル)+OL→


これを文字化すれば、公式になるのでは?

No.61846 - 2019/10/14(Mon) 20:54:10

Re: 平面におろした垂線の足の座標 NEW / KK
質問1 ベクトルPQとベクトルPRの外積を考えたのですが、点Lが平面PQRのどちら側にあるかわからないのですが、
    OK→=(LAベクトルのn→への正射影ベクトル)+OL→
    はどんな場合でも使えますか。

質問2 点Aが平面PQRの上にあるか判断しにくいので、点Aを点Qとして使ってもいいのですか。


質問3  一般に
     m→のn→への正射影ベクトルをv→とする場合、
     m→とn→のなす角が90°より大きいとき、
     (ア)m→とn→とv→で直角三角形ができる形を考える
     それとも、
     (イ)m→とn→と-v→(つまり、v→を原点に対して折り返したもので直角三角形ができない形を考える
     のどちらですか。

     また、(ア)(イ)で正射影ベクトルはm→とn→を使うとどのようになりますか。
     

No.61851 - 2019/10/14(Mon) 23:05:51
(No Subject) NEW / 赤ボールペン
nが奇数の時
n!/[ {(n-1)/2}!•{(n+1)/2}! ]
を、これ以上簡単にできますか?

No.61840 - 2019/10/14(Mon) 15:56:50

Re: NEW / らすかる
掛け算の回数を減らすという意味なら
{(n-1)/2}!・2^{(n-1)/2}=(n-1)(n-3)(n-5)…・2なので
n!/{(n-1)/2}!=2^{(n-1)/2}n!!=(2n)!!!!/2
よって(与式)=(2n)!!!!/[2{(n+1)/2}!]

表記を簡単にすればよいのなら
(与式)=nC{(n-1)/2}

No.61849 - 2019/10/14(Mon) 21:49:58
(No Subject) NEW / 神城 夜空
この問題の解き方をお願いします。
No.61835 - 2019/10/14(Mon) 10:12:18

Re: NEW / らすかる
(2^2021-2^2019)÷(2^101)^20
=(2^2021-2^2019)÷(2^2020)
=(2^2021÷2^2020)-(2^2019÷2^2020)
=2^1-2^(-1)
=2-1/2
=3/2
となります。

No.61836 - 2019/10/14(Mon) 10:59:55
(No Subject) NEW / 橋
この矢印の計算のところですが、普通に展開するよりほかありませんか?
No.61834 - 2019/10/14(Mon) 09:21:38

Re: NEW / らすかる
計算量を少なくするにしても
x^2(4x^2-26x+76)=(x+2)^2(4x^2-42x+144)
x^2(2x^2-13x+38)=(x+2)^2(2x^2-21x+72)
x^2(2x^2-13x+38)=(x^2+4x+4)(2x^2-21x+72)
x^2{(2x^2-13x+38)-(2x^2-21x+72)}=(4x+4)(2x^2-21x+72)
x^2(8x-34)=(4x+4)(2x^2-21x+72)
x^2(4x-17)=(2x+2)(2x^2-21x+72)
x^2(4x-17)=(2x+2)(2x^2)+(2x+2)(-21x+72)
x^2(4x-17)=(4x+4)x^2+(2x+2)(-21x+72)
x^2{(4x-17)-(4x+4)}=(2x+2)(-21x+72)
x^2(-21)=(2x+2)(-21x+72)
7x^2=(2x+2)(7x-24)
7x^2=14x^2-34x-48
7x^2-34x-48=0
こうするぐらいの気がしますが、
素直に展開した方がいいかも知れませんね。

No.61837 - 2019/10/14(Mon) 12:03:36

Re: NEW / IT
そうですね。展開での計算(記述)を少なくするのがいいかも(まちがいにくく、後でチェックや再計算も容易)

