0850973

ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

since 2008/03/25

旧数学掲示板のログ

使用上の注意はこちらにあります

質問される方は学年（質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。


過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

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★ 高校数学(数3) NEW / 314
この問題の答えが(1)=2√3+3/8π, (2)=12, (3)=3/2√3+2πになる理由を詳しく教えてください。
滑らないと書いてあることから、サイクロイドを使うらしいですが、どのように使うのかがわかりませんでした。
No.90137 - 2025/04/13(Sun) 21:01:55
☆ Re: 高校数学(数3) NEW / ヨッシー
最初の状態で、円Ｋと△ＯＡＢのＯＡ上における接点をＱ、ＯＡの中点をＭとします。

(1)
　ＯＱ＝ＯＰ＝√3
であり、また、ＱＭ＝優弧ＰＱ＝(4/3)π
よって　ＯＭ＝√3＋(4/3)π
　ＯＡ＝２ＯＭ＝2√3＋(8/3)π　・・・答え１

(2)
半径１の円によるサイクロイドの式は
　ｘ＝θ−sinθ、ｙ＝１−cosθ
これの、θ＝2π/3 から θ＝2π までの長さを求めます。

　Ｌ＝∫[2π/3〜2π]√{（１−cosθ)^2＋sin^2θ}dθ
　　＝∫[2π/3〜2π]√(２−２cosθ)dθ
１−cosθ＝2sin^2(θ/2) より
　Ｌ＝∫[2π/3〜2π]√(4sin^2(θ/2))dθ
　　＝２∫[2π/3〜2π]|sin(θ/2)|dθ
2π/3≦θ≦2π のとき、2π/6≦θ≦π であるので、sin(θ/2)≧0
よって、
　Ｌ＝２∫[2π/3〜2π]sin(θ/2)dθ
　　＝２[−2cos(θ/2)][2π/3〜2π]
　　＝４(１＋1/2）＝６
求める長さはこれの２倍なので、
　６×２＝１２　・・・答え２

(3)
サイクロイド
　ｘ＝θ−sinθ、ｙ＝１−cosθ
において、点Ｐに当たる点の座標は(2π/3−√3/2, 3/2)、
点ＭＭに当たる点の座標は（2π, 0) です。
求める面積は
　Ｓ＝∫[2π/3−√3/2〜2π]ｙdx
これに、面積 3√3/8 の直角三角形を加えたものです。
。これをθの積分に置換すると、
積分範囲は　2π/3−√3/2≦ｘ≦2π　→　2π/3≦θ≦2π
　dx/dθ＝1−cosθ
より　
　dx＝(1−cosθ)dθ
これらより
　Ｓ＝∫[2π/3〜2π](１−cosθ)(1−cosθ)dθ
　　＝∫[2π/3〜2π](１−２cosθ＋cos^2θ)dθ
cos^2θ＝(1＋cos2θ)/2 より
　Ｓ＝∫[2π/3〜2π]{１−２cosθ＋(1＋cos2θ)/2}dθ
　　＝∫[2π/3〜2π]{3/2−２cosθ＋(cos2θ)/2}dθ
　　＝[3θ/2−2sinθ＋(sin2θ)/4][2π/3〜2π]
　　＝3π−π＋√3＋√3/8
　　＝2π＋9√3/8
よって、求める面積は
　2π＋9√3/8＋3√3/8＝2π＋3√3/2
No.90138 - 2025/04/14(Mon) 12:03:00
★ (No Subject) / あ
この問題の⑴を解いてください
No.90133 - 2025/04/13(Sun) 00:42:23
☆ Re: / X
(1)
図１から問題の直方体の容器の容積は
30[cm]×40[cm]×60[cm]=72000[cm^3]
ここで
1[l]≡1000[cm^3]
ですので、直方体の容器の容積の単位を
lに変換すると
72000[cm^3]÷1000[cm^3/l]=72[l]
図２から、直方体の容器は18分で一杯になるので
水を入れる速度は
72[l]÷18[分]=4[l/分]
となります。
No.90136 - 2025/04/13(Sun) 09:40:01
★ (No Subject) / やり直しメン
算数です

◻︎4です

とりあえず図だけは書きました。

よろしくお願いします
No.90127 - 2025/04/11(Fri) 22:36:11
☆ Re: / X
のりこさんが21[m]進んだとき、洋子さんは
のりこさんのスタート地点から
21[m]+94[m]=115[m]
進んでいるので、洋子さんは自分のスタート地点から
115[m]-100[m]=15[m]
進みます。
よって、のり子さんと洋子さんの速さの比は
21:15=7:5 (A)

ここで
のり子さんのスタート地点をA
洋子さんのスタート地点をB
のり子さんが洋子さんに追いついた地点をC
とすると、(A)から
AC:BC=7:5
よって
AC:AB=7:2
よって比の値からACは
ABの7/2倍
となりますので、求める距離は
100[m]×7/2=350[m]
となります。
No.90130 - 2025/04/12(Sat) 07:15:53
☆ Re: / IT
（別解）
のりこさんが21[m]進んだとき、２人の距離は　100-94＝6[m]　縮まった。

100[m] 縮まるのは 21×(100/6) = 350 [m]のりこさんが進んだとき
No.90131 - 2025/04/12(Sat) 20:37:01
☆ Re: / やり直しメン
> のりこさんが21[m]進んだとき、洋子さんは
> のりこさんのスタート地点から
> 21[m]+94[m]=115[m]
> 進んでいるので、洋子さんは自分のスタート地点から
> 115[m]-100[m]=15[m]
> 進みます。
> よって、のり子さんと洋子さんの速さの比は
> 21:15=7:5 (A)

この解き方はのり子さんと洋子さんが走った時間が同じときに速さの比と距離の比が同じというのを使ったということですか。
No.90132 - 2025/04/13(Sun) 00:02:11
☆ Re: / IT
余談ですが、２人がそれぞれ「一定の速さで走る」という（現実にはあり得ない）前提条件が書いてないので、解答不能ではありますね。

算数の問題としては、暗黙の了解なのでしょうが。
No.90134 - 2025/04/13(Sun) 07:58:53
☆ Re: / X
＞＞やり直しメンさんへ
その通りです。
No.90135 - 2025/04/13(Sun) 09:33:49
★ (No Subject) / やり直しメン
算数です

観覧車に太郎さんと花子さんが別々に乗りました。
太郎さんが先に乗り、その1分後に花子さんが乗りました。
太郎さんが乗ってから3分後に、太郎さんが乗っているゴンドラの丁度真下に花子さんの乗っているゴンドラが来ました。
この観覧車が一周するのにかかる時間は何分ですか。という問題です。

よろしくお願いします
No.90113 - 2025/04/05(Sat) 21:08:01
☆ Re: / やり直しメン
僕これ、直感で6分と答えたら正解は10分でした
No.90115 - 2025/04/05(Sat) 21:42:21
☆ Re: / WIZ
1分で回転する角度をt°とします。
観覧車の一番低い位置(多分乗り降りする場所)を始点の0°とします。
太郎さんの3分後の位置は3t°で、花子さんは1分遅れて乗ったので位置は2t°です。

従って、太郎さんが観覧車の一番高い位置つまり180°から2t°手前なら花子さんの前上になります。
180-3t = 2tより、t = 36となり、一周は360/36 = 10分となります。

# これくらいなら１次方程式を立てなくても何とかなりそうですね。
No.90117 - 2025/04/05(Sat) 23:39:52
☆ Re: / らすかる
「太郎さんが乗っているゴンドラの丁度真下に花子さんの乗っているゴンドラがある」
ということは、二つのゴンドラを結んだ直線がちょうど地面に対して垂直になっていますね。
そして太郎さんが乗って1分後に花子さんが乗ったということは、
太郎さんが乗って30秒後に二つのゴンドラを結んだ直線が水平（地面と平行）になっています。
ということは、「30秒後」から「3分後」までに観覧車が90°（1/4周）回転したという
ことですから、1/4周の回転に2分30秒、よって1周では2分30秒×4=10分となります。
No.90119 - 2025/04/06(Sun) 23:41:48
☆ Re: / やり直しメン

