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ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

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★ 山梨大学過去問 / Higashino
山梨大学過去問

複素数平面

何卒よろしくお願いします

以下問題
No.89449 - 2024/11/29(Fri) 09:32:19
☆ Re: 山梨大学過去問 / Higashino
反転したものをさらに反転すれば元に戻りますか
No.89450 - 2024/11/29(Fri) 10:00:33
★ 座標平面上の図形の問題 / ペペロンチーノ
y=x^2上に点A(4,16)、点B(-2,4)、点P(p,q)がある。
この3つの点が一つの円周上にあり、この円周の長さが最も短くなる時、pとqの値を3つずつ求めよ。
ただし、-2≦p≦4とする。
中学校の定期テストのおまけ問題(得点外)として出されました。
ABの中点(1,10)を円の中心として半径が3√5の円(x-1)^2+(y-10)^2=45と2次関数y=x^2の交点を求めようとしたのですがうまくいきませんでした。私の解き方の間違っている点と正しい解法を教えていただきたいです。
No.89443 - 2024/11/28(Thu) 22:50:06
☆ Re: 座標平面上の図形の問題 / ペペロンチーノ
追記:私の答えは
p=-2,√38-√137/√2,38+√137/2,4
q=4,38+√137/2,16
となりました。
No.89444 - 2024/11/28(Thu) 22:54:27
☆ Re: 座標平面上の図形の問題 / X
立てた連立方程式が
(p-1)^2+(q-10)^2=45
q=p^2
であるのなら、
-2≦p≦4
に注意して
(p,q)=(-2,4),(4,16),(-1+2√2,9-4√2)
となりました。
No.89446 - 2024/11/28(Thu) 23:26:40
★ 合成関数 / あ
f(x)=ax^2+bx+cとおく。
f(f(x))の合成関数の求め方を教えてください。
No.89439 - 2024/11/28(Thu) 17:27:10
☆ Re: 合成関数 / ヨッシー
f(x)=ax^2+bx+c の x に f(x)=ax^2+bx+c を入れます。つまり
　f(f(x))=a(ax^2+bx+c)^2+b(ax^2+bx+c)x+c
あとはひたすら計算するのみです。
No.89440 - 2024/11/28(Thu) 17:57:52
☆ Re: 合成関数 / らすかる
右のほうに余計なxが…
No.89441 - 2024/11/28(Thu) 19:50:44
☆ Re: 合成関数 / あ
xの中に代入するという考えですかね？
No.89447 - 2024/11/29(Fri) 07:31:10
☆ Re: 合成関数 / ヨッシー
>>らすかるさん
f(f(x))=a(ax^2+bx+c)^2+b(ax^2+bx+c)+c
ですね。消し忘れです。

>>あさん
よく見るパターンとしては、
　f(u)＝u^2＋u
　g(x)＝2x+1
のときに
　f(g(x)) を x の式で表せ
というようなものですが、この場合は
u に 2x+1 を代入しますね？
本文では、f(x) と f(x) の合成になっていますが、同じことで、
x に ax^2+bx+c を代入します。
No.89448 - 2024/11/29(Fri) 09:17:43
☆ Re: 合成関数 / あ
分かりました。
No.89451 - 2024/11/29(Fri) 10:21:04
★ (No Subject) / 高校数学
⑶をお願いします。
ちなみにAQ=√3xです
No.89431 - 2024/11/27(Wed) 23:33:42
☆ Re: / X
(2)はできていますか？
(2)は△ABQに注目してx,θの関係式を立てていましたが
同様に△BCQに注目して、x,θの関係式を立て、
それと(2)の結果をx,cosθについての連立方程式として
解きます。

