0477614

ヨッシーの八方掲示板(算数・数学 質問掲示板)

since 2008/03/25

旧数学掲示板のログ

使用上の注意はこちらにあります
海外からはこちらが便利

質問される方は学年(質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。


過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

HOME | お知らせ(3/8) | 記事検索 | 投稿回数 | 携帯用URL | フィード | ヘルプ | 環境設定

名前
メール
URL
件名
ファイル
文字色
/ 編集パス
暗号 NEW / け
以下の?に当てはまる図形を下のA〜Eの中から選ぶ問題です。
理由も分かれば、ご回答宜しくお願いします!

No.73181 - 2021/03/04(Thu) 11:03:27
正と負の実数解 NEW / 数学雑魚
【問】x^2+mx+m^2+2m=0について考える
この方程式が、正と負の実数解を一つずつもち、かつmが整数であるときm=【 】である。

画像は回答です。
解き方は分かりますが、なぜ答えがm=−1になるのか分かりません。

No.73175 - 2021/03/04(Thu) 00:16:00

Re: 正と負の実数解 NEW / ヨッシー
−2<m<0 を満たす整数mは
 m=−1
だけだからです。

No.73176 - 2021/03/04(Thu) 00:32:37

(No Subject) NEW / 数学雑魚
ありがとうございます。
No.73183 - 2021/03/04(Thu) 12:55:38
出題ミス? NEW / ぬば
今年の慶応大学看護医療学部の入試問題です。
最後の部分,外接円は4個あるような気がするのですが,いかがでしょう?

No.73160 - 2021/03/03(Wed) 22:06:50

Re: 出題ミス? NEW / IT
そうですね4つあってそのうち左右の2つは、Cと合同ですね。
No.73165 - 2021/03/03(Wed) 23:08:11

Re: 出題ミス? NEW / 関数電卓
図です。
No.73166 - 2021/03/03(Wed) 23:14:08

Re: 出題ミス? NEW / 関数電卓
間違いました。上の図は,「点 (p, 0) を通る…」ときでした。
参考までに,消さずに残しておきます。

No.73168 - 2021/03/03(Wed) 23:23:24

Re: 出題ミス? NEW / IT
出題ミスのようですね。
複数(4通り)の解答を正解にするのでしょうか?

2,3の解答速報を見ましたが 左右のCと合同な円は考えてないですね。(どう見ても排除できないと思いますが)

出題ミスで全員正解とされると、4つの場合を考えて最も時間を掛けた(この問題については)最も数学ができる受験生が、最も損しますね。

No.73170 - 2021/03/03(Wed) 23:28:52

Re: 出題ミス? NEW / 関数電卓
出題側としては,ままありがちな 思い込み,とチェックミス。
解答者側としては,気がついていたとしても,出題側を 忖度 してしまう…

No.73173 - 2021/03/04(Thu) 00:14:32
二項定理の不等式 NEW / aki
画像の式がなぜ成り立つか教えて頂きたいです
No.73158 - 2021/03/03(Wed) 21:12:39

Re: 二項定理の不等式 NEW / X
x,kに対して条件はありませんか?
No.73159 - 2021/03/03(Wed) 22:00:48
正弦・余弦定理における辺の比 NEW / ナナヒカリ
比を用いた余弦・正弦定理でわからないロジックがあります。

△ABCにおいて、sinA : sinB : sinC = 3: 5: 7

正弦定理より、
(a / sinA) = (b / sinB) = (c / sinC) = 2R

a = 2R×sinA, b = 2R×sinB, c = 2R×sinC

【↓わからない所1】
よってa:b:c = sinA : sinB : sinC = 3:5:7

【↓わからない所2】
ここで、a = 3k b = 5k c = 7kとおくと、

余弦定理より...以下略

【わからない所1について】
どういう論理で辺の比が等しくなっているのかが理解出来ていません。解説お願いしたいです。

【わからない所2について】
変数kとは何を表しているのでしょうか?
例えば、一次の不定方程式などの3nや2nは3の倍数、2の倍数を表していますよね?
しかし、比のkとは何を表しているかがわかりません。

No.73154 - 2021/03/03(Wed) 20:09:21

Re: 正弦・余弦定理における辺の比 NEW / X
>>分からない所1について
例えば
4:6:2=2:3:1
となることはよろしいですか?
同じことを
a = 2R×sinA, b = 2R×sinB, c = 2R×sinC
であることを使って考えてみましょう。

