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ヨッシーの八方掲示板(算数・数学 質問掲示板)

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放物線に交わる直線の式 NEW / しょーじ
中3です。
答えは y=2/3x + 8
なんですが、、、

No.42636 - 2017/03/25(Sat) 13:59:18

Re: 放物線に交わる直線の式 NEW / しょーじ
答えはy=(2/3)x+8 です。
書き方を間違えました

No.42637 - 2017/03/25(Sat) 14:38:35

Re: 放物線に交わる直線の式 NEW / noname
A(p,p^2/3),B(q,q^2/3)(p<0<q)の様にA,Bの座標を設定しておきます.また,A,Bからx軸に向けて垂線を引いた時にそれぞれの垂線とx軸との交点をD,Eとします.この時,

CD:CE=CA:CB=4:9

であるから,p^2/3・9/4=q^2/3が成立します.q>0に注意してこの方程式をpについて解くとp=-2q/3です.よって,直線ℓの式は

y=(q^2/3-p^2/3)/(q-p)・x+8=(p+q)/3・x+8=q/9・x+8.

この式においてy=0とするとx=-72/qであり,Cの座標は(-72/q,0)です.ここで,CD:DE=4:5より

5/4・(-2q/3+72/q)=5q/3.
∴-q/6+18/q=q/3.
∴q^2=36.
∴q=±6.

q>0よりq=6であるから,ℓの式はy=2/3・x+8となります.

No.42639 - 2017/03/25(Sat) 17:11:19

Re: 放物線に交わる直線の式 NEW / らすかる
別解

Bの座標を(b,b^2/3)(b>0)とおくと直線の式はy=(b^2/3-8)x/b+8 となり、
(b^2/3-8)x/b+8=x^2/3を整理すると(bx+24)(x-b)=0となりますので
Aのx座標は-24/bとわかります。
またCのx座標は(b^2/3-8)x/b+8=0からx=-24b/(b^2-24)です。
条件から(-24/b)-(-24b/(b^2-24)):b-(-24b/(b^2-24))=4:9であり
これを解くとb=6と出ますので、直線の式はy=(2/3)x+8となります。

No.42641 - 2017/03/25(Sat) 18:34:24
極限 / k
これを証明してください
No.42634 - 2017/03/24(Fri) 20:37:56

Re: 極限 / X
x→∞のとき2π/x→+0ですので
0<2π/x<π/2
と考えても問題ありません。
このとき、半角の公式により
√{2-2cos(2π/x)}=2sin(π/x)
よってπ/x=tと置くと
(左辺)=lim[t→+0]{π/(2t)}・2sint
=lim[t→+0](πsint)/t
=(右辺)

No.42635 - 2017/03/24(Fri) 21:05:50
整数 / たゆたう
9/x + yが10以下の正の整数になるような正の整数(x,y)の組はいくつあるか?という問題ですが、範囲の絞り込みを考えましたができないので教えてください。
No.42630 - 2017/03/24(Fri) 14:29:14

Re: 整数 / ヨッシー
xは1,3,9のいずれかです。
x=1 のとき、y=1 の1個
x=3 のとき、y=1,2,3・・・7 の7個
x=9 のとき、y=1,2,3・・・9 の9個
の合計17組

No.42632 - 2017/03/24(Fri) 14:47:27

Re: 整数 / たゆたう
理解できました。ありがとうございました。
No.42633 - 2017/03/24(Fri) 17:04:49
(No Subject) / カザフ
これもよろしくお願いします
No.42629 - 2017/03/24(Fri) 09:41:25

Re: / ヨッシー
2015Cm=(2015・2014・2013・・・)/(1・2・3・・・) において、
分子に掛けられている2の数が、分母を上回れば、偶数になります。
奇数は関係ないので、
 (2014・2012・2010・・・)/(2・4・6・・・)
を考えます。
 2014 は 2の倍数、2 は 2の倍数 であるので、2の倍数の現れ方は同じ
 ※ここでいう「2の倍数」は2の倍数であるが2^2 の倍数ではないという意味、以下同じ。
 2012 は 4の倍数、4 は 4の倍数 であるので、4の倍数の現れ方は同じ
 2008 は 8の倍数、8 は 8の倍数 であるので、8の倍数の現れ方は同じ
 2000 は 16の倍数、16 は 16の倍数 であるので、16の倍数の現れ方は同じ
 1984 は 64の倍数、32 は 32 の倍数であるので、ここで初めて偶数になる。
求めるmの最小値は32。

