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ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

since 2008/03/25

旧数学掲示板のログ

使用上の注意はこちらにあります

質問される方は学年（質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。


過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

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/ 編集パス

★ 中学校数学 NEW / あめ
カッコ6が分かりません。
よろしくお願いします。
No.89664 - 2024/12/23(Mon) 23:51:13
☆ Re: 中学校数学 NEW / IT
ヒントです。まず点に名前を付けます。（下図）

互いに高さが等しい三角形の面積の比から底辺の比が分かります。
△ABC:△ADC= : から BC:DC= :
△FDC:△FEC= : から DC:EC= :
No.89665 - 2024/12/24(Tue) 00:31:43
★ 高校入試 NEW / ゆうま

(4)をお願いいたします。
No.89660 - 2024/12/23(Mon) 16:16:33
☆ Re: 高校入試 NEW / ヨッシー
図のＦＨを通る線(面)で上下に分けます。
下の部分：半径３、高さ２の円錐
上の部分：半径３、高さ３の円錐から、
　　　　　半径0.5、高さ0.5 の円錐を２つ引いたもの
と考えられます。
順に、
９π×２÷３＝６π
９π×３÷３＝９π
0.25π×0.5÷３×２＝π/12
合計：６π＋９π−π/12＝179π/12
No.89661 - 2024/12/23(Mon) 18:15:43
★ (No Subject) / やり直しメン
算数です

解説では速さの和を求めるのに
列車の長さの和÷27秒 としていました。

又、速さの差では
列車の長さの和÷67.5としていました。

私はこの速さの求め方がイメージしづらいと思い質問しました
No.89655 - 2024/12/23(Mon) 00:45:11
☆ Re: / やり直しメン
写真が掲載されていなかったらまた投稿させて頂きます
No.89656 - 2024/12/23(Mon) 00:48:11
☆ Re: NEW / ヨッシー
列車Ａが速さａ、列車Ｂが速さｂですれ違うときの時間。
列車Ａが速さａ＋ｂで、止まっている列車Ｂの横を通過する時間。
この両者が同じことがイメージできますか？

同様に
列車Ａが速さａで、列車Ｂ（速さｂ）を追い越すときの時間。
列車Ａが速さａ−ｂで、止まっている列車Ｂの横を通過する時間。
も同じです。
No.89658 - 2024/12/23(Mon) 09:56:20
★ より早い方法は？ / 医学部志望の浪人生
5544の正の約数のうち、282より大きく564より小さいものはいくつあるか。

答えは4つなのですが、自分で解いた時に素因数分解と見比べながらやってたら、1個数え忘れて3つになってしまいました。

数え忘れしにくくて早い方法を教えてください！
よろしくお願いします！
No.89646 - 2024/12/22(Sun) 18:54:15
☆ Re: より早い方法は？ / IT
n=5544/m のmの方を見つけたらどうですか？
10から19まで順に5544の約数かを調べる。
No.89647 - 2024/12/22(Sun) 19:15:05
★ 解説お願いします。 / 中学三年
四角形ABCDは平行四辺形である。また、△ＢEC、△D CFはそれぞれ角CBE🟰90度、角FDC🟰90度の直角二等辺三角形である。AとＥ、AとFをそれぞれ結ぶとき問に答えよ。
（1）角ABC🟰124°のとき、角FAEを求めよ。
（2）図2のようにBEをADまで伸ばしたときの交点をＧとする。角ABC🟰135°、GB：BE🟰2：5とするとき、△ABGの面積と四角形ABDFの面積の比を簡単な整数の比で表せ。
No.89642 - 2024/12/22(Sun) 10:24:04
☆ Re: 解説お願いします。 NEW / ヨッシー
(1)
△ＡＢＥと△ＦＤＡにおいて、
　ＡＢ＝ＤＣ＝ＦＤ
　ＢＥ＝ＢＣ＝ＤＡ
　∠ＡＢＥ＝∠ＦＤＡ＝360−90−124＝146（°）
より、
　△ＡＢＥ≡△ＦＤＡ
であり、
　∠ＡＥＢ＝∠ＦＡＤ
　∠ＢＡＥ＝∠ＤＦＡ
よって、
　∠ＦＡＤ＋∠ＢＡＥ＝∠ＦＡＤ＋∠ＤＦＡ＝180−146＝34（°）
以上より
　∠ＦＡＥ＝56＋34＝90（°）
(2)
　ＧＢ＝ＡＧ＝（２）
　ＢＥ＝ＢＣ＝ＡＤ＝（５）
と置きます。また、
　∠ＡＢＣ＝135°
より
　∠ＢＡＤ＝45°
となり、△ＡＢＧは直角二等辺三角形、△ＤＣＦはそれを２つくっつけた直角二等辺三角形となり、
　ＣＦ＝（４）、ＡＤ⊥ＦＣ
となります。
　△ＡＢＧは直角を挟む２辺が（２）の直角三角形。
　△ＡＢＤは底辺（５）、高さ（２）の三角形
　△ＡＤＦも底辺（５）、高さ（２）の三角形
よって、
　△ＡＢＧ：四角形ＡＢＤＦ＝２×２：５×４＝１：５
No.89657 - 2024/12/23(Mon) 09:41:36
★ 慶応大学過去問 / Higashino
慶応大学過去問

