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ヨッシーの八方掲示板(算数・数学 質問掲示板)

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式変形 NEW / がん
1998年度のセ試数IA本試の問題で質問があります。
写真のように-a^2/4+a-4が-((a-2)/2)^2-3という式変形がなぜこうなるのかわかりません。
平方完成をするとすると-1/4が括りだされるはずなので平方完成をしているわけではないとおもうのですが教えてください。
よろしくお願いします。

No.44177 - 2017/06/24(Sat) 23:47:21

Re: 式変形 NEW / IT
> 平方完成をするとすると-1/4が括りだされるはず
なぜ、そうだと考えられましたか?
a^2の係数が-1/4 であることに注意してもう一度考えてみてください。

No.44178 - 2017/06/24(Sat) 23:57:00

Re: 式変形 NEW / angel
> 平方完成をするとすると-1/4が括りだされるはずなので平方完成をしているわけではないとおもうのですが

数学で ( に限るかはともかく ) 大事なのは、「結果が妥当か」「その妥当性に説明がつくか」なので、「〜はず」「なわけない」と決めてかかるのは、ある意味もったいないです。

まずは「なぜ」「どのように」はさておき、計算結果が正しいことは確認されてますか?

No.44179 - 2017/06/25(Sun) 00:22:38
一次不等式について NEW / ブラッドマミ
お世話になります。ブラッドマミと申します。この問題は中学生レベルですが引っかかってしまいました。
問)-1/a<1を解け。解答はa<-1なのですが、我流でやると、
解)両辺にaを掛けて-1<aとなり、解答と一致しません。
どこが間違っているか指摘できる方、ご説明よろしくおねがいします。レベルが低すぎてすみません。

No.44173 - 2017/06/24(Sat) 10:27:42

Re: 一次不等式について NEW / らすかる
a<-1 も -1<a も誤りです。

両辺に正の数を掛けると不等号の向きはそのままですが、
負の数を掛けると不等号の向きが逆になります。
(44147で書いたのも同じ内容です。)

よって-1/a<1は
a>0のとき 両辺にaを掛けて-1<a
a>0と合わせて 0<a
a<0のとき 両辺にaを掛けて-1>a
a<0と合わせて a<-1
従って正解は a<-1,0<a
となります。

常套手段として、場合分けせずに済むように
分母の二乗を掛けるという手があります。
(ただし、「一次不等式」ではなくなります。)
こうすれば常に正なので不等号の向きは変わりません。
この問題の場合は、両辺にa^2を掛けます。
-1/a<1 の両辺にa^2を掛けて -a<a^2
移項して a^2+a>0
a(a+1)>0
∴a<-1,0<a

No.44174 - 2017/06/24(Sat) 10:57:57

Re: 一次不等式について NEW / ブラッドマミ
回答ありがとうございます。明確な説明を頂き不明瞭な考え方もまとまりました。aが正、負によっても不等号の向きも変わってくるので、結構ナイーブな問題だなと思いました。参考させて頂きます。
No.44175 - 2017/06/24(Sat) 11:19:15

Re: 一次不等式について NEW / angel
前のご質問の時にも触れましたが、「分母を払わない」( 分数のまま処理する ) というのは、こういう場面でも効きます。

 -1/a<1 ⇔ 0<1+1/a ⇔ 0<(a+1)/a

と変形してしまえば、後は分母・分子の正負だけを整理するお話になりますから。
( 毎回わざわざ書く必要はないですが ) 添付の図のような表で整理する、というのは良くあります。

No.44176 - 2017/06/24(Sat) 13:57:47
(No Subject) NEW / 名無し
すいません、21についての質問なのですが、

最後あたりの

(9p+q+4r)y^2+(6p+4r)y+(p+r-2)=0
ですが、
「これがすべのyについて成り立つから」という意味があんまり理解できませんし、

確かに
9p+q+4r=0
6p+4r=0
p+r-2=0

の条件なら(9p+q+4r)y^2+(6p+4r)y+(p+r-2)=0にはなりますが、
y=0
p+r-2=0
という条件でも(9p+q+4r)y^2+(6p+4r)y+(p+r-2)=0にはなりますよね?

どうして
9p+q+4r=0
6p+4r=0
p+r-2=0
と断言できるのですか?
やはり問題文で「x,y,zについての恒等式になるように」と書いてあるからですか?

