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ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

since 2008/03/25

旧数学掲示板のログ

使用上の注意はこちらにあります

質問される方は学年（質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。


過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

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★ 教えてください NEW / ！
∠ｙの角度を求める方法を教えてください！
No.90381 - 2025/07/06(Sun) 10:56:42
☆ Re: 教えてください NEW / IT
円の中心に　記号（Ｏ　とか）を書くと　分かり易いのでは
いくつかの　二等辺三角形が　見えて来ると思います。

「接線は接点を通る半径と垂直に交わる」 も使うと思います。　
No.90382 - 2025/07/06(Sun) 11:43:52
★ (No Subject) / やり直しメン
□5です
算数です

20コ全部売れたとすると
14400+180円（仕入れ180から定価の360円だから)×20=18000円


18000円÷180円=100コ ではないのですか。
No.90378 - 2025/07/04(Fri) 08:49:43
☆ Re: / ヨッシー
仮に１００個だとすると、
１個あたりの利益１８０円に対して、
　180×80＝14400（円）
ですが、これは、80個仕入れて、80個売ったときの利益です。
実際は、あと20個（原価3600円）買っているので、実際の利益は
　14400−3600＝10800（円）
です。逆に言うと、
　14400＋3600＝18000（円）
を、20個少ない個数でまかなわないといけないわけですから、
　18000÷180＝100（個）・・・20個少ない個数
で、答えは 120個 となります。

見参すると、
　仕入れ値：120×180＝21600（円）
　売り上げ：100×360＝36000（円）
　利益：36000−21600＝14400（円）
で辻褄が合います。
No.90380 - 2025/07/04(Fri) 10:29:53
★ 数学的概念 / 龍之介
数学(論理学) において項とはどう定義されるのでしょうか？また、数学で1+1と2+0と1+1+0となどなどを区別するような理論はありますか？
大学数学以上の程度
No.90376 - 2025/07/03(Thu) 17:16:42
★ 数列 / ドンキーコング
a[1]=4,S[n+1]=3S[n]-6( =1,2,…),S[n]は初項からn項までの和

次の回答は合っていますか？

また、S[1]=a[1]となっていませんが、なるときとならない時の違いのようなものは何ですか？
No.90373 - 2025/07/03(Thu) 14:06:10
☆ Re: 数列 / ドンキーコング
回答です
No.90374 - 2025/07/03(Thu) 14:13:11
☆ Re: 数列 / IT
> また、S[1]=a[1]となっていません
S[1]=a[1]= 4 では？

a[1]が初項なら常にS[1]=a[1] のはずです。
No.90377 - 2025/07/03(Thu) 18:59:00
☆ Re: 数列 / ドンキーコング
すいません。

a[1]=4(与えられた条件
a[1]=2/3(導いた一般項から
が違っているのですが、これらが一致するための条件は何か？

です。
例えばS[n]=n^3だとすると、a[n]=S[n]-S[n-1]=3n^2-3n+1でa[1]=S[1]=1、a[1]=3-3+1=1で一致します。
No.90379 - 2025/07/04(Fri) 09:10:04
★ 大学数学フーリエ級数 / ゆゆ
画像の周期2πの関数のフーリエ級数を求めてください。

答えと解説があると非常に助かります。
よろしくお願いします。
No.90368 - 2025/07/02(Wed) 14:56:16
☆ Re: 大学数学フーリエ級数 / X
方針を。

問題のf(x)は偶関数ですので、sinの
係数は全て0。
ということでcosの係数のみ求めれば
よいことになります。

で、cosnx(nは0又は自然数)の係数をa[n]とすると
nが自然数のとき
a[n]=(1/π)∫[-π→π]f(x)cosnxdx
=(2/π)∫[0→π]xcosnxdx
=…(部分積分を使います。)

a[0]={1/(2π)}∫[-π→π]f(x)dx
=(1/π)∫[0→π]xdx
=π/2

よって…
No.90369 - 2025/07/02(Wed) 18:24:13
★ (No Subject) / あああ
この問題の解き方をお願いしますm(＿ ＿)m
No.90367 - 2025/07/02(Wed) 00:49:59
☆ Re: / X
問題の二次方程式を(A)とします。
又、例えばzの共役複素数を\zと書くことにします。

