次の問題がわからないです。よろしくお願いいたします。
xyz空間において，
|logx|+|logy|+|logz|≦1
を満たす領域の体積を平面z=e^t(-1≦t≦1)による切り口の図形を調べることにより求めよ。
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No.90297 - 2025/05/31(Sat) 17:38:34
| ☆ Re: 不等式の表す領域の体積 / WIZ | | | べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。
対数関数logは自然対数、eは自然対数の底と解釈します。
0 ≦ |log(z)| ≦ 1
⇒ -1 ≦ log(z) ≦ 1
⇒ 1/e ≦ z ≦ e
同様に、1/e ≦ x ≦ e, 1/e ≦ y ≦ e となります。
tの値を固定して e^t を定数と見なせば、z = e^t はxy平面に平行な平面となります。
平面 z = e^t による題意の立体の切り口の面積を s(t) とし、求める体積をVとすると、
V = ∫[1/e, e]s(t)dz = ∫[-1, 1]s(t)(e^t)dt
(1) t = log(z) < 0 の場合
1/e ≦ z = e^t < 1 つまり -1 ≦ t < 0 となり |log(x)|+|log(y)| ≦ 1-|log(z)| = 1+t です。
よって、|log(y)| ≦ 1+t-|log(x)| となります。
(1a) log(x) < 0 つまり 1/e ≦ x < 1 の場合
log(x) < -log(x) となりますから、
|log(y)| ≦ 1+t+log(x)
⇒ 1+t+log(x) ≦ log(y) ≦ 1+t-log(x)
⇒ e^(1+t+log(x)) ≦ y ≦ e^(1+t-log(x))
⇒ x(e^(1+t)) ≦ y ≦ (1/x)(e^(1+t))
この部分の面積は
∫[1/e, 1]{(1/x)(e^(1+t))-x(e^(1+t))}dx
= (e^(1+t))∫[1/e, 1]{1/x-x}dx
= (e^(1+t))[log(x)-(x^2)/2]_[1/e, 1]
= (e^(1+t)){(-1/2)-(-1-1/(2e^2))}
= (e^(1+t)){1/2+1/(2e^2)}
(1b) log(x) ≧ 0 つまり 1 ≦ x ≦ e の場合
-log(x) ≦ log(x) となりますから、(1a)とほぼ同様に
⇒ (1/x)(e^(1+t)) ≦ y ≦ x(e^(1+t))
この部分の面積は
(e^(1+t))∫[1, e]{x-1/x}dx
= (e^(1+t))[(x^2)/2-log(x)]_[1, e]
= (e^(1+t)){((e^2)/2-1)-(1/2)}
= (e^(1+t)){(e^2)/2-3/2}
よって、(1)の部分の面積は (e^(1+t)){2(e^2)/2-1} = (e^t)(e^3-e) となります。
(2) t = log(z) ≧ 0 の場合
1 ≦ z = e^t ≦ e つまり 0 ≦ t ≦ 1 となり |log(x)|+|log(y)| ≦ 1-|log(z)| = 1-t です。
よって、|log(y)| ≦ 1-t-|log(x)| となります。
(2a) log(x) < 0 つまり 1/e ≦ x < 1 の場合
log(x) < -log(x) となりますから、(1a)とほぼ同様に
⇒ x(e^(1-t)) ≦ y ≦ (1/x)(e^(1-t))
この部分の面積は
(e^(1-t))∫[1/e, 1]{1/x-x}dx = (e^(1-t)){1/2+1/(2e^2)}
(2b) log(x) ≧ 0 つまり 1 ≦ x ≦ e の場合
-log(x) ≦ log(x) となりますから、(1a)とほぼ同様に
⇒ (1/x)(e^(1-t)) ≦ y ≦ x(e^(1-t))