> 太郎さんが乗って30秒後に二つのゴンドラを結んだ直線が水平（地面と平行）になっています。

なぜこうなるのでしょうか。

よろしくお願いします
No.90128 - 2025/04/12(Sat) 00:01:05
☆ Re: / らすかる
太郎さんが乗った時、太郎さんのゴンドラが最下地点（観覧車の回転軸の中心の真下）で
花子さんのゴンドラはそれより一つ分手前
花子さんが乗った時、花子さんのゴンドラが最下地点で
太郎さんのゴンドラはそれより一つ分先
そして前者の状態から後者の状態になるまでの時間が1分間ですから、
その丁度中間すなわち前者の状態の30秒後には
太郎さんのゴンドラは最下地点を過ぎた位置で、最下地点からゴンドラ間隔の半分進んだ状態
花子さんのゴンドラは最下地点の手前で最下地点まではゴンドラ間隔の半分
ですから太郎さんのゴンドラと花子さんのゴンドラのちょうど真ん中が最下地点であり、
二つのゴンドラを結んだ直線は水平になります。
図を描いてみればわかりやすいと思います。
No.90129 - 2025/04/12(Sat) 01:36:51
★ (No Subject) / やり直しメン
◻︎6です　算数です

教えてください。
No.90107 - 2025/04/05(Sat) 07:26:32
☆ Re: / WIZ
7時の時点で、長針の位置は12時つまり0分の位置で、短針は7時つまり35分の位置にあります。
m分後(mは非負実数で整数とは限らない)は、長針がm分の位置で、短針が(35+m/12)分の位置です。

12時と6時を結ぶ直線に対して、長針と短針が線対称となるmを求めるのであれば、
# 長針と短針の長さが違うと思うので完全な線対称とは言えないが、
# 12時と6時を結ぶ直線と長針のなす角度と
# 12時と6時を結ぶ直線と短針のなす角度が等しいという意味と解釈。

m = 60-(35+m/12)より、m = 300/13 ≒ 23.07･･･

# これ本当に算数(小学校)の問題なの? 1次方程式を習うのは中学校だと思うけど、
# 逆に1次方程式を使わずに小学生がどうやって解くのかに興味がある。
No.90116 - 2025/04/05(Sat) 23:38:02
☆ Re: / やり直しメン
解説書です
No.90118 - 2025/04/05(Sat) 23:56:26
★ 算数 / やり直しメン
◻︎５の（3）です
写真のように?C:?Dとできるのは疑問におもいました。
?Cだったら川上のスタート地点から川下のゴールまでが4時間なのでこれを?Cとするのは理解できるのですがCB間が?Cとなるのはおかしいと思い質問しました。
No.90097 - 2025/04/03(Thu) 23:46:31
☆ Re: 算数 / やり直しメン
まる4:まる5と出来るのが疑問に思いました
No.90098 - 2025/04/03(Thu) 23:48:58
☆ Re: 算数 / ヨッシー

相似変形ですので、図の赤と青は常に４：５になります。
No.90099 - 2025/04/04(Fri) 08:36:14
☆ Re: 算数 / やり直しメン
ご返信ありがとうございます。

回答の意味が分かりません。

よろしくお願いします
No.90101 - 2025/04/04(Fri) 15:10:43
☆ Re: 算数 / らすかる
＞ヨッシーさん
90099の「図」は私の環境では表示されません。
（他のドメインにあってセキュリティのため？）
なので、やり直しメンさんの「意味が分かりません」は
もしかしたら図が見えていないからかも知れません。
No.90108 - 2025/04/05(Sat) 08:28:16
☆ Re: 算数 / IT
らすかるさん
> ＞ヨッシーさん
> 90099の「図」は私の環境では表示されません。
私も表示されません。
右クリックして「新しいタブで画像を開く」だと見れました。
アニメーションGIF　だからかも知れません。
No.90109 - 2025/04/05(Sat) 12:24:19
☆ Re: 算数 / GandB
　図はこんな感じ。
No.90110 - 2025/04/05(Sat) 12:31:08
☆ Re: 算数 / らすかる
私の環境では「画像を新しいタブで開く」でもダメ（新しいタブが404 Not Found）で、
「画像のリンクをコピー」で新しいタブまたはウィンドウにURLをペーストすることで
表示されました。
No.90112 - 2025/04/05(Sat) 15:28:01
☆ Re: 算数 / やり直しメン
ありがとうございます。こんな簡単な問題にご返信してくれたこと本当に感謝しています。

相似を使ったら解決しました。ありがとうございます
No.90114 - 2025/04/05(Sat) 21:32:09
☆ Re: 算数 / らすかる
（本スレの質問とは関係ありません）
今気づきましたが、私の環境ではこのページの先頭付近にある二つの画像も表示されていません。
これも同じ原因かと思います。
もしかして、画像が表示されているのは管理人のヨッシーさんだけだったりして？？？
No.90120 - 2025/04/06(Sun) 23:46:40
☆ Re: 算数 / ヨッシー
これは悩ましい問題でして、
ＩＴさんの書かれた通り、http://yosshy.sansu.org/junk/2025/yarinaoshi1.gif
このアドレスを直接入力したら、見ることは出来ると思います。
問題は、ブラウザから見えるかどうかで、Edge だと私でも見えなくて、Edge を IE モードにすると見えたりします。
ただし、その時今度は、質問者さんの貼られた画像が見えなくなったりします。
掲示板の管理者に聞いても、明確な回答が得られず、ちょっと様子見の状態です。
No.90121 - 2025/04/07(Mon) 09:05:12
☆ Re: 算数 / ヨッシー
ちなみに、これはどうでしょう？
No.90123 - 2025/04/07(Mon) 09:17:53
☆ Re: 算数 / らすかる
同じドメイン内に貼られたものですよね。私は問題なく見えます。
ちなみに、90099の図形を私の環境で「画像を新しいタブで開く」とすると
「404 Not Found」になるのですが、この理由はURLが勝手に
https://yosshy.sansu.org/junk/2025/yarinaoshi1.gif
に変更(http→https)されているためのようです。
(「画像のリンクをコピー」ではhttpのままです)
これはFirefox独自の問題かも知れませんね。
No.90124 - 2025/04/07(Mon) 10:25:17
☆ Re: 算数 / IT
> ちなみに、これはどうでしょう？
私の環境　chrome でも　Edgeでも　問題なく見えます。
（詳細設定不明）
No.90125 - 2025/04/07(Mon) 19:18:08
★ (No Subject) / 大西
部分積分を用いてもInとIn+1との関係がうまく出せませんでした。
そもそも漸化式を用いて解こうとする自体が間違っているのでしょうか。

何かInを直接計算する方法があるのでしょうか。
No.90096 - 2025/04/03(Thu) 22:41:12
☆ Re: / ast
問題の趣旨にはおそらく合わないでしょうが, ベータ函数に馴染みがあるのならば tan(x)^(1/n) = sin(x)^(1/n) cos(x)^(-1/n) と見る (必要ならば u:=sin(x)^2 などで置換する) ことで当該の積分が
　 I[n] = Β[(1+1/n)/2, (1-1/n)/2)]/2 --(*)
のように書けることは言えると思います.
# よく知られた関係式によってガンマ函数で表せば
#　 (*) = (Γ((1+1/n)/2)Γ(1-(1+1/n)/2)/Γ(1))/2 = (π/sin(π(1+1/n)/2))/2 = π/(2cos(π/(2n)))
# と計算できて極限も I[n] → π/2 と求まりそうです.
## もとの積分において極限と積分が交換可能ならば
## 　∫_[0,π/2] lim_[n→∞]tan[x]^(1/n)dx = ∫_[0,π/2]dx = π/2
## となるはずなので, ↑の計算も合っていそうとは思いますが, 保証するつもりはありません.
No.90102 - 2025/04/04(Fri) 17:48:12
☆ Re: / 大西
astさんご返信ありがとうございます。