(1)
(A)より
z-a=±it(z+a)
∴z=a(1±it)/(1干it) (B)
(複号同順、以下同じ)
ここで
1+it=r(cosθ+isinθ) (P)
(r＞0)
と置くと、t≧0より
0≦θ＜π/2
で(P)より
1-it=r(cosθ-isinθ) (P)'
(B)に(P)(P)'を代入して整理をすると
z=a(cos2θ±isin2θ)

よってzの軌跡は,
原点中心、半径aの円
となります。

(2)
ω[1]=az/(z-a)
より
ω[1](z-a)=az
∴z=aω[1]/(ω[1]-a) (C)
一方、(1)の結果から
|z|=a (B)'
(C)を(B)'に代入して
|aω[1]|=a|ω[1]-a| (D)(但しω[1]≠a)
(D)より
|aω[1]|^2={a|ω[1]-a|}^2
両辺展開して
0=-a(ω[1]+\ω[1])+a^2
∴(ω[1]+\ω[1])/2=a/2

よって、ω[1]の軌跡は
実軸上の点a/2を通る、虚軸に平行な直線
となります。

(3)
ω[2]=z/(z-i)
より
z=iω[2]/(ω[2]-1)
これを(B)'に代入して
|ω[2]|=a|ω[2]-1|(但しω[2]≠1)
(E)より
|ω[2]|^2={a|ω[2]-1|}^2
(a^2-1)|ω[2]|^2-(a^2)(ω[2]+\ω[2])+a^2=0
|ω[2]|^2-{(a^2)/(a^2-1)}(ω[2]+\ω[2])+(a^2)/(a^2-1)=0
|ω[2]-(a^2)/(a^2-1)|^2={(a^2)/(a^2-1)}^2-(a^2)/(a^2-1)
|ω[2]-(a^2)/(a^2-1)|^2={a/(a^2-1)}^2
∴|ω[2]-(a^2)/(a^2-1)|=a/(a^2-1)
よってω[2]の軌跡は
実軸上の点(a^2)/(a^2-1)を中心とする
半径a/(a^2-1)の円
となります。

(4)
(2)の軌跡の直線をl,(3)の軌跡の円をCとすると、
題意を満たすためには
(Cの中心とlとの間の距離)≦(Cの半径)
∴|(a^2)/(a^2-1)-a/2|≦a/(a^2-1)
a＞1＞0に注意すると、これより
(a^2-1)|a/(a^2-1)-1/2|≦1
|2a-(a^2-1)|≦2
|a^2-2a-1|≦2
-2≦a^2-2a-1≦2
∴
-2≦a^2-2a-1 (F)
かつ
a^2-2a-1≦2 (G)
(F)より
(a-1)^2≧0
∴aは任意の実数
(G)より
(a-3)(a+1)≦0
∴-1≦a≦3

∴求めるaの値の範囲は
1＜a≦3
となります。
No.90371 - 2025/07/02(Wed) 19:18:23
☆ Re: / あああ
ありがとうございます！
よく理解できました！
No.90372 - 2025/07/02(Wed) 22:17:13
★ 数学Aの問題 / ま
こちらの図形の問題の解き方と答えを教えてもらいたいです。
No.90363 - 2025/06/28(Sat) 13:44:17
☆ Re: 数学Aの問題 / X
条件が足りません。
点Iに対する条件が何かありませんか？
No.90364 - 2025/06/28(Sat) 16:29:29
☆ Re: 数学Aの問題 / ま
> 条件が足りません。
> 点Iに対する条件が何かありませんか？
すみません抜けてました。Iは△ABCの内心です。
No.90365 - 2025/06/28(Sat) 16:52:57
☆ Re: 数学Aの問題 / X
30°となっている角に対する頂点を起点にして
外側の三角形の頂点が時計回りにA,B,C
となっていると仮定して方針を。

