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ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

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旧数学掲示板のログ

使用上の注意はこちらにあります

質問される方は学年（質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。


過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

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★ 確率の問題 NEW / こうこうせい
次の確率が求められるかどうかが気になっているのですが、どうでしょうか。数学は数学III以外は既に学習済みの高校生です。

「0〜12の数が書かれたカードを13回無作為に1枚選ぶ(毎回戻して引き直す)。 偶数のカードは奇数回、奇数のカードは偶数回出る確率を求めよ。」

パターンで分類するとかなり膨大だと思い何かうまい方法がないかを探しています。パターン分類して反復試行の確率をシグマすれば、表記上それが求める確率だということはわかっています。学校で与えられた課題もとに自分で考えた問題なのでそもそもうまく答えが出るかどうかはわかりません。ただカードの枚数が少ないとできるわけなので、枚数が多くなってもできるのではないかと気になっています。よろしくお願いいたします。
No.90590 - 2025/12/05(Fri) 10:28:33
☆ Re: 確率の問題 NEW / らすかる
1回だけ選んで「偶数のカードが奇数回」となる確率は7/13
n回選んで「偶数のカードが奇数回」となる確率がPだった場合に
もう1回選んで「偶数のカードが奇数回」となる確率は
(1-P)×7/13+P×6/13=(1×7/13)-P×(7/13-6/13)=7/13-P/13
だから
2回ならば 7/13-(7/13)/13=7/13-7/13^2
3回ならば 7/13-(7/13-7/13^2)/13=7/13-7/13^2+7/13^3
のようになり、一般にn回選んだ場合に「偶数のカードが奇数回」となる確率は
Σ[k=1〜n]-7×(-1/13)^k=(1/2)(1-1/(-13)^n)
となる。
よって13回ならば求める確率は
(1/2)(1-1/(-13)^13)=151437553296127/302875106592253
No.90591 - 2025/12/05(Fri) 12:21:20
☆ Re: 確率の問題 NEW / こうこうせい
ラスカル様
早めの返信をいただきありがとうございます。
すみません。私の書いた問題文が非常に伝わりづらいものでした。私の求めたい確率は「偶数のカードはそれぞれ奇数回、奇数のカードはそれぞれ偶数回」という意味です。
おそらくいただいた解答は13回中偶数のカードの合計回数が奇数回ということですよね。つまりカードの出方として「2、2、1、4、6、6、3、3、3、3、3、3、3」などは条件を満たしているという感じで解いていらっしゃるかと思います。ただ私が求めたい確率は、それぞれの偶数のカードが奇数回出るという意味なので、この場合は2と6が条件を満たしていない例になります。

下手な文章で大変失礼いたしました。もし問題文を「偶数のカードはそれぞれ奇数回、奇数のカードはそれぞれ偶数回」などで考えた場合は(本来質問したかった問題文)、確率を求められるでしょうか？
よろしくお願いいたします。
No.90592 - 2025/12/05(Fri) 14:03:41
☆ Re: 確率の問題 NEW / こうこうせい
すみません、再度問題文の補足です。先ほど書いたことから、偶数のカードについてはそれぞれ奇数回出るため、0,2,4,6,8,10,12のカードは最低1回は必ず出ます。奇数のカードについてはそれぞれ偶数回出るわけですが、0回という可能性があるため全く出ないパターンなどもありです。
ですので、例えば、例を挙げれば「0,0,0,2,2,2,4,6,8,10,12,12,12」や「0,1,1,2,2,2,4,6,7,7,8,10,12」などは条件を満たします。
よろしくお願いいたします。
No.90593 - 2025/12/05(Fri) 20:10:08
☆ Re: 確率の問題 NEW / IT
0から12の各出現回数を順に書くと
基本となる最低回数は
1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1計 7 回
残りの２×３＝6回を１３のどこに割り振るかは　？　通り

このような考えで行けるのでは？
No.90594 - 2025/12/05(Fri) 21:11:37
☆ Re: 確率の問題 NEW / IT
それぞれのパターン毎に出る確率を求める必要がある（？）のでけっこう面倒かもしれません。
No.90595 - 2025/12/05(Fri) 21:20:26
☆ Re: 確率の問題 NEW / らすかる
偶数が合計7回・奇数が合計6回のパターン
偶数の配置 13P7=8648640
奇数が1種類 6
奇数が2種類 6C2×6P2=450
奇数が3種類 6C2×4C2×2C2×6C3=1800
∴8648640×(6+450+1800)=19511331840通り

偶数が合計9回・奇数が合計4回のパターン
偶数の配置 13C3×7×10P6=302702400
奇数が1種類 6
奇数が2種類 4C2×6C2=90
∴302702400×(6+90)=29059430400通り