注1)
条件から
∠CBQ=180°-θ
又、
cos(180°-θ)=-cosθ
です。

注2)
添付写真の(2)の解答欄の鉛筆書きの図で
∠BAQ=30°
と取れるような書き込みがありますが
誤りです。
問題の条件は
∠PAQ=30°
です。
No.89436 - 2024/11/28(Thu) 07:57:05
☆ Re: / X
(3)の別解)
(1)の結果を使って、△PACに対して、中線定理を
適用し、xについての方程式を立てます。
(こちらの方が恐らく計算は簡単です。
が、問題文の流れから、問題製作者は
No.89436での方針で解くことを
想定していると思います。)
No.89438 - 2024/11/28(Thu) 08:02:08
★ (No Subject) / cavy
中2の問題です。よろしくお願いします。
No.89429 - 2024/11/27(Wed) 20:25:25
☆ Re: / X
条件からBさんがコースを一周するのにかかる時間は
10[分]×3/2=15[分]
よってコース1周の距離をL,二人が初めて出会うまでに
x[分]かかるとすると、出会うまでに二人が進んだ距離
の和について
(L/15)x+(L/10)x=L
これより
x/15+x/10=1
25x=150
x=6
ということで6分です。
No.89430 - 2024/11/27(Wed) 23:30:37
☆ Re: / 高校数学
ありがとうございました。子供もきちんと理解してくれて助かりました。
No.89432 - 2024/11/27(Wed) 23:49:12
★ (No Subject) / 桟橋
最初の主張に合うように()を付け足してみました。
No.89420 - 2024/11/27(Wed) 08:06:48
★ シグマ計算 / 桟橋
画像の式変形で、2段目から3段目のシグマが外れる部分を詳しく解説していただきたいです。
ただし、[x^m] ()で()内のx^mの係数を表します。
No.89413 - 2024/11/27(Wed) 06:07:34
☆ Re: シグマ計算 / ポテトフライ
数式が意味不明。

> ただし、[x^m] ()で()内のx^mの係数を表します。

とあるが、[x^m]()という書かれ方を2行目後半にない。件の3行目もそうなっていない。

それ以前に1行目は数の和なのに、2行目は多項式のわになっててイコールじゃない。


とりあえずxは何かということと、あまりにも特殊すぎる数式の書き方をやめてオリジナルの問題を上げた方がいい。もし、ご使用のテキストがそう書かれてるなら、それを写真に撮って上げてほしい(万一市販の本で上記の書き方をしてるなら、その書籍は速やかに利用をやめた方がよい。)
No.89415 - 2024/11/27(Wed) 06:35:21
☆ Re: シグマ計算 / 桟橋
＞[x^m]()という書かれ方を2行目後半にない。件の3行目もそうなっていない

説明不足でした。
[x^a] ()で()内を冪級数で表した時のx^aの係数です。aとは説明のために代わりに置いた文字です。

＞それ以前に1行目は数の和なのに、2行目は多項式のわになっててイコールじゃない。

2行目は多項式の和ではなく、その冪級数のうち特定のxべきの係数の和です。

＞xは何か

不定元と呼ばれる、組み合わせ等で形式的冪級数を扱う際に用いられる特殊な定数です。
No.89416 - 2024/11/27(Wed) 07:15:33
☆ Re: シグマ計算 / らすかる
> ただし、[x^m] ()で()内のx^mの係数を表します。
2行目の前半は
[x^m](…)
という形式になっていて上の定義に当てはまっていますが、
後半は
[x^(n-m)]の後に()がなく、上の定義に該当しませんので
『[x^(n-m)]』が意味不明になっていると思います。
3行目も同じです。
『[x^m]()』という定義ならば『[』と『]』と『(』と『)』が必要です。

という意味のことをポテトフライさんが書かれています。

あと、2行目の途中にあるe^xは前半の[x^m]()に入っていませんし後半の[x^(n-m)]とも関係ありませんので、完全に「xを含む項」になってしまっています。このxは意味不明です。
No.89418 - 2024/11/27(Wed) 07:51:34
☆ Re: シグマ計算 / 桟橋
指摘の意図が把握出来ておらず申し訳ありませんでした。
分数の場合は()は不要のようです。
No.89419 - 2024/11/27(Wed) 08:02:23
☆ Re: シグマ計算 / 桟橋
最初の主張に合うように()を付け足してみました
No.89421 - 2024/11/27(Wed) 08:08:14
☆ Re: シグマ計算 / らすかる
例えば
a+bx+cx^2+dx^3+ex^4+… と
f+gx+hx^2+ix^3+jx^4+…
を掛けた結果の3乗の係数は
ai+bh+cg+df
になりますよね。
2行目のΣはそれと同じ意味で、例えばn=3のとき
[x^0](左の式)・[x^3](右の式)
+[x^1](左の式)・[x^2](右の式)
+[x^2](左の式)・[x^1](右の式)
+[x^3](左の式)・[x^0](右の式)
のようになっています。
つまりΣの結果は「左の式と右の式を掛けたもののx^nの係数」という意味になりますので、単純に
(x+7x^2+6x^2+x^4)e^x と e^(-x)/(1-x)
を掛けたものを
[x^n](★)の★に入れればいいですね。
No.89424 - 2024/11/27(Wed) 11:10:14
☆ Re: シグマ計算 / 桟橋
理解できました！ありがとうございます。
No.89425 - 2024/11/27(Wed) 13:38:08
★ 単調増加 / 高校３年生
数学そのものの内容ではないのかもしれませんが、質問させてください。
「単調増加」という言葉についてです。