Γ(1-s)Γ(s)=π/sinπsという関係式がありましたね。
ベータ関数とガンマ関数を使えば解けるのですね。
でも大学入試問題だそうなので他の方法がありそうです。
No.90105 - 2025/04/04(Fri) 20:18:54
☆ Re: / IT
大学入試問題ではないのでは？　
広義積分もベータ関数・ガンマ関数も高校数学の範囲外だと思います。

できそこないの模試とかでは？
受験勉強なら　しっかりした解答解説付きの参考書・問題集で学習されるのが効率的かと思います。
No.90106 - 2025/04/04(Fri) 20:54:28
☆ Re: / 大西
ITさんご返信ありがとうございます。

大学入試問題だと言われたのですがそうじゃないのかも知れませんね。

受験勉強ではありませんが、興味がある問題に色々とチャレンジしています。
No.90111 - 2025/04/05(Sat) 13:22:38
☆ Re: / 黄桃
本題とは関係ないですが参考までに。

これは架空の大学である信州国際学院大学の国際観光学部令和6年度数学の過去問です
（https://kokushin-u.jp/prospective-student/past-questions/からダウンロードできます）。
ドメイン名が.ac.jp でないことからわかるように、この大学自体が壮大なジョークなので注意が必要です。

数学の過去問は、本問のように、多分数学としては正しいけど、少なくとも日本の大学入試問題としてはジョークと呼べるものが多数見受けられます。
形式は大学入試問題なのに、怪しげであれば、ここの問題でないか確認した方がいいです。
その上で、出典を明記して質問するのは構わないでしょう（ジョークであっても著作権はあるでしょうから）。
No.90126 - 2025/04/08(Tue) 22:38:06
★ 質問です。 / てふら
下の問題を解いていたのですが，答えが解説と合わないので教えてもらえればと思います。

問題）座標平面上に曲線Ｃを媒介変数t (-1≦t≦1) を用いて
x=1-t^2，y=t-t^3 …?@と定める。以下の問いに答えよ。
(1)　曲線Ｃの概形を描け。
(2)　曲線Ｃをy軸のまわりに１回転してできる回転体の体積Ｖを求めよ。

(2)の答えが，?@で定まるyの関数xのうち，y≧0であるものの計算を行って，体積Ｖ=32π/105 としています。


y≦0についても同様に考えて，答えを２倍すべきだと思うのですが，違うのでしょうか。
No.90090 - 2025/04/03(Thu) 12:33:16
☆ Re: 質問です。 / ヨッシー
>(2)　曲線Ｃをy軸のまわりに１回転してできる回転体の体積Ｖを求めよ。
まだ、計算していませんが、
(2) は、「ｙ軸」で合ってますか？
No.90092 - 2025/04/03(Thu) 16:06:15
☆ Re: 質問です。 / WIZ
私の方の計算でも質問者さんと同じ結果となりましたので、
おそらく問題文か解答に誤りがあるものと思います。
例えば質問者さんの問題文の写し間違いで「0 ≦ t ≦ 1」とか?

(1)の解答はy ≦ 0の部分も含めたグラフになっているのですか?
No.90093 - 2025/04/03(Thu) 16:22:27
☆ Re: 質問です。 / てふら
お返事ありがとうございます。

神戸大学の入試問題の改題のようです。
もともとは，媒介変数t (0≦t≦1) を用いて
x=1-t^2，y=t-t^3 と定めており，(2)は曲線Ｃとx軸で囲まれた部分をy軸のまわりに１回転してできる回転体の体積Ｖを求めよ。
だそうです。その答えは，32π/105 だと思うので合っているんですが...

念のため，質問内容の問題と解説を貼らせてもらいます。
No.90094 - 2025/04/03(Thu) 17:14:47
☆ Re: 質問です。 / てふら
画像がうまく貼れなかったです。

問題文は
『座標平面上に曲線Ｃを媒介変数t (-1≦t≦1) を用いて
x=1-t^2，y=t-t^3 と定める。以下の問いに答えよ。
(1)　曲線Ｃの概形を描け。
(2)　曲線Ｃをy軸のまわりに１回転してできる回転体の体積Ｖを求めよ。
』
で間違いないです。
No.90095 - 2025/04/03(Thu) 17:17:29
★ Σの公式の使い方について / るる
高校2年生の数学Bの問題で和を求める問題です。
解説を読んだのですが分からなかったので質問させていただきます。
よろしくお願いします。
No.90089 - 2025/04/03(Thu) 11:25:43
☆ Re: Σの公式の使い方について / ヨッシー
公式は覚えるものではなく作るもの、という観点に立って作ってみます。

　Ｓ＝Σ[k=1〜n]ｒ^(k-1)＝１＋ｒ＋ｒ^2＋・・・＋ｒ^(n-1)
とおくと、
　ｒＳ＝ｒ＋ｒ^2＋ｒ^3＋・・・＋ｒ^n
上式から下式を引くと
　Ｓ−ｒＳ＝１−ｒ^n
　Ｓ＝(１−ｒ^n)/(１−ｒ)　　・・・(1)

　Ｓ＝Σ[k=1〜n]ｒ^k＝ｒ＋ｒ^2＋ｒ^3＋・・・＋ｒ^n
とおくと、
　ｒＳ＝ｒ^2＋ｒ^3＋・・・＋ｒ^(n+1)
上式から下式を引くと
　Ｓ−ｒＳ＝ｒ−ｒ^(n+1)
　Ｓ＝{ｒ−ｒ^(n+1)}/(１−ｒ)　・・・(2)

このように、それぞれ別の公式になることは理解いただいたうえで、
後者を(1) の公式を使って導けないかを考えます。
　Ｓ＝Σ[k=1〜n]ｒ^k＝Σ[k=1〜n+1]ｒ^(k-1)−ｒ^0
と書けるので、(1) の公式を使って、
　Ｓ＝{１−ｒ^(n+1)}/(１−ｒ)−１
　　＝{１−ｒ^(n+1)}/(１−ｒ)−(１−ｒ)/(１−ｒ)
　　＝{ｒ−ｒ^(n+1)}/(１−ｒ)
と (2) と同じ結果になります。
これを代入して解いたと言えるのかは謎です。


(2) の公式に、
　ｒ に 1/3、ｎにｎ−１を代入すると、
　Ｓ＝{1/3−(1/3)^n)}/(１−1/3)
　　＝(1/3){1−(1/3)^(n-1))}/(１−1/3)
となります。

一般の等比数列（初項ａ、公比ｒ）の和　ａ＋ａｒ＋・・・ａｒ^(n-1)
の公式は
　ａ[１−ｒ^(n-1)}/(１−ｒ)
ですので、これに代入したとも言えます。
No.90091 - 2025/04/03(Thu) 15:57:03
☆ Re: Σの公式の使い方について / るる
ありがとうございます🙇‍♀️
No.90100 - 2025/04/04(Fri) 10:41:18
★ 定積分で表された関数が分かりません / YUKI
数学の参考書に添付させていただいた画像の数式が載っていたのですが

詳しい説明や証明などがなく、なぜこのような等式になるのかが分かりません
ㅤ
分かる方おられましたらご教授いただければ幸いです、何卒よろしくお願い申し上げます。
No.90086 - 2025/04/02(Wed) 12:01:28
☆ Re: 定積分で表された関数が分かりません / ヨッシー
左辺の ’（ダッシュ）は、ｘによる微分とします。

f(x) の原始関数を F(x) とします。つまり　F'(x)＝f(x) です。

（左辺）＝{F(h(x))−F(g(x))}’
　　　＝F'(h(x))×h'(x)−F'(g(x))×g'(x)
　　　＝f(h(x))×h'(x)−f(g(x))×g'(x)
となります。
No.90087 - 2025/04/02(Wed) 13:23:12
☆ Re: 定積分で表された関数が分かりません / YUKI
ありがとうございます！！
No.90088 - 2025/04/02(Wed) 14:12:21
★ (No Subject) / やり直しメン
算数です　ニュートン算です