点Iが△ABCの内心なので
線分AI,BIはそれぞれ、
∠BAC,∠ABCの二等分線になっています。
よって、△ABC,△ABIの内角の和について
30°×2+2x+53°=180° (A)
30°+x+y=180° (B)
(A)(B)をx,yについての連立方程式
として解きます。
No.90366 - 2025/06/28(Sat) 21:28:55
★ (No Subject) / やり直しメン
□8です。

（2）です。

なぜ(10+15)÷2をするのですか。
No.90361 - 2025/06/27(Fri) 07:16:29
☆ Re: / ヨッシー
食塩水Ａと食塩水Ｂを混ぜた食塩水の濃さを求めるためです。
両方同じ重さずつ加えたので、普通の平均で求められます。
一般に 10% の食塩水 ａｇと、15% の食塩水 ｂｇを混ぜたときの濃さは、
　(10×a＋15×b)/(a+b)
となりますが、ここでは ａ＝ｂ なので、(10＋15)/2 となります。
No.90362 - 2025/06/27(Fri) 09:11:46
★ (No Subject) / やり直しメン
算数です。


□7の（3）です。

解けなかったです。

よろしくお願いします。
No.90358 - 2025/06/23(Mon) 12:56:15
☆ Re: / ヨッシー
(3)
Ｃの水を入れたＡ,Ｂの中身は
Ａ、Ｂ、Ｃすべての量に等しく、濃さも等しいので、
その濃さは４％です。

つまり、Ｂに何ｇ水を入れると、４％になるかということです。
Ｂに最初に入っている食塩は ５．５ｇなので、
これが４％になるには、食塩水全体で、
　５．５÷０．０４＝137.5(g)
になればいいので、最初のＢの量を除くと
　137.5−100＝37.5(g)　・・・Ｃから入れた水の量
No.90359 - 2025/06/23(Mon) 14:40:25
★ 高校1年生 / 名無し
アとイの両方の解き方がわからないです。
教えて欲しいです。
チャートの解説を読んでも分からなかったです。
No.90350 - 2025/06/22(Sun) 17:56:33
☆ Re: 高校1年生 / X
アについて。
AAとOOをそれぞれ一つの文字と見ると
残りの4文字と合わせて6文字でできる
順列を考えればよく
6P6=6!=720[通り] (A)

イについて。
問題の8文字でできる順列の数は
8!/(2!2!)=10080[通り] (B)
一方

Aのみが隣り合い、かつOが隣り合わない
順列の数は、(A)を使うと
7!/2!-720=1800[通り] (C)

Oのみが隣り合い、かつAが隣り合わない
順列の数も(C)と同じ。

(A)(B)(C)から、同じ文字が隣り合わない順列の数は
10800-1440-1440-720=7200[通り]

(注)
イについては
8文字でできる順列全体の集合をU
Aが隣り合っている順列の集合をα
Oが隣り合っている順列の集合をβ
として、ベン図を描いてみるといいかもしれません。
No.90353 - 2025/06/22(Sun) 20:00:36
☆ Re: 高校1年生 / 名無し
> 10800-1440-1440-720=7200[通り]
なぜ引くのは1800ではないのですか？
No.90354 - 2025/06/22(Sun) 20:21:47
☆ Re: 高校1年生 / X
ごめんなさい。計算を間違えていますね。
訂正します。

誤：
10800-1440-1440-720=7200[通り]
正：
10800-1800-1800-720=6480[通り]
No.90360 - 2025/06/23(Mon) 19:29:31
★ 数A 組み合わせです / 名無し
次の条件を満たす（a,b,c,d,e）の個数を求めよ

0≦a≦b＜c≦d≦e≦3

求め方教えてくださいm(_ _)m
No.90346 - 2025/06/22(Sun) 17:12:23
☆ Re: 数A 組み合わせです / IT
a,b,c,d,e が実数なら、無数です。整数と書いてありませんか？
No.90347 - 2025/06/22(Sun) 17:34:11
☆ Re: 数A 組み合わせです / 名無し
> a,b,c,d,e が実数なら、無数です。整数と書いてありませんか？

