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ヨッシーの八方掲示板(算数・数学 質問掲示板)

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(No Subject) NEW / f
ここの−√2/2+√2/2i=cos3/4+isin3/4πになぜ変わるのかが分かりません。なぜcos、sinになるとこのような数学になるのでしょうか?どなたか教えて下さると幸いです。説明不足なら言ってください。
No.60750 - 2019/08/18(Sun) 20:14:24

Re: NEW / GandB
 なぜと言われてもなあ・・・
 ド・モアブルの定理は知っているはずだから、この問題に取り組んでいるのではないのかね。

> ここの−√2/2+√2/2i=cos3/4+isin3/4πになぜ変わるのかが分かりません。
 まさかとは思うが、三角関数は知ってるんだよね?

No.60751 - 2019/08/18(Sun) 20:26:30

Re: NEW / IT
cos(3π/4)=-1/√2=-√2/2 などが分からないということですか?

だとすると、高校数学2の三角関数を復習される必要があると思います。

No.60752 - 2019/08/18(Sun) 20:27:19

Re: NEW / f
申し訳ございません。三角関数が分かってませんでした。よければ三角関数を使うとなぜこうなるのか説明が欲しいです。お願いします。
No.60754 - 2019/08/18(Sun) 20:54:58
(No Subject) NEW / モンゴル
この問題に関して、解答に疑問があります。
No.60743 - 2019/08/18(Sun) 18:02:19

Re: NEW / モンゴル
この解答の(1)を見てください。操作Pを繰り返しても円周の合計が不変であると断言しています。

たしかに、実際に確かめてみると、何回操作を行っても円周の合計は2パイになるので、不変なんだろうなーと予想はできます。

しかし、本当にそうなるかは証明しないとわからないはずです。
受験数学においては言い切っていいのですか?
また、厳密に言うとこれは不備の解答ですか?

No.60744 - 2019/08/18(Sun) 18:05:35

Re: NEW / X
解答の読み方を端折りすぎています。
操作(P)を行って不変なのは「円の直径の和」 (Q)
(円周の長さの和ではありません)
とありますね。
このことは特に証明なしでも問題ないことは
明らかです。

(Q)から
(円周の長さの和)=π・(円の直径の和)
=π・(半径1の円の直径)
=π・2
=2π
と求めています。

No.60746 - 2019/08/18(Sun) 18:17:42

Re: NEW / X
もう少し、厳密に書いておきます。

n回目の操作で得られる2^n個の円のうち
左からk番目の円の直径をR[k]
(k=1,…,2^n)
とすると条件から
Σ[k=1〜2^n]R[k]=2
∴(円周の長さの和)=Σ[k=1〜2^n]πR[k]
=πΣ[k=1〜2^n]R[k]
=2π

No.60747 - 2019/08/18(Sun) 18:25:56

Re: NEW / モンゴル
ほんとでした!変な先入観で、雑な読み方になっていました。
とても反省し、勉強になりました。

ありがとうございますm(_ _)m

No.60748 - 2019/08/18(Sun) 18:26:14

Re: NEW / モンゴル
別の解答のこのような解答は問題ないですか?
見つけた規則をそのまま「不変」と言い切ってるように思えます。

No.60749 - 2019/08/18(Sun) 18:30:41

Re: NEW / IT
私は、問題ないと思います。

(円の周長=2π×円の半径であり。操作により円の半径の和は不変なので・・・とした方がより良いかもしれませんが、問題解答全体の中での重要度から言えばそこまで書かなくても良いと思います。)

No.60753 - 2019/08/18(Sun) 20:29:57
(No Subject) NEW / アポロ
この問題が分かりません。どなたか教えてください!
No.60742 - 2019/08/18(Sun) 17:33:26

Re: NEW / X
添付写真の中では既に鉛筆で書き込みがありますが、
その書き込みの内容は理解できていますか?