私は普段
?@「単調増加である」
?A「単調に増加する」
?B「単調増加関数」
という使い方をしますが，

昨日塾の先生が黒板に
「単調増加する」
という言葉を書きました。
ひとつの動詞（？）のような使い方でしょうか。

どうも気持ちが悪いのですが，ほかの皆さんにとっては普通なのでしょうか。

細かいと言われればそれまでかもしれませんが，気になります。

ご教授くだされば嬉しいです。
No.89408 - 2024/11/26(Tue) 14:12:07
☆ Re: 単調増加 / ポテトフライ
質問者さんの認識で正しい。

> 私は普段
> ?@「単調増加である」
> ?A「単調に増加する」
> ?B「単調増加関数」
> という使い方をしますが，

は正しい言い回しである。
しかし

> 「単調増加する」

というのはおかしい。
「関数が偶関数する」と言わないのと同様。
No.89414 - 2024/11/27(Wed) 06:19:58
☆ Re: 単調増加 / 高校卒業生
文脈から紛れなく解釈できれば、あまり気にしなくて良いのでは。
ポテトフライさん＞
＞「関数が偶関数する」と言わないのと同様。
「増加する」とは言っても、「関数する」とはふつうは言わないので少し違うのではないでしょうか？
No.89428 - 2024/11/27(Wed) 19:40:55
★ 部分和 / 高知
集合(2,2,2,3,5,7,10)で部分和が10となる部分集合の個数は？
No.89407 - 2024/11/26(Tue) 11:08:28
☆ Re: 部分和 / らすかる
「部分和が10となる部分集合」が「総和が10となる部分集合」の意味である場合
奇数は3,5,7の3つなので、この中から偶数個選ぶ必要がある。
0個の場合
残りは2,2,2,10で、2+2+2＜10なので(10)のみ
2個の場合
3と5ならあと2なので(3,5,2)
3と7ならそれで10なので(3,7)
よって全部で(10),(2,3,5),(3,7)の3通り。

「部分和が10となる部分集合」がそのままの意味である場合
部分和が10となるためには上記の3通りのいずれかを含めばよい。
つまり「10」を含むか、「2と3と5」を含むか、「3と7」を含めばよい。
よって場合分けして考えると
(1) 10を含む場合
残りは何でもよいので、3,5,7は含むか含まないかでそれぞれ2通りずつ、
2は0個〜3個の4通りとなり、2×2×2×4=32通り。
(2) 10を含まない場合
3は必要。
(2-1) 7を含む場合
残りの5と2は含んでも含まなくてもよいので、2×4=8通り。
(2-2) 7を含まない場合
5は必要、2は1個以上必要なので2が1〜3個の3通り。
従って全部で32+8+3=43通り。
具体的には
(10),(7,10),(5,10),(5,7,10),(3,10),(3,7,10),(3,5,10),(3,5,7,10),
(2,10),(2,7,10),(2,5,10),(2,5,7,10),(2,3,10),(2,3,7,10),(2,3,5,10),(2,3,5,7,10),
(2,2,10),(2,2,7,10),(2,2,5,10),(2,2,5,7,10),(2,2,3,10),(2,2,3,7,10),(2,2,3,5,10),(2,2,3,5,7,10),
(2,2,2,10),(2,2,2,7,10),(2,2,2,5,10),(2,2,2,5,7,10),(2,2,2,3,10),(2,2,2,3,7,10),(2,2,2,3,5,10),(2,2,2,3,5,7,10),
(3,7),(3,5,7),(2,3,7),(2,3,5,7),(2,2,3,7),(2,2,3,5,7),(2,2,2,3,7),(2,2,2,3,5,7),
(2,3,5),(2,2,3,5),(2,2,2,3,5)
No.89409 - 2024/11/26(Tue) 14:53:20
☆ Re: 部分和 / 高知
詳しい解答ありがとうございました。深く感謝します。
No.89412 - 2024/11/26(Tue) 21:41:07
★ 東京大学過去問 / Higashino
東京大学過去問

複素数平面

何卒よろしくお願いします

以下問題
No.89406 - 2024/11/26(Tue) 08:34:34
☆ Re: 東京大学過去問 / X
(1)
条件から
|z-α||w-α|=α^2 (A)
w-α=k(z-α) (B)
(但しkは正の実数)
(A)に(B)を代入して
k={α/|z-α|}^2
これを(B)に代入して
w=(z-α){α/|z-α|}^2+α
∴f[α](z)=(z-α){α/|z-α|}^2+α

(2)
(1)の結果から
f[α](i)=(i-α){α/|i-α|}^2+α
=α/(α^2+1)+i(α^2)/(α^2+1)
∴複素数の相等の定義より
x=α/(α^2+1) (C)
y=(α^2)/(α^2+1) (D)

