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ヨッシーの八方掲示板(算数・数学 質問掲示板)

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集合の証明 NEW / ポリーナ
集合の包含関係の証明です。

[Q] A_k⊂B_k (k=1,2,…)とする。この時,∪[k=1..∞]B_k\∪[m=1..∞]A_m⊂∪[k=1..∞](B_k\A_k)。
(証明)
∪[k=1..∞]B_k\∪[m=1..∞]A_m=∪[k=1..∞]B_k∩(∪[m=1..∞]A_m)^c=∪[k=1..∞]B_k∩(∩[m=1..∞]A_m^c)より
∀x∈∪[k=1..∞]B_k\∪[m=1..∞]A_mに対して,∃k∈N such that x∈B_k且つ∀m∈Nに対してx∈A_m^c.
従って, このxにはx∈B_k且つx∈A_k^cが言える。
よってx∈B_k\A_k。
以上から
x∈∪[k=1..∞](B_k\A_k) (終)。

これで合ってますでしょうか?

No.59470 - 2019/06/26(Wed) 10:42:15
放物線と直線の交点 NEW / ピカりん
受験数学でなくてすみません 

放物線と放物線の焦点を通る直線との交点
(p1(〜, x1), p2(〜, x2)) で
x1とx2の間に 特別の(単純、美しいとか)関係がありますか?

(焦点のx座標を 0 として)

No.59466 - 2019/06/25(Tue) 15:26:15

Re: 放物線と直線の交点 NEW / らすかる
放物線y=ax^2+bx+cの焦点を通る傾きmの直線と
その放物線の2交点は
({m-b±√(m^2+1)}/(2a),{2m(m±√(m^2+1))-(b^2-4ac-1)}/(4a)) (複号同順)
となります。
焦点のx座標が0のときb=0ですが、b=0としても特に特別の関係があるようには
(私には)思えません。

No.59468 - 2019/06/25(Tue) 17:09:28
微分法の応用 / Qちゃん
0<t<1であるようなtのおのおのの値に対して、xの関数、f(x)=(x+t)/{x(1-tx)}を考える。

区間0<t<1においてf(x)の最小値を与えるxの値をαとする。

tが0<t<1を動くとき、点(α,f(α))はどのような曲線を描くか。

わかりやすく教えてください。よろしくお願いします。

No.59464 - 2019/06/25(Tue) 10:17:43

Re: 微分法の応用 / らすかる
xの範囲が実数全体とするとf(x)の最小値は存在しませんので、
「区間0<t<1において」が
「区間0<x<1において」の間違いと判断します。

f(x)=(x+t)/{x(1-tx)} のとき
f'(x)=t(x^2+2tx-1)/{x(1-tx)}^2 なので
x→+0 のとき f(x)→+∞
0<x<√(t^2+1)-t のとき f'(x)<0なので減少
x=√(t^2+1)-t のとき最小
√(t^2+1)-t<x<1 のとき f'(x)>0なので増加
x→1-0のときf(x)=1+2t/(1-t)
よって0<x<1でf(x)が最小値をとるxはx=√(t^2+1)-t

x=√(t^2+1)-tのとき
t=(1-x^2)/(2x)
これをf(x)の式に代入して整理すると
(x+t)/{x(1-tx)}
=(x+(1-x^2)/(2x))/{x(1-(1-x^2)/2)}
=1/x^2
またg(t)=√(t^2+1)-tとおくと
g'(t)={t-√(t^2+1)}/√(t^2+1)<0なので
g(t)は減少関数で、
t=0のとき√(t^2+1)-t=1、t=1のとき√(t^2+1)-t=√2-1
従って点(α,f(α))が描く曲線は
y=1/x^2(√2-1<x<1)

No.59465 - 2019/06/25(Tue) 11:18:35
(No Subject) / ブナシメジ
上三角行列Aの階数gsAの非零対角成分の個数以上であることを示してください
No.59458 - 2019/06/24(Mon) 18:37:44

Re: / ブナシメジ
上三角行列Aの階数がAの非零対角成分の個数以上であることを示してください ということです
No.59459 - 2019/06/24(Mon) 18:38:33
(No Subject) / あ@無課金
大学一年の線形代数の問題です
m×n行列A, k×l行列B, m×l行列Cに対して
rank[A C]= rankAかつrank[B/C]= rankBが
AXB=C となるn×k行列Xが存在することと同値であることを示してください
B/Cとは(k+m)×l行列のことです