さとしさんは毎月決まった額のお小遣いをもらいます。
貯金もありますが、毎月5,000円ずつ使うと4か月で貯金がなくなります。また1か月に4,000円ずつ使うと12カ月で貯金がなくなります
という問題文で
(1)の問題は毎月もらうお小遣いは何円ですか　という問題になります


これはどのように考えればいいですか
No.90077 - 2025/03/28(Fri) 22:44:42
☆ Re: / らすかる
5000円ずつ使うと4ヶ月で貯金がなくなるから、
4ヶ月後まで使える貯金＋お小遣いは5000×4＝20000円
4000円ずつ使うと4ヶ月で貯金がなくなるから、
12ヶ月後まで使える貯金＋お小遣いは4000×12＝48000円
この差48000−20000＝28000円は8ヶ月の間に貰えるお小遣いだから、
毎月のお小遣いは28000÷8=3500円。
(検算)
毎月のお小遣いが3500円なら4ヶ月で貰えるお小遣いは14000円なので、
貯金は20000−14000＝6000円あることになります。
そして3500×12＋6000＝48000円なので、4000円ずつ使った場合の合計金額とも
一致しています。
No.90078 - 2025/03/29(Sat) 07:57:50
★ 場合の数 / スズ
nを2以上の整数とする。
何も記入されていない白紙がn枚横一列に並んでいる。
これらn枚の白紙に、左から順に0か1を次の条件(＊)を満たすように記入するとき、その記入の仕方の総数をAnとする。
Anを求めなさい。

(＊)
1を連続して記入する場合、必ず1と記入された紙が偶数枚連続しなければならない。

例えば、n=4のとき、【1011】のように記入するならば、1を3回記入することはできる。
1を奇数回記入してはならないということではない点に留意しなさい。

解説をお願いします。
No.90075 - 2025/03/28(Fri) 18:42:26
☆ Re: 場合の数 / IT
けっこう面倒そうですね。
nを奇数と偶数に分けて
0の有無、
0があるときは　最左端の0の位置によって場合分けして　
　漸化式を立てるのでしょうね。
　最左端の0の左側および最左端の0より右側の部分は、それぞれ条件(＊)を満たす必要があります。
No.90076 - 2025/03/28(Fri) 21:43:53
☆ Re: 場合の数 / らすかる
末尾が0で終わっているものをB[n]
末尾が01で終わっているものをC[n]
末尾が2個以上の偶数個の1で終わっているものをD[n]
末尾が3個以上の奇数個の1で終わっているものをE[n]
とすると
A[n]=B[n]+C[n]+D[n]であり
B[2]=2 (00と10)
C[2]=1 (01)
D[2]=1 (11)
E[2]=0 (なし)
B[n+1]=B[n]+C[n]+D[n]
C[n+1]=B[n]
D[n+1]=C[n]+E[n]
E[n+1]=D[n]
となります。
これからA[n]の漸化式を作ると
A[2]=4, A[3]=7, A[4]=14, A[5]=26, A[n+4]=A[n+3]+2A[n+2]-A[n]
となるのですが、これは多分綺麗な形の一般式では書けません(https://oeis.org/A052535)。
私の解釈に間違いがなければ、問題が正しくない気がします。

ちなみにこの漸化式からA[n]を順次求めると
4,7,14,26,50,95,181,345,657,1252,…
のようになり、小さい方いくつかを個別に計算してみると
n=2: 2^2=4通り
n=3: 2^3通りのうち111だけ不適なので2^3-1=7通り
n=4: 2^4通りのうち0111と1110の2つが不適なので2^4-2=14通り
n=5: 2^5通りのうち00111,10111,01110,11100,11101,11111の6つが不適なので2^5-6=26通り
n=6: 2^6通りのうち
000111,010111,100111,110111,
001110,101110,
011100,011101,
111000,111001,111010,111011,
011111,111110
の14個が不適なので2^6-14=50通り
n=7: 2^7通りのうち
0000111,0010111,0100111,0110111,1000111,1010111,1100111,1110111,
0001110,0101110,1001110,1101110,
0011100,0011101,1011100,1011101,
0111000,0111001,0111010,0111011,
1110000,1110001,1110010,1110011,1110100,1110101,1110110,
0011111,1011111,
0111110,
1111100,1111101,
1111111
の33個が不適なので2^7-33=95通り
のようになって（私の解釈が正しければですが）正しそうです。
No.90079 - 2025/03/29(Sat) 08:45:11
☆ Re: 場合の数 / IT
出典は何ですか？　
問題文がそのとおりなら、出題者が考えた解答がまちがっている可能性が高いですね。
No.90080 - 2025/03/29(Sat) 12:38:53
☆ Re: 場合の数 / スズ
春休みの課題(学校のではなく、数学部という部活の)ですが、確認しましたら、訂正が出ていました。

(訂正前)
Anを求めなさい。　　

(訂正後)
Anを隣接多項間漸化式で表しなさい。
ここでの隣接多項間漸化式とは、自然数iを用いて、A(n+i)と書けるもののうち、必要なものだけを用いた漸化式を意味する。

自分であらたに漸化式を導入して、連立漸化式に持ち込むとは、全然思いつきませんでした。

ありがとうございました。
No.90081 - 2025/03/29(Sat) 15:16:25
☆ Re: 場合の数 / IT
(訂正後)
Anを隣接多項間漸化式で表しなさい。

ならば、納得ですね
No.90082 - 2025/03/29(Sat) 16:21:09
☆ Re: 場合の数 / IT
No.90076 の考えでやってみました。
A[2] = 4
A[3]= 2^3-1=7

・nが４以上の偶数のとき　
1がn回記入されている　 1通り
0が1回以上記入されている場合
　0のとき　A[n-1]通り
　10のとき　A[n-2]通り
　110のとき　A[n-3]通り
　11110のとき　A[n-5]通り
　・・・
　n-１番目が最初の0のとき　2通り
　
∴A[n]=1+A[n-1]+A[n-2]+A[n-3]+A[n-5]+・・・+2
また A[n+2]=1+A[n+1]+A[n]+A[n-1]+A[n-3]+A[n-5]+・・・+2
　よって[n+2]-A[n]=A[n+1]+A[n]-A[n-2]
∴A[n+2]=A[n+1]+2A[n]-A[n-2]
　特にA[4]=1+A[3]+A[2]+2=14　

・nが５以上の奇数のとき　0が1回以上記入されている
　最も左の0の位置によって場合分けする
　0のとき　A[n-1]通り
　10のとき　A[n-2]通り
　110のとき　A[n-3]通り
　11110のとき　A[n-5]通り
　・・・
　n番目が最初の0のとき　1通り

∴A[n]=A[n-1]+A[n-2]+A[n-3]+A[n-5]+・・・+1
また A[n+2]=A[n+1]+A[n]+A[n-1]+A[n-3]+A[n-5]+・・・+1
よってA[n+2]-A[n]=A[n+1]+A[n]-A[n-2]
∴A[n+2]=A[n+1]+2A[n]-A[n-2]
特に A[5]=A[4]+A[3]+A[2]+1=26

・nが４以上のとき偶奇いずれの場合も、A[n+2]=A[n+1]+2A[n]-A[n-2]

※nが偶数の場合と奇数の場合を統一的に書けると、解答がすっきりするかも知れませんね。
No.90083 - 2025/03/30(Sun) 09:50:22
★ (No Subject) / やり直しメン
2です。 ニュートン算、算数です。

解説書では一分間に入口を通る人数は25+50とありました
なぜ減る人数と増える人数を合わせることで入口に通る人数が75となるのですか？
No.90071 - 2025/03/27(Thu) 20:03:01
☆ Re: / やり直しメン
よろしくお願いします
No.90072 - 2025/03/27(Thu) 20:04:58
☆ Re: / やり直しメン
訂正します

一分間に減る人数です
No.90073 - 2025/03/27(Thu) 20:06:40
☆ Re: ニュートン算 / ヨッシー
24分間に増えた人数は　
　50×24 人
です。元からいた600人と合わせて、
　600＋50×24 人
が24分間に減ったので、１分間に減った人数は、
　(600＋50×24)÷24＝600÷24＋50×24÷24＝25＋50 人
となります。
No.90074 - 2025/03/28(Fri) 00:17:15
★ 数学1a,2b / ゆあ
⑷⑸の解説と答えをお願いします。