(3)
(C)を(D)に代入して
y=αx
(C)(D)からxy≠ゆえ
α=y/x (E)
(E)を(D)に代入して
y=(y^2)/(x^2+y^2)
y{y-(x^2+y^2)}=0
∴y-(x^2+y^2)=0
x^2+(y-1/2)^2=1/4

よって求める曲線は
点(i/2)を中心とする半径1/2の円のうちの
第1象限にある半円の部分。
No.89411 - 2024/11/26(Tue) 18:48:10
☆ Re: 東京大学過去問 / Higashino
x 先生、こんにちは。ご回答ありがとうございます。

この問題は、(2を考えずとも写像と言う観点から(3はおのずと出ると思いますので

今それを思考しています

とりあえず(1だけですが、私の考え方を投稿させていただきます

ご指摘アドバイス等ありましたらよろしくお願いいたします

以下答案
No.89422 - 2024/11/27(Wed) 08:15:47
☆ Re: 東京大学過去問 / X
正しいか誤りか以前に、方針が掴みかねます。
(説明の端折りすぎ)

文面だけ見ると〇1がおかしいですね。
約分できて
w'=α
となってしまうように見えますが。

以前、別の問題でのHigashinoさんの解答でも
同じ文字を使って、別の文字として扱う
ような書き方をしていたものがありましたが
今回もそのように書いていますか？
もしそうなのであれば、区別がつくように
別の文字を割り当てるように書かないと
数学の解答にはなりませんよ。
No.89426 - 2024/11/27(Wed) 18:26:20
☆ Re: 東京大学過去問 / Higashino
x 先生、おはようございます

ご指摘ありがとうございました

再度答案を書き直しました

ご指摘アドバイス等ございましたら、どんどんとよろしくお願いいたします

以下答案
No.89434 - 2024/11/28(Thu) 05:13:51
☆ Re: 東京大学過去問 / Higashino
追伸

あまりにも、この問題の(2番の誘導が　受験生を馬鹿にしているようで　(2番はスルーして　(3番を解きました

あまりにもあっけなく解けましたので
自分の考え方がとても不安です

ご指摘アドバイスなどいただければ幸いです

以下答案
No.89435 - 2024/11/28(Thu) 06:18:37
★ 東北大学過去問 / Higashino
東北大学過去問

複素数平面

なにとぞよろしくお願いします

以下問題
No.89405 - 2024/11/25(Mon) 23:39:42
☆ Re: 東北大学過去問 / X
以下、複素数を対応する複素平面上の点に対する
位置ベクトルとして扱うものとします。
つまり、例えば
点T(a)(aは複素数)
とすると
↑OT=a

(1)
Q(w)とすると、条件から
w=↑OP+↑OA
=z+(1+i√3)
∴z=w-(1+i√3)
これを
|z+2|=1
に代入すると
|w-(-1+i√3)|=1 (A)
よって点Qの軌跡は
点(-1+i√3)を中心とする半径1の円

(2)
R(r)、線分OQの中点をUとし、
(1)と同じwを使うと、条件から
r=↑OU+↑UR
=(1/2)↑OQ±{(√3)/2}i↑OQ
={(1±i√3)/2}w
∴w={(1干i√3)/2}r (複号同順、以下同じ)
これを(A)に代入すると
|{(1干i√3)/2}r-(-1+i√3)|=1
これより
|r-(-1+i√3){(1±i√3)/2}|=|{(1±i√3)/2}|
∴
|r+2|=1
又は
|r-(1+i√3)|=1
よって点Rの軌跡は
点(1+i√3),(-2)を中心とする半径1の2つの円
No.89410 - 2024/11/26(Tue) 18:05:56
☆ Re: 東北大学過去問 / Higashino
x 先生、お久しぶりです

この日が待っておりました

おはようございます

いただいた回答ですが　先生の計算ミスでしょうか？　若干正解と異なるようです。

以下、私の答案です

ご指摘アドバイスなどをいただければ光栄です

以下答案
No.89417 - 2024/11/27(Wed) 07:46:51
☆ Re: 東北大学過去問 / Higashino
追伸

ベクトルORはベクトルOQを原点の周りに60度またはマイナス60度回転したものです
No.89423 - 2024/11/27(Wed) 08:20:28
☆ Re: 東北大学過去問 / X
ごめんなさい。No.89410で誤りがありましたので
直接修正しました。
再度ご覧下さい。

それでNo.89417について。
(1)は問題ないのですが、(2)の論理の展開の仕方が
おかしいです。
((1)(2)共に答えは正しいですが。)
そもそも、円円対応であることが分かっているのであれば
条件から