No.60745 - 2019/08/18(Sun) 18:07:43
数A 整数 余り NEW / s
3^100を7で割ったあまりを求めよ。

余りは4だと合同式を使ったら出来たのですが、
二項定理を使って求めようとしてもうまくいきません。
二項定理を使うとどのようにしたら求まるのでしょうか。
宜しくお願いします。

No.60739 - 2019/08/18(Sun) 16:25:18

Re: 数A 整数 余り NEW / らすかる
例えば
=(3^3)^33×3
=(28-1)^33×3
=(28^33+…-1)×3
≡-3
≡4

No.60740 - 2019/08/18(Sun) 16:42:57

Re: 数A 整数 余り NEW / s
ありがとうございます。
No.60741 - 2019/08/18(Sun) 16:51:07
2曲線が接するのかどうか / 美雪
aを正の実数とし、pを正の有理数とする。座標平面上の2つの曲線y=a・xのp乗(x>0)とy=logx(x>0)を考える。この2つの共有点が1点のみであるとし、その共有点をQとする。aおよび点Qのx座標をpを用いて表せ。

y=a・xのp乗について、y’>0かつy’’>0より、下に凸な単調増加関数です。

y=logxについて、y’>0かつy’’<0より、上に凸な単調増加関数です。

以上より、2つの曲線がただ1点を共有するとき、2つの曲線はその点で接しているのは自明です。

よって2曲線が接する条件、Qを共有し、Qでの微分係数が等しいことから答えを出し、一応合っていたのですが、この解答ではほとんど点数はもらえないそうです。2つの曲線が接することを自明としている推論が誤りだからだそうです。

全然納得がいかないのですが、単調増加な上に凸な関数と下に凸な関数が1点のみを共有する本問の場合で、接する以外の状況が起こりえるんでしょうか?それは具体的にどのような場合なのでしょうか?

わかりやすく教えてください。

No.60735 - 2019/08/17(Sat) 21:37:35

Re: 2曲線が接するのかどうか / IT
>接する以外の状況が起こりえるんでしょうか

接する以外の状況は起こりえないとしても、そのことを示す必要があるのだと思います。

No.60736 - 2019/08/17(Sat) 21:48:58

Re: 2曲線が接するのかどうか / らすかる
> y=a・xのp乗について、y’>0かつy’’>0より、下に凸な単調増加関数です。
例えばp=1/2のとき、y’’<0で上に凸です。

> 単調増加な上に凸な関数と下に凸な関数が1点のみを共有する本問の場合で、
> 接する以外の状況が起こりえるんでしょうか?

例えばy=log(x+2)とy=x^2は「単調増加な上に凸な関数と下に凸な関数」ですが、
x>0の範囲では1点で交わります。
(x≦0の範囲でも1点で交わりますが、定義域外なので関係ありません。)
従って、もしax^pが「下に凸」だとしても、このようなことが起こらないことを
言う必要があります。


> 2つの曲線がただ1点を共有するとき、2つの曲線はその点で接しているのは自明
例えばx>0において
y=3(x^2-1)/(2x) は「単調増加で上に凸な関数」
y=(x^2+x+1)/(x+1) は「単調増加で下に凸な関数」
ですが、この2曲線はただ1点で(接するのではなく)交わります。
(x→∞でも後者のグラフが前者のグラフより上に行きません。)
こういう例もありますので、
「単調増加な上に凸な関数と下に凸な関数がただ1点を
 共有するとき、2つの曲線はその点で接しているのは自明」
とは言えません。


# 「xが小さい(0に近い)ときと大きい時はax^p>logxである」ということを
# 示せば、「共有点が1点であるためには接するしかない」と言って
# 問題ないと思います。

No.60737 - 2019/08/17(Sat) 21:51:17

Re: 2曲線が接するのかどうか NEW / 黄桃
入試本番で、他に解法を思いつかなければ、これでも仕方ないでしょう。
ほとんどもらえないかどうかは大学によるでしょうが、0ということはないでしょう。

f(x)=ax^p, g(x)=log(x)とおきますと、
らすかるさんが述べているように、
x→0の時、g(x) の方が f(x) より小さい。
x→∞の時、やはりg(x)の方が f(x) より小さい。
(正確には、lim_[x→∞] ax^p-log(x)=∞)
と書いてあればもう少し点数がもらえる可能性は高いです
(特に、他にうまい方法がなければ満点に近くなるでしょうが、残念ながら簡単に議論する方法があります)。