いつも申し訳ないです。よろしくお願いします。

No.44169 - 2017/06/24(Sat) 08:02:18

Re: NEW / angel
> やはり問題文で「x,y,zについての恒等式になるように」と書いてあるからですか?

はい。
ですので、恒等式についてのイメージを、自身の中で確立させるのが先かと思います。

今回「x,y,zについての恒等式となるように」とありますが、「…が成り立つとき」という条件によって、実際のところ x,z は y に縛られています。つまり実質1変数 y についての恒等式と同じです。
「y についての恒等式」=「どんな y の値に対しても等式が成立する」を意識してください。

※問題を解く上で、必ずしも y を軸にしなくても良いのですが、ここでは y について整理しているので

No.44171 - 2017/06/24(Sat) 08:21:50
(No Subject) NEW / 名無し
すいません、解2についてですが、二次恒等式で、代入している値はx,y,それぞれ3つなので、本来逆の確認しなくても大丈夫ですよね?

どうか、よろしくお願いします。

No.44167 - 2017/06/24(Sat) 05:51:36

Re: NEW / angel
> 二次恒等式で、代入している値はx,y,それぞれ3つなので、本来逆の確認しなくても大丈夫ですよね?

いえ。大丈夫ではないです。
もしかして、変数が1つの場合と混同されていますか?
※変数が2つ以上の場合の恒等式で、そういう話は習わないはずです

変数が1つの場合であれば、次が言えますが。
 ax^2+bx+c=0 が3つ以上の異なる x で成立
 ⇒ これは恒等式、a=b=c=0

変数がx,yの2つになると、無数の(x,y)の組で等式が成立するからと言って、それだけで恒等式になるとは言えません。
ごく単純な例として、 x+y=0 という等式は無数の(x,y)の組で成立しますが、これはもちろん恒等式ではないです。

No.44168 - 2017/06/24(Sat) 07:28:55

Re: NEW / angel
変数が1つの場合が特別なのは、代数学の基本定理 というのがあるからです。
1変数 x の例えば2次方程式であれば、解の個数は高々2個。なので解 ( 等式を成立させる x の値 ) が3つ以上あるのであれば恒等式にならざるを得ない。そういう理屈です。

変数が2つ以上の場合は、そういうのがありません。

No.44170 - 2017/06/24(Sat) 08:03:00

Re: NEW / 名無し
なるほど!!
すいません、私、変数が1つの場合と混ぜてました。

教えてくださって、ありがとうございます。

No.44172 - 2017/06/24(Sat) 08:30:59
計算の手順について / 数学初心者
?のところが よく分かりません。1/2 x 2=1 でしょうか?
なぜ 囲まれたところが 2 になるのでしょうか?

No.44160 - 2017/06/23(Fri) 16:57:45

Re: 計算の手順について / ヨッシー
(e^2+1)/(e^(-2)+1) の
分子分母に e^2 を掛けると
 分子は e^2(e^2+1)
 分母は ・・・
(以下略)

No.44161 - 2017/06/23(Fri) 17:22:31

Re: 計算の手順について / 関数電卓
> 1/2×2=1 でしょうか?
ええ、そうですね。
log[(e^2+1)/(e^(-2)+1)]=log[(e^2+1)e^2/(1+e^2)]=log[e^2]=2 ですから。

No.44162 - 2017/06/23(Fri) 17:24:14

Re: 計算の手順について / 数学初心者
ありがとうございます。無事 疑問点が解消されましたm(_ _)m
No.44164 - 2017/06/23(Fri) 17:33:05
式変形について / 数学初心者
☆印の 式変形について。
? のところが どうしてこうなるのか 分かりません。これは何か
公式を用いた式変形でしょうか?
よろしくお願いします!

No.44158 - 2017/06/23(Fri) 14:45:22

Re: 式変形について / パテ埋め
その参考書あるいは問題集に「区分求積法」の項があるかと思いますのでそこをご覧ください。
あるいは教科書を読んでもよいでしょう。

No.44159 - 2017/06/23(Fri) 15:09:52

Re: 式変形について / 数学初心者
分かりました
確認して参りますm(_ _)m

No.44163 - 2017/06/23(Fri) 17:30:09
二項係数 / ふぁが
画像の式の導出の仕方がいまいちりかいできません。

どうぞよろしくお願い致します。

No.44154 - 2017/06/23(Fri) 00:13:06

Re: 二項係数 / angel
http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/lecture/Bunpu/neg-nikou.html の最後の式は、それを逆から辿ったものですが、こっちだとどうでしょうか。
No.44155 - 2017/06/23(Fri) 00:47:27