点Rの軌跡の円の中心は、
点Q[0]を原点中心で±π/3だけ回転移動させたもの

となることが分かりますので、P[0],Aを持ち出す必要がありません。
(単にQ[0]の移動先がたまたまP[0],Aが重なっただけ)
私には
＞＞四角形Q[0]P[0]OA〜O→A
の過程が、全く意味のない議論にしか見えませんでした。
No.89427 - 2024/11/27(Wed) 19:20:48
☆ Re: 東北大学過去問 / Higashino
x 先生、おはようございます

本日もよろしくお願いいたします

先生のご指摘ですが

> 私には
＞＞四角形Q[0]P[0]OA〜O→A
の過程が、全く意味のない議論にしか見えませんでした。


原点を通らない円の移動は、原点を通るない円の移動になるのですが

それは必ずしも合同変換なのでしょうか？

なにとぞよろしくお願いします
No.89437 - 2024/11/28(Thu) 08:00:12
☆ Re: 東北大学過去問 / X
今回の場合は回転移動だったので、合同変換でしたが
一般の場合は合同変換とは限りません。

反例)
|z-1|=2 (A)
は原点を通らない円です。
(A)に対し
w=z/2
なる変換を考えると
|2w-1|=2
∴|w-1/2|=1 (B)
(B)は(A)とは異なる半径の円です。
No.89442 - 2024/11/28(Thu) 20:31:40
★ (No Subject) / けんたろう
1+2x＞0、1＋2x＜0というふうに場合分けして考える方法は正しいのでしょうか。xは実数です。
No.89403 - 2024/11/25(Mon) 20:15:47
☆ Re: / ヨッシー
それが一番いいでしょう。
他にも １＋２ｘ≠０ だけことわって、両辺に
(１＋２ｘ)^2　を掛けるというのもありますが、かえって面倒です。
No.89404 - 2024/11/25(Mon) 21:05:39
★ 極限 / もんもん
この計算過程でなぜこうなるのかわからないです。教えていただきたいです類題八の7番です
No.89399 - 2024/11/24(Sun) 13:43:10
☆ Re: 極限 / IT
どの行が不明ですか？
No.89400 - 2024/11/24(Sun) 14:05:57
☆ Re: 極限 / GandB
　一部隠れている上右隅の解説をじっくり読み、有理化をすればすぐわかる。
No.89401 - 2024/11/24(Sun) 14:26:17
☆ Re: 極限 / IT
模範？解答のように、与式の分母分子をnで割って２行目に変形するよりも、
与式の分母を有理化する方が分かり易いかも知れません。

このことについてもGandBさんの御指摘の通り、上右隅の解説に書いてあるようですね。
No.89402 - 2024/11/24(Sun) 14:41:37
★ (No Subject) / 有栖川
両方とも真だと思うのですが、どうやったら示せるのか分かりません。解説して頂けますか？
No.89388 - 2024/11/23(Sat) 17:09:06
☆ Re: / IT
何年生ですか？
有界な単調数列は収束列である。という定理を使って良いですか？
この定理の証明が必要ですか？
No.89389 - 2024/11/23(Sat) 18:16:58
☆ Re: / 有栖川
高３です。大学数学は全然理解していません。
No.89390 - 2024/11/23(Sat) 18:20:37
☆ Re: / 有栖川
高校数学範囲で説明できるならお願いしたいです。
No.89391 - 2024/11/23(Sat) 18:23:27
☆ Re: / IT
極限を扱う場合は、厳密な議論が必要なので「高校範囲で説明」は、私には出来そうもありません。
参考までに、上記の大学１年レベルの定理は、既知として書いておきます。

１　Lim(n→∞) b[n]=βより、自然数Nがあって,n≧Nならば　b[n]＜β+1
任意の自然数nでa[n]≦b[n] なので、n≧Nならば　a[n]＜β+1

・・・

したがって、数列a[n]は、単調増加で上に有界なので収束する。

２　Lim(n→∞) a[n]=αとおく。
　自然数Nがあってn≧Nならば　 α-0.1＜a[n]＜α+0.1…(1)
　任意の自然数mについて a[N+m] はa[N] 以上の自然数（帰納法で証明）
　(1)よりα-0.1＜a[N]≦a[N+m] ＜α+0.1
　α-0.1とα+0.1の 間には、たかだか１つの自然数しかないのでa[N]=a[N+m]
　
　よってn≧Nならばa[n]=a[N]
　・・・
No.89392 - 2024/11/23(Sat) 18:51:38
☆ Re: / IT
下記でどうでしょうか？　２も下記の途中からを少し書き換えるだけです。