ですが、その理由を述べよ、といわれると結局
f(x)-g(x)
の増減を調べて議論することと同じになるように思います。

そして、f(x)-g(x)とx軸とが1点で交わる条件、を求めることはそれほど難しくないので、
この方法で証明した答案とは明確な差がつくと思います。

#以下、個人的な感想です。
#f(x),g(x)が連続関数で、f(0)>g(0) かつ f(1)<g(1) ならば
#f(c)=g(c)となるc が区間[0,1]に少なくとも1つ存在する、
#という命題を証明する時に、f(x),g(x)のグラフを書いて、必ず交わる
#とするのでは(仕方ない場合もあるでしょうが)、すっきりしませんし、
#おそらくあまり点数はもらえないでしょう。
#それよりは、h(x)=f(x)-g(x) という関数を考えて、
#中間値の定理よりh(c)=0となるcが存在する、
#とした方が、すっきりします。
#提示された証明は、前者に近い気がします。

No.60738 - 2019/08/18(Sun) 10:32:26

Re: 2曲線が接するのかどうか NEW / 美雪
よくわかりました。三人の方々、ありがとうございました!
No.60755 - 2019/08/18(Sun) 22:42:35
数V 極座標 / s
問題:r=1/(1-cosθ)を図示せよ。
答えはx=(1/2)y^2−1/2を図示したものになっています。、
自分は点(-1/2,0)が除外されると思うのですが、どこが間違ってるのでしょうか。よろしくお願いします。
以下が自分の解答です。

r=1/(1-cosθ)
⇔r(1-cosθ)=1 かつ 1-cosθ=0ではない

1-cosθ=0のとき
cosθ=1
rcosθ=r

x=rcosθ,r=√(x^2+y^2)より
x=√(x^2+y^2)
⇔x^2=x^2+y^2 かつ x>=0
よってy=0すなわち点(-1/2,0)が除外される。

No.60731 - 2019/08/17(Sat) 19:46:12

Re: 数V 極座標 / IT
⇔x^2=x^2+y^2 かつ x>=0

(-1/2,0) は x>=0 を満たしませんね。

No.60732 - 2019/08/17(Sat) 20:26:53

Re: 数V 極座標 / s
ありがとうございました。
No.60733 - 2019/08/17(Sat) 20:28:42

Re: 数V 極座標 / IT
x=(1/2)y^2−1/2 のグラフを見ただけで分かりますので、
1-cosθ=0ではない ことの確認は、もっとシンプルにしていいと思います。

No.60734 - 2019/08/17(Sat) 21:00:35
(No Subject) / は
(6)についてなんですが、点電荷Qの電場は考えなくて良いのですか?
No.60725 - 2019/08/17(Sat) 01:45:00

Re: / は
追加の写真です
No.60726 - 2019/08/17(Sat) 01:45:49

Re: / は
追加の写真です。
No.60727 - 2019/08/17(Sat) 01:46:21

Re: / X
点電荷は自身が作る電場から力は受けません。
No.60728 - 2019/08/17(Sat) 06:34:19

Re: / IT
Xさんの回答のとおりだと思います。

BLUE BACKS「新しい高校物理の教科書」には、
「・・・こうして、ある電荷がつくる電場は空間の至るところで、式(4)にしたがって、他の電荷に力をおよぼすことになる。」とあります。

なぜ、自身が作る電場から力を受けないかは書いてないようです。

ネットでいろいろ探してみました。
「点電荷は自身が作る電場から力は受けないことについて」

大学のテキストで分かり易くてはっきり書いてあるものを見つけられませんでした。

下記サイトの説明が説得力がある気がします。参考までにご覧ください。
電磁気学
https://eman-physics.net/electromag/contents.html
静電場 の「自己場」
https://eman-physics.net/electromag/static.html

No.60730 - 2019/08/17(Sat) 13:14:57
(No Subject) / さかな
三直線が一点で交わる というのは二直線が一致してる場合はいけないのですか?
すべての傾きが不一致が条件ですか?