偶数が合計11回・奇数が合計2回のパターン
奇数の配置 13C2×6=468
偶数1つが5回 11C5×7×6!=2328480
偶数2つが3回ずつ 11C3×8C3×7C2×5!=23284800
∴468×(2328480+23284800)=11987015040通り

全部偶数のパターン
偶数1つが7回 13C7×7×6!=8648640
偶数1つが5回1つが3回 13C5×8C3×7P2×5!=363242880
偶数3つが3回ずつ 13C3×10C3×7C3×7C3×4!=1009008000
∴8648640+363242880+1009008000=1380899520通り

従って条件を満たすパターンは全部で
19511331840+29059430400+11987015040+1380899520=61938676800通り
なので、求める確率は
61938676800/13^13=4764513600/23298085122481
No.90596 - 2025/12/05(Fri) 21:37:07
★ 質問です。 / てふら
69年の一橋大学・二次の問題なのですが、理解できない点がありましたので、解説をお願いします。

[問題]
点(x,y)が|x|<1，|y|<1なる範囲にあるとき，u=x^2 +y^2，v=xyで定まる点(u,v)全体の集合を図示せよ。

[解答]
u=(x+y)^2 -2xy=(x+y)^2 -2v ⇒ (x+y)^2 =u+2v
x,yは実数であるから，　u+2v≧0
であり，次式が成り立つ。
　　　x+y=±√(u+2v)
変数x,yは tの2次方程式
　　　t^2 -√(u+2v) t+v=0
または
　　　t^2 +√(u+2v) t+v=0
の２つの実数解として得られる。
|x|<1，|y|<1を満たす領域を自由に動くとき，点(u,v)の存在する領域は，
「tの2次方程式t^2 -√(u+2v)t+v=0 …?@が，絶対値が1未満となる２つの実数解をもつような(u,v)の条件」
または
「tの2次方程式t^2 +√(u+2v)t+v=0 が，絶対値が1未満となる２つの実数解をもつような(u,v)の条件」
とを合わせたものを求めることに帰着する。

いま，関数 f(x)，g(x) を
　　　f(x)=t^2 -√(u+2v)t+v，g(x)=t^2 +√(u+2v)t+v=0
とする。
方程式?@が，絶対値1未満の２つの実数解をもつ(u,v)の条件は,
　　　?@の判別式D=(√(u+2v))^2 -4v=u-2v≧0
軸の位置　-1≦(√(u+2v))^2 /2 ≦1
f(-1)>0
　　　f(1)>0
が同時に成り立つときである。

ここで，軸の位置について，区間の端に等号がつく理由が知りたいです。軸が定義域の端に含まれることが理解できないです。

No.90588 - 2025/12/04(Thu) 00:39:17
☆ Re: 質問です。 / IT
軸の位置　-1＜(√(u+2v))^2 /2 ＜1　としても結果は同じだと思いますが（私の勘違いかも）

その解答の考え方は、
f(t)=0が実数解を持ち　かつ　f(-1)>0　かつ　f(1)>0　となるとき　のうち　軸が ＜-1,になるときと、軸が＞１になるときを除く。という考え方ではないでしょうか？

グラフを描いて分類してみてください。
No.90589 - 2025/12/04(Thu) 21:19:11
☆ Re: 質問です。 NEW / てふら
ありがとうございました。
グラフを描いてやってみます。
No.90597 - 2025/12/05(Fri) 21:59:55
★ 24年度国立理系入試問題 大分大学理学部](4) / Minamino
24年度国立理系入試問題^_^084
大分大学[理学部](4)╰(*´︶`*)╯♡
何卒よろしくお願いします
No.90580 - 2025/11/25(Tue) 22:04:31
☆ Re: 24年度国立理系入試問題 大分大学理学部](4) / X
(1)
問題の関数((A)とします)から
y=(x-1)^2+c-1
∴このグラフの軸は定義域内左寄りなので
条件から(A)において
x=3のときy=1
∴9-6+c=1
∴c=-2

(2)
問題の等式をkと置くと
sinA=5k (A)
sinB=7k (B)
sinC=8k (C)
∴△ABCの外接円の半径をRとすると
正弦定理により
a=5kR
b=7kR
c=8kR
∴余弦定理により
cosB=(c^2+a^2-b^2)/(2ca)
=(64+25-49)/(2・8・5)
=1/2

(3)
条件から
x^2+1/x^2=(x+1/x)^2-2
=(1+√2)^2-2
=1+2√2
x^3+1/x^3=(x+1/x)^3-3(x+1/x)
=(1+√2)^3-3(1+√2)
=(7+5√2)-(3+3√2)
=4+2√2
No.90584 - 2025/11/26(Wed) 19:08:45
☆ Re: 24年度国立理系入試問題 大分大学理学部](4) / X
(4)
問題の方程式の左辺に三角関数の合成を使うと
2sin(x+π/6)=√3
sin(x+π/6)=(√3)/2 (A)
ここで
0≦x＜π/2
より
π/6≦x+π/6＜2π/3
∴(A)から
x+π/6=π/3
∴x=π/6