Lim(n→∞) b[n]=βより、自然数Nがあって,n≧Nならば　b[n]＜β+1
β+１以上の最小の自然数をMとする。
任意の自然数nでa[n]≦b[n] なので、n≧Nならば　a[n]＜M
数列a[n]は、単調増加なので　任意の自然数nについて　a[n]＜M

すなわち,任意の自然数nについて a[n]≦L となる自然数Lが存在する。

このような自然数Lのうち最小のものが存在する。これをAとする。
このとき　自然数mが存在して,a[m]=A である。（要証明）
m≦n について、A=a[m]≦a[n]≦A なので　a[n]=A である。

したがってLim(n→∞) a[n]=A
No.89393 - 2024/11/23(Sat) 20:31:11
☆ Re: / 有栖川
なるほどありがとうございます。自分が正しく理解できているかの確認なのですが、

β+1でなくてもβ+0.01などでも構わないという事ですか？

Nは十分大きいNに対してという事ですか？
No.89394 - 2024/11/23(Sat) 22:03:35
☆ Re: / 有栖川
εN論法を高校数学的に書き換えたという感じでしょうか？
No.89395 - 2024/11/23(Sat) 22:04:56
☆ Re: / IT
そうですね
No.89397 - 2024/11/24(Sun) 08:47:42
★ 複素数平面　反転写像 / Higashino
複素数平面
東京大学過去問

なにとぞよろしくお願いします

以下の答案が分かりません

2カ所あります

どなたか教えてください。よろしくお願いいたします。

以下わからないところ
No.89387 - 2024/11/23(Sat) 00:50:37
☆ Re: 複素数平面　反転写像 / Higashino
　追伸

点Aが，単位円に関する反転をして，点A'に移った と言うのは，
・ A'が半直線OA上にある
・ OA×OA'＝1
これを満たすことです。


このことと、?Aの質問は関係があるのでしょうか？よろしくお願いいたします。
No.89396 - 2024/11/24(Sun) 04:01:00
☆ Re: 複素数平面　反転写像 / Higashino
おはようございます

自分なりに答案を作成しました

反転と言うことも、資料不足で全くのお手上げ状態ですが

人の手も3分の1ほど借りて、残りは自力で考えました

数多多くの間違いがあると思いますが

ドンドンとご指摘ください

どうにか反転と言う数学の技を身に付けたいのです

お力をお貸しください

何卒よろしくお願いします

以下、不十分な答案
No.89398 - 2024/11/24(Sun) 09:39:25
★ (No Subject) / ringo
三角形ABCにおいて、AB=3、BC=4、AC=5とする。 ∠BACの二等分線と辺BCとの交点をDとする。 また、∠BACの二等分線と三角形ABCの外接円Oとの交点で点Aとは異なる点をEとする。
三角形ABCの2辺ABとACの両方に接し、外接円Oに内接する円の中心をPとする。円Pの半径をrとする。 さらに、円Pと外接円Oとの接点をFとし、直線PFと外接円Oとの交点で点Fとは異なる点をGとする。

添付画像の黄色ラインの部分が、なぜ点Oと接するのかがわかりません。ご回答のほど、よろしくお願いします
No.89383 - 2024/11/22(Fri) 20:38:07
☆ Re: / IT
> 添付画像の黄色ラインの部分が、なぜ点Oと接するのかがわかりません。ご回答のほど、よろしくお願いします

何も「点Oと接する」　などとは書いてないと思いますが？

何が何とどこで接すると書いてあることについての疑問ですか？
No.89384 - 2024/11/22(Fri) 21:50:26
☆ Re: / ringo
ご返答ありがとうございます
「直線FPは2円P、Oの中心どうしを結んだ直線」という部分が理解出来ていません
円Oの中心のことを点Oと記載してしまっていました。すみません😣
No.89385 - 2024/11/22(Fri) 22:15:18
☆ Re: / ringo
接する2円の中心は一直線上にあるというやつですか！！解決しましたありがとうございました
No.89386 - 2024/11/22(Fri) 23:55:17
★ 一次分数変換 / Higashino
複素数平面

質問がありますので、よろしくお願いします。

以下、質問
No.89375 - 2024/11/20(Wed) 12:36:41
☆ Re: 一次分数変換 / X
単に分母分子に-1をかけているだけです。
No.89377 - 2024/11/20(Wed) 17:33:30
☆ Re: 一次分数変換 / らすかる
「z=(dz-b)/(-cz+a)が、成り立ちます。」は
「z=(dw-b)/(-cw+a)が、成り立ちます。」の間違い、
「z={(-1)w+(-2)}/{(-1)z+1}」は
「z={(-1)w+(-2)}/{(-1)w+1}」の間違いですね。
これらが正しければ、
w=(1z+2)/{1z+(-1)} から
a=1,b=2,c=1,d=-1 なので
z=(dw-b)/(-cw+a) にそれらを代入して
z={(-1)w-2}/{(-1)w+1}
となります。
No.89378 - 2024/11/20(Wed) 19:02:14
☆ Re: 一次分数変換 / Higashino
ラスカル先生、こんにちは