>>わからない所2について
a:b:c=3:5:7 (A)
のとき
a:b=3:5 (B)
b:c=5:7 (C)
(B)より
5a=3b
∴a/3=b/5 (B)'
同様に(C)より
b/5=c/7 (C)'
(B)'(C)'をまとめると(A)から
a/3=b/5=c/7 (A)'
この(A)'をある定数kと置いているだけです。

No.73156 - 2021/03/03(Wed) 20:36:49

Re: 正弦・余弦定理における辺の比 NEW / ナナヒカリ
Xさん返信ありがとうございます!
大変わかりやすい解説で腑に落ちました。
また機会があればお願いします!

No.73157 - 2021/03/03(Wed) 21:03:36
暗号 NEW / く
以下の?に当てはまる図形を下のA〜Eの中から選ぶ問題です。
分かる方ご回答宜しくお願いします!

No.73153 - 2021/03/03(Wed) 20:00:54

Re: 暗号 NEW / スリート
Dです。
No.73162 - 2021/03/03(Wed) 22:49:02

Re: 暗号 NEW / く
> Dです。
理由とか分かれば教えていただけますか?

No.73169 - 2021/03/03(Wed) 23:25:14

Re: 暗号 NEW / スリート
上の棒は鏡に反射したように左右に、下の棒はそのまま左右に移動しているためです。
No.73177 - 2021/03/04(Thu) 01:53:55

Re: 暗号 NEW / らすかる
> 上の棒は鏡に反射したように左右に、下の棒はそのまま左右に移動しているためです。

Cではいけない理由は何ですか?

No.73178 - 2021/03/04(Thu) 03:54:15
暗号 NEW / き
以下の?に当てはまる図形を下のA〜Eの中から選ぶ問題です。
分かる方ご回答宜しくお願いします!

No.73152 - 2021/03/03(Wed) 19:56:51

Re: 暗号 NEW / らすかる
たぶんE
No.73155 - 2021/03/03(Wed) 20:36:24

Re: 暗号 NEW / スリート
私はAだと思います。
No.73163 - 2021/03/03(Wed) 22:59:08

Re: 暗号 NEW / らすかる
おそらく「もっともらしい規則性」が言えればよいので
正解は一つではないと思いますが、
その中でも規則性が最も簡潔であるものが正解となるのかも知れませんね。
私がEと考えた根拠は、
・半分が黒く塗られた正方形は、右の図から順にみると
  90°ずつ右回転しているから、左端の図では左上すなわちAまたはE
・残りの棒は、右の図から順にみると
  「180°右回転」「135°右回転」「90°右回転」となっているから
  次は「45°右回転」でEに絞られる。

No.73172 - 2021/03/03(Wed) 23:49:17
暗号 NEW / か
以下の?に当てはまる図形を下のA〜Eの中から選ぶ問題です。
分かる方ご回答宜しくお願いします!

No.73151 - 2021/03/03(Wed) 19:53:07

Re: 暗号 NEW / スリート
Cだと思います。
No.73164 - 2021/03/03(Wed) 23:03:50

Re: 暗号 NEW / IT
Bに1票。
(4つから規則性を見つけろということでしょうけどが、これで何かの能力を測れるとは思えませんね)

No.73171 - 2021/03/03(Wed) 23:33:03

Re: 暗号 NEW / らすかる
私はCに1票。
No.73174 - 2021/03/04(Thu) 00:15:32

Re: 暗号 NEW / く
なぜそうなるのか分かったりしますか?
分かれば、教えていただきたいです🙇♂

No.73180 - 2021/03/04(Thu) 09:47:10

Re: 暗号 NEW / IT
小〇の位置は、上、左、上、左、上 
中〇の位置は、下、左、上、右、下 と時計回りに回転
中〇の中の色は、透明、灰色、黒色、透明、灰色
 (灰色でも中の小〇が隠れるかは?)