(5)
条件から
log[10](5^10)=10log[10]5
=10(1-log[10]2)
=10・(1-0.3010)
=10・0.6990
=6.990
∴10^6＜5^10＜10^7
となるので、5^10は桁数は7
No.90585 - 2025/11/26(Wed) 19:14:46
☆ Re: 24年度国立理系入試問題 大分大学理学部](4) / Minamino
ご回答ありがとうございます
以下私の考え方になります
ご意見ご指摘等ありましたら
何卒よろしくお願いいたします
No.90586 - 2025/11/27(Thu) 16:36:10
★ 24年度国立理系入試問題 長崎大学[理学部](4) / Minamino
24年度国立理系入試問題^_^084
長崎大学[理学部](4)╰(*´︶`*)╯♡
何卒よろしくお願いします
No.90579 - 2025/11/25(Tue) 21:57:51
☆ Re: 24年度国立理系入試問題 長崎大学[理学部](4) / X
(1)
前半)
2倍角の公式により
cos2x=2t^2-1
3倍角の公式により
cos3x=4t^3-3t
後半)
前半の結果から
cosx+cos2x+cos3x＞0
は
t+2t^2-1+4t^3-3t＞0
これより
4t^3+2t^2-2t-1＞0
(2t+1)(2t^2-1)＞0
∴-1/√2＜t＜-1/2,1/√2＜t
tを元に戻して
-1/√2＜cosx＜-1/2,1/√2＜cosx
これと
0≦x≦π
より
0≦x＜π/4,2π/3＜x＜3π/4
No.90581 - 2025/11/26(Wed) 18:52:21
☆ Re: 24年度国立理系入試問題 長崎大学[理学部](4) / X
(2)
f(x+y)=f(x)+f(y) (A)
とします。
前半)
(A)にx=y=0を代入して
f(0)=2f(0)
∴f(0)=0
後半)
(A)より
f(x+y)-f(x)=f(y)
∴y≠0のとき
{f(x+y)-f(x)}/y=f(y)/y
∴lim[y→0]{f(x+y)-f(x)}/y=lim[y→0]{f(y)/y} (A)'
ここでf(x)は微分可能であることと
lim[h→0]{f(h)/h}=2
であることから(A)'は
f'(x)=2
∴f(x)=∫2dx=2x+C(Cは積分定数)
ここで前半の結果から
C=0
∴f(x)=2x
No.90582 - 2025/11/26(Wed) 18:56:36
☆ Re: 24年度国立理系入試問題 長崎大学[理学部](4) / X
(3)
前半)
証明すべき等式を(A)とします。
(A)の左辺において
x=-tと置くと
((A)の左辺)=-∫[1→0]{(t^2-t^4)/{1+e^(-t)}}dt
=∫[0→1]{(e^t)(t^2-t^4)/(1+e^t)}dt
=((A)の右辺)
後半)
前半の結果から
(与式)=∫[0→1]{(e^x)(x^2-x^4)/(1+e^x)}dx
+∫[0→1]{(x^2-x^4)/(1+e^x)}dx
=∫[0→1](x^2-x^4)dx
=1/3-1/5
=2/15
No.90583 - 2025/11/26(Wed) 19:00:52
☆ Re: 24年度国立理系入試問題 長崎大学[理学部](4) / Minamino
今晩は
よろしくお願いいたします
ご回答ありがとうございました
以下私の答案になります
ご意見ご指摘の程何卒よろしくお願いいたします
No.90587 - 2025/11/27(Thu) 16:40:44
★ 中2の合同問題がわかりません / あかね
中2の定期テスト問題で全然わからない問題あります。
答えはx=120らしい

下の図1のように、＜BAC=90°、BC=40mである直二等辺三角形ABCと、点Aを通り辺BCに平行な直線しがある。このとき、次の問いに答えなさい。

（1）二等辺三角形 ABCの頂角の二等分線をひき、BC との交点をDとするとき、ADの長さを求めなさい。
（2） 下の図2は、図1において直線（上で点Aの右側にBC=CEとなるような点をとり、辺ACと線分BEの交点をFとしたものである。このとき、LAFEの大きさを求めなさい。

（2）が分からないのでお教えいただければと思います。

中2の合同までの定期テストなのでそこまでの知識で解けるはずなんですが、、、、
No.90577 - 2025/11/21(Fri) 23:42:47
☆ Re: 中2の合同問題がわかりません / X
ヒントだけ。