左辺=4x^4-26x^3+76x^2

右辺=(x^2+4x+4)(4x^2-42x+144)
 x^4の係数=4
 x^3の係数=-42+4*4=-26
 x^2の係数=144+4(-42)+4*4=-8
 xの係数=4*144+4(-42)=4*(102)
 定数項=4*144
 #この部分は計算用紙に書けばいいと思います。

よって 76x^2=-8x^2+(4*102)x+4*144
∴ 19x^2=-2x^2+102x+144
∴ 21x^2-102x-144=0
∴ 7x^2-34x-48=0

No.61839 - 2019/10/14(Mon) 13:36:45
曲線の通過範囲 / 美雪
xy平面上の2点P、Qに対し、PとQをx軸またはy軸に平行な線分からなる折れ線で結ぶときの経路の長さの最小値をd(P,Q)で表す。

実数a≧0に対し、点Q(a,aの2乗+1)を考える。

次の条件(☆)を満足する点P(x,y)の範囲をxy平面上に図示せよ。

(☆)原点O(0,0)に対し、d(O,P)=d(P,Q)となるようなa≧0が存在する。


│x│+│y│=│x-a│+│y-(aの2乗+1)│から、

│x│-│x-a│=│y-(aの2乗+1)│-│y│…(1)

左辺は、x≦0のとき-a、0≦x≦aのとき2x-a、x≧aのときaです。

右辺は、y≦0のときaの2乗+1、0≦y≦aの2乗+1のとき-2y+(aの2乗+1)、y≧aの2乗+1のとき-(aの2乗+1)です。

aの2乗+1>aですから、(1)が成り立つのは0≦y≦aの2乗+1のときだけで、

x≦0のとき、aの2乗+a-2y+1=0…(2)

0≦x≦aのとき、aの2乗+a-(2x+2y)+1=0…(3)

x≧aのとき、aの2乗-a-2y+1=0…(4)

です。

(2)を満たすa≧0が存在するためのyの条件は(2)の左辺をf(a)とおくと、f(0)≦0であり、y≧1/2です。

(3)を満たすa≧0が存在するためのxとyの条件は(3)の左辺をg(a)とおくと、x≧0>-1/2に留意すると、g(x)≦0であり、y≧(xの2乗-x+1)/2です。

(4)を満たすa≧0が存在するためのyの条件は(4)の左辺をh(a)とおくと、x≦1/2のときはh(0)≧0であり、y≦1/2で、x≧1/2のときはh(1/2)≦0で、y≧3/8です。

以上のように考えたのですが、微妙に答えと合いません。

答えではx≦0のとき、y≧1/2、0≦x≦1/2のとき、y≧(xの2乗-x+1)/2、x≧1/2のとき、y≧3/8となっています。

なぜy=(xの2乗-x+1)/2とy=3/8のつなぎ目がx=aではなく、x=1/2になっているのかわからないです。x≦1/2のときy≦1/2という条件がないのもわからないです。

詳しく教えてください。

No.61828 - 2019/10/13(Sun) 22:27:19

Re: 曲線の通過範囲 NEW / IT
> なぜy=(xの2乗-x+1)/2とy=3/8のつなぎ目がx=aではなく、

解いていませんが、a が残ってはおかしいですよね。

No.61831 - 2019/10/14(Mon) 07:38:37

Re: 曲線の通過範囲 NEW / 美雪
>aが残ってはおかしい

aをどのように消去すればよいでしょうか。

No.61845 - 2019/10/14(Mon) 19:23:08

Re: 曲線の通過範囲 NEW / IT
(3) 0≦x≦a かつ a^2+a-(2x+2y)+1=0
 0≦xかつ f(a)=a^2+a-(2x+2y)+1=0 がx以上の解を持つ。
 0≦xかつ f(x)≦0
 0≦xかつ x^2-x+1≦2y
・・・

(4) x≧a≧0 かつ a^2-a-2y+1=0
0≦xかつ g(a)=a^2-a-2y+1=0 が x≧a≧0の解を持つ。

判別式8y-3≧0 すなわち y≧3/8 が必要で

さらに
g(a)のグラフの軸はa=1/2なので
0≦x≦1/2 のとき g(0)≧0かつg(x)≦0
x≧1/2 のとき  g(0)≧0 または g(x)≧0

・・・・・・・・

(2)(3)(4) の領域の和が求める領域。

こんな感じでどうしょう?