No.42631 - 2017/03/24(Fri) 14:44:43
(No Subject) / カザフ
解き方がわかりません。よろしくお願いします
No.42627 - 2017/03/24(Fri) 08:31:22

Re: / ヨッシー
△ACDと△BCDは1辺2の正三角形です。
球の中心は、この2つの正三角形の重心から、
各三角形を含む平面に垂直な直線上にあり、
この2直線の交点が中心となります。
CDの中心をMとするとAM=BM=√3 であり、
△ABMと中心の位置は図のようになります。

球の中心をO、△ACDの重心をG、△BCDの重心をHとすると
 MG=MH=√3/3
 OG=OH=1/3
 AG=BG=2√3/3
これらから、球の半径
 r=OA=OB=√13/3
が求められます。

No.42628 - 2017/03/24(Fri) 08:57:39
積分 / けーた
(6)の問題がわかりません。コサイン七乗は0≦θ≦2πで±の値をとることと対称性から、答えは0ということです。
なぜ答えが0になるかわかりません。

どうぞ宜しくお願いします。

No.42625 - 2017/03/24(Fri) 01:02:10

Re: 積分 / らすかる
sin(2π-θ)=-sinθ, cos(2π-θ)=cosθ, sin(π-θ)=sinθ, cos(π-θ)=-cosθ なので
∫[0〜2π](sinθ)^4(cosθ)^7dθ
=∫[0〜π](sinθ)^4(cosθ)^7dθ + ∫[π〜2π](sinθ)^4(cosθ)^7dθ
=∫[0〜π](sinθ)^4(cosθ)^7dθ + ∫[π〜2π](-sin(2π-θ))^4(cos(2π-θ))^7dθ
=∫[0〜π](sinθ)^4(cosθ)^7dθ + ∫[π〜2π](sin(2π-θ))^4(cos(2π-θ))^7dθ
=∫[0〜π](sinθ)^4(cosθ)^7dθ - ∫[π〜0](sinθ)^4(cosθ)^7dθ
=∫[0〜π](sinθ)^4(cosθ)^7dθ + ∫[0〜π](sinθ)^4(cosθ)^7dθ
=2∫[0〜π](sinθ)^4(cosθ)^7dθ
=2{∫[0〜π/2](sinθ)^4(cosθ)^7dθ + ∫[π/2〜π](sinθ)^4(cosθ)^7dθ}
=2{∫[0〜π/2](sinθ)^4(cosθ)^7dθ + ∫[π/2〜π](sin(π-θ))^4(-cos(π-θ))^7dθ}
=2{∫[0〜π/2](sinθ)^4(cosθ)^7dθ - ∫[π/2〜π](sin(π-θ))^4(cos(π-θ))^7dθ}
=2{∫[0〜π/2](sinθ)^4(cosθ)^7dθ + ∫[π/2〜0](sinθ)^4(cosθ)^7dθ}
=2{∫[0〜π/2](sinθ)^4(cosθ)^7dθ - ∫[0〜π/2](sinθ)^4(cosθ)^7dθ}
=0
となりますね。

No.42626 - 2017/03/24(Fri) 05:37:03

Re: 積分 NEW / けーた
らすかるさん
ありがとうございます。

No.42638 - 2017/03/25(Sat) 16:47:43
関数について / カザフ
この問題の答えをお願いします
No.42619 - 2017/03/23(Thu) 11:56:51

Re: 関数について / らすかる
x^3=1-y^2
y→-∞のとき(右辺)→-∞なのでx→-∞
よってx+yの最小値は存在しない。

y>1とするとx<0
x^3=1-y^2>-y^2 から x>-y^(2/3)
よってy→+∞のとき
x+y>y-y^(2/3)→+∞なので
x+yの最大値も存在しない。