点Cからlに引いた垂線の足をGとして
△CEGに注目すると、(1)の結果から
∠AEC=30°
になります。
No.90578 - 2025/11/22(Sat) 07:50:52
★ 中学数学整数問題 / アヤ
別紙ですが、なぜ該当箇所が0．07より大であることが自明なのかがわからないです。教えていただけると助かります。
No.90569 - 2025/11/11(Tue) 19:01:15
☆ Re: 中学数学整数問題 / IT
アの小数点第３位が３であることを　使うといい（使う必要がある）と思います。
No.90570 - 2025/11/11(Tue) 19:49:13
☆ Re: 中学数学整数問題 / アヤ
ご回答ありがとうございます。

㋐より小数点第３位が３であるので、該当箇所カッコ内から0.01333・・・・を除くと小数点２位以降は63・・・か73・・・である。
該当箇所カッコ内の小数点3位が最小の値である0であっても、小数点２位以降は66・・・または67・・・となり、小数点２位以降は63・・・になることはない。
よって小数点２位以降は73・・・となるため、0.07より大となる。
このような導出でしょうか。
No.90571 - 2025/11/11(Tue) 20:19:05
☆ Re: 中学数学整数問題 / IT
n/75＝(y/10+8/100+…)-1/75
≧y/10+6/100+2/100-1/75
＞y/10+6/100+0.02-0.014
＝y/10+6/100+0.006

アより　n/75＝1/10+x/100+3/1000…　なので　x＞6

※　アヤさんの解答を見る前に書いていたものです。参考にしてください。（ 前段の不等式でyを未知数のままにしているので不正確かも　y=1 を言わないといけない）
No.90572 - 2025/11/11(Tue) 20:19:59
☆ Re: 中学数学整数問題 / アヤ
IT様

示してくださった式を参考にしました。

(y/10+8/100+…)-1/75＞y/10+6/100+0.006
よって（8/100+…)-1/75＞6/100+0.006＝0.066

0.066＜（8/100+…)-1/75＜0.08となる
この式を踏まえ、㋐と「㋑の変形」を比較する。
ｙ＝1のときｘの値は7となる。
（問題文で小数第1位の数は1であるとなっています。）
このようになりました。
ご助言いただけたら大変幸いです。度々申し訳ございません。
No.90573 - 2025/11/12(Wed) 20:20:00
☆ Re: 中学数学整数問題 / IT
> この式を踏まえ、㋐と「㋑の変形」を比較する。
「㋑の変形」とは、具体的にはどんな式ですか？
No.90574 - 2025/11/12(Wed) 21:49:08
☆ Re: 中学数学整数問題 / IT
n/75＝1/10+x/100+3/1000+…㋐

・・・

y/10+6/100+6/1000＜n/75＝(y/10+8/100+…)-1/75＜y/10+9/100-1/75＜y/10+8/100　
㋐より
y/10+6/100+6/1000＜1/10+x/100+3/1000+…＜y/10+8/100
∴y＝1かつ6＜x＜8である。

・・・
No.90575 - 2025/11/12(Wed) 22:14:29
☆ Re: 中学数学整数問題 / アヤ
IT様

ご対応ありがとうございます。
案内していただいた式をもとにまとめました。

n/75＝(y/10+8/100+…)-1/75
≧y/10+6/100+2/100-1/75
＞y/10+6/100+0.02-0.014
＝y/10+6/100+0.006　

この関係式から
y/10+6/100+6/1000＜n/75＝(y/10+8/100+…)-1/75＜y/10+9/100-1/75＜y/10+8/100　が導かれる

また、㋐より
n/75＝1/10+x/100+3/1000+…＝(y/10+8/100+…)-1/75
となるので
y/10+6/100+6/1000＜1/10+x/100+3/1000+…＜y/10+8/100
が成立する。

この式が成り立つための整数x、yの値は
x＝7、y＝1
No.90576 - 2025/11/13(Thu) 17:45:21
★ fubiniの定理？ / ぐっちょん
なぜ(w〜,1)=0，(w〜,e^(inx))=0になるのかがわからないです。ご教授お願いします。
No.90561 - 2025/11/05(Wed) 17:30:25
☆ Re: fubiniの定理？ / ぐっちょん
(w〜,e^(inx))=0の部分です。
No.90562 - 2025/11/05(Wed) 17:31:10
☆ Re: fubiniの定理？ / ぐっちょん
すいません。質問が正確でなかったです。0になるのがわからないというより、式の行間(w~，1)=〜の2行目の式の∫[-π,π](π-t)w(t)dtと(W〜,e^(inx))=〜の2行目の(-in)^(-1)∫[-π,π]((-1)^n-e^(-int))w(t)dtがなぜ出てくるかわからないです。ご教授お願いします。
No.90565 - 2025/11/06(Thu) 22:18:13
☆ Re: fubiniの定理？ / ポテトフライ
本当に「書いてある通り」というのが印象だが・・・
少し詳しく書いた。
No.90567 - 2025/11/07(Fri) 21:37:18
☆ Re: fubiniの定理？ / ぐっちょん
回答ありがとうございました。無事理解できました。
No.90568 - 2025/11/08(Sat) 17:31:27
★ たすきが毛の因数分解 / yama
3x^2+208x-6720の因数分解でたすき掛けを使って
うまく(x-24)(3x+280)を見つける方法を中学の私に教えて下さい。
数が大きくて-24と280をうまく見つけることができません。解の公式は使わないでください。
No.90554 - 2025/11/04(Tue) 18:25:46
☆ Re: たすきが毛の因数分解 / IT
3x^2+208x-6720=(3x+a)(x+b),a,bは整数にできたとすると
a+3b=208=(2^4)*13…(1)
ab=-6720=-(2^6)*3*5*7…(2)