No.73182 - 2021/03/04(Thu) 12:28:49
場合の数に関して NEW / 山田山
大問
平面上に10本の直線があり、どの3本の直線も1点で交わることはない。この10本の直線のうち、3本だけが平行である。
小門@
直線の交点の数を求めよ。

この問題に対して問題の情景が浮かばないので条件から絞っていくという解釈のもと解答を読んだのが以下の解答です。

解答
10本から2本の直線を選ぶ選び方は、10C2通り
このうち、選んだ2本の直線が交わらないのは、平行な3本の直線から2本の直線を選んだ場合だけである。どの直線も1点で交わることはないので、求める数は、10C2−3C2=45−3=42

この解答に関して情景が思い浮かばないので、初手でこのような事をしていることに対して疑問が上がりました。回答をしていただけると助かります。出来ることならば図や絵などを添付していただけると助かります。長文失礼致しました。

No.73146 - 2021/03/03(Wed) 18:05:49

Re: 場合の数に関して NEW / ヨッシー
平行な組み合わせがなければ、10本の直線から2本選べば、
交点が1つ決まります。
しかもそれらは全部別の点なので(3本の直線が1点で交わることはないので)
交点は 10C2=45(個)

図は、直線が5本(平行はなし)の場合で、5C2=10(個)です。


ここまでの理解は大丈夫ですか?

No.73147 - 2021/03/03(Wed) 18:20:02

Re: 場合の数に関して NEW / 山田山
大丈夫です。
No.73148 - 2021/03/03(Wed) 18:58:22

Re: 場合の数に関して NEW / ヨッシー
平行な3本の直線をA,B,Cとすると、
AとB、BとC、CとA を選んだときだけ、
交点が得られないので、交点は
 45−3=42(個)
です。

図は、直線が5本(うち3本が平行)の場合で、10−3=7(個)です。

No.73150 - 2021/03/03(Wed) 19:17:08

Re: 場合の数に関して NEW / 山田山
ありがとうございました。とてもわかりやすい解説でした。
No.73161 - 2021/03/03(Wed) 22:20:13
ベクトルに関して。 / スリート
なぜ画像のように1/2、0、0、0、π、0、π、0となるのでしょうか?どうか過程の計算を教えてください。
No.73140 - 2021/03/03(Wed) 16:06:21

Re: ベクトルに関して。 / ヨッシー
この画像だけでは、本当にベクトルの単元かどうかもわかりません。

(a, b) の定義は何ですか?

No.73141 - 2021/03/03(Wed) 16:10:06

Re: ベクトルに関して。 / スリート
直交基底での0やπです。
No.73143 - 2021/03/03(Wed) 16:25:06

Re: ベクトルに関して。 / GandB
 そんな図でわかるわけがない。おそらく以下の図のことであろう。
 三角関係の直交性による。すべて高校数学の積分で導ける。フーリエ解析の本の最初のところに必ず載っている。

No.73144 - 2021/03/03(Wed) 16:50:53
関数の平均収束に関して。 / スリート
画像のEはなぜ平均収束して、Jはなぜ平均収束しないのでしょうか?
No.73139 - 2021/03/03(Wed) 00:42:45

Re: 関数の平均収束に関して。 / スリート
こちらが全体の文章です。
https://twitter.com/OnslaughtA/status/1364239272169984001

No.73142 - 2021/03/03(Wed) 16:23:19

Re: 関数の平均収束に関して。 NEW / GandB
投稿した内容にちょっとおかしなところがあったので削除しました。今修正の時間がないので、気が向いたら再投稿します(笑)。
No.73149 - 2021/03/03(Wed) 19:14:21

Re: 関数の平均収束に関して。 NEW / スリート
どうかよろしくお願いいたします。
No.73167 - 2021/03/03(Wed) 23:14:59

Re: 関数の平均収束に関して。 NEW / 黄桃
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12239684267
でとても丁寧な説明をもらっても同様の質問を繰り返すということは、抽象的なベクトル空間での内積や距離空間での距離やノルムの概念がわかってないのでしょう。

a,bが「関数」の時、aとbの内積(a,b)は a*b*cosθ (θはa,bのなす角) **ではありません**。
ベクトル空間で「内積の公理系」をみたすものは、高校までに習った内積と同様の性質を持ちます。
「関数と関数の距離」は、2次元平面での点と点の距離とはまったく違う概念ですが、やはり同じような性質を持ちます。