積分

何卒よろしくお願いします

以下問題
No.89641 - 2024/12/22(Sun) 06:30:57
☆ Re: 慶応大学過去問 / ポテトフライ
誘導通りにやるのがよいでしょう。

t=x+√(x^2+1)とおくと
(t-x)^2=x^2+1
x=t/2-1/2t
よってdx=(1/2+1/2t^2)dt,√(x^2+1)=t-x=t-t/2-1/2t=t/2+1/2t
よりCを積分定数として
与式=∫(t/2+1/2t)(1/2+1/2t^2)dt
=(t^2-1/t^2)/8+1/2*log|t|+C
=(x√(x^2+1))/2+1/2*log|x+√(x^2+1)|+C


※この積分は有名なものです。置換の仕方も含めて暗記で良いと思います。

※これはy=x^2の曲線の長さを求める積分の準備になります。
例えばx=0〜1の長さなら積分区間が[0,1]などとなります。
より詳しくは曲線の長さ、積分で検索すると出てきます。
No.89653 - 2024/12/22(Sun) 21:55:34
★ 弘前大学過去問 / Higashino
弘前大学過去問

積分

何卒よろしくお願いします

以下問題
No.89640 - 2024/12/22(Sun) 06:30:16
☆ Re: 弘前大学過去問 / X
求める定積分の値を順にI,Jとすると
I+J=∫[0→π/2]dx=π/2 (A)
一方、Iにおいて
x=π/2-t
と置くと
I=-∫[π/2→0]{(cost)/(cost+sint)}dt
∴I=J (B)
(A)(B)より
I=J=π/4
ということで二つの定積分の値は
いずれもπ/4になります。
No.89649 - 2024/12/22(Sun) 20:49:24
★ 確率 / アヤ

問題
・52枚の１組のトランプから同時に５枚を抜き出すとき、次の確率を求めよ。

クラブ3枚と、他の絵札が2枚である確率

解答は「0.00366」となっていて、解説がありませんでした。自分なりで解きましたが「0.00366」になりませんでした。どこに問題があるのか教えていただけると助かります。


52枚の１組のトランプから同時に５枚を抜き出す事象
52C5=2598950

クラブ3枚の事象　13C3＝286
他の絵札2枚の事象　9C2=36
よって、クラブ3枚と、他の絵札が2枚の事象
286×36＝10296

10296/2598950＝0.00396
No.89632 - 2024/12/21(Sat) 13:59:11
☆ Re: 確率 / らすかる
0.00396で正しいと思います。
0.00366は書き写しミスか何かでしょう。
No.89633 - 2024/12/21(Sat) 14:41:40
☆ Re: 確率 / アヤ
らすかる様

ご返信ありがとうございます。
解き方が間違いないことで安心できました。
No.89634 - 2024/12/21(Sat) 14:54:27
★ 極 / あおい
(1)点Pのx座標が5/2のとき、四角形PQORの面積
　答え：3√14/2