No.42621 - 2017/03/23(Thu) 13:13:56
数学・力学の問題 / たなお
以下の問題について、途中からどのように変形すればいいかが分かりません。
画像の★の部分までは解けるのですが、その先が分かりません。問題が載っていた本にもこれ以上の詳しい解説はありませんでした。
どうかご教授よろしくお願い致します。
また、情報不足があればご指摘願います。


<問題>
空気の抵抗が速さに比例する大きさ(kmV)を持つときの放物運動で、抵抗が小さいとして放物距離の近似式を求めよ。

No.42610 - 2017/03/23(Thu) 04:24:24

Re: 数学・力学の問題 / X
私は「放物距離」という言葉を初めて聞きますが、
これは始点から時刻tにおける位置までの移動距離
を指しているのでしょうか?
でしたら計算すべきはx,yではなく、放物距離を
sとして
s=∫[0→t]√(u^2+v^2)dt
となります。

No.42612 - 2017/03/23(Thu) 06:32:54

Re: 数学・力学の問題 / たなお
Xさん

返信ありがとうございます。
「放物距離」については、私は「x方向の最大到達距離」という認識でした。本に載っていた解説からそのように判断しています(画像に書かれていることは本に載っていた内容そのままです)。
なので、xを求めるものと考えておりましたが、間違っていますでしょうか?

No.42614 - 2017/03/23(Thu) 07:45:29

Re: 数学・力学の問題 / たなお
Xさん

補足です。
問題文に関しても、本に載っていた文そのままです。
あと、画像最終行の「x=」は自分で勝手に入れてしまっていました。そのあとの「V0〜」は本に載っている通りです。

よろしくお願い致します。

No.42615 - 2017/03/23(Thu) 07:48:00

Re: 数学・力学の問題 / らすかる
「放物距離」という言葉が相当珍しいようで、
"放物距離"をGoogleで検索すると
全く同じ問題と解答が見つかります。

# 検索は
# 放物距離
# ではなく
# "放物距離"
# のように半角の" "で囲って下さい。

No.42616 - 2017/03/23(Thu) 08:31:54

Re: 数学・力学の問題 / たなお
らすかる さん

ありがとうございます!助かりました!
検索でヒットしました。そちらを参考にさせていただきます。
また分からないところがあれば再度投稿させていただきます。

Xさんもありがとうございました。

No.42617 - 2017/03/23(Thu) 08:48:29
連立微分方程式 / ふなっし
以下の連立微分方程式の解y=y(x),z=z(x)を求めよ、と言う問題です。
(dy/dx=y+2z+1
{dz/dx=2y+z+3
(y(0)=z(0)=1/3

進め方がよくわかりません、ご教示お願いいたします。

No.42609 - 2017/03/22(Wed) 22:40:47

Re: 連立微分方程式 / X
dy/dx=y+2z+1 (A)
dz/dx=2y+z+3 (B)
y(0)=z(0)=1/3 (C)
とします。

(A)+(B)より
(d/dx)(y+z)=3(y+z)+4 (D)
(A)-(B)より
(d/dx)(y-z)=-(y+z)-2 (E)
∴y+z=u,y-z=v (P)
と置くと、(D)(E)はそれぞれ
du/dx=3u+4 (D)'
dv/dx=-v-2 (E)'
又(C)により
u(0)=2/3 (F)
v(0)=0 (G)
更に(P)より
x=(u+v)/2 (H)
y=(u-v)/2 (I)
(F)(G)の下で(D)'(E)'を解いて
u,vを求め、その結果を
(H)(I)に代入します。

No.42611 - 2017/03/23(Thu) 06:27:27

Re: 連立微分方程式 / X
この他に行列の固有値を使う別解もありますが、
そちらの方が必要でしたら、その旨を
アップして下さい。

No.42613 - 2017/03/23(Thu) 06:35:52

Re: 連立微分方程式 / ふなっし
ありがとうございます!
とりあえず今ご提示頂いた方法で、やってみます!