No.61847 - 2019/10/14(Mon) 21:26:00

Re: 曲線の通過範囲 NEW / IT
> x≦1/2のときy≦1/2という条件がないのもわからないです。

(2)(3)(4) の領域の和 ですから。

No.61850 - 2019/10/14(Mon) 22:01:48
ベクトルの面積など / しょう
フヘについてです。解答では点Oから直線PQに引いた垂線をOH1、頂点Rから直線PQに引いた垂線をRH2とすると、OH1:RH2 = OT :RT = 3 :1であるからS1 : S2 = 8×3 : 5×1 = 24 : 5となると書いているのですが、これは底辺×高さを表していて1/2は共通だから省略されているのですか?

だとしたら具体的な数字ではなく比の値を使って面積の計算をしていいものなのでしょうか?

よろしくお願いします。

No.61826 - 2019/10/13(Sun) 18:14:44
(No Subject) / a
y=(-2)x^2-(-1)という曲線上の(1,-1)という点における接線の方程式の切片は?

という問題を教えてください。

No.61825 - 2019/10/13(Sun) 17:10:05

Re: NEW / らすかる
y'=-4xなので直線の方程式はy=-4(x-1)-1すなわち4x+y=3
従ってx切片は3/4、y切片は3

No.61838 - 2019/10/14(Mon) 12:08:51
等差数列 / うい
すみません…。
3n^2+11n-560=0の因数分解の方法を教えてください。
自分で出した式なのでそもそも成立しない式だとしたら申し訳ないです。

No.61815 - 2019/10/13(Sun) 13:10:24

Re: 等差数列 / YUKI
(36(n+(11/6))^2)/6841=1になりました
No.61816 - 2019/10/13(Sun) 13:15:28

Re: 等差数列 / IT
解の公式を使って因数分解するしかないと思います。

3n^2+11n-560=0は、整数解を持たないと思います。

No.61818 - 2019/10/13(Sun) 14:13:08

Re: 等差数列 / うい
では、どこかで間違えてしまったんですね……。
すみません、お手数をおかけしました。
ありがとうございます。

No.61821 - 2019/10/13(Sun) 16:05:25
素朴な疑問 / YUKI
1を既約分数で表します。

1/1(1,1は互いに素な整数)

この表現は問題ないですか?

No.61814 - 2019/10/13(Sun) 13:08:31

Re: 素朴な疑問 / IT
問題ないです。
No.61819 - 2019/10/13(Sun) 15:15:40

Re: 素朴な疑問 / YUKI
ありがとうございます。
No.61820 - 2019/10/13(Sun) 15:55:32
高校受験の問題 / lala
(2)点Bを通り、辺ACに垂直な直線と線分ABの交点をFとします。線分EFの長さを求めなさい。


画像の続きに、上記の問題があるのですが、それがどうしても解けません。
答えは11√5/60 になります。

No.61813 - 2019/10/13(Sun) 12:26:58

Re: 高校受験の問題 / X
(2)の問題文にタイプミスはありませんか?
No.61822 - 2019/10/13(Sun) 16:30:33

Re: 高校受験の問題 / lala
(2)点Bを通り、辺ACに垂直な直線と線分ADの交点をFとします。線分EFの長さを求めなさい。

すみません、一か所間違えてました。正しくは上記です。
よろしくお願いします。

No.61823 - 2019/10/13(Sun) 16:38:04

Re: 高校受験の問題 NEW / CORNO
やっと出ましたが,もっと簡単な方法があるかもしれません.

