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ヨッシーの八方掲示板(算数・数学 質問掲示板)

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図形 NEW / シャーマンジャンボ
△ABCにおいて、辺ABを1:2に内分する点をD、辺ACを3:1に内分する点をEとする。

直線BEと直線CDの交点をPとし、直線APと直線BCの交点をFとすると、このとき点Fは線分BCを ア:イ に内分する点であり、点Pは線分AFを ウ:エ に内分する点である。直線DEと直線BCの交点をQとするとき、点Qは線分BCを オ:カ に外部する点である。

出来れば図も踏まえて、解説お願いします。

No.57785 - 2019/04/21(Sun) 21:18:03
大至急 NEW / 算数初心者
先程の二桁という表記は無視して下さい。よろしくお願いします。
No.57784 - 2019/04/21(Sun) 20:35:21
大至急 NEW / 算数初心者
分からす困っております。大至急お助け下さい。

約束記号の問題です。

4*7=21
5*13=22
8*20=36
9*18=❓(二けた)

よろしくお願いします。

No.57783 - 2019/04/21(Sun) 20:19:52

Re: 大至急 NEW / らすかる
左の数の7倍から右の数を引いた結果なので、
9×7-18=45ですね。

No.57788 - 2019/04/22(Mon) 04:29:38
(No Subject) NEW / 晴れ
三角形ABCがありAB=15/2,CA=12である。辺CA上にCD=7となるように点Dを取る。また角度Aの二等分線とBC,BDとの交点をそれぞれE,Fとする。さらに直線CFと辺ABの交点をGとする。この時BF=3√7/2,DG=√21であり四角形AGFDは円に内接している

BE/EC=5/8
三角形BFGと三角形BADは相似であるからFG=√7,CF=3√7
AF/FE=13/7
EF=?(解答21√3/13)

一番最後のEFの長さが求められなくて困っています。解説よろしくお願いします

No.57777 - 2019/04/21(Sun) 15:52:16

Re: NEW / らすかる
CからABに垂線CHを下ろすと
(AG+GH)^2+CH^2=AC^2=144
GH^2+CH^2=CG^2=112
上式から下式を引いてAG=4を代入してGHを求めるとGH=2
CH^2=112-GH^2=108
BH=BG-GH=3/2
BC=√(BH^2+CH^2)=√(9/4+108)=21/2

AからBCに垂線AIを下ろすと
(BC-BI)^2+AI^2=AC^2=144
BI^2+AI^2=AB^2=225/4
上式から下式を引いてBC=21/2を代入してBIを求めるとBI=15/14
AI^2=225/4-BI^2=225/4-225/196=225(1/4-1/196)=2700/49
BE=(5/13)BC=105/2なので
AE=√{(BE-BI)^2+AI^2}=√{(105/26-15/14)^2+2700/49}=60√3/13

AF:FE=13:7なので
EF=(7/20)AE=21√3/13

# 角の二等分線の長さの公式など使えれば、もっと早く求まります。

No.57782 - 2019/04/21(Sun) 19:53:40
(No Subject) NEW / 青チャート
この問題の解説で、

P_1(n)=P_2(n)
などとなるのはなぜですか?

感覚的にわかるのですが、判然としません。

解説は次のレスの画像に載せます。

No.57773 - 2019/04/21(Sun) 12:32:16

Re: NEW / 青チャート
ナゼ?とかいてあるところです。
No.57774 - 2019/04/21(Sun) 12:33:01

Re: NEW / IT
> P_1(n)=P_2(n)
写し間違いでは?

> などとなるのはなぜですか?
> 感覚的にわかるのですが、判然としません。


感覚的ではなく、漸化式の右辺がまったく同じになっていませんか?

No.57775 - 2019/04/21(Sun) 13:04:06

Re: NEW / 青チャート
すみません。写し間違いです。

P1(n)=P6(n)などのことです。

確かに同じ値になりますが、P1(n+1)=P6(n+1)が等しいのであって。P1(n)=P2(n)が何で等しいか言葉でうまく説明できません。

No.57778 - 2019/04/21(Sun) 16:36:38

Re: NEW / IT
> P1(n)=P2(n)
書き間違いでは?

m=n+1 とおくと どうですか?