関数を実ベクトル空間の点と見ると、基底がなんだかわからないし、成分が何かもわからない(し、もちろん距離もどう考えていいかわからない)。
だけど、そこにうまいこと「内積」を定義すると、「基底」が見えてくる、というのがフーリエ変換の考え方。
ここの飛躍が理解できない(高校までに習った「内積」や「距離」と同じものが最初からどこかにあって、フーリエ変換の式は、そのどこかと一致するはずという思い込んでいる)限り、堂々巡りでしょう。

No.73179 - 2021/03/04(Thu) 08:00:00
(No Subject) / 梅
三角形ABCにおいてAB=13,BC=14,CA=15とする。三角形ABCの内接円をI,外接円をOとする。Iと辺BC,CA,ABとの接点をそれぞれP,Q,Rと置く。Oの中心から辺BCに下した垂線の足をHとする

(1)BH=7である。BP=6である
(2)cosA=33/65,sinA=56/65である。Oの半径は65/8である。
(3)三角形ABCの面積は84である。Iの半径は4である。
(4)Iの中心とOの中心との距離は?


(4)の答え√65/8なのですが,これが成り立つときって辺BCに対して内接円Iの中心と外接円Oの中心が同じ側にあるときですよね。

<(7-6)^2+{(33/8)-4}^2=1+(1/8)^2=65/64>

でもなんで内接円Iの中心と外接円Oの中心が辺BCに対して同じ側にあるってわかるのでしょうか。もう一つ考えられるケースって内接円Iの中心と外接円Oの中心が辺BCに対してお互いに逆側にあるときだって考えられると思うんですが…。

No.73137 - 2021/03/02(Tue) 21:36:35

Re: / IT
内接円の中心が三角形ABCの内部にあることは良いですか?

15^2<13^2+14^2 なので余弦定理から 
 三角形ABCが鋭角三角形であることは良いですか?

三角形ABCが鋭角三角形なので
外接円の中心が三角形ABCの内部にあることは良いですか?
(中心が辺にあれば直角三角形、外部にあると鈍角三角形になります。)

No.73138 - 2021/03/02(Tue) 21:57:47
数列 / 高校生一年
この問題の解き方が分かりません。答えも解き方も分からないので、解説をお願いします。
No.73127 - 2021/03/01(Mon) 22:03:37

Re: 数列 / ヨッシー
 (与式)=1/1・3+1/3・5+1/5・7+1/7・9+・・・
ここで、
 1−1/3=2/3=2/1・3
 1/3−1/5=2/15=2/3・5
 1/5−1/7=2/35=2/5・7
 1/7−1/9=2/63=2/7・9
などから、
 (与式)=(1/2){(1−1/3)+(1/3−1/5)+(1/5−1/7)+(1/7−1/9)・・・}
のように進めていきます。

No.73128 - 2021/03/01(Mon) 22:29:45
(No Subject) / あ
この⑵ l、 mが平行なのでベクトルPQとベクトルSRの大きさがひとしいことを示せば良いと思い楕円が原点かつX軸Y軸に対称なのでl、mが楕円から切り取る弦の長さが等しくなるには|b|=|c|として b>cから b>0>かつb+c=0としたのですが 平行と対称性から切り取る弦の長さが等しくなるにはLMのY切片の絶対値が等しいとして問題ありますから
No.73124 - 2021/03/01(Mon) 12:38:05

Re: / あ
これが問題です
No.73125 - 2021/03/01(Mon) 12:38:45

Re: / IT
> 平行と対称性から切り取る弦の長さが等しくなるにはLMのY切片の絶対値が等しいとして問題ありますから

は、

「平行と対称性から切り取る弦の長さが等しくなるにはLMのY切片の絶対値が等しいとして問題ありますか?」

ですか?

私は、説明不足のような気がしますが、いかがでしょうか?

No.73129 - 2021/03/01(Mon) 23:46:01

Re: / 関数電卓
私も「説明不足」だと思います。「そのことをキチンと示して下さい」が出題意図なのでしょう。

ところで…
通常,小問(1)(2)は最終的な出題意図(3)へのヒント誘導の場合が多いのですが,本問の場合はどうなのでしょう?
私は,(1)(2)は(3)へのうまい誘導にはなっていない,というより,ほとんど役に立たないのではないかと思うのですが,如何でしょうか?