No.60722 - 2019/08/16(Fri) 22:12:25

Re: / らすかる
「二直線が一致している」のを「二直線」と考えてよいかどうかは
場合によると思います。
図に書いたら「一直線」にしか見えませんので。

No.60723 - 2019/08/16(Fri) 22:20:21
至急 / たまご
ファイルの問(4)について、お答えお願いします。
No.60717 - 2019/08/16(Fri) 21:29:06
計算の過程がわかりません。 / ただし
2+{3(3^n-1 -1)/2}=1/2(3^n +1)
文字が離れているところは、指数と普通の数字の分かれ目です。
わかりにくいと思うので、言葉で説明すると、「2プラス2分の3かっこ3のn-1乗マイナス1かっことじ=2分の1かっこ3のn乗プラス1

No.60714 - 2019/08/16(Fri) 20:05:47

Re: 計算の過程がわかりません。 / X
必要な括弧がなくて、不必要な括弧が付いています。

問題の等式を
2+3(3^(n-1)-1)/2=(1/2)(3^n+1)
と解釈して回答を。

(左辺)=2+(3^n-3)/2=(4+3^n-3)/2=(右辺)

No.60715 - 2019/08/16(Fri) 20:49:24
計算の過程がわかりません / ただし
2+{3(3^n-1 -1)/2}=1/2(3^n +1)
文字が離れているところは、指数と普通の数字の分かれ目です。
わかりにくいと思うので、言葉で説明すると、「2プラス2分の3かっこ3のn-1乗マイナス1かっことじ=2分の1かっこ3のn乗プラス1

No.60713 - 2019/08/16(Fri) 20:04:24
(No Subject) / z
2の1/2乗は有理数ですか、それとも無理数ですか?
No.60711 - 2019/08/16(Fri) 15:46:02

Re: / らすかる
無理数です。
No.60712 - 2019/08/16(Fri) 16:47:39

Re: / z
ある整数の既約分数乗は、すべて無理数ということですか?
No.60720 - 2019/08/16(Fri) 21:59:08

Re: / らすかる
「ある整数」が何を指しているのかわかりませんが、
例えば4^(1/2)は有理数ですし、
(-1)^(1/2)は虚数です。

No.60721 - 2019/08/16(Fri) 22:11:10

Re: / z
ありがとうございます。
No.60724 - 2019/08/16(Fri) 23:09:04
(No Subject) / しょう
EXの(2)の3行目でQ’-Q1となっているのですが、Q2の変化については考えなくて良いのでしょうか?
No.60700 - 2019/08/16(Fri) 00:19:58

Re: / らすかる
Q1は(1)でS1を開く前のC1の電気量で、
(1)の操作でC1とC2の合計の電気量はQ1のまま変わりませんので、
個別の電気量の変化について考える必要はありません。

No.60703 - 2019/08/16(Fri) 01:39:14
変形 / 蘭
x^(n-1)=(a/b)・y^(n-1)

から x=(a/b)^(n-1)y

って可能ですか??ちなみに、全て正の数です。

この先変形が可能なら、やり方を教えてください!

No.60691 - 2019/08/15(Thu) 21:33:15

Re: 変形 / IT
「この先変形」 とは、どういう意味ですか?
No.60692 - 2019/08/15(Thu) 21:50:00

Re: 変形 / 蘭
この先は誤字です。すいません、焦ってて。

この式変形がが可能なら!です。

No.60694 - 2019/08/15(Thu) 22:22:43

Re: 変形 / 蘭
「この式変形が可能ならやり方を教えてください!」
です。
誤字多くてすいません。

No.60695 - 2019/08/15(Thu) 22:23:20

Re: 変形 / らすかる
不可能です。
xとyのn-1乗を取りたかったら、
両辺を1/(n-1)乗して
x=(a/b)^{1/(n-1)}・y
となります。

No.60696 - 2019/08/15(Thu) 22:35:25

Re: 変形 / 蘭
ですよね!ですよね、
ありがとうございます!

No.60697 - 2019/08/15(Thu) 22:49:06
(No Subject) / 浪人
こんにちは、直線側の問題なのですが、わかりません、どなたか教えていただけませんか?