No.57780 - 2019/04/21(Sun) 16:46:26

Re: NEW / 青チャート
なるほど、そう考えると納得でした!
書き間違いの連続すみませんでした。次から気をつけます。

ありがとうございます!

No.57781 - 2019/04/21(Sun) 17:16:43
(No Subject) / ピアノ
「よって」まではわかるのですが、「ゆえに」からがわかりません。どういう変換をしたのですか?教えてください。
No.57765 - 2019/04/21(Sun) 02:10:50

Re: / ピアノ
すみません、つけ忘れです。
No.57766 - 2019/04/21(Sun) 02:11:15

Re: / IT
10^x は狭義単調増加関数なので
 a<b<c のとき 10^a<10^b<10^c です。
 a<b<c を 86<log[10](12^10)<87 におきかえて考えてください。

No.57767 - 2019/04/21(Sun) 03:10:30

Re: NEW / ピアノ
10^《log[10](12^80)》ってなりますよね…
これをどのようにして12^80にするのですか?

No.57786 - 2019/04/21(Sun) 22:16:38

Re: NEW / IT
log の定義から
 a>0,a≠1、M>0について、a^{log[a](M)}=M です。
教科書を確認してください。

No.57787 - 2019/04/21(Sun) 23:32:12
こんばんは / ピアノ
ここで平方完成した理由ってなんですか??
No.57764 - 2019/04/21(Sun) 01:56:33

Re: こんばんは / IT
「平方完成」は、2次関数の最大値(2次の係数が負の場合)、最小値(2次の係数が正の場合)を調べるための常套手段(セオリー)です。
No.57768 - 2019/04/21(Sun) 03:18:06

Re: こんばんは NEW / ピアノ
そうだったのですね!
ありがとうございます。

No.57770 - 2019/04/21(Sun) 11:00:13

Re: こんばんは NEW / ピアノ
あと、もう一つ教えてほしいです。
最大値最小値というのは頂点のことですか?

No.57771 - 2019/04/21(Sun) 11:02:44

Re: こんばんは NEW / らすかる
対数関数の最大値最小値は「頂点」とは言いません。
No.57772 - 2019/04/21(Sun) 11:49:46
積分 / ゆい橋
この写真の問題なのですが、どちらのグラフが上になるのか求め方がわかりません。詳しく解説お願いしますー!
No.57762 - 2019/04/20(Sat) 22:54:08

Re: 積分 / 関数電卓
題意よりAの b,c は、b=a^3+1, c=−2(a^3+1) となり、
 y1=ax^2+(a−2)x−(a−2) …@
 y2=(a^3+3)x^2+(a^3+1)x−2(a^3+1) …A
です。このとき、
 y1−y2=…=−(a^3−a+3)(x^2+x−2)
で、a>0 で a^3−a+3>0、−2<x<1 で x^2+x−2<0 ですから、y1−y2>0
すなわち、a>0 では @がつねに上 です。

@Aが囲む部分の面積 S は、
 S=∫[−2,1](y1−y2)dx=…=(9/2)(a^3−a+3)
ですね。

No.57763 - 2019/04/21(Sun) 00:06:55

Re: 積分 NEW / らすかる
「どちらが上か」を考えない方法もありますね。
(求める面積)=∫[-2〜1]|(@の右辺)-(Aの右辺)|dx
=(9/2)|a^3-a+3|
=(9/2)(a^3-a+3) (∵a^3-a+3=(a+2)(a-1)^2+2a+1>0)

No.57769 - 2019/04/21(Sun) 07:52:54
(No Subject) / 驕るな
中学3年生です。答えだけが載っていて、解き方が分かりません。