No.73131 - 2021/03/02(Tue) 00:06:35

Re: / あ
問題ありますから→問題ありますか?ですすみません
やっぱり説明不足ですか、、、、
そうですね。これ東工大の今年の問題なんですが⑵は使わずにやってしまいましたあってるか分かりませんが。。。

No.73132 - 2021/03/02(Tue) 05:25:31

Re: / IT
> やっぱり説明不足ですか、、、、
Eが円の場合は、そのことを図形的に簡単に示せると思いますが、一般の楕円の場合は自明ではない気がします。

私は、ご質問を受けて
xについての2次方程式x^2/4+(ax+b)^2=1 の解をα、βとして
(α-β)^2=(4a^2-b^2+1)/(a^2+1/4)^2 (検算はしていません)を使いました。

β≧αとしてβーαを解の公式で直接計算してもいいですね。

No.73133 - 2021/03/02(Tue) 07:28:46

Re: / IT
(3)を解いてはないですが 正方形は平行四辺形の特別なものなので(2) の条件が使えるのでは?
No.73134 - 2021/03/02(Tue) 18:34:41

Re: / 関数電卓
※個人の感想 ではありますが…

例えば こちら にあるようなマニアックな解答を,どれほどの受験生が書けるのでしょうか?!?
本問(3)の私の解答は以下です。
===
楕円
 x^2/4+y^2=1 …(1)
上にある4点を順に P,Q,R,S とする。この4点が正方形の4頂点となるとき,(回転)対称性より,P(x,y) を『原点』中心に π/2 回転させた点 (−y,x) (or (y,−x)) も楕円(1)上にある。
すなわち,P は楕円
 x^2+y^2/4=1 …(2)
上にもなくてはまらない。
よって,4点は2つの楕円(1)(2)の交点である。(座標を求める)
===
ただ,「対称性より『原点』中心」と決めつけてしまって良いか,は異論があるところかもしれません。

No.73135 - 2021/03/02(Tue) 19:44:59

Re: / IT
(3)略解
楕円上の4点の組を頂点とする四角形が正方形であるとき
4点を左上から時計回りにPQRS ,(PQはy軸に平行でない)とする。
PQ↑//SR↑,|PQ↑|=|SR↑| =|PS↑|≠0、PQ↑⊥PS↑(したがってPQ↑・PS↑=0)が必要十分条件 

直線PQをL、直線SRをMとする。

PQ↑//SR↑,|PQ↑|=|SR↑| なので(2)から

Lの方程式:y=ax+b, Mの方程式:y=ax-b (b>0)とおける。

(解の公式でx成分、直線の方程式でy成分を求めると)
PQ↑=(2√(a^2-b^2/4+1/4)/(a^2+1/4),2a√(a^2-b^2/4+1/4)/(a^2+1/4))
PS↑=(2ab/(a^2+1/4),-(b/2)/(a^2+1/4))

PQ↑・PS↑=0から4ab-ab=0 ∴ a=0

このとき PQ↑=(4√(1-b^2),0),PS↑=(0,-2b)
 |PQ↑|=|PS↑|より b=2/√5

考慮漏れがあるかも知れません。

No.73136 - 2021/03/02(Tue) 19:59:49
ベクトル / あし
(2)のSと直線CDは異なる2点で交わることを示せとあり、自分は直線CDをkCDベクトルとおいて、(-4K,4K,2k)としました。実際にk=0と代入すると、原点通ってしまうので、誤りだと分かるのですが、なぜこの置き方で直線CDは表せないのでしょうか。本来はkCDベクトルにOCベクトルを足さなきゃいけないそうです。
No.73121 - 2021/02/28(Sun) 02:28:42

Re: ベクトル / らすかる
DからCを引いたベクトルは「向きと長さ」しか表しませんので、
直線を表すには情報が不足しています。
例えばC(3,2,2),D(-1,6,4)の代わりに全要素に10を加えた
C(13,12,12),D(9,16,14)では直線CDの位置が異なりますが、
D-Cの値は同じですね。
直線CD上の点は「Cの位置からベクトルCDの方向(または逆方向)に行った点」
ですから、「Cの位置」すなわちベクトルOCを加えれば直線の式になります。