No.59457 - 2019/06/24(Mon) 18:32:15
(No Subject) / 棚田
単位円上を2点P,Qが動いている。
定点A(-7/2,0)を定めたとき、△APQの面積の最小値を求めよ。

どなたかお願いします。

自分が考えてうまくいかなかった(計算が煩雑すぎて最後までたどり着けなかった。√がうまく消えなかった)やり方は

P(cosa1,sina1) とおいて、
一文字固定(Pを固定して、Qを定めてから、Pをもう一回動かす。

P(cosa1,sina1) Q(cosa2,sina2)と置いて、加法定理を上手く用いて、絶対値を外そうとする。

PQがy軸に平行な時に面積が最大になりそう(自分の勝手な推測です)だから、そのことを証明してから、一時変数としてとく。

この3つのやり方を試しました。

最後に、
一番自分が惜しいとこまで行ったの思ったやり方があり、それはpqの長さを固定して、やったやり方です。

どなたかpqの長さを固定するやり方、もしくは他のやり方でこの問題の解き方を教えていただけませんでしょうか?

No.59454 - 2019/06/24(Mon) 17:39:11

Re: / 棚田
自分は理系なので、数3までわかります。
No.59455 - 2019/06/24(Mon) 17:42:27

Re: / らすかる
「△APQの面積の最小値を求めよ。」は
「△APQの面積の最大値を求めよ。」の間違いと判断して回答します。

PQがy軸に平行になるように配置し、PQを△APQの「底辺」とみて
Aを原点中心に回転させることを考えると、明らかにAがPQから遠い方の
x軸上にある時に高さが最大になるので、Aがx軸上であれば
PQがy軸に平行でP,Qのx座標が負でないときに最大となる。
P(t,√(1-t^2)),Q(t,-√(1-t^2) (0≦t<1)とおくと
面積はf(t)=(t+7/2)√(1-t^2)
このときf'(t)=(1-4t)(2+t)/{2√(1-t^2)}となるので、t=1/4のとき最大。
従って面積の最大値はf(1/4)=15√15/16

No.59456 - 2019/06/24(Mon) 18:04:37

Re: / 棚田
らすかるさん
ありがとうございます、

PQがy軸に平行でないときはAを原点中心に回転させることで、
その場合も含めているというかでしょうか?

No.59460 - 2019/06/24(Mon) 18:55:31

Re: / らすかる
「PQを固定してAを原点中心に回転させたときに高さが最大になるのは、
 AがPQの垂直二等分線上にある時である」というのは、
「Aを固定してPQを原点中心に回転させたときに高さが最大になるのは、
 AがPQの垂直二等分線上にある時である」と同じことですね。

上の解答で最初に「PQがy軸に平行になるように配置」としたのは、
「面積が最大になるときの弦PQと点Aの位置関係は、
点AがPQの垂直二等分線上でPQから近くない方の時」
ということを簡潔に(y軸と平行にしておけば、「x軸上」という
文言だけで済みます)説明したかったからです。
Aを固定してPQを回すと面積の変化が多少わかりにくいですが、
Aの方を回すと明らかですね。

No.59462 - 2019/06/24(Mon) 21:17:38
算数 / 算数マン
緑文字の部分
なぜ(1)は弁償代のみで割って
  (2)は弁償代+運賃で割るのかわかりません

解説よろしくお願いいたします。

No.59451 - 2019/06/24(Mon) 12:33:25

Re: 算数 / らすかる
(1)は
なぜ(6×600)が(6×(600+120))ではないのか、という意味ですか?
それならば、左側の項が(74×120)になっていて
既に運送料を減らしているからです。
左の項を6引かずに(80×120)にすれば、式は
(80×120)-(6×(600+120))になります。

No.59452 - 2019/06/24(Mon) 13:25:07
初等幾何の証明 / ayu782
初等幾何についてご質問させていただきます。
写真の問題(見辛くて申し訳ありまでせん)の解答は、以下でよろしいでしょうか?