正三角形ABCの辺BC、CA上にそれぞれBD=CEである点D、Eをとる。AD、BEの交点をPとして、
(1)AD=BEを証明しなさい
(2)角APBは何度か

⑵が120度となる理由がいまいちピンときてません。円周角の定理を用いてそうだと思うのですが、各頂点が円周上の点であると言えていないので、困っています。

No.57758 - 2019/04/20(Sat) 17:27:28

Re: / X
円周角の定理は使いません。

(1)の過程から
∠BAD=∠CBE
そこでこれをx[°]と置くと
△ABPに注目して
∠ADC=60+x[°]
よって△BPDに注目すると
∠BPD=∠ADC-∠CBE
=60+x-x[°]
=60°
よって
∠APB=180°-∠BPD
=120°

No.57760 - 2019/04/20(Sat) 18:55:19
円と放物線 / 高3
この問題の模範解答は法線ベクトルを(2t,-1)と置いていますが
自分は(-2t , 1 ) とおきました。
するとOP=( t - 2st , t^2 + s ) となり
OP=R のy 座標より s = t^2 /{ √(4+1/t^2 ) -1 } となり
s/t → ∞ を計算すると 1/2 となります。
よってs/t → ∞ のとき ORの傾きは -1 となってしまいます。
しかし、ここの答えが1とならないと、模範解答と同じ答えになりません。自分の解答のどこが間違っているか、ご教授お願いします。

No.57754 - 2019/04/20(Sat) 16:00:11

Re: 円と放物線 / 高3
模範解答はこれです。
No.57755 - 2019/04/20(Sat) 16:00:57

Re: 円と放物線 / X
法線ベクトルを(-2t,1)と置いたのであれば、条件から
s<0
となります。
そこを踏まえてもう一度計算を見直してみましょう。

No.57756 - 2019/04/20(Sat) 17:16:03

Re: 円と放物線 / 高3
X さん 返信ありがとうございます。
もう一度考え直したところ
S<0 となることはわかったのですが、
自分は全ての式を同地で変形したため、S<0を使う場所が見つかりません。
どこでその条件を使うか教えていただけませんか?
お願いします。

No.57757 - 2019/04/20(Sat) 17:22:13

Re: 円と放物線 / X
>>自分は全ての式を同地で変形したため
その計算過程で
√(s^2)=s
として変形していませんか?
s<0ですので
√(s^2)=-s
となります。

No.57759 - 2019/04/20(Sat) 18:40:15

Re: 円と放物線 NEW / X
レスがないようなのでもう少しアップしておきます。

法線ベクトルを(-2t,1)と置くと
↑OR=(t-2st,t^2+s)
ここで
PR=(Rのy座標)
ですので
√{(2st)^2+s^2}=t^2+s
∴s<0に注意すると
-s√(4t^2+1)=t^2+s
これより
s=-(t^2)/{√(4t^2+1)+1} (A)
又、直線ORの傾きは
(t^2+s)/(t-2st)=(1+s/t^2)/(1/t-2s/t) (B)
(A)より
lim[t→∞]s/t=lim[t→∞](-t)/{√(4t^2+1)+1}
=-1/2
∴(B)より
lim[t→∞](直線ORの傾き)=(1+0)/{0-2・(-1/2)}
=1
となります。

No.57776 - 2019/04/21(Sun) 15:35:06
行列 / Fox
問2.13 についてですが、t0は、0と同じ扱い=なにをかけても0という性質を使っていいのですか?
いまいち、式整理が出来なくて困っています。

No.57752 - 2019/04/20(Sat) 15:17:47

Re: 行列 / konP
t0というのは零ベクトル0=(0,0,・・・0)の転置行列のことです。

t0=t[0,0,・・・0]となります。何を掛けてもゼロというのは、行列の演算について言えば正しいです。

No.57753 - 2019/04/20(Sat) 15:33:38
rungeの定理の証明に使う補題について / konP
大学生向けの質問です。複素解析の教科書を使用してます。写真の命題3.24についてです。証明5行目の∂O∩D≠∅を示すところで、「2つの開集合OとD-O」とありますが、なぜこの2つは開集合になるのでしょうか。よろしくお願いします。
No.57751 - 2019/04/20(Sat) 10:47:38
大学数学のご質問 / みやっち
今は大学の4年生です。