(2)点Pがのx座標が4のとき、直線QRの方程式
　答え：4x+y=9


答えは分かっているのですが、解き方が分からないです。
No.89631 - 2024/12/21(Sat) 13:37:42
☆ Re: 極 NEW / ヨッシー
点Ｐがどこにあっても
　∠ＰＱＯ＝∠ＰＲＯ＝90°
　△ＰＱＯ≡△ＰＲＯ
　ＯＱ＝ＯＲ＝３
であることは変わりません。

(1)
Ｐの座標は (5/2, 5/2) であるので、
　ＰＯ＝5√2/2
　ＰＱ＝√(ＰＯ^2−ＯＱ^2)＝√(25/2−9)＝√14/2
　△ＰＱＯ＝ＰＱ×ＱＯ÷２＝3√14/4
よって、四角形ＰＱＯＲの面積はその２倍で、
　3√14/2　・・・答え

(2)
Ｐの座標は(4, 1) より、この点から円
　ｘ^2＋ｙ^2＝９に引いた２接線の接点を結ぶ直線の式は
　４ｘ＋ｙ＝９
説明はこちらなど。
No.89659 - 2024/12/23(Mon) 10:19:37
★ 電通大過去問 / Higashino
電通大過去問

積分

何卒よろしくお願いします

以下問題
No.89629 - 2024/12/21(Sat) 10:46:34
☆ Re: 電通大過去問 / X
∫[1→√c]{f(x)/x}dx=3 (A)
f(x)=f(c/x) (B)
とします。
(A)に(B)を代入して
∫[1→√c]{f(c/x)/x}dx=3 (A)'
ここでc/x=tと置くと
x=c/t
∴dx=-(c/t^2)dt
でx:1→√cにc:c→√cが対応し
(A)'は
-∫[c→√c]{tf(t)/c}(c/t^2)dt=3
これより
∫[√c→c]{f(t)/t}dt=3
∫[√c→c]{f(x)/x}dx=3 (A)"
(A)+(A)"から
∫[1→c]{f(x)/x}dx=6
No.89638 - 2024/12/21(Sat) 20:53:25
☆ Re: 電通大過去問 / Higashino
x 先生、おはようございます

ご回答ありがとうございます

以下、私の当番です

ご指摘アドバイス等ありましたらよろしくお願いいたします
No.89639 - 2024/12/22(Sun) 03:27:54
☆ Re: 電通大過去問 / X
方針に問題はありません。
但し、添付写真の解答2行目の真ん中辺りで
dxが抜けています。
No.89648 - 2024/12/22(Sun) 20:46:15
★ 積分 / Higashino
積分

何卒よろしくお願いします

関東学院大学過去問

以下問題
No.89626 - 2024/12/21(Sat) 07:55:53
☆ Re: 積分 / X
(1)
与式の第二項において
x=f(t)
と置くと
f'(x)＞0
よりf(x)は単調増加なので
x:5→8
に
t:2→4
が対応し
(与式)=∫[2→4]f(x)dx+∫[2→4]tf'(t)dt
=∫[2→4]f(x)dx+[tf(t)][2→4]-∫[2→4]f(t)dt
=4f(4)-2f(2)
=32-10
=22

(2)
部分積分により
∫[2→4]xf'(x)dx=[xf(x)][2→4]-∫[2→4]f(x)dt
=4f(4)-2f(2)-14
=8 (∵)(1)の過程より

(3)
x=f(t)と置くと、(1)の過程と同様にして
(与式)=∫[2→4]{f'(t)/f(t)}dt=logf(4)-logf(2)
=log(8/5)
No.89627 - 2024/12/21(Sat) 08:50:19
☆ Re: 積分 / Higashino
x 先生、こんにちは

ご回答ありがとうございます

今は積分を始めて、右も左もわからない状態です

基礎に戻り、公式が正しく使えるような草案を作ってみました

ご指摘アドバイスのでいただけると幸いです

以下答案
No.89628 - 2024/12/21(Sat) 09:16:02
☆ Re: 積分 / X
問題ないと思います。
No.89637 - 2024/12/21(Sat) 20:40:22
★ 中学受験算数 / 独ソ不可侵条約
以下の図形の赤線の長さを求められないので教えてください。分数になるらしいです。
No.89622 - 2024/12/20(Fri) 21:28:53
☆ Re: 中学受験算数 / 独ソ不可侵条約
図が正確じゃなくてすみません。しかも手書きで。
No.89623 - 2024/12/20(Fri) 21:31:13
☆ Re: 中学受験算数 / IT
中学受験算数はピタゴラスの定理（三平方の定理）を使えますか？
（小学校では習わないようですが、正しく使っていればOKという説もありますが、使わなくても解ける問題が出題されるはず？）
ピタゴラスの定理（三平方の定理）を使う解法は、思いつきましたが、使わないのは思いつけません。