(2)の、2^6をa,b にどう割り振るかですが、
どちらかが4乗以上だと(1)が成り立ちません。
例えばb=(2^4)tだとa=(2^4)*13-3*(2^4)t となり　aも(2^4)の倍数になり矛盾です。
したがってa,bともに2^3=8の倍数です。

あとは出来るのでは？
（この方法も初等整数論を使っており、中学数学としては簡単ではないかもしれません）
No.90555 - 2025/11/04(Tue) 19:30:27
☆ Re: たすきが毛の因数分解 / yama
b=(2^4)tではないのはわかりましたが、
b=(2^2)tとかb=2tはだめでb=(2^3)tになるのはなぜですか。
No.90557 - 2025/11/05(Wed) 08:30:28
☆ Re: たすきが毛の因数分解 / らすかる
b=(2^2)tだとa=(2^4)*13-3*(2^2)t=(2^2)((2^2)*13-3t)
となりaも(2^2)の奇数倍になってしまうからです。
No.90558 - 2025/11/05(Wed) 13:47:40
☆ Re: たすきが毛の因数分解 / yama
b=(2^2)tだとa=(2^4)*13-3*(2^2)t=(2^2)((2^2)*13-3t)
となりaも(2^2)の奇数倍になってしまうからです。

すみませんが、私はわかっていません。もう少し説明をお願いします。
No.90559 - 2025/11/05(Wed) 16:45:58
☆ Re: たすきが毛の因数分解 / らすかる
bが2^2の奇数倍すなわちb=(2^2)tならば
a=208-3bからa=(2^4)*13-3(2^2)t=(2^2){(2^2)*13-3t}
となりますね。
2^2*13-3tは奇数ですから、a=(2^2){(2^2)*13-3t}は2^2の奇数倍です。
そうすると
ab=(2^2の奇数倍)×(2^2の奇数倍)=2^4の奇数倍
となりますが、ab=-(2^6)*3*5*7すなわち2^6の奇数倍
ですから合いません。
従ってbが2^2の奇数倍ということはあり得ません。

全部の場合を書くと
bが奇数→aも奇数→abが奇数となり不適
bが2の奇数倍→aも2の奇数倍→abが2^2の奇数倍となり不適
bが2^2の奇数倍→aも2^2の奇数倍→abが2^4の奇数倍となり不適
bが2^3の奇数倍→aも2^3の奇数倍→abが2^6の奇数倍となり適
bが2^4の奇数倍→aは2^4の倍数→abが2^8の倍数となり不適
bが2^5の奇数倍→aは2^4の奇数倍→abが2^9の奇数倍となり不適
bが2^6の奇数倍→aは2^4の奇数倍→abが2^10の奇数倍となり不適
というわけで、bは2^3の奇数倍でなければならないということです。
No.90560 - 2025/11/05(Wed) 17:14:43
☆ Re: たすきが毛の因数分解 / yama
bが2^2の偶数倍、bが2^3の偶数倍などなぜ偶数倍を考えないのですか。
No.90563 - 2025/11/05(Wed) 18:04:17
☆ Re: たすきが毛の因数分解 / IT
> bが2^2の偶数倍、bが2^3の偶数倍などなぜ偶数倍を考えないのですか。
「bが2^2の偶数倍」のとき、bは、例えばどんな値で、「偶数倍」の「偶数」はいくらですか？
※一般論で分からないとき、具体的に考えると理解しやすいこともあります。
No.90564 - 2025/11/05(Wed) 18:41:32
☆ Re: たすきが毛の因数分解 / yama
bが2^2の偶数倍はbが2^3の奇数倍、2^4の奇数倍
になどになりますね。

わかりました。丁寧に解説をいただきありがとうございました。
No.90566 - 2025/11/06(Thu) 22:33:04
★ 関数で面積の問題 / TOM
以下の高校入試問題でわかりません。教えて下さい。

[問題]
y=1/3x^2がある。y=-x+6の上の点B(-6,12),A(p,-p+6),C(6,0)がある。p>0
E(-6,0),D(p,0)とする。△OABと△OACの面積比が2:1のときpの値を求めよ。