Re: 二項係数 / ふぉが
angelさん

ホームページありがとうございます。大変申し訳ないのですが、私の頭だといまいちしっくりきませんでした。

r+x-1Cxがなぜ(r+x-1)(r+x-2)••••(r+1)r/x!に変形できるのかわからないです。

お手数おかけして、申し訳ございません。

No.44156 - 2017/06/23(Fri) 07:21:00

Re: 二項係数 / angel
> r+x-1Cxがなぜ(r+x-1)(r+x-2)••••(r+1)r/x!に変形できるのかわからないです。

であれば、C の計算について。
例えば、8C3=8・7・6/(3・2・1) と。8から大きい順に連番3個をかけて ( これは 8P3 )、それを 3! で割ったものです。

なので、(r+x-1)Cx=( (r+x-1)Px )/x! です。これで、分母のところは一致していますね。

では、分子の (r+x-1)Px ですが。
これは、r+x-1 から大きい順に x個とった連番を掛け合わせたものなので、それで、r+x-1〜r の積なのですね。

あれ? r+x-1 の -1 はどこへ行った? と思うようなら、以下も見た方が良いでしょうか。

もう一度 8P3=8・7・6 の例に戻ります。
これは 8から大きい順に 3個とった、と見ても言いのですが、
 8P3 = 8・7・6・5・4・3・2・1/(5・4・3・2・1)
と、8!を下位5個分で割ったものと見ることもできます。
すなわち、8P3=8!/(8-3)!

とすれば、同様に、
 (r+x-1)Px = (r+x-1)!/((r+x-1)-x) = (r+x-1)!/(r-1)!
r-1以下が分母に出てくる分で相殺されますから、分母に残るのは、上は r+x-1 から、下は r までの積、ということになります。

No.44165 - 2017/06/23(Fri) 18:36:21

Re: 二項係数 / ふぁが
angelさん

理解できました。大変解りやすい解説ありがとうございました。

No.44166 - 2017/06/24(Sat) 01:51:27
Re: / かつお
a-b平面に図示せよという問題で、「b(b-a^2/4)>0..@かつb<0A」を図示するのですが、@を図示してからb<0の部分だけを図示するのと、Aをb(<0)で割ってb-a^2/4<0を図示したものが違うものになるのはなぜですか?

前者はb<0(aは全ての実数)
後者はb-a^2/4<0
と異なるものになります。

よろしくおねがいします

No.44149 - 2017/06/22(Thu) 21:58:52

Re: / angel
b(b-a^2/4)>0 かつ b<0 ⇔ (b<0で割って) b-a^2/4<0
とすると、b<0 という情報が失われてしまいますね。

なので、b<0 で割るのは良いとしても、「b-a^2/4<0 かつ b<0」と、b<0 を抜かないようにします。
※これは結局 b<0 と同じになります

No.44150 - 2017/06/22(Thu) 22:06:11
絶対値を使った不等式の解と解き方の関係 / ブラッドマミ
お世話になります。ブラッドマミと申します。この度は絶対値を使った不等式で、2通りの解き方と解の範囲の関係を質問したいと思います。
問い)|2x/(1+x)|<1を解け。
解)-1<2x/(1+x) より両辺1加えて、
(1+3x)/(1+x)>0ゆえにx<-1,x>-1/3   ―@
2x/(1+x)<1 より 両辺から1引いて
(x-1)/(1+x)<0ゆえに-1<x<1 ―A
@、Aより解は-1/3<x<1
以上

ここで質問です。単純に|2x/(1+x)|<1より
ここからは我流ですが、-(2x/(1+x))<1
-2x<1+x,-3x<1,x>-1/3 ―@
そして
(2x/(1+x))<1より
2x<1+x,x<1  ―A
@、Aより
-1/3<x<1
以上解答書と自分で解いたやり方ではかなりの違いが出てしまいましたが、結果は同じでした。どちらが厳密でどちらが正しいやり方か判断しかねています。どなたかわかる方説明よろしくお願いします。

No.44146 - 2017/06/22(Thu) 18:59:06

Re: 絶対値を使った不等式の解と解き方の関係 / らすかる
> ここからは我流ですが、-(2x/(1+x))<1
> -2x<1+x,-3x<1,x>-1/3 ―@