この部分の面積は
(e^(1-t))∫[1, e]{x-1/x}dx = (e^(1-t)){(e^2)/2-3/2}
よって、(2)の部分の面積は (e^(1-t)){2(e^2)/2-1} = (e^(-t))(e^3-e) となります。
以上から、
V = ∫[-1, 0]{(e^t)(e^3-e)(e^t)}dt+∫[0, 1]{(e^(-t))(e^3-e)(e^t)}dt
= (e^3-e){∫[-1, 0]{e^(2t)}dt+∫[0, 1]{1}dt
= (e^3-e){[(e^(2t))/2]_[-1, 0]+[t]_[0, 1]}
= (e^3-e){(1-e^(-2))/2+1}
= (e^3-e)(3-e^(-2))/2
= (3e^3-3e-e+e^(-1))/2
= (3e^3-4e+e^(-1))/2
# 私の勘違い、計算間違いがある可能性大ですので質問者さんの方で良く確認してください!
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No.90300 - 2025/06/01(Sun) 12:17:25 |
| ☆ Re: 不等式の表す領域の体積 / WIZ | | | ITさん、Xさん、ご指摘ありがとうございます。
少なくとも「絶対値を外し方」と「積分範囲」を間違えていました。
(1)は -1 ≦ t < 0 なので 0 ≦ |log(x)|+|log(y)| = 1+t < 1 であり、
(1a)は log(x) < 0 なので 0 < -log(x) ≦ 1+t
⇒ -(1+t) ≦ log(x) < 0
⇒ e^(-1-t) ≦ x < 1
また |log(y)| ≦ 1+t-|log(x)| より、
⇒ -{1+t+log(x)} ≦ log(y) ≦ 1+t+log(x)
⇒ (1/x)e^(-1-t) ≦ y ≦ x(e^(1+t))
この部分の面積は
∫[e^(-1-t), 1]{x(e^(1+t))-(1/x)e^(-1-t)}dx
= [((x^2)/2)e^(1+t)-log(x)e^(-1-t)]_[e^(-1-t), 1]
= {(1/2)e^(1+t)}-{(1/2)(e^(-2-2t))e^(1+t)-(-1-t)e^(-1-t)}
= (1/2)e^(1+t)-(1/2)e^(-1-t)+(1+t)e^(-1-t)
= (1/2)e^(1+t)+(1/2+t)e^(-1-t)
同様に(1b)は 0 ≦ log(x) ≦ 1+t なので 1 ≦ x ≦ e^(1+t) となり、
-{1+t-log(x)} ≦ log(y) ≦ 1+t-log(x)
⇒ x(e^(-1-t)) ≦ y ≦ (1/x)(e^(1+t))
この部分の面積は
∫[1, e^(1+t)]{(1/x)e^(1+t)-x(e^(-1-t))}dx
= [log(x)e^(1+t)-((x^2)/2)e^(-1-t)]_[1, e^(1+t)]
= {(1+t)e^(1+t)-(1/2)(e^(2+2t))e^(-1-t)}-{-(1/2)e^(-1-t)}
= (1/2+t)e^(1+t)+(1/2)e^(-1-t)
よって、-1 ≦ t < 0 において
s(t) = {(1/2)e^(1+t)+(1/2+t)e^(-1-t)}+{(1/2+t)e^(1+t)+(1/2)e^(-1-t)}
= (1+t){e^(1+t)+e^(-1-t)}
(2)は 0 ≦ t ≦ 1 なので 0 ≦ |log(x)|+|log(y)| = 1-t < 1 であり、
(2a)は log(x) < 0 なので 0 < -log(x) ≦ 1-t
⇒ -(1-t) ≦ log(x) < 0
⇒ e^(-1+t) ≦ x < 1
また -{1-t+log(x)} ≦ log(y) ≦ 1-t+log(x) より、
⇒ (1/x)e^(-1+t) ≦ y ≦ x(e^(1-t))
この部分の面積は
∫[e^(-1+t), 1]{x(e^(1-t))-(1/x)e^(-1+t)}dx
= [((x^2)/2)e^(1-t)-log(x)e^(-1+t)]_[e^(-1+t), 1]
= {(1/2)e^(1-t)}-{(1/2)(e^(-2+2t))e^(1-t)-(-1+t)e^(-1+t)}
= (1/2)e^(1-t)+(-3/2+t)e^(-1+t)
同様に(2b)は 0 ≦ log(x) ≦ 1-t なので 1 ≦ x ≦ e^(1-t) となり、
-{1-t-log(x)} ≦ log(y) ≦ 1-t-log(x)
⇒ x(e^(-1+t)) ≦ y ≦ (1/x)(e^(1-t))
この部分の面積は
∫[1, e^(1-t)]{(1/x)e^(1-t)-x(e^(-1+t))}
= [log(x)e^(1-t)-((x^2)/2)e^(-1+t)]_[1, e^(1-t)]
= {(1-t)e^(1-t)-(1/2)(e^(2-2t))e^(-1+t)}-{-(1/2)e^(-1+t)}
= (1-t)e^(1-t)-(1/2)e^(1-t)+(1/2)e^(-1+t)
= (1/2-t)e^(1-t)+(1/2)e^(-1+t)
よって、0 ≦ t ≦ 1 において
s(t) = {(1/2)e^(1-t)+(-3/2+t)e^(-1+t)}+{(1/2-t)e^(1-t)+(1/2)e^(-1+t)}
= (1-t){e^(1-t)-e^(-1+t)}
以上から
V = ∫[-1, 0]{(1+t){e^(1+t)+e^(-1-t)}e^t}dt+∫[0, 1]{(1-t){e^(1-t)-e^(-1+t)}e^t}dt
= ∫[-1, 0]{(1+t){e^(1+2t)+1/e}}dt+∫[0, 1]{(1-t){e-e^(-1+2t)}}dt
前半の積分は
[(1+t)(e^(1+2t))/2+(t+(t^2)/2))/e]_[-1, 0]-∫[-1, 0]{(e^(1+2t))/2}dt
= {e/2-(-1+1/2)/e}-[(e^(1+2t))/4]_[-1, 0]
= (1/2)(e+1/e)-(1/4)(e-1/e)
= (1/4)(e+3/e)
後半の積分は
[(t-(t^2)/2)e-(1-t)(e^(-1+2t))/2]_[0, 1]+∫[0, 1]{(-1)(e^(-1+2t))/2}dt
= {(1-1/2)e+(1/2)(1/e)-[(e^(-1+2t))/4]_[0, 1]
= (1/2)(e+1/e)-(1/4)(e-1/e)
= (1/4)(e+3/e)
よって、V = (1/4)(e+3/e)+(1/4)(e+3/e) = (1/2)(e+3/e) となると思います。
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No.90309 - 2025/06/01(Sun) 23:38:13 |
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