No.73122 - 2021/02/28(Sun) 03:13:20

Re: ベクトル / あし
つまり、位置を設定してあげないといけないということですか?
例えば「東に10km,北に10km行ったところに宝がある」でも、どこを始点としておくかを設定しないと分からないという事ですね。
ベクトルが成分で表されているから勘違いしていましたが、座標平面上でいう傾きが三次元では、二点間を繋ぐベクトルになっているということですね。
あっでも厳密には傾きの性質をも孕んだ様なもの気がします。自分の設定した(4k,-4k,2k)も詳しく見れば、(0,0,0)+ (4k,-4k,2k)であり、勝手に、原点を通る様な傾きがCDと同じベクトルに設定しているという事ですね。まとめると、二次元、三次元に限らず、ベクトルは向きと大きさを表す「動作」の様なもの。よって位置は設定されてない(勝手に設定される場合もある)。定義に時折帰ることが大切ですね。有り難うございました

No.73123 - 2021/02/28(Sun) 13:10:15
数学I / 高校生
数学Iの質問なのですが、オレンジ色の展開部分はどうなっているのでしょうか、お願いします
No.73100 - 2021/02/26(Fri) 15:04:10

Re: 数学I / 高校生
補足失礼します。オレンジの部分は(a^3)^3になると自分は思うのですが、そうするとその下の段の計算部分は1-[a^3× (a^3)^3]になり、答えが合わない気がします。どこさ計算が間違っているのでしょうか、解答頂けたら嬉しいです
No.73102 - 2021/02/26(Fri) 15:08:07

Re: 数学I / らすかる
左側が切れていてよくわかりませんが、見える範囲だけで判断すると
a^6を(a^3)^2に変えただけだと思います。

No.73103 - 2021/02/26(Fri) 15:08:35

Re: 数学I / 高校生
申し訳ございません。
No.73108 - 2021/02/26(Fri) 15:42:44

Re: 数学I / 高校生
これは左側の式(1ーa^3)ですが、右側の式は(1+?)ここのはてなの部分がわかりません。よろしくお願いします
No.73109 - 2021/02/26(Fri) 15:46:06

Re: 数学I / らすかる
やはり左側の(1+a^3+a^6)を{1+a^3+(a^3)^2}に変えただけです。
(つまりa^6を(a^3)^2に変えただけ)
その左は(1-a)(1+a+a^2)=(1-a^3)です。

No.73110 - 2021/02/26(Fri) 16:10:36

Re: 数学I / 高校生
なるほどです、理解できました!ありがとうございます
No.73117 - 2021/02/27(Sat) 09:19:11
弧の任意の2点間の距離について / みみ
角度πp/2の弧の任意の2点間の平均距離は積分でどう解けばよいのでしょうか?
すみませんが宜しくお願い申し上げます。

No.73099 - 2021/02/26(Fri) 10:51:25

Re: 弧の任意の2点間の距離について / らすかる
0≦p≦2とします。
半径をr、2点の角度をx,y(0≦x,y≦πp/2)とすると
2点間の距離は2rsin(|x-y|/2)なので
求める平均距離は
{1/(πp/2)^2}∫[0〜πp/2]∫[0〜πp/2]2rsin(|x-y|/2) dxdy
=16r{1/(πp)-4sin(πp/4)/(πp)^2}

No.73101 - 2021/02/26(Fri) 15:06:03

Re: 弧の任意の2点間の距離について / みみ
らすかるさん
ありがとうございます。
これは弧の上を歩いた場合の距離でしょうか?
ずれていたら申し訳ございません。
宜しくお願い申し上げます。

No.73104 - 2021/02/26(Fri) 15:20:48

Re: 弧の任意の2点間の距離について / らすかる
いいえ、違います。直線で結んだ、弦の長さです。
弧の上を歩いた場合の距離だったら線分と変わりませんので
弧の長さの1/3になりますね。

No.73105 - 2021/02/26(Fri) 15:28:09

Re: 弧の任意の2点間の距離について / みみ
線分と同じ考え方ができるのですね。
ご丁寧に教えて頂きありがとうございました。

No.73106 - 2021/02/26(Fri) 15:33:15

Re: 弧の任意の2点間の距離について / みみ
ちなみに計算式は

1/(πp/2)^2*∫[0〜πp/2]∫[0〜πp/2]πr*|x-y|/(π/2)dydx
=πr/(πp/2)^2*{∫[0〜πp/2]∫[0〜y](y-x)/(π/2)dxdy+∫[0〜πp/2]∫[0〜x](x-y)/(π/2)dydx
=2r*πp/6