⑷は2AP=4sinθとなるところまで分かりましたが、√2BPをどう求めれば良いかわかりません。
No.90063 - 2025/03/27(Thu) 13:53:52
☆ Re: 数学1a,2b / _
APが出せるならBPも同様に出せるはず。

円の中心をOとし、OからBPに垂線OHを下ろす。BP は 2*BH に等しい。
∠OBHは θ-45°(θ≧45°のとき)　または　45°-θ (θ≦45°のとき) だから
BH = OB*cos∠OBH = cos(θ-45°) と書ける(cos(-x)=cos(x)に注意)。

あとは展開して √2*BP = 2cosθ+2sinθ となるので、
2*AP+√2*BP = 2cosθ + 6sinθ 。

(5)は、三角関数の合成でもよし、ベクトル(2,6)と(cosθ,sinθ)の内積とみてもよし。難しくないハズ。
答えは 2√10 かな。
No.90064 - 2025/03/27(Thu) 15:14:29
☆ Re: 数学1a,2b / ヨッシー
∠ＢＰＣ＝90°、∠ＡＰＣ＝∠ＡＢＣ＝45°
より　∠ＢＰＡ＝45°（一定）です。

(4)
Ｐが直線ＢＣに対して、Ａと反対側にあるとき
正弦定理より
　ＡＰ＝2sin(45°＋θ）＝√2cosθ＋√2sinθ
　ＢＰ＝2sin∠ＢＡＰ＝2sin(90°−θ)＝2cosθ
よって、
　２ＡＰ＋√2ＢＰ＝2√2cosθ＋2√2sinθ＋2√2cosθ
　　＝4√2cosθ＋2√2sinθ

Ｐが直線ＢＣに対して、Ａと同じ側にあるとき
正弦定理より
　ＡＰ＝2sin(45°−θ）＝√2cosθ−√2sinθ
　ＢＰ＝2sin∠ＢＡＰ＝2sin(90°＋θ)＝2cosθ
よって、
　２ＡＰ＋√2ＢＰ＝2√2cosθ−2√2sinθ＋2√2cosθ
　　＝4√2cosθ−2√2sinθ

(5)
ここで、
　θの範囲を　−45°＜θ＜90°
とすると、
　２ＡＰ＋√2ＢＰ＝4√2cosθ＋2√2sinθ
で表現できます。
　4√2cosθ＋2√2sinθ＝2√2(sinθ＋2cosθ)
　　＝2√10sin(θ＋α)　　
cosα＝1/√5、sinα＝2/√5　(αは、60°より少し大きい角度)
よって、θ＝90°−α のとき、最大値 2√10 となります。
No.90065 - 2025/03/27(Thu) 15:23:07
☆ Re: 数学1a,2b / らすかる
BPは直角三角形BCPでcosθ=BP/BC、BC=2なのでBP=2cosθです。
他の解答は既に出ていますので省略します。
No.90066 - 2025/03/27(Thu) 15:27:05
☆ Re: 数学1a,2b / ゆあ
御三方とも返信ありがとうございます！
整理してもう一度考えてみます。
No.90067 - 2025/03/27(Thu) 15:50:13
☆ Re: 数学1a,2b / _
ヨッシーさま　らすかるさま

図によるとθは∠ABPなのでは。(私も最初は∠CBPと見間違いましたが)
No.90068 - 2025/03/27(Thu) 16:07:41
☆ Re: 数学1a,2b / ヨッシー
そうかぁ。
じゃ、こうですかね。

∠ＢＰＣ＝90°、∠ＡＰＣ＝∠ＡＢＣ＝45°
より　∠ＢＰＡ＝45°（一定）です。

(4)
正弦定理より
　ＡＰ＝2sinθ
　ＢＰ＝2sin∠ＢＡＰ＝2sin(135°−θ)＝√2cosθ＋√2sinθ
よって、
　２ＡＰ＋√2ＢＰ＝4sinθ＋2cosθ＋2sinθ
　　＝6sinθ＋2cosθ

(5)
ここで、
　θの範囲は　0°＜θ＜135°
であり、
　２ＡＰ＋√2ＢＰ＝6sinθ＋2cosθ
　　＝2√10sin(θ＋α)　　
cosα＝3/√10、sinα＝1/√10
よって、θ＝90°−α のとき、最大値 2√10 となります。
No.90069 - 2025/03/27(Thu) 17:01:42
☆ Re: 数学1a,2b / らすかる
てっきり
θを表す曲線は1本線
45°を表す曲線は2本線
と思い込んでいました。
言われてみてなるほどと思いましたが、これは紛らわしくて図がイマイチですね。
No.90070 - 2025/03/27(Thu) 17:12:32
★ Solution of Legendre’s / ぐっち
Solution of Legendre’s and Bessel’s equations by Green’s function approach

https://www.researchgate.net/publication/265587774_Solution_of_Legendre's_and_Bessel's_equations_by_Green's_function_approach

のΦL=F[n(n+1)]の（p.418の右上）
のFが何を表すのかわからず困っています。
ご教授をよろしくお願いいたします。
No.90062 - 2025/03/26(Wed) 16:14:55
★ 平均値の定理 / Higashino
今日はよろしくお願いします（一番と括弧二番だけで大丈夫です
No.90051 - 2025/03/22(Sat) 16:24:48
☆ Re: 平均値の定理 / X
(3)
条件から
f'(x)=1/x-1
∴題意を満たすcについて
1/c-1=0 (A)
0≦c≦2 (B)
(A)(B)より
c=1

(4)
条件から
f'(x)=e^x-1
∴題意を満たすcについて
e^c-1=0 (A)
-1≦c≦0 (B)
(A)(B)より
c=0
No.90053 - 2025/03/22(Sat) 17:39:30
☆ Re: 平均値の定理 / Higashino
ご回答ありがとうございました
No.90057 - 2025/03/22(Sat) 23:46:52
★ 解の配置問題 / 大西
二次関数f(x)＝x^2＋ax＋bがあって、f(x)＝0の解が少なくとも1つp＜x＜qの範囲に解を持つようなa,bの条件を求めるときに
【１】f(p)×f(q)＜0のとき
【２】f(p)×f(q)＝0のとき
　　（A）f(p)＝0のとき、残りの解がpとqの間に入る
　　（B）f(q)＝0のとき、残りの解がpとqの間に入る
　　　→（A）または（B）
【３】f(p)×f(q)＞0のとき
　　（C）f(p)＞0かつf(q)＞0
　　（D）y=f(x)の軸がpとqの間
　　（E）D≧0
　　　→（C）かつ（D）かつ（E）
の【１】または【２】または【３】を満たせば良いのですが、

f(x)=0の解をα,βとしたときに
（あ）p＜α＜qまたはp＜β＜q
（い）p＜α＜qかつp＜β＜q
（う）D≧0
の「（あ）または（い）」かつ（う）の条件だけではダメなのでしょうか？
No.90049 - 2025/03/22(Sat) 14:09:49
☆ Re: 解の配置問題 / IT
それだと「（あ）または（い）」かつ（う）　でもあってますが
（あ）だけで良いのでは？

それを　どうやってa,bの条件として求めるかですね。

なお、例えばαが虚数の可能性を残したまま
p＜α＜q として終わってしまうと×でしょうね。
No.90050 - 2025/03/22(Sat) 15:47:38
☆ Re: 解の配置問題 / 大西
ITさんご返信ありがとうございます。