直線BFと辺ACの交点をH,直線ABと直線CDの交点をPとします.
  △PAC∽△PDB
から,
  PA:PC:AC=PD:PB:DB
  (PB+11):(PD+5):10=PD:PB:2
これから,
  PB=3/2,PD=5/2
次に,PH//PCから,
  AC:HC=AP:BP
  10:HC=25/2:3/2
これから,
  HC=6/5
さらに,FH//DCから,
  AD:FD=AC:HC
  5√5:FD=10:6/5
これから,
  FD=(3√5)/5

No.61841 - 2019/10/14(Mon) 16:07:48

Re: 高校受験の問題 NEW / CORNO
続けます.

また,
  BE:CE=△ABD:△ACD
       =(2×11/2):(10×5/2)
       =11:25
すると,
  △BFE∽△CDE
から,
  FE:DE=BE:CE
       =11:25
したがって,
  FE=FD×11/(11+25)
    =(3√5)/5×(11/36)
    =11√5/60

No.61842 - 2019/10/14(Mon) 16:08:48

Re: 高校受験の問題 NEW / lala
やっとわかりました。ありがとうございました!
No.61843 - 2019/10/14(Mon) 16:51:44

Re: 高校受験の問題 NEW / らすかる
別解
B,CからADに垂線BG、CHを下ろします。
BD×AB=AD×BGからBG=22√5/25
CD×AC=AD×CHからCH=2√5
AG=√(AB^2-BG^2)=121√5/25
AH=√(AC^2-CH^2)=4√5
△BEG∽△CEHからEG:EH=BG:CH=11:25なので
EG=(11/36)(AG-AH)=77√5/300
△BGF∽△ACDからFG=(CD/AC)BG=11√5/25なので
EF=FG-EG=11√5/25-77√5/300=11√5/60

No.61848 - 2019/10/14(Mon) 21:40:06
(No Subject) / aiko
( n/10 )^(n/10)を最小にする自然数nを求めよ。


という問題を教えてください!

No.61809 - 2019/10/13(Sun) 10:04:36

Re: / IT
f(x)=x^x (x > 0) を微分して増減を調べる。
x=1/e でf(x)は最小となる。
よって(n/10)^(n/10)を最小にする自然数nは、n=3,4 のいずれか。

(3/10)^3 と (4/10)^4 を比較する。

No.61811 - 2019/10/13(Sun) 10:58:17

Re: / IT
微分を使わない方法

n=1のとき(n/10)^(n/10)は1未満, 
nが10以上のとき(n/10)^(n/10)は1以上なので,
n=1から9について調べればよい。

有限の問題になりましたから、あとはいかに比較計算を楽にするかです。

下記のようにすると上記は不要ですが、上記で見通しを付けておいたほうがいいと思います。

2以上の自然数nについて
 {(n+1)^(n+1)}/(n^n)=(n+1){(1+1/n)^n}>(n+1)*2
なので
n≧4のとき
 {(n+1)^(n+1)}/(n^n)>10
 よって {(n+1)/10}^{(n+1)/10}>(n/10)^(n/10)

したがってn=1,2,3,4 について調べればよい。

 

No.61812 - 2019/10/13(Sun) 11:53:55

Re: NEW / aiko
めっちゃわかりやすくて感動です!
ありがとうございます!

No.61832 - 2019/10/14(Mon) 08:53:00
微分 / aiko
aは定数、eは自然対数の底としたとき、
関数 f(x)=ax^2+e^(-x)sinx
が極値をちょうど2つ持つときのaのとりうる範囲をもとめよ。

という問題を教えてください!