△ABCはAB=ACの二等辺三角形より、
点Aから辺BCに下ろした垂
直二等分線は点Gを通る。
ゆえに、2<GAB=2<ABG
⇄<GAB=<ABG ◼

No.59447 - 2019/06/24(Mon) 01:16:47
不等式の解き方がわかりません。 / 野獣先輩
次の不等式の解き方を教えてください。
@3x−4<5x
A(x−2)(x+3)≦x+3

No.59445 - 2019/06/23(Sun) 21:06:13
解き方をご教授ください / へるぷ
添付ファイルの問題です。よろしくお願いします。。。
No.59444 - 2019/06/23(Sun) 21:03:24

Re: 解き方をご教授ください / IT
他にも方法があると思いますが

AからBCにおろした垂線の足をH,
a=AB,β=∠ABCとおく.

AE^2=AH^2+EH^2=AH^2+(BH-BE)^2

DE,AH,BH,BE をa,cosβ,sinβで表して
DE^2+AE^2を計算します。

例えば
 BC=2acosβ
∴DB=2a(cosβ)^2
∴DE=2a((cosβ)^2)sinβ です。

途中(sinβ)^2=1-(cosβ)^2 を使って簡単にします。
簡単のためAB=1としても良いと思います。
記述を簡単にするためc=cosβ,s=sinβ  などとしても良いです。

三角比を習ってなければ 相似比と三平方の定理を使って示すのだと思います。

c=BH/AB,s=AH/ABとおいて考えれば明にcosβ,sinβ を使わなくても出来ますね。 

No.59446 - 2019/06/23(Sun) 21:49:17

Re: 解き方をご教授ください / らすかる
AからBCに垂線AHを下ろすと
AH^2+BH^2=AB^2 … (1)
AH^2+EH^2=AE^2 … (2)
BH-EH=BE … (3)
BH+EH=CH+EH=CE … (4) (∵AB=ACからBH=CH)
またBE:DE=DE:CEからBE・CE=DE^2 … (5)
(1)-(2)から
AB^2-AE^2=BH^2-EH^2
=(BH-EH)(BH+EH)
=BE・CE (∵(3)(4)より)
=DE^2 (∵(5)より)
∴AB^2=DE^2+AE^2

No.59448 - 2019/06/24(Mon) 09:35:09
解き方を教えてください。 / 蟹工船
@とAの解き方を教えてください。
No.59443 - 2019/06/23(Sun) 20:42:55

Re: 解き方を教えてください。 / らすかる
ax^2+bx+c=0の解をα,βとするとax^2+bx+c=a(x-α)(x-β)となります。
具体的にはax^2+bx+c=a(x-(-b+√(b^2-4ac))/(2a))(x-(-b-√(b^2-4ac))/(2a))です。

No.59450 - 2019/06/24(Mon) 09:48:04
解き方を教えてください。 / 蟹工船
@とAの問題の解き方を教えてください。
No.59442 - 2019/06/23(Sun) 20:42:22

Re: 解き方を教えてください。 / らすかる
ax^2+bx+c=0の2解の和は-b/a、積はc/aです。
No.59449 - 2019/06/24(Mon) 09:45:14
物理の質問です / ドクポテト
125番の問題を教えてください
No.59440 - 2019/06/23(Sun) 20:24:05

Re: 物理の質問です / GandB
 すべて同じ方針で解けそうだから簡単だと思ったのだけど、(3)がよくわからない。
 問題集みたいだから、解答があるのでは?

(1)加速度を a、摩擦力を f とすると
  Ma = F - f.
  ma = f.
  a = F/(M+m).
  f = ma = mF/(M+m).

(2)すべり出す直前の状態で運動方程式をたてる。(1) の f がμmg になっただけ。
 M と m に働く最大静止摩擦力は μmg。加速度を b とすると
  Mb = F1 - μmg.
  mb = μmg.
  (M+m)b = F1.
  b = F1/(M+m).
  mF1/(M+m) = μmg.
  F1 = μ(M+m)g.

(3)斜面に上がった直後の運動方程式をたてる。
 加速度を β、摩擦力を f とすると
  Mβ = - f - Mgsinθ.
  mβ = f - mgsinθ.
  (M+m)β = -(M+m)gsinθ.
  β = -gsinθ.
  f = mβ + mgsinθ
   = -mgsinθ + mgsinθ= 0.