どこかの中学受験の過去問ですか？
No.89635 - 2024/12/21(Sat) 15:13:48
☆ Re: 中学受験算数 / IT
Cから直線ABへ下した垂線の交点をHとし
三平方の定理をでAHを求める。

DからABへ下した垂線の交点をEとする。
後は容易です。

（参考図　反転してます）
No.89636 - 2024/12/21(Sat) 18:00:09
☆ Re: 中学受験算数 / らすかる
これでどうでしょう

(1) 斜辺が4、底辺が2の3つの二等辺三角形EAB、AFE、BECを図の青線のように組み合わせる。
(2) Cを通りABと平行な直線（緑点線）とBEの交点をPとすると△CPEはCP=CE=2の
二等辺三角形となり、△CPE∽△BECだからPE=1。
四角形ABPCは平行四辺形なのでAC=BP=BE-PE=3、同様にBF=3。
（ここまでで△ABCと点Dは問題の図の通りになっています。）
(3) △GBF∽△GEAによりBG：EG=BF：EA=3：4なので、BG=(3/7)BE=12/7。
(4) △DBG∽△DCAによりBD：CD=BG：CA=12/7：3なので、
CD={3/(3+12/7)}BC=28/11。
よってx=28/11。
No.89643 - 2024/12/22(Sun) 15:02:36
☆ Re: 中学受験算数 / IT
らすかるさん
　小学算数の範囲で出来るんですね!!　
２つの図形を組み合わせるのは、いろいろ考えましたが、３つを組み合わせるのは、全く考えませんでした。
初見で時間内に解けるのは、図形の天才かも知れません。

いちおう三平方の定理を使った解答を載せておきます
y=AH,h=CHとおくと
三平方の定理から
△CAH:y^2+h^2=3^2
△CBH:(2+y)^2+h^2=4^2
2式の差からy=3/4
x:4=EH:BH=(1+y):(2+y)=7:11
∴x=28/11
No.89644 - 2024/12/22(Sun) 15:39:15
☆ Re: 中学受験算数 / IT
らすかるさんの図の一部（下記）でCQ=2-1/4=7/4 を求めてからでも出来ますね。
けっこういろいろな解法があるかも
No.89645 - 2024/12/22(Sun) 16:46:00
☆ Re: 中学受験算数 / らすかる
なるほど、その方が簡単ですね。
CA,AE,EBが向きを変えながら同じ傾きであることに注目して
BEを7延長してEA'=4、A'C'=3とするとCC'//AA'//HEであることから
BD：DC=BE：EC'=4：7のようにしても出せますね。
No.89654 - 2024/12/23(Mon) 00:33:24
☆ Re: 中学受験算数 NEW / 独ソ不可侵条約
みなさんありがとうございます。
数学の先生が趣味で見たどっかの中学入試だそうで。
三平方は小学生は使えないです。相似とか同位角とか錯角は使うらしいです。
No.89662 - 2024/12/23(Mon) 21:13:34
☆ Re: 中学受験算数 NEW / 独ソ不可侵条約
先生の想定してた解き方としては、
角Bを◯、角Cを△とおく→∠CAEが◯になるようにEをとって補助線AEをひく→それに平行でDを通る直線を引いて錯角とか同位角とか外角とかでゴタゴタやる→◯、△、◯◯△の三角形が大量生産されて相似を利用
みたいな感じらしいです。
No.89663 - 2024/12/23(Mon) 21:30:32
★ 設問ミス？？定期テストの変な問題です。 / 定期テスト
Xを求めてください。