（あ）と（い）はp＜x＜qの範囲に解が1個あるときと解が2個あるときで条件が違うと思ったので入れてみました。

αが虚数の可能性を残さないように（う）の条件を入れました。

この条件で求めるとa,bの条件がややこしくなりそうですね。
なので軸や単点の座標や判別式を用いるのかも知れないですね。
No.90052 - 2025/03/22(Sat) 17:15:01
☆ Re: 解の配置問題 / IT
（あ）、（い）、（う）、「（あ）または（い）」かつ（う）の　相互関係を整理してみられると良いかも知れません
No.90054 - 2025/03/22(Sat) 17:45:43
☆ Re: 解の配置問題 / 大西
ITさんご返信ありがとうございます。
一度整理してみます。
No.90056 - 2025/03/22(Sat) 21:00:17
★ 絶対値の最大値 / けいすけ
絶対値の最小値問題で質問があります。
以下の（あ）（い）は私が考えました。

a≠cで、s,tは定数とする。
（あ）f(x)≧s　（等号は　x=a,kのとき成立）、g(x)≧t　（等号は　x=b,kのとき成立）の場合、
　　　f(x)+g(x)の最小値はs+t（x=kのとき）である。f(x)・g(x)の最小値はst（x=kのとき）である。
　　　f(x)+g(x)≧s+t ,f(x)・g(x)≧st　も成り立つ。

（い）a,b,c,dは異なる定数とする。
f(x)≧s　（等号は　x=a,cのとき成立）、g(x)≧t　（等号は　x=b,dのとき成立）の場合、
　　　f(x)+g(x)の最小値はs+tではない。。f(x)・g(x)の最小値はstではない。
　　　f(x)+g(x)≧s+t　,f(x)・g(x)≧st　も成り立つ。

【質問1】（あ）と（い）は正しいですか。

【質問2】 以下の問題で（あ）を利用して次のような解答をして正しいですか。
解答として不足、誤りがあれば教えて下さい。

◆問題◆　
｜ｘ｜+｜ｙ｜＝1のとき,｜2ｘ+y｜+｜x-ｙ｜の最大値を求めよ。

私の解答は、

｜ｘ｜+｜ｙ｜＝1より、0≦｜ｘ｜≦1
｜2ｘ+y｜≦｜2ｘ｜＋｜y｜……(1)　等号は、2x・y≧0つまりxy≧0……(2)で成立。
｜ｘ-y｜≦｜ｘ｜＋｜-y｜……(3)　等号は、x(-y)≧0つまりxy≦0……(4)で成立。
(2)かつ(4)つまりxy=0……(5)　のとき(1)(3)より
｜2ｘ+y｜+｜x-ｙ｜≦｜2ｘ｜＋｜y｜＋｜ｘ｜＋｜-y｜
　　　　　　　　　＝2｜ｘ｜＋｜y｜＋｜ｘ｜＋｜y｜
　　　　　　　　　＝3｜ｘ｜＋2｜y｜
　　　　　　　　　＝3｜ｘ｜＋2(１−｜ｘ｜)
　　　　　　　　　＝｜ｘ｜＋2
よって、0≦｜ｘ｜≦1より、｜ｘ｜＋2は｜ｘ｜＝１で最大値2・1+1=3をとる。
｜ｘ｜＝１のとき,(x、y)=(-1,0)、(1,0)でxy=0……?Dを満たす。
以上より、｜2ｘ+y｜+｜x-ｙ｜の最大値は3 　　(x、y)=(-1,0)、(1,0)のとき
No.90040 - 2025/03/18(Tue) 21:20:23
☆ Re: 絶対値の最大値 / けいすけ
すみません。以下のように式の番号を（5）にして下さい。

｜ｘ｜＝１のとき,(x、y)=(-1,0)、(1,0)でxy=0……?Dを満たす。
↓
｜ｘ｜＝１のとき,(x、y)=(-1,0)、(1,0)でxy=0……（5）を満たす。
No.90041 - 2025/03/19(Wed) 11:14:35
☆ Re: 絶対値の最大値 / _
【質問1】
和f(x)+g(x) の方はよいが、積f(x)・g(x)のほうはダメ。s,tに0があったり異符号だったりしたら簡単に反例作れる。

(あ)での反例：f(x)=||x|-1|-1 (x=-1,1のとき最小値-1), g(x)=||x-2|-1| (x=1,3のとき最小値0)
　　このとき f(x)・g(x)の最小値は-1ではなく-2。

(い)での反例：f(x)=(x(x-1))^2　(x=0,1のとき最小値0), g(x)=((x-2)(x-3))^2　(x=2,3のとき最小値0)
　　このとき f(x)・g(x)の最小値は0


【質問2】の解答は、まあ大丈夫かな。
No.90042 - 2025/03/19(Wed) 14:46:38
☆ Re: 絶対値の最大値 / けいすけ
【質問3】
（う）f(x)≧s　（等号は　x=a,kのとき成立）、g(x)≧t　（等号は　x=b,kのとき成立）の場合、
　　　f(x)・g(x)の最小値はst（x=kのとき)
　　　が成り立つのどのような場合ですか。

（え）f(x)≧s　（等号は　x=kのとき成立）、g(x)≧t　（等号は　x=kのとき成立）の場合、
　　　f(x)・g(x)の最小値はst（x=kのとき)
　　　が成り立つのどのような場合ですか。

【質問4】
◆問題◆と同じように以下の▲類題▲で解いたら答えが違いました。どこが誤りですか。

▲類題▲
-1≦ｘ≦2, 1/3≦y≦1のとき,｜ｘ-y｜+｜x-+ｙ｜の最大値を求めよ。

私の解答は、
最大値を求めると
｜ｘ-y｜≦｜ｘ｜＋｜-y｜……(1)　等号は、x・(-y)≧0つまりxy≦0……(2)で成立。
｜ｘ+y｜≦｜ｘ｜＋｜y｜……(3)　等号は、xy≧0……(4)で成立。
(2)かつ(4)つまりxy=0……(5)　のとき(1)(3)より
｜ｘ-y｜+｜x+ｙ｜≦｜ｘ｜＋｜-y｜＋｜ｘ｜＋｜y｜
　　　　　　　　　＝｜ｘ｜＋｜y｜＋｜ｘ｜＋｜y｜
　　　　　　　　　＝2(｜ｘ｜＋｜y｜)
0≦｜ｘ｜≦2, 0≦｜y｜≦1とxy=0(x,yの少なくとも1つが0)……(5)より、
ｘ＝2，ｙ＝0のとき,2(｜ｘ｜＋｜y｜)＝2(｜2｜＋｜0｜)=4
よって、｜ｘ-y｜+｜x+ｙ｜の最大値は4 (ｘ＝2，ｙ＝0のとき)

最大値が4になるのは、ｘ＝2，ｙ＝0しか出てきませんが（他にx=2,y=1などもありそうです）、
どの計算と考え方が誤りですか。
No.90043 - 2025/03/20(Thu) 00:59:16
☆ Re: 絶対値の最大値 / けいすけ
いろいろと考えてみましたら、以下の結論が出ました。
【質問3】はこれで正しいですか。
【質問3】【質問4】のどちらか片方だけでも、先に教えていただいても結構です。

　a,b,kは異なる実数とする。
(パターン1） s>0　かつｔ＞0のとき
　　　f(x)≧s　（等号は　x=a,kのとき成立）、g(x)≧t　（等号は　x=b,kのとき成立）の場合、
　　　f(x)・g(x)の最小値はst（x=kのとき)が成り立つ。

(パターン2）sかtのうち,片方が0のとき（ここではs=0 かつｔ＞0としました。）
　　　f(x)≧0　（等号は　x=a,kのとき成立）、g(x)≧t　（等号は　x=b,kのとき成立）の場合、
　　　f(x)・g(x)の最小値は0（x=a,kのとき)が成り立つ。

(パターン3） sかtのうち、少なくとも１つが0よりも小さいとき
例えばs>0,t<0のとき
g(x)≧tでg(x)<0 ,g(x)=0 ,g(x)>0のように符号が決められないので、一般に最小値が求まらない。
No.90044 - 2025/03/20(Thu) 03:17:05
☆ Re: 絶対値の最大値 / けいすけ
すみません▲類題▲は、以下のように直して下さい。
-1≦ｘ≦2, 1/3≦y≦1のとき,
｜ｘ-y｜+｜x-+ｙ｜の最大値を求めよ。
↓
-1≦ｘ≦2, 1/3≦y≦1のとき,
｜ｘ-y｜+｜x+ｙ｜の最大値とその時のxとyをすべて求めよ。
No.90045 - 2025/03/20(Thu) 16:50:04
☆ Re: 絶対値の最大値 / WIZ
質問者さんの誤りは以下の2点だと思います。