No.59461 - 2019/06/24(Mon) 19:39:17
濃度の問題です。 / 三宅竜人
(5)と(6)を教えて下さい。
よろしくお願いします。

No.59436 - 2019/06/23(Sun) 18:31:51

Re: 濃度の問題です。 / らすかる
(5)
360gの合金Xが水中で360-42=318gになるから
水中で530gの合金Xの実際の重さは530×(360/318)=600g

(6)
合金Xは水中で全体の重さの42/360=7/60倍軽くなる。
金属Pは水中で全体の重さの(105-91)/105=2/15倍軽くなる。
金属Qは水中で全体の重さの(105-96)/105=3/35倍軽くなる。
60,15,35の最小公倍数は420なので整数になるようにすると
420gの合金Xは水中で420×(7/60)=49g軽くなる。
420gの金属Pは水中で420×(2/15)=56g軽くなる。
420gの金属Qは水中で420×(3/35)=36g軽くなる。
56-49=7、49-36=13なので合金XのP:Q比は13:7
従って1200gの合金Xに含まれる金属Pの量は1200×(13/20)=780g

No.59439 - 2019/06/23(Sun) 19:38:49
比例、割合の問題です。 / 三宅竜人
(5)と(6)を教えてください
よろしくお願いします

No.59435 - 2019/06/23(Sun) 18:28:42

Re: 比例、割合の問題です。 / らすかる
(6)のA〜Iのうち7で割り切れるのはFだけなので、(6)の答えはFかJのいずれか。
Fだとすると、乙に渡したカードは588×(2/7)=168枚で
甲の残りは588-168=420枚。
乙が丙にカードを渡した後甲:乙が7:6になったので
乙が丙にカードを渡した後の乙の枚数は420×(6/7)=360枚。
これが乙が丙にカードを渡す前に持っていたカードの5/7倍なので、
乙が丙にカードを渡す前に持っていたカードは360÷5/7=504枚。
甲が420枚、乙が360枚になった後、甲と乙が16枚、76枚貰うと
甲=乙=436枚になるので、丙が甲と乙にカードを渡す前に持っていた
カードの枚数は436+16+76=528枚。
これですべてのつじつまが合うので、(5)の答えはC、(6)の答えはF。

確認
最初の枚数は
甲は588枚
乙は504-168=336枚
丙は528-{504×(2/7)}=384枚
左から順に甲、乙、丙
588 336 384 ← 最初に持っていた枚数
420 504 384 ← 甲が乙に588×(2/7)=168枚渡した後
420 360 528 ← 乙が丙に504×(2/7)=144枚渡した後 → 420:360=7:6
436 436 436 ← 丙が甲に16枚、乙に76枚渡した後

No.59437 - 2019/06/23(Sun) 19:18:07
周期関数 / ran
f(x)=sin(sinx)が周期関数であることを示しその周期を求めよ。

という問題の答えを教えてほしいです!
よろしくお願いします

No.59432 - 2019/06/23(Sun) 15:15:34

Re: 周期関数 / IT
「周期関数」の定義は分かりますか?
sinx の周期は分かりますか?
sinx の値域は分かりますか?

分からなければ、数2の教科書の三角関数の単元を確認してください。

なお、数研出版の教科書「高等学校数学2」では、「周期関数の周期といえば、ふつう正の周期のうち最小のものをさす。」とあります。

No.59433 - 2019/06/23(Sun) 15:26:27
数学二 / テラスパンパンす
178番の問題で、かっこ1の解説のx=2がなぜそうなるのかがわかりません。なぜ推薦の方程式がこうなるのでしょうか。解説よろしくお願いします
No.59429 - 2019/06/23(Sun) 13:34:05

Re: 数学二 / テラスパンパンす
解説です
No.59430 - 2019/06/23(Sun) 13:34:32

Re: 数学二 / X
まず点B,Cがいずれもx軸上の点であることから
辺BCがx軸平行となるのはよろしいですか?
このことから
辺BCに対する垂線はy軸平行
となりますので、その方程式は
x=a
(aは定数)
と置くことができます。
後はこれが点Aを通ることからaの値を決定します。

No.59431 - 2019/06/23(Sun) 14:44:47
確率 / 美雪
力量互格な2人の賭博者A、Bが3回先に勝った方が金貨64枚をとるという約束で勝負を始めたがAが1回勝ったところで勝負を中止した。勝負に引き分けはないとして、金貨をどのように配分すればよいか。