ご回答ありがとうございます

スッキリしました。本当に助かります。

これからも何卒よろしくお願いいたします
No.89379 - 2024/11/20(Wed) 20:37:40
★ 中3 相似 / un kn0wn
問題　平行四辺形ABCDがあり、ADの中点をE,CDを3等分する点のうちCに近い方をFとし、Af,ECの交点をGとする。三角形GFCの面積は平行四辺形の面積の何倍ですか？

この問題の解き方を教えてください。AFとBCを伸ばすと相似な三角形が2つできるのはわかります。
No.89363 - 2024/11/19(Tue) 15:17:39
☆ Re: 中3 相似 / un kn0wn
平行四辺形の面積の何倍ですか？は平行四辺形ABCDの面積の何倍ですか？の間違いです。
No.89364 - 2024/11/19(Tue) 15:18:27
☆ Re: 中3 相似 / ヨッシー
ＡＦとＢＣの交点をＨとすると、
　△ＡＢＨ∽△ＦＣＨ　
であり、相似比は ＡＢ：ＦＣ＝３：１。
また、
　△ＡＥＧ∽△ＨＣＧ
であり、相似比は ＡＥ：ＣＨ＝１：１
線分ＡＨ上において、
　ＡＧ＝ＧＨ＝１：１
　ＡＦ：ＦＨ＝２：１
より、
　ＡＧ：ＧＦ：ＦＨ＝３：１：２
△ＧＦＣと平行四辺形ＡＢＣＤの面積を比較するのに、ＣＤ、ＣＦを底辺とすると、
底辺比は　１：３　高さ比は　ＦＧ：ＦＡ＝１：４
一方が三角形、一方が平行四辺形であることを考慮すると、面積比は
　１：２４
答え　1/24
No.89365 - 2024/11/19(Tue) 16:08:48
☆ Re: 中3 相似 / un kn0wn
「△ＡＥＧ∽△ＨＣＧ
であり、相似比は ＡＥ：ＣＨ＝１：１」
１：１はなぜいえるのか教えてください？
No.89366 - 2024/11/19(Tue) 17:09:35
☆ Re: 中3 相似 / ヨッシー
△ＡＢＨと△ＦＣＨの相似比が３：１なので、
　ＢＨ：ＣＨ＝３：１
から
　ＢＣ：ＣＨ＝２：１
つまり、ＣＨはＢＣの1/2倍　ということが言えて、
ＡＥとＣＨは等しいことがわかります。
No.89367 - 2024/11/19(Tue) 17:18:14
☆ Re: 中3 相似 / un kn0wn
わかりました！ありがとうございました！
学年の正答率6%…
No.89382 - 2024/11/21(Thu) 21:04:08
★ 慶応大学過去問 / Higashino
慶応大学過去問

複素数平面

なにとぞよろしくお願いします

以下問題
No.89346 - 2024/11/18(Mon) 06:43:51
☆ Re: 慶応大学過去問 / ヨッシー
ｚ＝ｘ＋ｙｉ　と置きます。
(1)
　0≦|ｚ|≦1
より、
　|ｚ|^2≦1
　|ｚ|^2＝ｘ^2＋ｙ^2≦1　・・・(i)
同様に
　|ｚ−１|^2≦|ｚ|^2
　(ｘ−１)^2＋ｙ^2≦ｘ^2＋ｙ^2
　１−２ｘ≦0
　ｘ≧1/2　　　　・・・(ii)
グラフは省略しますが、
円　ｘ^2＋ｙ^2＝１ の周囲を含む内部のうち、
直線ｘ＝1/2 より右側にある部分（ｘ＝1/2 上の点も含む）
となります。

(2)
半径１、中心角 120°の扇形から
底辺√3、高さ 1/2 の三角形を引いたものなので、
　π/3−√3/4

(3)
(i)(ii) ともに等号が成り立つときなので、
　ｚ＝1/2±(√3)ｉ/2
No.89353 - 2024/11/18(Mon) 11:23:25
☆ Re: 慶応大学過去問 / Higashino
ヨッシー先生、おはようございます