書いてありました💦
No.90348 - 2025/06/22(Sun) 17:52:13
☆ Re: 数A 組み合わせです / IT
(b,c)=(0,1),(0,2),(0,3),(1,2),(1,3),(2,3) について
数え上げる（図を描いてもいいし、重複組み合わせを使ってもいいです）
No.90349 - 2025/06/22(Sun) 17:54:32
☆ Re: 数A 組み合わせです / 名無し
ありがとうございます
No.90351 - 2025/06/22(Sun) 17:57:57
☆ Re: 数A 組み合わせです / IT
b=c も許した場合を数えて（重複組み合わせ）
b=c=0,1,2,3 の場合を除く　方が少し簡単かも
No.90352 - 2025/06/22(Sun) 18:09:48
☆ Re: 数A 組み合わせです / 名無し
> b=c も許した場合を数えて（重複組み合わせ）
> b=c=0,1,2,3 の場合を除く　方が少し簡単かも
ありがとうございます
No.90355 - 2025/06/22(Sun) 20:34:24
☆ Re: 数A 組み合わせです / IT
下記のように考えるのが良いかも
0-a-b-c-d-e-3

+1を6か所の-の内、重複を許して3か所に入れます。
b-c には少なくとも1つ+1を入れます
残りの2つの+1を重複を許して6か所の-の内2か所に入れます。
C(6-1+2,2)=C(7,2)=21 通り
No.90356 - 2025/06/22(Sun) 21:12:58
☆ Re: 数A 組み合わせです / らすかる
A=a+1
B=b+2
C=c+2
D=d+3
E=e+4
とおくと
0≦a≦b＜c≦d≦e≦3
は
1≦A＜B＜C＜D＜E≦7
に変わりますので1〜7から5個選ぶ組合せとなり、7C5=21通りです。

※bとcの間だけ「＜」であることからB=b+2とC=c+2は同じ値を加算しており、
他は「≦」を「＜」にするために加算する値を1ずつ増やしています。
No.90357 - 2025/06/23(Mon) 07:16:49
★ (No Subject) / やり直しメン
算数です
□5の（2）です


なぜペンとえんぴつの本数を同じにする必要があるのですか。


私はペンを　1本、、、1本|8本あまり
　えんぴつは4本、、、4本|一本不足
——————————————————
3本、、、3本　|9本
9÷3=3人とやりました。
No.90342 - 2025/06/18(Wed) 20:41:48
☆ Re: / X
＞＞なぜペンとえんぴつの本数を同じにする必要があるのですか。

えんぴつの本数を、ペンの本数と同じである
3束に小分けして、それぞれの束のえんぴつを
一本づつ配れば、ペンの余る本数は
8[本/束]×3[束]=24[本] (A)
と分かります。

この24本を一束にして、更に1本づつ配れば、
3束から1本づつ配ったのと合わせて
全体で4本配ったことと同じになります。

従って、条件から
(A)を1本づつ配ったときに1本足らない
ということになりますので、配った人数は
24+1=25[人]
と分かります。


＞＞3本、、、3本　|9本
とありますが、この
＞＞|9本
の意味は何ですか。
No.90343 - 2025/06/18(Wed) 22:42:24
☆ Re: / やり直しメン
9本は差です。8本あまりと1本不足の差は9本とやりました
No.90344 - 2025/06/19(Thu) 00:06:52
☆ Re: / X
ペンをa[本]として、n[人]に分けたとすると
ペンの本数について
a=n+8 (A)

(i)えんぴつの本数がペンの本数と同じ場合
えんぴつの本数はa[本]ですので、
4本づつ配った場合
a=4n-1 (B)
(B)-(A)より
3n-9=0 (C)
ですので
n=3

(ii)えんぴつの本数がペンの本数の３倍(つまりご質問の問題の条件)の場合
えんぴつの本数は3a[本]ですので、
4本づつ配った場合
3a=4n-1 (B)'
(B)'-(A)より
3n-9=2a (D)