与えられた情報は、図にあるものだけです。

並行などの情報も一切ありません。

手書きですみませんがよろしくお願いします。

以下問題
No.89618 - 2024/12/20(Fri) 14:18:43
☆ Re: 設問ミス？？定期テストの変な問題です。 / IT
左の三角形から　70+2a=2b∴70=2b-2a
右の三角形から　x+a=b ∴x=b-a
ここまでわかればできますよね？
No.89619 - 2024/12/20(Fri) 18:44:26
★ 積分　006 / Higashino
積分　

なにとぞよろしくお願いします

以下問題
No.89617 - 2024/12/20(Fri) 06:38:47
☆ Re: 積分　006 / ポテトフライ
返信がつかないようなので

(4)
x=tanyとおけばdx=dy/cos^2y
x:0→aのときy:0→b（ただしtanb=aをみたすb）
よって
与式=∫[0,b]dy=b=π/3
これよりa=tanb=tanπ/3=√3

(5)
x=atanyとおけばdx=(a/cos^2t)*dt
与式=∫cosy/a^2 dy=siny/a^2+C（Cは積分定数)
ここで
(x/a)^2+1=tan^2y+1=cos^2y
1-sin^2y=a^2/(x^2+a^2)
sin^2y=1-a^2/(x^2+a^2)
siny=x/√(x^2+a^2)
よって
与式=x/(a^2√(x^2+a^2))+C
No.89652 - 2024/12/22(Sun) 21:17:44
★ 積分　005 / Higashino
積分

何卒よろしくお願いします

以下問題
No.89616 - 2024/12/20(Fri) 06:19:01
☆ Re: 積分　005 / X
(1)
√x=t
と置いて置換した後、部分積分をします。

(2)
x=2sinθ
と置きましょう。

(3)
2ax-x^2=a^2-(x-a)^2
と変形して
x-a=asinθ
と置きましょう。
No.89621 - 2024/12/20(Fri) 19:32:13
☆ Re: 積分　005 / Higashino
x 先生、おはようございます

アドバイスありがとうございます

アドバイス通りに答案を作成しました

ご指摘アドバイスなどいただけると幸いです

何卒よろしくお願いいたします
No.89625 - 2024/12/21(Sat) 05:51:27
☆ Re: 積分　005 / X
(1)
２行目の一番右の補1と書かれている式、つまり
＞＞=2(∫[0→2](te^t)dt-…
の
∫[0→2](te^t)dt
が誤りです。ここは
[te^t][0→2]
となります。(部分積分は理解できていますか？)

(2)(3)
問題ありません。
No.89650 - 2024/12/22(Sun) 21:05:42
★ 積分　003 / Higashino
複素数平面も終え　積分の勉強を始めました
何卒よろしくお願いします

以下問題

問題数が多いですが、途中過程を書いていただけると幸いです。1行でもいいので
No.89615 - 2024/12/20(Fri) 06:02:55
☆ Re: 積分　003 / X
いずれも置換積分で解く問題ですね。

(1)
1-x^2=t
と置きます。

(2)
sinx=t
と置きます。

(3)
logx=t
と置きます。

(4)
x^3+1=t
と置きます。

(5)
tanx=(sinx)/cosx
と変形して
cosx=t
と置きます。

(6)
logx=t
と置きます。
No.89620 - 2024/12/20(Fri) 19:29:34
☆ Re: 積分　003 / Higashino
ｘ先生今日は
わたくしは
複素数平面を卒業し
積分に勉強を開始いたしました
今後とも何卒よろしくお願いします
No.89624 - 2024/12/20(Fri) 22:10:57
☆ Re: 積分　003 / X
(5)が間違っていますね。(誤植ですか？)
答えは
-log|cosx|+C
(Cは積分定数)
です。

それと、そこら中で積分の末尾のdxが抜けています。
注意しましょう。(省略していいものではありません。)
No.89651 - 2024/12/22(Sun) 21:11:31
★ (No Subject) / やり直しメン
算数です

トライしましたが難しかったです

解説も見ましたが難しかったです
解説では勉強を始めた1時○分のときの、長しんと短しんがつくる小さい方の角を□度とすると、短しんは□度まわっています。また、勉強をしていた時間は2時間から3時間の間と書いてありました。
No.89610 - 2024/12/19(Thu) 08:27:39
☆ Re: / ヨッシー
これ、希学園のＭ先生が、Ｈ学園にいたときに、予想していた問題ですね。
その後、入試で本当に出たのか、あるいは、このテキストがＭ先生著のものなのか．．．