でしょうか?
宜しくお願い申し上げます。

No.73107 - 2021/02/26(Fri) 15:41:14

Re: 弧の任意の2点間の距離について / らすかる
ちょっと違うと思います。
積分するものはπr*|x-y|/(π/2)ではなく
πr*|x-y|/π すなわち r|x-y| です。

No.73111 - 2021/02/26(Fri) 16:15:44

Re: 弧の任意の2点間の距離について / みみ
気付いて頂きありがとうございます。
円弧の長さの公式はπr*|x-y|/πだからですね。

No.73112 - 2021/02/26(Fri) 16:27:17

Re: 弧の任意の2点間の距離について / みみ
もう一つ質問があります。

どうして最初に1/(πp/2)^2をかけるのでしょうか。
宜しくお願い申し上げます。

No.73114 - 2021/02/26(Fri) 19:55:56

Re: 弧の任意の2点間の距離について / らすかる
例えば自然数で定義されたf(m,n)という関数があり
1≦m≦N, 1≦n≦Nであるとき、このf(m,n)全体の
平均をとると(1/N^2)Σ[m=1〜N]Σ[n=1〜N]f(m,n)
となり、(1/N^2)が必要ですよね。それと同じです。
積分の場合について具体的に言うと、
例えば0〜1で定義されたf(x)の「平均」をとるには
∫[0〜1]f(x)dxを求めればよいですが、
もし範囲が0〜5だったら∫[0〜5]f(x)dxを区間の幅の5で割らないと
平均がでませんよね。(分かりにくければ何か具体的な関数
(例えばf(x)=(1/2)x+1など)で考えてみて下さい。)
よってx,yの範囲が0≦x,y≦πp/2ならば
(πp/2)^2で割る必要があります。

No.73115 - 2021/02/26(Fri) 20:27:38

Re: 弧の任意の2点間の距離について / みみ
教えて頂きありがとうございます。
もっと勉強します。

No.73116 - 2021/02/26(Fri) 20:55:52
原点を通る接線 / ゆう
今日受けた大学で、1問分からない問題がありました。

aを1より大きな定数とするとき、関数f(x)がf(a)=af(1)を満たすとき、曲線y=f(x)の接線の中で原点を通るものが存在することを示すという問題が出たのですが、

g(x)=f(x)/xとおいてf(a)/a=f(1)/1より、ロルの定理より原点を通るものが存在する方針で解答を作ったのですが、いまいちよくわかりませんでした。
解き方を教えてください。

No.73084 - 2021/02/25(Thu) 20:23:58

Re: 原点を通る接線 / IT
条件が他にもありますよね?

2点(1,f(1)),(a,f(a)) は原点を通る直線L上にあることを使ってグラフを描いて考えるとよいのでは?

2点(1,f(1)),(a,f(a))での曲線y=f(x) の接線の傾きとLの傾きの大小で場合分けすれば言えそうな感じですね。

曲線がLに接しない場合は、曲線はLの上から下、下から上に交差する?

No.73085 - 2021/02/25(Thu) 21:09:13

Re: 原点を通る接線 / mathmouth
横から失礼します.
私も受けましたが、ITさんのおっしゃる通りお絵描きしてみるとよさそうです.
なお、抜けている条件は“f(x)が微分可能“です.

No.73086 - 2021/02/25(Thu) 21:18:42

Re: 原点を通る接線 / IT
「f'(x) が連続」という条件はないのですね?
No.73087 - 2021/02/25(Thu) 21:39:51

Re: 原点を通る接線 / mathmouth
そうですね.特にそのような断り書きはありませんでした.
No.73088 - 2021/02/25(Thu) 22:15:10

Re: 原点を通る接線 / IT
京大っぽいなと思ったらやはりそうでした。京大理系 大問6 小問2で、たしかにf'(x) 連続とは書いてないですね!
現時点で、大手予備校の解答速報は見当たりません。

(2021京大理系 大問6 小問2)※小問1は無関係な整数問題
aを1より大きい定数とするとき、微分可能な関数f(x)がf(a)=af(1)を満たすとき、曲線y=f(x)の接線の中で原点(0,0)を通るものが存在することを示せ。