(A)ご自身の提示した(あ)(い)を使いたい為(本当に使っているとは言えないけど)、
三角不等式を持ち出したのは良いが、そこでの等号が成立する条件に固執し、
更にその条件が必要条件であるとの自己暗示に陥っている。
不等式での等号の成立条件は必要条件でも何でもありません。
実際、No.90043でご自身が気が付いている通り、
この条件を満たさない解が存在しているのが何よりの証拠です。

(B)「P ≦ Q」と「Qの最大値はM」を示したのは良いが、
これらから直ちに「Pの最大値もM」とは言えない。
不等式での等号の成立という余計な(元々の問題には無い)条件下では
PとQの最大値は一致するかもしれないが、
余計な条件が無い状態ではQの最大値はMではないかもしないし、
PとQの最大値は不一致かもしれないので。

例えばNo.90045は私なら以下の様に場合分けして絶対値記号を外して解きます。
# (あ)(い)を使いたいという質問者さんの意向にはそぐわないけど。

(1)x-y ≧ 0かつx+y ≧ 0の場合
|x-y|+|x+y| = (x-y)+(x+y) = 2x
⇒ x = 2, 1/3 ≦ y ≦ 1のとき、z = 4が最大値

(2)x-y ≧ 0かつx+y < 0の場合
|x-y|+|x+y| = (x-y)-(x+y) = -2y
⇒ -1 ≦ x < -1/3, y = 1/3のとき、z = -2/3が最大値

(3)x-y < 0かつx+y ≧ 0の場合
|x-y|+|x+y| = -(x-y)+(x+y) = 2y
⇒ -1 ≦ x < 0, y = 1のとき、z = 2が最大値

(4)x-y < 0かつx+y < 0の場合
|x-y|+|x+y| = -(x-y)-(x+y) = -2x
⇒ x = -1, 1/3 ≦ y < 1のとき、z = 2が最大値

以上をまとめて、最大値は4で、その時x = 2, 1/3 ≦ y ≦ 1となります。

以下余談

例えば以下の様な問題なら、質問者さんの解法だと破綻します。

[問題]
1 ≦ x ≦ 10, 1 ≦ y ≦ 10のとき|x-y|の最大値を求めよ。

[質問者さんの解法]
|x-y| ≦ |x|+|-y|である。
不等式の等号が成立するのは、x*(-y) ≧ 0つまり、xy ≦ 0の時だが、
x > 0かつy > 0なので、xy ≦ 0とはなり得ない・・・どうしよう!

そもそも、No.90043の問題文には「1/3 ≦ y ≦ 1」とあるのに、
> 0≦｜ｘ｜≦2, 0≦｜y｜≦1とxy=0(x,yの少なくとも1つが0)……(5)より、
> よって、｜ｘ-y｜+｜x+ｙ｜の最大値は4 (ｘ＝2，ｙ＝0のとき)
> 最大値が4になるのは、ｘ＝2，ｙ＝0しか出てきませんが（他にx=2,y=1などもありそうです）、
などと、解答では「0 ≦ |y| ≦ 1」とか「y = 0」とかの頓珍漢は駄目だけどね。

失礼しました。
No.90046 - 2025/03/20(Thu) 18:17:26
☆ Re: 絶対値の最大値 / けいすけ
解答では「0 ≦ |y| ≦ 1」とか「y = 0」では誤りでした。

0≦｜ｘ｜≦2, 1/3≦｜y｜≦1とxy=0(x,yの少なくとも1つが0)……(5)より、
ｙ≠0から、xy=0(x,yの少なくとも1つが0)……(5)より、x=0
よってx=0のとき,
｜ｘ-y｜+｜x+ｙ｜≦2(｜ｘ｜＋｜y｜)の式に代入して
2(｜ｘ｜＋｜y｜)＝2(｜0｜＋｜y｜)=2｜y｜
1/3≦｜y｜≦1よりy=1で　2｜y｜≦2　だから
｜ｘ-y｜+｜x+ｙ｜≦2(｜ｘ｜＋｜y｜)≦2｜y｜≦2・1=2
よって、｜ｘ-y｜+｜x+ｙ｜の最大値は2 (ｘ＝0，ｙ＝1のとき)

このように書きたくなるのですが、なぜ誤りですか。
教えていただいた別の解答で
「最大値は4で、その時x = 2, 1/3 ≦ y ≦ 1」
はわかったのですが、私の「最大値は2 (ｘ＝0，ｙ＝1のとき)」
が誤りな理由がわかりません。

「(A)　不等式での等号の成立条件は必要条件でも何でもありません。」
「(B)「P ≦ Q」と「Qの最大値はM」を示したのは良いが〜
PとQの最大値は不一致かもしれないので」
がわかっていません。

例えば、以下の相加相乗平均の問題で、

「x>0のとき、{x+1/(4x)}+{2x+1/(2x)}の最小値を求めよ」
の問題で、x+1/(4x)≧2√｛x・1/(4x)｝＝1 (等号はx=1/2で成立）
2x+1/(2x)≧2√｛2x・1/(2x)｝＝1 (等号はx=1/2で成立）
どちらも等号はx=1/2で成立しているから、
{x+1/(4x)}+{2x+1/(2x)}≧1+1＝2　
よって最小値は2 (x=1/2のとき)

2つの不等式で等号が成り立つときのxが一致（等号はx=1/2で成立）
で{x+1/(4x)}+{2x+1/(2x)}≧1+1のように加えることができます。
しかし、相加相乗平均の問題と同じように、絶対値の問題の私の解答では誤りになってしまうのはなぜですか。
No.90047 - 2025/03/20(Thu) 20:34:12
☆ Re: 絶対値の最大値 / IT
けいすけさんの解答
最大値を求めると
｜ｘ-y｜≦｜ｘ｜＋｜-y｜……(1)　等号は、x・(-y)≧0つまりxy≦0……(2)で成立。
｜ｘ+y｜≦｜ｘ｜＋｜y｜……(3)　等号は、xy≧0……(4)で成立。
(2)かつ(4)つまりxy=0……(5)

「｜ｘ-y｜＝｜ｘ｜＋｜-y｜かつ｜ｘ+y｜＝｜ｘ｜＋｜y｜　
のとき｜ｘ-y｜+｜ｘ+y｜が　最大になる。」と考えているのは間違いです。

それぞれの右辺が(x,yによらない）定数なら良いですが、右辺の値は、x,y の値によって変化しますから。

WIZさんが丁寧に回答しておられますが、私は、上記に絞ってけいすけさんの解答の間違いを指摘します。
No.90048 - 2025/03/22(Sat) 11:01:29
☆ Re: 絶対値の最大値 / WIZ
【No.90043/No.90045の問題について】
No.90043で「x = 2, y = 1のとき|x-y|+|x+y| = 4」を質問者さん自身が示している、
つまり最大値は4以上であることが分かっているはずなのに、
最大値が2であるという誤った解答を書きたくなる理由が分からない。
自身の解法に執着があり、誤っていることを認めたくないということかな?