No.42620 - 2017/03/23(Thu) 12:07:10

Re: 連立微分方程式 / X
>>ふなっしさんへ
もう見ていないかもしれませんが、
もう少し簡単に解けるように
No.42611を修正しましたので
再度ご覧下さい。

No.42622 - 2017/03/23(Thu) 20:05:56

Re: 連立微分方程式 / ふなっし
只今修正くださったものは確認致しました!

今,修正前の説明から以下のような解答を作ったのですが・・・

du/dx=3u+4 を変数分離形として解くいていくと
du/(3u+4)=dx
log|3u+4|=3x+C_1
3u+4=Ae^3x
ここでu(0)=2/3より、A=6だから
u=2e^3x-4/3
y=2e^3x-4/3-z
これを連立微分方程式の第一式に代入して・・・

と進めたのですが、どこか間違っているようです。

添削をお願いいただけますでしょうか。
お願いいたします。

No.42623 - 2017/03/23(Thu) 22:10:14

Re: 連立微分方程式 / ふなっし
間違ってはいませんでした!
とりあえず、ありがとうございました!

No.42624 - 2017/03/23(Thu) 22:32:11
数学的帰納法を使った証明(数学B) / あしょろ
添付した写真の(2)の推定した一般項を数学的帰納法を用いて証明する問題について解説してほしいです。(1)及び(2)の一般項を推定する所まではできました。しかし、それを証明する部分は解説を見てもよくわかりませんでした。✳普通ならn=1で成り立つことを示しますが、n=1,2で成立することを解答では示していて色々と混乱しています。
No.42606 - 2017/03/22(Wed) 19:24:20

Re: 数学的帰納法を使った証明(数学B) / IT
できたところまでと、分からないという解説も書き込まれたほうが有効な回答が得やすいと思います。
No.42607 - 2017/03/22(Wed) 19:45:01

Re: 数学的帰納法を使った証明(数学B) / IT
> (1)及び(2)の一般項を推定する所まではできました。
a[n]=1/(2n) でしょうか?

> n=1,2で成立することを解答では示していて色々と混乱しています。
a[1]=1/2,a[2]=1/4 だから {a[n]} が定まるのであって、
a[1]=1/2 とΣa[k]a[k+1]=a[n+1]/(4a[n]) だけでは{a[n]}は定まりません。

No.42608 - 2017/03/22(Wed) 22:09:33

Re: 数学的帰納法を使った証明(数学B) / あしょろ
すみません!次はそういう質問します!
一般項はそうです。

この場合、一般項を含むものがΣ(和)で表されていているからn=1,2で最初の二項の関係を調べる必要があるということですか?

No.42618 - 2017/03/23(Thu) 08:58:18
(No Subject) / 数学初心者
写真の因数分解についてですが
-rでくくり出すためにはどうやっているのか分かりませんでした。
どういった計算が省かれているのか説明できる方いらっしゃいましたらご教示くださいm(_ _)m

No.42592 - 2017/03/21(Tue) 22:33:53

Re: / IT
a[k]はa と書きます

ra(1-a)-(r-1)/r
=r{a(1-a)-(r-1)/r^2}
=-r{a(a-1)+(r-1)/r^2}
=-r{a^2-a+((r-1)/r)(1/r)}
=-r(a-(r-1)/r)(a-1/r)

No.42593 - 2017/03/21(Tue) 22:49:28

Re: / らすかる
次のようにすることもできます。

ra(1-a)-(r-1)/r
=ra-ra^2-1+1/r
=-r(a^2-a+1/r-1/r^2)
=-r{(a^2-1/r^2)-(a-1/r)}
=-r{(a+1/r)(a-1/r)-(a-1/r)}
=-r(a-1/r){(a+1/r)-1}
=-r(a-1/r){a-(1-1/r)}
=-r(a-1/r){a-(r-1)/r}

No.42596 - 2017/03/22(Wed) 08:35:12
n乗根について / hiyokko2
nが奇数のとき、n√(a^n)=a(aのn乗のn乗根イコールa)の証明と

nが偶数のとき、n√(a^n)=|a|(aのn乗のn乗根イコール絶対値a)の証明を教えてください。

No.42591 - 2017/03/21(Tue) 22:30:43

Re: n乗根について / ヨッシー
これは「証明せよ」という問題が出たのでしょうか?
 