No.61808 - 2019/10/13(Sun) 10:03:22

Re: 微分 / X
条件から
f'(x)=2ax-{e^(-x)}sinx+{e^(-x)}cosx
∴題意を満たすためにはxの方程式
2ax-{e^(-x)}sinx+{e^(-x)}cosx=0 (A)
が異なる実数解を2つのみ持ち、
かつ
その実数解を挟んでf'(x)の符号が入れ替わる
ことが条件となります。

さて(A)より
2axe^x=sinx-cosx
(√2)axe^x=sin(x-π/4) (A)'
ここで
y=(√2)axe^x (B)
y=sin(x-π/4) (C)
のグラフの交点でかつその交点を挟んで
(B)(C)の大小関係が入れ替わるものは
はaの値をどのように取っても無数に
存在します。
((∵)
(B)のa=1/√2のときのグラフ、つまり
y=xe^x
のグラフを、増減表を書くことで
描いてみましょう。)

よってaをどのように取っても(A)'の実数解の
うち、その実数解の値を挟んだxの値に対し、
(A)'の両辺の符号が入れ替わるものは
無数にありますので題意を満たすaの値は存在しません。

No.61824 - 2019/10/13(Sun) 16:52:02

Re: 微分 NEW / aiko
そんな答えもあるんですね!ありがとうございます!
理解できました!

No.61833 - 2019/10/14(Mon) 08:57:36
(No Subject) / 橋子
この問題なのですが、左の解説の、はてなをしてあるところで、なぜこのような場合分けをするのですか?
No.61805 - 2019/10/13(Sun) 08:29:57

Re: / CORNO
  0<sin2x≦1
から,
  0<(sin2x)^2≦1
また,
  (sin2x)^2=k/4
であることから,
  0<k/4≦1
つまり,
  0<k≦4
  
kは絶対にこの範囲にないと駄目です.
だから,k>4 (および k≦0) のとき,解はありません.
解をもつのは0<k≦4のときです.

ただ,k=4のとき,
  (sin2x)^2=1
0<(sin2x)^2≦1から,
  sin2x=1
0<2x<πにより,
  2x=π/2 ⇒ x=π/4
の1個.
k≠4のときは2個あります.

No.61807 - 2019/10/13(Sun) 09:44:02

Re: / CORNO
>0<2x<πにより,
>  2x=π/2 ⇒ x=π/4


「π」は「パイ」です.

No.61810 - 2019/10/13(Sun) 10:31:39
(No Subject) / まーるん
この計算なのですが、なぜカッコ内を計算したらいけないのですか?これは加法定理でa=2と出さなければいけないのですよね?
No.61802 - 2019/10/13(Sun) 06:57:34

Re: / IT
カッコ内を計算するのが普通だと思います。(100人中99人以上)
No.61803 - 2019/10/13(Sun) 08:18:11

Re: / まーるん
ですが、a=2になりませんよね?もしなるのだとしたら、計算方法を教えてください!
No.61804 - 2019/10/13(Sun) 08:28:11

Re: / IT
>a=2になりませんよね?
どうなりましたか?  途中式も書き込んでください。

加法定理を使う方法だと正解できたのですか? それならその計算も書いてみてください。

No.61806 - 2019/10/13(Sun) 08:30:09

Re: / GandB
> なぜカッコ内を計算したらいけないのですか?
 どこの誰がそんなおもしろいことを言ったのだ。

  a・sin(π-π/2) = a・sin(π/2)

>これは加法定理でa=2と出さなければいけないのですよね?
 いったい誰がそんな愉快なことを言ったのだ。

  a・sin(π-π/2) = a( sin(π)cos(π/2) - cos(π)sin(π/2) )

No.61817 - 2019/10/13(Sun) 13:16:17
(No Subject) / s
問3の(8)についてなのですが
0=mv1+MV1ではダメなのですか?