(C)(D)を見比べてみて下さい。
No.90345 - 2025/06/19(Thu) 18:44:02
★ (No Subject) / ネコ丸
この問題の解き方がなぜこうなるのかわかりません
教えてください。
No.90337 - 2025/06/12(Thu) 12:39:58
☆ Re: / ヨッシー
>ｃ≦80 より ａ は ａ≦66 を満たす自然数
のところはわかりますか？

√3(a+7) が整数になるには、3(a+7) は、Ａ×Ａ　(Ａは整数) という
形に表される必要があります。
３がすでに見えていますので、3(a+7) は、
　(３×Ｂ)×(３×Ｂ)　(Ｂは整数)
という形であるはずです。展開すると、
　3×3B^2 であり、3B^2 が a+7 に当たります。
よって、a+7＝3B^2 であり、B にいろんな整数(この場合は自然数)を当てはめて 条件　0＜ａ≦66 を満たすａを見つけています。
No.90338 - 2025/06/12(Thu) 13:26:27
☆ Re: / ネコ丸
3(a+7) は、
　(３×Ｂ)×(３×Ｂ)　(Ｂは整数)
　　　　　　　　　　　　
　　　　　のところがわかりません

もう少し詳しくお願いできますか？
No.90339 - 2025/06/12(Thu) 14:55:30
☆ Re: / ヨッシー
>3(a+7) は、Ａ×Ａ　(Ａは整数)
ここまでは理解されているとして、
3(a+7) は、3 の倍数ですから、Ａは３の倍数です。
そこで、Ａ＝３×Ｂ (Ｂは整数) とおくと
　(３×Ｂ)×(３×Ｂ)　(Ｂは整数)
と書けます。
No.90340 - 2025/06/12(Thu) 15:06:10
☆ Re: / ネコ丸
ありがとうございました
No.90341 - 2025/06/12(Thu) 15:15:23
★ (No Subject) / 中3
このような問題が本当に解けません。
No.90333 - 2025/06/09(Mon) 21:00:35
☆ Re: / ヨッシー
ＢＤ：ＤＣ＝１：２　より
△ＢＦＡ：△ＣＦＡ＝１：２　・・・(1)
ＡＥ：ＥＢ＝３：２　より
△ＢＦＡ：△ＥＦＡ＝５：３　・・・(2)
(1)(2) より
△ＢＦＡ：△ＣＦＡ：△ＥＦＡ＝５：１０：３
よって、ＣＦ：ＦＥ＝１０：３

難関私立高校入試レベルなら、メネラウスの定理も習っているかも。
No.90334 - 2025/06/10(Tue) 08:28:56
☆ Re: / WIZ
別解
# ヨッシーさんによる素晴らしい回答が投稿されていますが、
# 私も一生懸命解いたので複雑で無意味ですが投稿しちゃいます。

△ABCをxy座標上におきます。
点Bを原点に重ね、点Cはx軸の正の部分におきます。
各点の座標はu, v, wを正の実数として、A(5u, 5v), B(0, 0), C(3w, 0) とします。

すると、|AE|:|EB| = 3:2 より E(2u, 2v) となります。
また、|BD|:|DC| = 1:2 より D(w, 0) となります。

直線ADは (y-0)/(5v-0) = (x-w)/(5u-w) ⇒ y = {5v/(5u-w)}(x-w)
直線CEは (y-0)/(2v-0) = (x-3w)/(2u-3w) ⇒ y = {2v/(2u-3w)}(x-3w)
# 図から 5u-w ≠ 0 かつ 2u-3w ≠ 0 であることは自明とします。

直線ADと直線CEの交点が点Fなので、点Fのx座標は
{5v/(5u-w)}(x-w) = {2v/(2u-3w)}(x-3w)
⇒ 5(2u-3w)(x-w) = 2(5u-w)(x-3w)
⇒ {(10u-15w)-(10u-2w)}x = (10u-15w)w-(10u-2w)*3w
⇒ (-13w)x = (10u-15w)w-(30u-6w)w
⇒ -13x = -20u-9w
⇒ x = (20u+9w)/13