No.42604 - 2017/03/22(Wed) 14:41:03

Re: n乗根について / hiyokko2
問題が出たわけではありませんが、
証明はあるのかなと疑問に思ったので。

No.42605 - 2017/03/22(Wed) 16:30:13
図形の問題 問2 / 後藤
いろいろ考えてみたんですが、解りません。詳しい解説お願いします。正解 8√3です。
No.42583 - 2017/03/21(Tue) 20:54:59

Re: 図形の問題 問2 / ヨッシー
まず、四面体A−BCDの体積は24√3 です。

△ABCを含む面を底面とすると、△BQPは△ABCの
 (BP/BC)×(CQ/AC)=(2/3) 倍
高さは
 (AM/AD)=1/2 倍
よって、求める体積は
 24√3×2/3×1/2=8√3 ・・・答え

No.42588 - 2017/03/21(Tue) 21:16:49

Re: 図形の問題 問2 / 北gotou
△ABCを含む面を底面とすると、△BQPは△ABCの
 (BP/BC)×(CQ/AC)=(2/3) 倍
高さは
 (AM/AD)=1/2 倍
よって、求める体積は
 24√3×2/3×1/2=8√3 ・・・答え

No.42601 - 2017/03/22(Wed) 11:13:42

Re: 図形の問題 問2 / 後藤
△ABCを含む面を底面とすると、△BQPは△ABCの
 (BP/BC)×(CQ/AC)=(2/3) 倍
高さは
 (AM/AD)=1/2 倍
よって、求める体積は
 24√3×2/3×1/2=8√3 ・・・答え

解説が解りません。

No.42602 - 2017/03/22(Wed) 11:15:22

Re: 図形の問題 問2 / ヨッシー
△ABCを含む平面をαとします。

四面体A−BCDは、△ABCを底面とすると、Dからαまでの距離が高さになります。
四面体M−QBPは、△BQPを底面とすると、Mからαまでの距離が高さになります。

では、四面体M−QBPは、四面体A−BCDに比べて、
底面積は何倍か?高さは何倍か?
と考えていったのが、上の式です。

No.42603 - 2017/03/22(Wed) 11:31:14
メールについて / hiyokko2
数学の質問ではないのですが、投稿の際にメール欄にメールアドレスを書くとレスが付いたときにお知らせメールが来たりするのでしょうか?あとメールアドレスは公開されるのでしょうか?
No.42582 - 2017/03/21(Tue) 20:35:44

Re: メールについて / ヨッシー
通知は行きません。

公開はされます。

No.42586 - 2017/03/21(Tue) 21:02:59

Re: メールについて / hiyokko2
分かりました。
No.42587 - 2017/03/21(Tue) 21:13:34
関数 / 北村
Aの解き方が解りません。解説宜しくお願い致します。う9え5です。
No.42581 - 2017/03/21(Tue) 20:14:52

Re: 関数 / ヨッシー
△PCD:△PBD=9:6=3:2
よって、
△PBDは△ACPの4/15倍。
△PBCは△ACPの2/3倍
よって、
 AP:PB=3:2
Pの座標は(3×3/5, 9×2/5)=(9/5, 18/5)

No.42589 - 2017/03/21(Tue) 21:27:24

Re: 関数 / 北村
△PBDは△ACPの4/15倍。
△PBCは△ACPの2/3倍
書いている内容が解りません。

No.42595 - 2017/03/22(Wed) 08:18:08

Re: 関数 / ヨッシー
△PBDの面積は△ACPの面積の4/15倍
△PBCの面積は△ACPの面積の2/3倍
ということです。

ところで、
△CDP:△CBP=3:5
よって、
△CBPの面積は△ACPの面積の
 2/5×5/3=2/3 (倍)
とした方が、式が1つ少なくてすみますので紹介しておきます。

No.42599 - 2017/03/22(Wed) 09:31:47
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