三角不等式を持ち出して「P ≦ Q」を示したところまでは正しい。
ここでPの値の計算が困難で、Qの値の計算は容易だからといって、
「P ≦ Q」を「P = Q」に捻じ曲げる条件を勝手に追加して、
その時のQの値をPの最大値としているのが誤りだ
・・・とNo.90046で解説したつもりだけど、質問者さんの心には届かないようだ。

No.90040の「|x|+|y| = 1のとき｜、|2x+y|+|x-y|の最大値を求めよ。」で、
質問者さんが正解しているのは偶然に過ぎない。
何故かというと、|2x+y|+|x-y|が最大になるのはx = ±1かつy = 0のときで、xy = 0を満たしている。
そして、このxy = 0という条件は質問者さんが解答の中で使っている
|2x+y| = |2x|+|y|と|x-y| = |x|+|y|が同時に成立するという余計な条件と偶然一致しているからだ。


【No.90040の(あ)とNo.90047の相加相乗平均の問題について】
No.90040の(あ)は、f(x)とg(x)の最小値と、そのときのxの値が事前判明している場合に成立する主張だ。
そして、質問者さんが例題として上げている相加相乗平均の問題は最小値を求める問題であり、
最小値となる変数xの値すら事前判明していないのだから、そもそも(あ)を適用できない。

x+1/(4x) ≧ 2√{x*1/(4x)} (等号はx = 1/2で成立)
2x+1/(2x) ≧ 2√{2x*1/(2x)} (等号はx = 1/2で成立)
相加相乗平均の大小関係により上記は正しい。
しかし、どうしてx = 1/2でx+1/(4x)や2x+1/(2x)が最小だと言えるのか質問者さんは証明できるの?

どうも質問者さんは、自身が持ち出した不等式の等号が成立するときが
最大値とか最小値に結びついていると思い込んでいるフシがあるけど、一般的にはこれは誤りだ。

例えば「x ≧ 0のとき1+x^2の最小値を求めよ」という問題では、
x = 0で1+x^2 = 1が最小なのは明らかだが、質問者さんの解法だと
1+x^2 ≧ 2√(1*x^2) = 2xで、不等式の等号が成立するのは
1-x^2 = 2x ⇒ 1-2x+x^2 = (1-x)^2 = 0よりx = 1だから、最小値は1+1^2 = 2とでもするの?
この問題の場合は等号が成立しない場合が最小になっているよね?
No.90055 - 2025/03/22(Sat) 18:42:36
☆ Re: 絶対値の最大値 / けいすけ
皆さんに答えていただき、f(x)≦g(x)から最大値が求まらない場合と求まる場合がわかってきました。

「y=f(x)とy=g(x)はa≦ｘ≦bのすべてのｘで連続な関数で、f(x)≦g(x)とする。
g(x)がx=kで最大値mをとり、かつ、f(x)がx=kでf(k)=g(k)＝mのとき、
y=f(x)はx=kで最大値mをとる。」
は正しいですよね。
No.90058 - 2025/03/23(Sun) 10:18:48
☆ Re: 絶対値の最大値 / けいすけ
（すみません。誤って送信されていましたので以下にしていください。）

WIZさんの説明で、相加平均相乗平均の不等式で最小値が求まる条件がわかりました。
また、
「|x|+|y| = 1のとき｜、|2x+y|+|x-y|の最大値を求めよ。」で
|2x+y| = |2x|+|y|と|x-y| = |x|+|y|が同時に成立するという余計な条件と偶然一致しているからだ。
これもわかりました。

皆さんに答えていただき、f(x)≦g(x)から最大値が求まらない場合と求まる場合がわかってきました。

「y=f(x)とy=g(x)はa≦ｘ≦bのすべてのｘで連続な関数で、f(x)≦g(x)とする。
g(x)がx=kで最大値mをとり、かつ、f(x)がx=kでf(k)=g(k)＝mのとき、
y=f(x)はx=kで最大値mをとる。」は正しいですよね。

これを利用すると
「|x|+|y| = 1のとき｜、|2x+y|+|x-y|の最大値を求めよ。」の解答で、
｜2ｘ+y｜+｜x-ｙ｜≦｜2ｘ｜＋｜y｜＋｜ｘ｜＋｜-y｜＝……＝｜ｘ｜＋2
｜ｘ｜＋2は(x、y)=(-1,0)、(1,0)の最小値3をとり、
かつ、｜2ｘ+y｜+｜x-ｙ｜が(x、y)=(-1,0)、(1,0)で｜2ｘ+y｜+｜x-ｙ｜＝｜ｘ｜＋2＝3だから
｜2ｘ+y｜+｜x-ｙ｜は(x、y)=(-1,0)、(1,0)で最小値3をとる、
でよろしいですか。
No.90059 - 2025/03/23(Sun) 11:03:43
☆ Re: 絶対値の最大値 / IT
けいすけさん＞
「y=f(x)とy=g(x)はa≦ｘ≦bのすべてのｘで連続な関数で、f(x)≦g(x)とする。
g(x)がx=kで最大値mをとり、かつ、f(x)がx=kでf(k)=g(k)＝mのとき、
y=f(x)はx=kで最大値mをとる。」は正しいですよね。

合っていると思いますが、「連続な関数」であることは、今回は、使ってないですよね、なくても良いのでは？　（「実数値関数」であることは、大前提ですよね。）


最後の実例は「最大値」と「最小値」を混同（タイプミス？）してないですか？

なお「編集パス」を設定されると、記事の編集や削除が出来ます
No.90060 - 2025/03/23(Sun) 11:38:20
☆ Re: 絶対値の最大値 / けいすけ
最大値3と最小値3の入力ミスでした。
多くの質問して、更に見づらくしてしまいすみませんでした。
丁寧な説明により、不等式と最大値最小値の疑問点が解決できました。ありがとうございました。
No.90061 - 2025/03/23(Sun) 14:36:48
★ 一次関数 / 学力不足　中２
（３）答え　４６分後

どのようにして解くのか、わかりません。
詳しい解説よろしくお願いいたします。
No.90037 - 2025/03/15(Sat) 19:58:54
☆ Re: 一次関数 / らすかる
Bさんの速度は分速50mだから
Aさんが出発してから36分後＝Bさんが出発してから11分後には550m進んでいる
→グラフでy=3600-550=3050mのところにいる
→このときAさんとBさんの距離は3050-1800=1250m
Aさんの後半の速度は分速75m、Bさんの速度は分速50mだから合わせて125m
よって「Aさんが出発してから36分後」から1250÷125=10分後に出会うから、
出会うのはAさんが出発してから36+10=46分後。

方程式で解くなら
Aさんの後半の直線の式はy=75x-900
Bさんの直線の式はy=-50x+4850
この連立方程式を解いて x=46
No.90038 - 2025/03/16(Sun) 02:23:12
☆ Re: 一次関数 / 学力不足　中2
何となくわかりました。解説ありがとうございます。
No.90039 - 2025/03/17(Mon) 11:09:37
★ 格子点の個数 / たけちゃん
(2)からの考え方がわかりません、お願いします
No.90035 - 2025/03/14(Fri) 14:30:32
☆ Re: 格子点の個数 / X
(2)
x＜y＜k＜x+y (A)
を満たすxy平面での領域の境界線となる
y=x (B)
x+y=k (C)
の交点(Pとします)の座標は
(k/2,k/2)
よって
(i)k=2m-1のとき
P(m-1/2,m-1/2)
となるので
a[k]=Σ[l=1〜m-1]{{(k-1)-l}-l}
=Σ[l=1〜m-1](2m-2-2l)
=2(m-1)^2-m(m-1)
=(m-1)(m-2)
((A)を図示したものを描きましょう)

(ii)k=2mのとき
P(m,m)
となるので
a[k]=Σ[l=1〜m-1]{{(k-1)-l}-l}
=Σ[l=1〜m-1](2m-1-2l)
=(2m-1)(m-1)-m(m-1)
=(m-1)^2
((A)を図示したものを描きましょう)

まとめて
a[2m-1]=(m-1)(m-2)
a[2m]=(m-1)^2

(3)
(2)の結果を使うと
(与式)=Σ[m=1〜n]a[2m-1]+Σ[m=1〜n]a[2m]
=Σ[m=1〜n](m-1)(m-2)+Σ[m=1〜n](m-1)^2
=Σ[m=1〜n](m-1)(2m-3) (D)
=Σ[k=1〜n-1]k(2k-1) (k=m-1と置いた)
=2・(1/6)(n-1)n(2n-1)-(1/2)n(n-1)
=(1/3)n(n-1)(2n-5/2)
=(1/6)n(n-1)(4n-5)

注)
(D)において、置き換えをせずに直接展開し、
mに対してΣの公式を使っても
計算できます。
(検算してみてください。)
No.90036 - 2025/03/14(Fri) 18:28:40
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