解き方がわからないです。教えてください。

No.59421 - 2019/06/23(Sun) 05:26:41

Re: 確率 / らすかる
4回以下で勝ち負けが決まった場合でも続けて勝負を行い、
必ず全部で5回勝負を行うことにすると、
最初にAが勝つ勝ち負けのパターンは
AAAAA AABAA ABAAA ABBAA
AAAAB AABAB ABAAB ABBAB
AAABA AABBA ABABA ABBBA
AAABB AABBB ABABB ABBBB
の16通りとなりこれらが等確率(1/16ずつ)で起こる。
このうちAが勝つのが11通り、Bが勝つのが5通りなので
Aが勝つ確率が11/16、Bが勝つ確率が5/16
従って金貨の配分は
Aが64×(11/16)=44枚
Bが64×(5/16)=20枚
のようにすればよい。

No.59422 - 2019/06/23(Sun) 06:24:28

Re: 確率 / IT
同じことですが
Aが3回先に勝つ、2回目以降のパターンとその確率は
AA (1/2)^2=1/4
ABA(1/2)^3=1/8
ABBA(1/2)^4=1/16
BAA 1/8
BABA 1/16
BBAA 1/16

計 11/16

Bが3回先に勝つ、2回目以降のパターンとその確率を調べた方が 場合の数が少なくてすみます。

BBB 1/8
BBAB 1/16
BABB 1/16
ABBB 1/16
計 5/16

実際はその勝負はなしだと思います。(その賭博が合法だとしても)

No.59424 - 2019/06/23(Sun) 09:06:48

Re: 確率 / IT
らすかるさんの方式で具体的なケースを調べない方法は

残り4回のうちAがちょうど2回勝つのはC(4,2)通り
ちょうど3回勝つのはC(4,3)通り、4回勝つのは1通り。
計11通り。
全ての場合の数は 2^4=16 通り。

求める確率は 11/16

No.59426 - 2019/06/23(Sun) 11:50:27

Re: 確率 / 美雪
らすかる様

解説ありがとうございます。よくわからないのですが、どうして勝負が途中で決まった場合でも必ず5回まで勝負すると考えるのですか?3勝したら勝負は終わりのはずなのに、AやBが4勝5勝する場合を考える理由がわかりません。

No.59463 - 2019/06/25(Tue) 07:04:12

Re: 確率 NEW / らすかる
> どうして勝負が途中で決まった場合でも必ず5回まで勝負すると考えるのですか?
必ず5回までにすると、すべての場合の確率が等しくなって
場合の数だけ考えれば良く、計算量が少なくなって確実なためです。
普通に3回で終わる時、4回で終わる時、5回で終わる時と考えると
全パターンを考える時に考え落としが発生しやすくなるのと、
分母が異なる分数の足し算が出てくることで計算ミスも起こりやすくなります。
私の解答ではパターンを2^4=16通り列挙して数えているだけですから、
数え落としや計算ミスはまず起こりません。
(あるとすれば数え間違いだけです。)

No.59469 - 2019/06/25(Tue) 17:20:26
教えてください(>_<) / けーちゃん
すみません、私だと理解できなくて教えてください(>_<)

((X+200)×0.8)−X = 30

っていうのが X = 650 になるみたいなんですが、
そこまで進むまでの過程が分からないんです(>_<)

No.59417 - 2019/06/22(Sat) 22:20:49

Re: 教えてください(>_<) / らすかる
((X+200)×0.8)-X=30
小数をなくすため両辺を5倍
((X+200)×0.8)×5-X×5=30×5
((X+200)×4)-5X=150
展開
(4X+800)-5X=150
カッコを外す
4X+800-5X=150
Xの項をまとめる
-X+800=150
両辺から800を引く
-X=-650
両辺に-1を掛ける
X=650

No.59418 - 2019/06/22(Sat) 22:49:05

Re: 教えてください(>_<) / けーちゃん
らすかるさん、すごい、わかりやすかったです。
ありがとうございます(^_-)-☆

No.59425 - 2019/06/23(Sun) 11:00:47
教えてください(>_<)(>_<)(>_<) / けーちゃん
すみません、私だと理解できなくて教えてください(>_<)

((X+200)×0.8)−X = 30

っていうのが X = 650 になるみたいなんですが、
そこまで進むまでの過程が分からないんです(>_<)

No.59416 - 2019/06/22(Sat) 22:20:21
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