No.61799 - 2019/10/13(Sun) 02:29:17

Re: / X
ダメですね。
球が斜面に沿って落下する際に、
台は拘束具のために動きませんので
落下によって台と球の運動量の
総和は球の持つ位置エネルギーの
分だけ増加します。

ということで(8)において、
運動量のx成分の総和は
最下点に到達したときの球の運動量のx成分
と等しくなります。

No.61800 - 2019/10/13(Sun) 06:04:47
(No Subject) / し
(3)の2行目から3行目への式変形がよくわかりません。
No.61798 - 2019/10/13(Sun) 01:22:02

Re: / X
二行目は
(5/6)^n-(4/6)^n=(5^n)/6^n-(4^n)/6^n
=…
と変形できます。

No.61801 - 2019/10/13(Sun) 06:07:30
正弦定理、余弦定理の問題 / forex
2019年弘前大学文系第3問です。
画像上部の問題(2)について画像下部の解答について2点質問があります。[1]△PBCの面積が最大となるのはなぜ正三角形となるときなのか。[2]仮定によってcosの値が確定しているならば、△ABCは確定しているはずなのに、なぜ△PBCを正三角形ととれることが保証されるのか。以上に2点についてよろしくお願いします。

No.61792 - 2019/10/12(Sat) 11:57:57

Re: 正弦定理、余弦定理の問題 / らすかる
[2]△ABCは確定していて∠A=120°ですから、
Pがどこにあっても∠BPC=60°です。
従ってPをBCの垂直二等分線上にとれば△PBCは
頂角60°の二等辺三角形、すなわち正三角形になります。
(△ABCが確定していて∠A=120°だからこそ正三角形がとれます。
 ∠A≠120°であればPがどこにあっても正三角形になりません。)

[1]BCを底辺とみたとき高さが最大になるのは
PがBCの垂直二等分線上にある時だからです。

No.61793 - 2019/10/12(Sat) 12:38:33

Re: 正弦定理、余弦定理の問題 / forex
sinAの値を活用することを忘れていました。
丁寧なご回答ありがとうございました。

No.61794 - 2019/10/12(Sat) 12:55:26
ベクトルの問題におけるひし形について / しょう
三角形OABについてです。一辺が1で角OABが60度なので他の2つの角も60度ずつという解釈から三角形OABは正三角形と解釈したのですが、解答では三角形OABは正三角形だから〜という風に最初から正三角形ありきで条件を綴っていました。

4つの辺が等しいひし形なら1つの対角線で区切ってできる三角形は必ず正三角形なのでしょうか?

No.61786 - 2019/10/12(Sat) 09:56:42

Re: ベクトルの問題におけるひし形について / らすかる
その解答を載せてもらわないと詳しいことはわかりませんが、
少なくとも
「4つの辺が等しいひし形なら1つの対角線で区切ってできる三角形は必ず正三角形」
ではありません。
「4つの辺が等しく一つの角が120°であるひし形を、120°の角を二等分するように
分けて出来る三角形は必ず正三角形」
です。
これは正三角形を二つくっつけたひし形を見たことがあればすぐにわかる
図形の基礎的かつ明白な事実ですから、説明を省略したのでしょう。
そこまで明らかなことであれば、「4つの辺が等しく一つの角が120°であるひし形を、
120°の角を二等分するように分けるとどんな形になるか」という問題でもない限り
わざわざ説明することではないと思います。

No.61788 - 2019/10/12(Sat) 10:28:50

Re: ベクトルの問題におけるひし形について / しょう
なるほど、ありがとうございました!
No.61795 - 2019/10/12(Sat) 14:54:49
(No Subject) / まーるん
この矢印のところで、(x+√a)^2となっていまふが、左のグラフからは(x-√a)^2ではないのかと思ってしまいます。どういうことでしょうか?
No.61783 - 2019/10/12(Sat) 08:40:31

Re: / らすかる
(x-√a)^2だとx=√aも解になりますが、
x^3-3ax=2a√aの左辺のxに√aを代入しても
2a√aになりませんので違いますね。
そもそも右のグラフの0≦x<√(3a)の部分は
y=f(x)ではなくy=-f(x)ですから、
f(x)=2a√aを満たすことはありません。
x=√aは-f(x)=2a√aの解です。

No.61784 - 2019/10/12(Sat) 09:01:47
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