この問題の[解答]で以下のようにしました。私の解答のどこが誤りですか。正解はp=2√3です。

[私の解答]
△OABと△OACの面積比が2:1だから、△OABと△OACの高さ同じなので底辺の比AB:AC=2:1
ADとBEは平行だから、EO:OD=AB:AC=2:1
つまり(p+6):(6-0)=2:1よってp=2
（この解答は誤りで正解は正解はp=2√3です。）
No.90551 - 2025/11/03(Mon) 11:51:47
☆ Re: 関数で面積の問題 / _
あなたの解答で 半分だけ大丈夫とおもいますが。
　2√3 これは問題集の別の問題の答えとまちがえているのでは？

なお 「半分だけ」というのは、p=2 のほかに p=18 もあるからです。
No.90552 - 2025/11/03(Mon) 15:13:09
☆ Re: 関数で面積の問題 / TOM
確かに問題の答えが違っていました。ありがとうございました。
No.90553 - 2025/11/03(Mon) 16:28:21
★ (No Subject) / あ
座標平面上の三角形についての問題です。お願いします。
No.90548 - 2025/10/27(Mon) 22:04:04
☆ Re: / X
(1)
a＞b＞0 (P)
ゆえ、a≠bに注意すると
相加平均と相乗平均の関係から
t＞2√{(a/b)(b/a)}=2 (A)
一方、K(X,Y)と置くと、条件から
Y=1/X (B)
X=(a+b+c)/3 (C)
Y=(1/a+1/b+1/c)/3 (D)
(B)(C)を(A)に代入して
(1/a+1/b+1/c)/3=3/(a+b+c)
これより
(a+b+c)(ab+bc+ca)=9abc
(c+a+b){(a+b)c+ab}=9abc
(a+b)c^2+{(a+b)^2-8ab}c+ab(a+b)=0 (E)
条件から(E)をcの二次方程式と見たときに
実数解を持たなければならないので
(E)の解の判別式をDとすると
D={(a+b)^2-8ab}^2-4ab(a+b)^2≧0 (F)
更に、△ABCの重心は常に△ABCの内部に
あることから
c＜0
となることと、(E)の左辺のc^2の係数と
定数項が共に正であることから
(E)の左辺のcの係数について
(a+b)^2-8ab＞0 (G)
(F)より
(a+b)^4-20ab(a+b)^2+64(ab)^2≧0
{(a+b)^2-16ab}{(a+b)^2-4ab}≧0
(a^2+b^2-14ab)(a^2+b^2-2ab)≧0
(t-14)(t-2)≧0
∴t≦2,14≦t (F)'
(G)より
a^2+b^2-6ab＞0
∴6＜t (G)'
(A)(F)'(G)'より求めるtの値の範囲は
14≦t

(2)
一般に、点P(p,p'),Q(q,q')に対し、
△OPQの面積をTとすると
T=(1/2)|pq'-p'q| (証明は省略します)
であることを使うと
S=(1/2)|a/b-b/a|
これより
S^2=(1/4)|a/b-b/a|^2=(1/4)t^2-1
∴(1)の結果からSはt=14のとき
最小値√{(1/4)・14^2-1}=4√3
を取ります。
No.90549 - 2025/10/28(Tue) 19:39:23
☆ Re: / あ
ありがとうございます！
No.90550 - 2025/10/31(Fri) 21:55:17
★ 積分計算(続) / 前進
chatgpt等使用しておりましたが、わかりませんでした。
文章も失礼いたしました
No.90541 - 2025/10/15(Wed) 07:15:32
☆ Re: 積分計算(続) / 前進
途中計算になります。
サイトの使い方を忘れておりまして、複数スレッドになり申し訳ございませんでした。
No.90542 - 2025/10/15(Wed) 07:20:07
☆ Re: 積分計算(続) / 匿名
回答者を暗号解読のプロだと思ってるのか？
数式をイコールで繋げて書くという基本中の基本もなってない答案の添削はやりたくない。というか読めない。
数学のルールに基づいて書いたもので質問しましょう。
No.90543 - 2025/10/15(Wed) 17:30:57
☆ Re: 積分計算(続) / _
代入して計算するだけでは？