お久しぶりです

ずいぶん寒くなってきました

今回の私の答案は、先生とほとんど同じだと思います

ご指摘アドバイスなどをいただければ幸いです


以下答案
No.89371 - 2024/11/20(Wed) 09:03:47
★ 数列の問題 / たかし
この問題、教えてください。
6番の問題です。
No.89338 - 2024/11/17(Sun) 22:27:26
☆ Re: 数列の問題 / たかし
以下の添付ファイル確認ください。
No.89339 - 2024/11/17(Sun) 22:32:45
☆ Re: 数列の問題 / T.I
私、質問させてもらった本人ですが、ｎ＝1の時とすること自体、意味のないこと、やってはいけないことと理解するべきなのでしょうか？
但し、数学的にはｎ≧2の条件を付してあげることで解決しそうです。後でｎ＝1の時の検証も付け加える形で良いと考えます。いかがでしょうか？
No.89349 - 2024/11/18(Mon) 08:52:28
☆ Re: 数列の問題 / ヨッシー
これは、
　３＋３^2＋・・・＋３^(n-1)
という書き方が誤解を生むのであって、数の規則性としては問題ありません。

Ｔ＝３＋３^2＋・・・＋３^(n-1) とおくと、
ｎ＝４　のとき
　Ｔ＝３＋９＋２７＝３９
ｎ＝３　のとき
　Ｔ＝３＋９＝１２
ｎ＝２　のとき
　Ｔ＝３
と減らしていくと、ｎ＝１のときは、何も足すものがなくて
　Ｔ＝０
となります。

ただ、ここまでの吟味をする時間があるなら、ｎ＝１は一旦横に置いておいてやるというのも、安心感のある方法ではあります。
No.89351 - 2024/11/18(Mon) 09:47:32
☆ Re: 数列の問題 / T.I
解説頂いて、ありがとうございます。
n＝1の時は3＾0＝1とい考え方ではないということになる
ので、s-3sの前にn≧2の時と条件を付して最後にn＝1の時の
に問題ないか確認するという方針でもよいといういことでしょうか？
No.89352 - 2024/11/18(Mon) 11:00:59
☆ Re: 数列の問題 / ヨッシー
そのように考えるのであれば、ｎ＝１の場合は意味がない、と捉えたほうがしっくり来るかもしれません。

３＋３^2＋・・・＋３^(n-1) 　を、
　３^k を ｋ＝１からｋ＝ｎ−１まで足す
と捉えるか
　３^(k-1) を ｋ＝２からｋ＝ｎまで足す
と捉えるかによって、違ってきます。
後者だと、ｎ＝１は意味を持ちません。
前者と捉えたうえで、
　ｋ＝１からｋ＝０まで足す　＝　何も足さない
と捉えられるなら、ｎ＝１のときも含められます。
No.89354 - 2024/11/18(Mon) 12:25:24
☆ Re: 数列の問題 / T.I
ｋ＝１からｋ＝０まで足す　＝　何も足さない
　ということはよくわからないです。
何も足さないとは３ということでしょうか？
もう少し説明をお願いいたします。
No.89355 - 2024/11/18(Mon) 13:35:29
☆ Re: 数列の問題 / ヨッシー
例えば、次のような処理を考えます。
（少しプログラミングっぽくなりますが）
a[k]＝３^k とします。
＜初期設定＞
Ｔは最初０とします。
ｋは最初１とします。
０以上の整数ｎの値を決めます。
＜手続き＞
ｋがｎ以下のときは　Ｔに a[k] を足し、ｋに１を加え、＜手続き＞に戻る
ｋがｎを超えたときは、手続きをやめる。
＜手続き終わり＞

ｎ＝０と決めると、Ｔはいくつになりますか？
Ｔ＝３になるのは、ｎ＝１のときです。

少し回りくどかったですが、何も足さないということは０ということです。
No.89356 - 2024/11/18(Mon) 13:47:43
☆ Re: 数列の問題 / T.I
数列の和の問題を解きました．
先日、質疑を上げさせていただいた件の解答の添削をお願いいたします．
No.89359 - 2024/11/18(Mon) 23:52:21
☆ Re: 数列の問題 / たかし
すいません、先程の資料は間違いです。
再度載せますので、確認ください。
No.89360 - 2024/11/18(Mon) 23:54:47
☆ 数列の問題 / T.I
私自身で解答させていただきましたのて
添削をお願いします。
No.89368 - 2024/11/19(Tue) 18:06:10
☆ Re: 数列の問題 / ヨッシー
それでいいですが、丸１のあとは、
　これはｎ＝１のときも成り立つ。
　よって、すべての自然数ｎについて、
　　Ｓ＝・・・
で良いと思います。
No.89372 - 2024/11/20(Wed) 09:05:12
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