-(2x/(1+x))<1 を -2x<1+x にするのは正しくありません。
1+x>0 のときは -2x<1+x、
1+x<0 のときは -2x>1+x です。
同様に
(2x/(1+x))<1 → 2x<1+x も正しくありません。

No.44147 - 2017/06/22(Thu) 19:25:52

別解 / angel
最初の解法は参考書のものでしょうかね?
私が模範解答を書くなら、両辺平方して整理していく方法を採ります。
すなわち、

|2x/(1+x)|<1
⇔ (2x/(1+x))^2<1^2
⇔ ( (2x)^2-(1+x)^2 )/(1+x)^2<0
⇔ (2x+(1+x))(2x-(1+x))/(1+x)^2<0
⇔ (3x+1)(x-1)/(1+x)^2<0
⇔ -1/3<x<1

ミソは両辺が非負なので、平方しても同値であること。
つまり、|A|<p ( pは正 ) の形は A^2<p^2 に替えてもいいこと。
後は、分母をそのまま保つこと。不等式の両辺に何かかけると、その度に不等号の向きが逆転しないか、気にするハメになりますし、分母≠0 の条件が抜けたりもします。これは習慣的なものです。

No.44148 - 2017/06/22(Thu) 20:42:50

Re: 絶対値を使った不等式の解と解き方の関係 / ブラッドマミ
両辺2乗するやり方が一番やりやすいと思いますので、参考にしたいと思います。有り難うございました。
No.44157 - 2017/06/23(Fri) 09:55:54
行列の固有値、固有ベクトル / たま
行列の固有値、固有ベクトル、行列の固有方程式、行列の対角化のあたりを学んでいるのが、理解が腹落ちせず先にすすめません。

これらはどういうときに便利な概念なんでしょうか?どういう問題を説くのに役に立つんでしょうか?なぜ行列とベクトルを組み合わせるんですか?
どなたか分かりやすく解説していただけないでしょうか?

No.44145 - 2017/06/22(Thu) 15:04:33

Re: 行列の固有値、固有ベクトル / angel
> なぜ行列とベクトルを組み合わせるんですか?

行列とベクトルは必ずセットです。
ベクトルは、線形性を持った何かを表すモノであり、行列はそのベクトルに対する線形操作 ( 線形変換 ) を表すモノだからです。

で、なぜ ( 固有値等々に限らず ) 行列の勉強をするのかと言えば、喩えて言うなら、子供がまず算数で加減乗除を学んで先に勉強を進めていくのと同じで、大学以上のレベルで何か数値モデルを扱うためには、行列 ( 線形代数 ) の知識が当たり前のように要求されるからです。

例えば、コンピュータによる大規模計算、その最重要問題の1つが連立1次方程式=行列・ベクトル積の方程式であり、最頻出の計算が行列計算です ( 次点は多分フーリエ変換 )。
※スーパーコンピュータの性能指標を測るLinpack ( 最近東工大/Yahoo/産総研が世界1〜3位を獲ったGreen500 や中国が圧倒的1位のTop500 ), HPCG ( 理研の「京」が2年連続世界1位 ) はいずれも連立1次方程式を解くプログラムです

なお、最近見直されている ( 特に、世界中のトッププロを圧倒した囲碁AI AlphaGo 等の ) 機械学習/DeepLearningでも、その内部で行っているのは膨大な行列計算です。
※Googleの出しているDeepLearning用のミドルウエアTensorflow、専用プロセッサTPU ( TensorProcessingUnit )、この“Tensor”という言葉はベクトルや行列を一般化した概念です。

No.44152 - 2017/06/22(Thu) 22:45:13

Re: 行列の固有値、固有ベクトル / angel
で、本題の固有値についてですが、これは行列の持つ特徴量として極めて有用なものです。

固有値α,βを持つ2次行列を対角化して

 (α 0 )
 (0 β)

という行列が得られるとすると、この行列の示す変換は、(1 0)→(α 0), (0 1)→(0 β) と、ベクトル(本当は列ベクトル)を単純に拡大するものになります。
幾何としてのベクトルで言うなら、平行四辺形または斜直方体を、辺にそって拡大・縮小するような話で、非常に扱いやすくなるのです。