No.73089 - 2021/02/25(Thu) 22:28:20

Re: 原点を通る接線 / IT
g(x)=f(x)/x とおいて 平均値の定理(この場合はロルの定理)を使えばよいですね。
↓(できてみると簡単ですが入試本番で限られた時間で解くのは難しいかも)

No.73091 - 2021/02/25(Thu) 22:56:54

Re: 原点を通る接線 / IT
x>0で g(x)=f(x)/xとおくと g(x)は微分可能でg'(x)=f'(x)/x - f(x)/x^2
また、g(a)=f(a)/a=f(1)/1=g(1)∴ g(a)-g(1)=0

平均値の定理から(=0なのでロルの定理ですね)
0=(g(a)-g(1))/(a-1)= g'(c) となる 1<c<a がある。
このとき g'(c)=f'(c)/c - f(c)/c^2 =0

∴ f(c)=f'(c)c 
したがって点(c,f(c)) における曲線y=f(x)の接線y=f'(c)(x-c)+f(c)は原点を通る。

ゆうさんの方針で良かったですね!

No.73093 - 2021/02/25(Thu) 23:01:18

Re: 原点を通る接線 / ゆう
ITさんご回答ありがとうございます。
mathmouthさんがおっしゃっているように微分可能と書いてありました。

全ての問題が簡単だったのであまり差が付かない感じでした。
明日も頑張ります。

No.73094 - 2021/02/25(Thu) 23:21:29

Re: 原点を通る接線 / mathmouth
なるほど、言われてみれば簡単な問題でしたね〜

はじめから平均値の定理(ロルの定理)を用いる発想がなくてもf(t)-tf'(t)=0なるtが存在することを示す方針でいけば{f(t)/t}'を考えればよいと気付くことができたかもしれないです.

No.73097 - 2021/02/26(Fri) 05:57:29
解き方のヒントだけでもお願いします / 吾郎
n=1,2,3などとしてみましたが、そもそもx,yは実数なので
どうしていいかさえわかりませんでした。

よろしくお願いします

No.73082 - 2021/02/25(Thu) 18:35:52

Re: 解き方のヒントだけでもお願いします / IT
(前半)
n=1とすると x+y は整数…(1)。
x が整数のとき、(1)よりyも整数。(これは1つめの条件を満たす)
 ・・・
x が整数でないとき
 x の小数部をaとおくと、(1)よりyの小数部は1-a となる。
 1つめの条件から an^3+(1-a)n^2=n*n(n-1)a が整数
 n=2 とすると 4a が整数
 n=3 とすると 18a が整数
 18a-(4a)×4=2a なので
 ∴ 2aが整数、すなわちa=1/2(必要条件)

 逆を調べる。 任意の自然数nについてn(n-1) は2の倍数なので、・・・

(後半)範囲内のものを調べる。
 x,y を2倍して考える方が分かり安いかも知れません。

No.73083 - 2021/02/25(Thu) 18:49:50

Re: 解き方のヒントだけでもお願いします / 吾郎
納得しました。ありがとうございました
No.73092 - 2021/02/25(Thu) 23:00:26
代入法の原理について / 浪人生
y=f(x)かつg(x,y)=0の連立方程式を解くときに、なぜ、
g(x,f(x))=0かつg(x,y)=0を解いてはいけないのか理由がわかりません。同値関係が崩れるからという説明を聞いたのですが、
g(x,f(x))=0とg(x,y)=0の2つの式を見比べれば、y=f(x)の式が出てくるので、同値関係は崩れていないと思いました。
回答よろしくお願いします。

No.73079 - 2021/02/25(Thu) 15:09:56

Re: 代入法の原理について / らすかる
> g(x,f(x))=0とg(x,y)=0の2つの式を見比べれば、y=f(x)の式が出てくるので、同値関係は崩れていない

y=f(x)の場合も含んでいますが、y≠f(x)でg(x,f(x))=g(x,y)=0となる場合も含んでいますので
「同値」ではありません。

No.73080 - 2021/02/25(Thu) 15:47:27

Re: 代入法の原理について / 浪人生
ありがとうございます! 助かりました!
No.73081 - 2021/02/25(Thu) 16:27:17
以下のフォームに記事No.と投稿時のパスワードを入力すれば
投稿後に記事の編集や削除が行えます。
300/300件 [ ページ : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 >> | 過去ログ | 画像リスト ]