この問題は院試の過去問ですが、最後までお答えする必要はなく、途中の式変形が分からず質問した次第です。大学入試では具体的な関数が与えられ、漸化式に持ち込んで解くのですが、関数f(x)は単調増加関数という条件のみになっています。また、τ=xe^(-u)と置換し、広義積分に持ち込むのはなぜなのか分かりません。なにかアドバイスを頂けると幸いです。

よろしくお願いします。

No.57750 - 2019/04/19(Fri) 23:48:41
場合の数 / yukimi
1つの円周上に異なるn個の点をとり、これらを順に結んでn角形を作る。
ただしnは4以上の自然数とする。

このn角形の対角線がちょうど3辺となる三角形の個数を求めよ。


n点から3点を選ぶ方法がnC3

三角形の2辺がn角形の辺となる方法がn

あとは三角形の1辺がn角形の辺となる場合を求めればいいと思ったんですが、ここからがわかりません。どうやって考えればいいのでしょうか?

No.57748 - 2019/04/19(Fri) 22:44:44

Re: 場合の数 / らすかる
三角形の1辺がn角形の辺となるのは、
その辺の選び方がn通り
残りの頂点は、上で選んだ辺の両端とその両隣の4点以外が選べるのでn-4通り
よって1辺がn角形の辺となるのはn(n-4)通りです。

参考までに、そのように場合分けせずに求めることもできます。
まず1点を選ぶ方法がn通り
残りの2点は最初に選んだ点とその隣の3点を除くn-3点から選べばよいが、
2点が隣り合う場合は除かなければいけないので
片方の端を除くn-4点から2点選び、除いた端に近い方の点を一つずらせばよい。
よってn-3点から隣接しないように2点を選ぶ方法は(n-4)C2通り
これに最初のnを掛けたものは求める場合の数の3倍なので
(一つの三角形に対して最初の点の選び方が3通りあるから)
求める個数はn・(n-4)C2/3=n(n-4)(n-5)/6個。
# ただし、n=4,5では途中計算で不都合がありますので、
# n≧6として求めてn=4,5でも成り立つことを言う必要があります。

No.57749 - 2019/04/19(Fri) 23:11:55

Re: 場合の数 / yukimi
ありがとうございました!!
No.57761 - 2019/04/20(Sat) 20:41:44
グラフの対称性 / 魚
「x=2y^2はy=2x^2のグラフと、直線y=xに関して対称」となるのはどうしてですか?
No.57745 - 2019/04/19(Fri) 18:12:18

Re: グラフの対称性 / らすかる
ある点(a,b)に対して、直線y=xに関して対称である点は(b,a)ですから、
xとyを交換すればy=xに関して対称になります。

No.57747 - 2019/04/19(Fri) 19:35:50
高校数学 / 茶華道

8行目の AM:MC=△BAP:△BCP がなぜなるのか分かりません。
教えて下さい。お願いします。

No.57741 - 2019/04/19(Fri) 13:14:53

Re: 高校数学 / SS
青ラインを底辺と考えてすると……
△=底辺×高さ=面積で、青ラインの底辺が等しい長さだから、面積比=高さ(AM:MC)になるからです。

No.57742 - 2019/04/19(Fri) 16:19:25

Re: 高校数学 / 茶華道
BMとACは垂直と証明できていないと思うのですがこの場合でも
AM:MCが高さになるんですか?