これで何が嬉しいかと言うと、線形性を持った方程式、初歩としては数列の漸化式、実用的には微分方程式、こういったところで固有値から解を得られるところです。

例えば、a[n+2]=5a[n+1]+6a[n] という数列の漸化式。
行列・ベクトル積を使うと、

 (a[n+2])=(5 6)(a[n+1])
 (a[n+1]) (1 0)(a[n] )

という表現ができ、この行列の固有値は 2 と 3。ここから、a[n]=A・2^(n-1)+B・3^(n-1) という解が求められます。

微分方程式で言うなら、波動や振動が関わるところ。「固有振動数」という言葉を聞いたことがありませんか。
プロの声楽家が声を共鳴させてそのエネルギーでガラスのコップを割ってしまうという逸話、建物によって影響を受ける地震の振動周期が違うという話。原子や分子が特定の色の光線を吸収したり放出する話。これが全部そうです。この裏には行列の絡む方程式から出てきた固有値が関わってきます。

なので、材料工学、物性解析、地震解析、多分その他もろもろ、「固有値解析」という手法が現れます。というか、微分方程式が出てきたら、大体どこでも固有値と固有ベクトルは重要なターゲットになります。

それだけ応用範囲が広いものなのです。

No.44153 - 2017/06/22(Thu) 23:14:13
(No Subject) / かい
具体的にどのようなときでしょうか?
No.44129 - 2017/06/22(Thu) 06:31:07

Re: / X
例えば
z=x^2+2xy+3y^2+4y+5

z=x^2+2yx+3y^2+4y+5
=(x+y)^2+2y^2+4y+5
=(x+y)^2+2(y+2)^2+3
と変形できるのでzは
x+y=0
かつ
y+2=0
のときに最小値3を取ります。

No.44134 - 2017/06/22(Thu) 07:07:03
(No Subject) / Zverev
放物線y=3x^2/4-7/4をCとし、Cを原点中心にπ/2回転して得られる曲線をC'とする。CとC'は4個の交点をもち、それらをx座標の小さい順に並べたものをP1,P2,P3,P4とする。Cの弧P2P3とC'の弧P2P3によって囲まれる部分の面積を求めよ。

この問題の解説をお願いします。

No.44115 - 2017/06/21(Wed) 21:43:36

Re: / X
C上の点(x,y)を原点中心でπ/2だけ回転移動させた点
の座標を(X,Y)とすると
(X,Y)=(-y,x)
∴(x,y)=(Y,-X)
これをCの方程式に代入して
-X=(3/4)Y^2-7/4
これより
X=-(3/4)Y^2+7/4
∴C'の方程式は
x=-(3/4)y^2+7/4 (A)
(A)と
y=(3/4)x^2-7/4 (B)
とを連立して解き、交点のx座標をまず求めます。
(A)+(B)より
x+y=(3/4)(x-y)(x+y)
(x+y){1-(3/4)(x-y)}=0
∴y=-x又はy=x-3/4
(i)y=-xのとき
(A)より

(ii)y=x-3/4のとき
(A)より


更にC'の弧P[2]P[3]の方程式は(A)より
y=√{(1/3)(-4x+7)}
となるので、求める面積は…
(無理関数の積分を学習していないのであれば
その旨をアップして下さい。別の計算方法の
方針をアップします。)

No.44132 - 2017/06/22(Thu) 06:51:57
(No Subject) / 名無し
すいません、解2についてですが、
No.44110 - 2017/06/21(Wed) 21:17:29

Re: / 名無し
どうしてx=-1,0,1を代入したのかわかりません。

よろしくおねがいします!

No.44111 - 2017/06/21(Wed) 21:18:31

Re: / X
得られるp,q,rの連立方程式が簡単になるからです。
No.44112 - 2017/06/21(Wed) 21:21:28

Re: / 名無し
なるほど、

得られるp,q,rがの連立方程式が簡単になるなら、どんな値でも良いということですね

返信してくださって、ありがとうございました。

No.44140 - 2017/06/22(Thu) 12:26:15
(No Subject) / 名無し
すいません、この問題文についてですが、
No.44107 - 2017/06/21(Wed) 21:09:40

Re: / 名無し
すいません、「数学」というより「国語」の問題になってしまうのですが、

赤線を引いたところがわかりません

よろしくお願いします

No.44109 - 2017/06/21(Wed) 21:15:43

Re: / X
a(x+1)^2+bx=x^2+4 (A)
という恒等式を考えるとき、変数代入法だと
x=0,1 (B)
を代入して得られるa,bの連立方程式を
解けば、a,bの値が得られます。
しかし(A)はxの二次の等式であるので
xの値を2つだけ代入して得られたa,bの値では、
(A)が恒等式ではなくて
解が(B)である二次方程式となっている可能性もある、
ということです。