-2(1-1/2)^(1/2) + 2(1-0)^(1/2)
= -2(1/2)^(1/2) + 2
= -2/sqrt(2) + 2
= -sqrt(2) + 2
No.90545 - 2025/10/17(Fri) 11:36:15
☆ Re: 積分計算(続) / 前進
理解し、再現できました。
また、書き方については以降気をつけます。
ありがとうございました
No.90546 - 2025/10/19(Sun) 11:53:29
★ 積分計算 / 前進
2というのがわかりませんでした
よろしく
No.90540 - 2025/10/15(Wed) 07:11:30
☆ Re: 積分計算 / らすかる
「2」はたくさん出てきていますが、どの「2」のことですか？
No.90544 - 2025/10/16(Thu) 07:41:37
☆ Re: 積分計算 / 前進
最後の答えのルートではない「2」でした。
分かりにくく大変申し訳ございませんでした。
また、今までありがとうございました。一区切りついたので、大学・大学院の理数系に進みます。
再度訪れる際はよろしくお願いいたします
No.90547 - 2025/10/19(Sun) 12:00:44
★ logについて / 314
画像です。
No.90537 - 2025/10/13(Mon) 23:56:11
☆ Re: logについて / らすかる
左の指数は (log[2]7)×x
右の指数は log[2](7x)
のように見えます。
その解釈で正しければ
2^(log[2]b)=bなので
左は 2^((log[2]7)×x)=(2^(log[2]7))^x=7^x
右は 2^log[2](7x)=7x
になると思います。
No.90538 - 2025/10/14(Tue) 00:01:42
☆ Re: logについて / 314
ありがとうございます。
No.90539 - 2025/10/14(Tue) 14:40:06
★ (No Subject) / John
例題357(3)
∠AHC=60°だとAHとEBのなす角が120°になるのはどうしてですか？
No.90535 - 2025/10/05(Sun) 17:53:48
☆ Re: / らすかる
AHとEBのなす角＝AHとHCのなす角だからですね。
No.90536 - 2025/10/05(Sun) 18:52:13
★ (No Subject) / コスモス
下記の計算問題がなぜこのような式変形が出来るのか全く理解できません。解説よろしくお願いします。
1/{(511/128)-4・1022}=1/511・1/{(1/128)-8}=1/511・128/(1-1024)=−128/(511・1023)
No.90531 - 2025/09/29(Mon) 12:03:56
☆ Re: / ヨッシー
(511/128)−4・1022＝511×1/128−4×2×511
　　＝511(1/128−8)
を使って

1/{(511/128)-4・1022}＝1/{511(1/128−8)}＝1/511×1/(1/128−8)

1/(1/128−8)の分子分母に 128 を掛けて、
　1/(1/128−8)＝128/(1−8・128)＝128/(1−1024)＝−128/1023

以上より、
　1/511×1/(1/128−8)＝1/511×(−128/1023)＝−128/(511・1023)
No.90533 - 2025/09/29(Mon) 13:30:17
★ 一次関数について / はる
中学2年生です。解答の解説には、1/3の面積になるy座標は2とあるのですが、それが何故なのか分かりません。答えは（5.2）でした。よろしくお願いします。
No.90529 - 2025/09/29(Mon) 11:25:26
☆ Re: 一次関数について / はる
> 中学2年生です。解答の解説には、1/3の面積になるy座標は2とあるのですが、それが何故なのか分かりません。答えは（5.2）でした。よろしくお願いします。
No.90530 - 2025/09/29(Mon) 11:27:08
☆ Re: 一次関数について / ヨッシー
△ＯＰＭと△ＢＰＭの面積は等しいので、
△ＯＡＢに対して、△ＯＰＭが 1/3 なら、△ＢＰＭ も 1/3 になります。
同時に、残りの△ＯＡＰも
　1−1/3−1/3＝1/3
であることがわかります。
△ＯＡＢと△ＯＡＰの面積の比 ３：１ は、ＯＡを共通の底辺とすると、
高さの比となります。
△ＯＡＢの高さ（Ｂのｙ座標）が6なので、△ＯＡＰの高さ（Ｐのｙ座標）は
その 1/3 で２となります。
No.90532 - 2025/09/29(Mon) 12:15:47
☆ Re: 一次関数について / はる
ありがとうございました！！
理解できました。
No.90534 - 2025/09/29(Mon) 16:50:57
★ 数学オリンピックのマスターデーモンについて / ゆそ
マスターデーモンを解いて解答を見たんですけどもっと簡単に解けてたんですけど、その解答があっているか見てください。高1です。数オリの問題初挑戦です。
私が考えたのは下記の通りです。
((2^n)+1)/n^2=s ※sは整数である
(2^n)+1=sn^2
よってs,n^2は奇数であり、またnも奇数である。そのため
(2^n)+1=s(2m+1)^2
(2^n)+1=s(4(m^2)+4m+1)
(2^n)+1=4sm(m+1)+s
この時sは奇数であり、4,s,m,(m+1)も2^kまたは1になる必要がある。そのためs=1となる。
2^n=4m(m+1)
同じようにm,m+1は2^nまたは1になる必要がありどちらか片方は奇数のためm,m+1のどちらかは1である。そのためm+1=1だとm=0となり不適になるためm=1が正しく
2^n=4*1*2
となる。
2^n=2^3
となるためn=3のみが唯一の答えとなる。