それはさておき、問題ですが、左の図の長針が指している位置をＡ分、
右の図の長針が指している位置をＢ分とします。
左の時刻から右の時刻までの間に、長針は
　１時Ａ分→２時Ａ分→３時Ａ分→４時Ｂ分
と、３周より少し足りない所まで回ります。一方、短針は
　Ｂ分→Ａ分
までの角度を進みます。ここまでで［ウ］は求めることが出来て、
長針と短針、合わせて３周分、つまり　1080°です。

１分間に、長針と短針は合わせて 6.5°進むので、1080°動くのにかかる時間は
　1080÷13/2＝2160/13＝166と2/13(分)
　２時間46と2/13分
となります。
No.89611 - 2024/12/19(Thu) 09:08:49
☆ Re: / ヨッシー
下の方の速さの問題、写真が貼れてないので、
未解決なら、また貼っておいてくださいね。
No.89612 - 2024/12/19(Thu) 09:12:58
☆ Re: / やり直しメン
ヨッシーさんご回答ありがとうございます

一方、短針は
　Ｂ分→Ａ分
までの角度を進みます。
ここが分かりませんでした。

又、以前に質問した写真ですがどうやらIpadに投稿すると写真が掲載されない時があります。
No.89613 - 2024/12/19(Thu) 12:23:14
☆ Re: / やり直しメン
早とちりしました。

条件に書いてあるところを見落としました。

申し訳ありません。
No.89614 - 2024/12/19(Thu) 12:34:37
★ (No Subject) / 高知
10桁の整数で5を6つ含むものの個数は幾つありますか。この問題の解き方を教えてください。
No.89604 - 2024/12/18(Wed) 08:29:54
☆ Re: / ヨッシー
10個の数字を置く位置のうち、６個を選んで５を置く方法は
　10Ｃ6＝210(通り)
残った４個の位置に、５以外の９個の数字を置く方法は
　9^4＝6561(通り)
よって、５を６個含む数字の置き方は
　210×6561＝1377810

このうち、一番左が０になると９桁以下になるので除きます。その数は
　9Ｃ6×9^3＝61236(個)
よって、求める個数は
　1377810−61236＝1316574(個)
No.89605 - 2024/12/18(Wed) 09:13:10
☆ Re: / 高知
ありがとうございます。感謝です。
No.89606 - 2024/12/18(Wed) 10:06:34
★ (No Subject) / やり直しメン
算数です

(5)です
時計算です

分かりませんでした。解説お願いします
No.89599 - 2024/12/17(Tue) 22:28:50
☆ Re: / X
隣り合う5分刻みの目盛りの1目盛り分の角度は
360°÷12=30°
従って
(50°-30°)÷30°×60[分]=40[分]
により、長針が指しているのは40[分]

このことから、40分の目盛りから1目盛り上
と2目盛り上の間、つまり9と10の目盛りの間
に短針があることがわかりますので
求める時刻は9時40分となります。
No.89601 - 2024/12/17(Tue) 23:32:56
★ 漸化式 / 雪だるま
解き方と答えを教えて欲しいです。
No.89598 - 2024/12/17(Tue) 22:14:43
☆ Re: 漸化式 / らすかる
a[n+1]+p(n+1)^2+q(n+1)+r=2(a[n]+pn^2+qn+r)とおいて整理すると
a[n+1]=2a[n]+pn^2+(q-2p)n-p-q+r
問題の式と係数を比較してp=3,q-2p=0,-p-q+r=0
これを解いてp=3,q=6,r=9なので、問題の式は
a[n+1]+3(n+1)^2+6(n+1)+9=2(a[n]+3n^2+6n+9)
と変形できる。
b[n]=a[n]+3n^2+6n+9とおくと
b[n+1]=2b[n],b[1]=a[1]+3+6+9=19なので
b[n]=19・2^(n-1)
よってa[n]=b[n]-3n^2-6n-9=19・2^(n-1)-3n^2-6n-9
No.89603 - 2024/12/18(Wed) 04:08:43
☆ Re: 漸化式 / 雪だるま
らすかる 様
ありがとうございます！
No.89607 - 2024/12/18(Wed) 11:02:22
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