2つの円
x^2 + y^2 + a1x + b1y + c1 = 0 ……@
x^2 + y^2 + a2x + b2y + c2 = 0……A
が共有点をもたないとき, @-A より
* (a1 - a2)x + (b1 - b2)y + c1 - c2 = 0 * ……B

と得られるBは何を表すか?

よろしくお願いします。

No.60684 - 2019/08/15(Thu) 17:24:25

Re: / 浪人
すいません、質問を少し変えさせてください。

P(x,y)が円の外部にあるとき、
(x^2 + y^2 + a1x + b1y + c1)^1/2 = (Pから円@への接線の長さ)

であることはどのように示せば良いでしょうか

No.60685 - 2019/08/15(Thu) 18:14:35

Re: / 元中3
もっと簡単な示し方がありそうですが、普通に計算で示す方法を載せておきます。
No.60686 - 2019/08/15(Thu) 18:45:18

Re: / らすかる
円x^2+y^2+a1x+b1y+c1=0の半径をrとすると
円の式は(x+a1/2)^2+(y+b1/2)^2=r^2と書ける。
つまり(x+a1/2)^2+(y+b1/2)^2-r^2=x^2+y^2+a1x+b1y+c1
外部の点P(x,y)からこの円の中心Oまでの距離は
√{(x+a1/2)^2+(y+b1/2)^2}
接点をCとするとOC=rであり
△OCPは∠OCPが直角である直角三角形なので
三平方の定理により
CP=√(OP^2-OC^2)=√{(x+a1/2)^2+(y+b1/2)^2-r^2}
=√(x^2+y^2+a1x+b1y+c1)

No.60688 - 2019/08/15(Thu) 18:48:40

Re: / 浪人
らすかるさん、元中3さんありがとうございました。

根軸という直線のようですね。
勉強になりました。
ありがとうございました

No.60710 - 2019/08/16(Fri) 15:17:55
(No Subject) / お願いします
P(x, y), A(0, 3) としたとき、 AP の最小値、最大値と、その時の(x,y)を求めよ。ただし、x,yは
x^2-y^2≧ 3 かつ x^2+y^2≦5 かつ
x>0かつ y>0を動く

No.60681 - 2019/08/15(Thu) 16:27:03

Re: / らすかる
AP^2=x^2+(y-3)^2
条件からy^2+3≦x^2≦5-y^2 … (1)
y^2+3+(y-3)^2≦x^2+(y-3)^2≦5-y^2+(y-3)^2
y^2+3+(y-3)^2≦AP^2≦5-y^2+(y-3)^2
2y^2-6y+12≦AP^2≦14-6y
AP^2を縦軸、yを横軸にとってこの不等式のグラフを描いて
AP^2の最大最小を調べると
AP^2の最小値はy=1のときで8、
またy→+0のとき(AP^2の最大値)→14-0だがy>0なので最大値なし
y=1のとき(1)からx=2(∵x>0)
従って
(x,y)=(2,1)のとき最小値2√2で、最大値は存在しない。

No.60683 - 2019/08/15(Thu) 16:44:22
(No Subject) / 太田
頻出問題にトライの⑴なのですが、x軸方向にπ/3平行移動が答えになっていてるのが分かりません。π/6ではないのですか?
No.60680 - 2019/08/15(Thu) 14:33:40

Re: / らすかる
x方向の平行移動量は「xから何を引くか」です。
tan(x/2-π/6)+1=tan((x-π/3)/2)+1ですから
移動量はπ/3です。
同様に、もしカッコ内が
x/3-π/6 ならば (x-π/2)/3 なので移動量はπ/2
2x-π/6 ならば 2(x-π/12) なので移動量はπ/12
のようになります。

No.60682 - 2019/08/15(Thu) 16:29:00

Re: / 太田
あと⑶のグラフなのですが、x軸方向にπ/3したのに、グラフが原点を通っているのは何故ですか?
No.60708 - 2019/08/16(Fri) 13:43:00