No.57743 - 2019/04/19(Fri) 16:33:45

Re: 高校数学 / らすかる
A,Cから直線BMにぞれぞれ垂線AD,CEを下ろすと△ADM∽△CEMですから、
△BAP:△BCP=AD:CE=AM:CMとなります。
このように相似の直角三角形が作れることから、一般に
垂直でなくても長さの比が高さの比になります。

No.57744 - 2019/04/19(Fri) 17:45:56

Re: 高校数学 / 茶華道
理解出来ました。
ありがとうございます。

No.57746 - 2019/04/19(Fri) 19:02:13
中3数学 発展問題です。 / 驕るな
略解しか載っておらず、解き方が分かりません。ご教授下さい。
答えは
⑴AC 16p AB 8+8√3p
⑵S=t^2 (0≦t≦8) S=8t (8<t≦4+4√3)

No.57738 - 2019/04/19(Fri) 08:25:51

Re: 中3数学 発展問題です。 / らすかる
(1)
CからABに垂線CHを下ろすと
△HBCは直角二等辺三角形なのでHB=HC=8cm
△AHCは3つの角が30°,60°,90°の三角形なので
AC=2HC=16cm, AH=(√3)HC=8√3cm
従ってAC=16cm、AB=AH+HB=8+8√3cm

(2)
AC=16cmからQがAからCまで移動する時間は16÷2=8秒で
その間のAQの長さは2tcm
またAB=8+8√3cmからPがAからBまで移動する時間は(8+8√3)÷2=4+4√3秒で
その間のAPの長さは2tcm
よって△APQは0≦t≦8では二等辺三角形、8<t≦4+4√3のとき一般の三角形
0≦t≦8のときQからABに垂線QIを下ろすとQI=AQ/2なので
△APQ=(AP×AQ/2)÷2=2t×2t÷2÷2=t^2
8<t≦4+4√3のときQI/2=AC/2=8cmなので
△APQ=(AP×8)÷2=2t×8÷2=8t

# (2)は答えから推測すると上記の解答で正解になると思いますが、
# 点Qが8<tのときにCにとどまると考えていることから
# 点Pも4+4√3<tのときBにとどまると考えるべきであり、
# そうすると4+4√3<tを除外できる理由はありませんので、
# 本当の正解は
# S=t^2 (0≦t≦8)
# S=8t (8<t≦4+4√3)
# S=32+32√3 (4+4√3<t)
# でないとおかしいと思います。
# (グラフは4+4√3秒経過後はS=32+32√3の水平線)

No.57739 - 2019/04/19(Fri) 09:23:05
(No Subject) / FIRE
この問題が分かりません。どなたか教えて下さい!太字の5番です
No.57730 - 2019/04/19(Fri) 00:53:41

Re: / X
条件から点P、Qはそれぞれ△ABD,△ACDの重心ですので
BP:PN=CQ:QN=2:1
よってBC//PQ

No.57732 - 2019/04/19(Fri) 06:04:13
(No Subject) / ミライ
これらの問題((1)@とAと(1)と(2))が分かりません。頭が冴えなくてすみません…
No.57728 - 2019/04/19(Fri) 00:48:37

Re: / FIRE
ごめんなさい、問題番号あんまり見えませんでした。写真に写ってる問題全てです
No.57729 - 2019/04/19(Fri) 00:49:58

Re: / らすかる
問題番号だけでなく問題文の左端も切れていますので、
問題がよくわかりません。
問題を推測して解いても、
もし違っていたら徒労になりますので、
写真を撮り直して頂いた方が良いかと思います。

No.57736 - 2019/04/19(Fri) 07:24:39
(No Subject) / FIRE
太文字の11番が分かりません、教えて下さい
No.57727 - 2019/04/19(Fri) 00:35:03

Re: / X
(1)
条件から、点L,M,Nはそれぞれ辺BC,CA,ABの中点。
よって△ABCの面積をSとすると
△ABL,△ALC,△BCM,△ABM,△CAN,△BCN (A)
の面積はいずれもS/2
一方、点Gは△ABCの重心ですので
AG:GL=BG:GM=CG:GN=2:1
よって問題の6個の三角形の面積はいずれも
(A)の三角形の面積の1/3、つまり
(1/3)(S/2)=S/6

(2)
@
(1)の結果により求める面積は
24[cm^2]÷6=4[cm^2]
A
問題の四角形の面積は(1)の問題文の
6個の三角形の二つ分の面積ですので
24[cm^2]÷6×=8[cm^2]

No.57731 - 2019/04/19(Fri) 05:57:52
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