間違ってたら教えてください
No.90527 - 2025/09/21(Sun) 10:22:13
☆ Re: 数学オリンピックのマスターデーモンについて / らすかる
「4,s,m,(m+1)も2^kまたは1になる必要がある。」
と言えるのは何故ですか？
No.90528 - 2025/09/24(Wed) 00:56:38
★ (No Subject) / やり直しメン
算数ドリルからの問題です。
A,b,c,dの４人の平均体重は45kgです。
この4人にEを加えた5人の平均体重は43.4kgです。eの体重は何キロですか。

どのように解けば良いですか。
No.90525 - 2025/09/18(Thu) 12:01:51
☆ Re: / ヨッシー
ＡＢＣＤ４人の平均体重が45kg
　→ＡＢＣＤ４人の体重の合計は何kgですか？
ＡＢＣＤＥ５人の平均体重が43.4kg
　→ＡＢＣＤＥ５人の体重の合計は何kgですか？

ここまでやってみましょう。
No.90526 - 2025/09/18(Thu) 12:41:17
★ 回転体の体積 / おむすび
【問題】
yz平面の直線y=zをl1、直線y=z+√2をl2とする。xyz空間においてl1を軸としてl2を回転してできる円柱面(内部は含めない)をCとする。さらにz軸を軸としてCを回転してできる回転体をRとする。Rの-2≦z≦2の部分の体積を求めよ。

A(0,t,t)、P(x,y,z)とおきます。

|AP→|=1とAP→・OA→=0から、Cをx^2+(y-z)^2/2=1と求めました。
Cのz軸に垂直な断面をz軸のまわりに回転させます。

z=kとします。
x^2+(y-k)^2/2=1は楕円です。これをz軸のまわりに回転させるので、z軸からの最長距離と最短距離を半径とする同心円で囲まれる部分がRのz=kにおける断面積になると思います。

0≦k≦1/√2
S(k)=π(k+√2)^2-π(1-k^2)

1/√2≦k≦2
S(k)=π(k+√2)^2-π(k-√2)^2

あとはS(k)を積分して2倍したら、49√2π/3となりました。解答の数値は合っているらしいのですが、やり方が先生の想定していたのと全然違うらしく、過程がこれであっているかどうか、確認するから月曜日にまた来てと言われたんですが、気になります。49√2π/3なんて数値が偶然合うとは思えないのですが、やり方は間違えていますか？

No.90518 - 2025/09/13(Sat) 19:43:54
☆ Re: 回転体の体積 / X
方針に問題はありません。

先生が想定されている方針がどんなものかは
分かりませんが、私がこの問題を初見で
解くとしたら、おむすびさんと同じく
まずCの方程式を求めた上で、断面を
原点に関して回転させる、という方針を
立てます。
(但し、Cの方程式の求め方は異なりますが。)
No.90522 - 2025/09/15(Mon) 02:57:42
☆ Re: 回転体の体積 / おむすび
先生の想定したやり方は、Rのyz平面による切り口をz軸の周りに回転させるというものでした。
計算過程が複雑で、よくわからなかったです。　私のやり方はあまりよくないと言われました。
No.90523 - 2025/09/16(Tue) 16:31:47
☆ Re: 回転体の体積 / X
何故、あまりよくないのか、理由は話されていませんでしたか？
No.90524 - 2025/09/16(Tue) 22:02:41
★ 関数の極値に関する問題 / John
三次方程式f'(x)＝0が異なる3つの実数解をもつ条件を求めるのはどうしてですか？
また、そのために更に微分して2つの実数解を持つ条件を求めるのはどうしてですか？
No.90514 - 2025/08/30(Sat) 11:21:12
☆ Re: 関数の極値に関する問題 / John
> 三次方程式f'(x)＝0が異なる3つの実数解をもつ条件を求めるのはどうしてですか？
> また、そのために更に微分して2つの実数解を持つ条件を求めるのはどうしてですか？

書き忘れました、132番です
No.90515 - 2025/08/30(Sat) 11:21:51
☆ Re: 関数の極値に関する問題 / X
添付写真の131の問題に書き込まれている三次関数のグラフ
が、三次関数が極大値を持つ場合の形状になります。
見ての通り、極大点と極小点がセットで存在していますよね。

もし、xの二次方程式f'(x)=0が重解、または実数解を
持たないとすると、f'(x)の符号は変化しませんので
f(x)の増減は単調になり、極値は存在しません。
No.90516 - 2025/08/30(Sat) 16:49:43
☆ Re: 関数の極値に関する問題 / John
> 添付写真の131の問題に書き込まれている三次関数のグラフ
> が、三次関数が極大値を持つ場合の形状になります。
> 見ての通り、極大点と極小点がセットで存在していますよね。
>
> もし、xの二次方程式f'(x)=0が重解、または実数解を
> 持たないとすると、f'(x)の符号は変化しませんので
> f(x)の増減は単調になり、極値は存在しません。

理解出来ました
ありがとうございます
No.90517 - 2025/09/08(Mon) 12:13:14
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