Re: / らすかる
原点は通っていません。
グラフをきちんと見れば、(-π/6,0)と(0,1-1/√3)を
通っていることが読み取れると思います。

それと、横方向だけ移動したのではなく、
縦方向にも移動していますので、
原点を通ることはあり得ます。

No.60709 - 2019/08/16(Fri) 13:55:57
関数の増加・減少 / ぴよ
次の関数の増加・減少を調べよ。
y=x^2-6x-1
解答
x≧3のとき増加 x≦のとき減少

x=3のときは増加でも減少でもないと思うのですが
なぜ、>ではなくて≧なのでしょうか

教えてくださいm(_ _)m

No.60673 - 2019/08/15(Thu) 10:40:23

Re: 関数の増加・減少 / らすかる
増加減少は「x=3」のような1点で決まるものではありません。
「f(x)がある区間で増加」とは
「その区間内の2点α,β(α<β)で必ずf(α)<f(β)である」
(ただしf(α)<f(β)は狭義増加であり、広義増加ではf(α)≦f(β))
という意味で、区間内の異なる2点をとって決まるものです。
x≧3の範囲のどの2点α,β(α<β)をとってもf(α)<f(β)が成り立ちますので、
「≧」で正しいです。

No.60676 - 2019/08/15(Thu) 11:26:26

Re: 関数の増加・減少 / ぴよ
ありがとうございます!
No.60678 - 2019/08/15(Thu) 13:38:13
重積分 / かい
(3)お願いします
No.60668 - 2019/08/14(Wed) 23:50:54

Re: 重積分 / 関数電卓
筆算では 『ぐるぐる回り』 で断念したのですが…!!!

最後の砦はやはり ここ です。

私も、途中経過を知りたいところ!!!
も少し粘ってみますが……
大学入試とは思えない。大学院の入試問題ですか???

No.60690 - 2019/08/15(Thu) 21:21:01

Re: 重積分 / IT
積分の順序を入れ換えればいいようですね。

∫[0,π/2](∫[1,2y/π]cos(y/x)dx)dy
=∫[0,1](∫[0,πx/2]cos(y/x)dy)dx
=∫[0,1]([xsin(y/x)](0,πx/2))dx
=∫[0,1]xdx
=1/2

No.60693 - 2019/08/15(Thu) 22:03:40

Re: 重積分 / 関数電卓
> 積分の順序を入れ換えれば
見事ですね。
だけど、受験会場で思いつくことなのだろうか???
出題者の “笑顔”(?)が見えるよう?!?!

No.60716 - 2019/08/16(Fri) 21:03:40

Re: 重積分 / IT
そうですね。「ここ」の計算結果=1/2を見てやってみる気になりました。

手持ちの「明解演習微分積分」の重積分の例題では
・重積分と累次積分、積分の順序変更、置換積分、広義積分、の順になっていますから、現役の大学生なら 時間内に思いつくかも知れませんね。

No.60718 - 2019/08/16(Fri) 21:54:30
大学数学 / あ
問7のカッコ2が分かりません。
答えは10Aです。

No.60659 - 2019/08/14(Wed) 21:39:15

Re: 大学数学 / X
以下のようになります。

(与式)=|2↑a[1] ↑a[2] 5↑a[3]+3↑a[2]|+|-↑a[3] ↑a[2] 5↑a[3]+3↑a[2]|
={|2↑a[1] ↑a[2] 5↑a[3]|+|2↑a[1] ↑a[2] 3↑a[2]|}
+{|-↑a[3] ↑a[2] 5↑a[3]|+|-↑a[3] ↑a[2] 3↑a[2]|}
={10|↑a[1] ↑a[2] ↑a[3]|+6|↑a[1] ↑a[2] ↑a[2]|}
+{-5|↑a[3] ↑a[2] ↑a[3]|-3|↑a[3] ↑a[2] ↑a[2]|}
={10|↑a[1] ↑a[2] ↑a[3]|+6|↑a[1] ↑a[2] ↑0|}
+{-5|↑a[3] ↑a[2] ↑0|-3|↑a[3] ↑a[2] ↑0|}
=10|↑a[1] ↑a[2] ↑a[3]|
=10|A|

No.60662 - 2019/08/14(Wed) 23:06:38

Re: 大学数学 / あ
ありがとうごさいます!
No.60667 - 2019/08/14(Wed) 23:48:31
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