そこで十分性を確かめるわけですが、方法は
二つあります。
(特に(ii)をよく読んでください。)
(i)
得られているa,bの値を代入した上で
(A)の左辺を整理して右辺と等しくなっている
ことを確かめる
(ii)
得られているa,bの値を代入した上で
(A)に(B)以外のxの値(例えばx=2)を代入して
成立していることを確かめる
(異なる三つの値に対して(A)が成立しているのであれば
(A)はxの二次方程式ではありえません。
(二次方程式は異なる3つ以上の解を持ちませんので。))

No.44114 - 2017/06/21(Wed) 21:34:24

Re: / 名無し
返信して下さって、ありがとうございます
No.44117 - 2017/06/21(Wed) 22:43:22

Re: / 名無し
ちなみに申し訳ないのですが、
最初の図の「一般に、P,Qが。。。」
という本文ありますよね、でも数値代入法による解法である解2は逆の確認をしています

(n+1個のxの値を代入しているのに)

どうしてですか?

よろしくおねがいします。

No.44118 - 2017/06/21(Wed) 22:46:17

Re: / X
解2をよく読みましょう。
3次式の恒等式ですが、連立方程式を導くために
代入している値は3つであって4つ以上では
ありませんね。

No.44130 - 2017/06/22(Thu) 06:44:19

Re: / 名無し
すいません、勘違いをしていました。

教えてくださってありがとうございます。

No.44141 - 2017/06/22(Thu) 12:30:09
(No Subject) / 名無し
すいません、(1)についてなのですが
No.44106 - 2017/06/21(Wed) 21:08:44

Re: / 名無し
21C2・20^2+....21C21・20^21

を実際に計算をしたのですが、確かに40の倍数になっていました

どうしてでしょうか?

「計算をしてみればわかる」という返信は無しで。

他の問題を例にしてもらっても大丈夫です、よろしくおねがいします。

No.44108 - 2017/06/21(Wed) 21:14:09

Re: / パテ埋め
たかが数件に申し訳程度に返信したところで礼儀を尽くしたつもりなのか・・・

それはそれとして。

20^2,20^3,…,20^21は全部40で割り切れるので21C2などを掛けて和を取っても当然割り切れる。

No.44113 - 2017/06/21(Wed) 21:27:37

Re: / 名無し
最後の回答者に対する返信をその回答者は見ないと思い、返信をしませんでした。

本当に申し訳ありませんでした。

本当に感謝してます、私みたいな数学初心者に丁寧に教えてくださっているので。

本当にありがとうございます。

不愉快な思いをさせてしまい、すみませんでした。

どうか、これからもよろしくお願いします。

No.44125 - 2017/06/22(Thu) 05:37:47

Re: / 名無し
これからはちゃんと返信をします。

ご指摘してくださって、ありがとうございます。

No.44126 - 2017/06/22(Thu) 05:38:24

Re: / パテ埋め
結局なにもわかってないってことですね。
No.44131 - 2017/06/22(Thu) 06:48:57

Re: / 名無し
?仰っている意味が。。。
No.44133 - 2017/06/22(Thu) 07:03:27

Re: / パテ埋め
「意味が」どうしたのですか?

-*-*-*-

ええと、あなた、この掲示板でいままでいくつ質問したか覚えていますか?
少し遡ればあなたが質問したっきりでほったらかしにしているものがいくらも見つかるわけですが。
「これからは」とかでなく、今現在そうやって放置してあるものをどうにかしようとどうして考えないのですか?

##「その記事一つ一つに礼をコピー&ペーストして回るべき」と言っているのではもちろんない。もしそうしたらそれはそれで別の感想を持つけど。
##それまで受けた回答を全部自分に役立てられるレベルまで理解できたのですか?

No.44144 - 2017/06/22(Thu) 13:30:26

Re: / 名無し
パテ埋めさん!!申し訳ありません!!

おかげさまで、全部理解しました。

理解して、疑問だった部分は今では自分で最後まで解けるようになりました。

本当にすいません。

No.44151 - 2017/06/22(Thu) 22:17:14
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