点Fのy座標は
y = {5v/(5u-w)}((20u+9w)/13-w)
= {5v/(5u-w)}((20u+9w)-13w)/13
= {5v/(5u-w)}(20u-4w)/13
= {5v/(5u-w)}*4(5u-w)/13
= 20v/13

よって、F((20u+9w)/13, 20v/13) となります。

|CF|^2 = (3w-(20u+9w)/13)^2+(0-20v/13)^2
= {(39w-(20u+9w))^2+(-20v)^2}/169
= {(30w-20u)^2+(20v)^2}/169
= {900w^2-1200wu+400u^2+400v^2}/169
= (100/169)(9w^2-12wu+4u^2+4v^2)

|FE|^2 = ((20u+9w)/13-2u)^2+(20v/13-2v)^2
= {((20u+9w)-26u)^2+(20v-26v)^2}/169
= {(9w-6u)^2+(-6v)^2}/169
= {81w-108wu+36u^2+36v^2}/169
= (9/169)(9w-12wu+4u^2+4v^2)

上記の文字式の部分は同一ですので、
(|CF|^2):(|FE|^2) = 100:9
⇒ |CF|:|FE| = 10:3
No.90335 - 2025/06/10(Tue) 08:48:01
☆ Re: / らすかる
別解
Eを通りADに平行な直線とBCの交点をGとするとDG：GB=AE：EB=3：2
またCD：DB=2：1なのでCD：DG：DG=10：3：2
よってCF：FE=CD：DG=10：3
No.90336 - 2025/06/11(Wed) 00:31:06
★ (No Subject) / 中3
この問題が分かりません
No.90331 - 2025/06/09(Mon) 20:10:14
☆ Re: / ヨッシー
(1)
△ＡＤＢは直角三角形で、∠Ａ＝３６°より、∠Ｂ＝５４°
弧ＣＤ＝弧ＡＣ×２ なので、∠ＣＢＤ＝∠ＡＢＣ×２
よって、∠ＣＢＤ＝５４°×2/3＝３６°
△ＥＤＢは直角三角形なので、∠ＢＥＤ＝９０°−３６°＝５４°・・・答え
△ＯＢＣは二等辺三角形なので、∠ＯＣＢ＝∠ＯＢＣ＝５４°×1/3＝１８°
∠ＯＣＹ＝９０°なので、∠ＢＣＹ＝９０°−１８°＝７２°・・・答え
No.90332 - 2025/06/09(Mon) 20:57:55
★ (No Subject) / やり直しメン

算数です。

□6の（2）教えてください。
特に432-285をする理由が分かりませんでした
No.90327 - 2025/06/04(Wed) 23:51:48
☆ Re: / GandB
　　ある整数を x
　　432、315、285 をxで割った商をq1、q2、q3
　　432 と 285 をxで割った同じ余りを r

とすると

　　432 = q1×x + r
　　315 = q2×x
　　285 = q3×x + r
　　432-285 = 147 = (q1-q3)x （432-285 は x で割り切れる）

　x は147 と 315 の共通の約数だから、その最大値である最大公約数が求める最大の整数である。

　　147 = 3×7×7
　　315 = 3×3×5×7

なので、最大公約数は21。
No.90328 - 2025/06/05(Thu) 08:20:40
★ 高校数学(数A) / 314
nx̄がどこから出てきたのかわかりませんでした。
No.90319 - 2025/06/02(Mon) 23:06:01
☆ Re: 高校数学(数A) / 314
問題文です。
No.90320 - 2025/06/02(Mon) 23:08:04
☆ Re: 高校数学(数A) / ast
> nx̄がどこから出てきたのか
変形の前後で項・因子の対応がわかるように式が書かれていますから, 結局
　 x^- = (x_1f_1+x_2f_2+…+x_nf_n)/(f_1+f_2+…+f_n)
であるかどうか, という話であるようです.
# 右辺の分母は =n で, その分母を払うと nx^- が分かると思います.

これが正しいのかどうかは問題文にすら書かていませんので挙げられた画像だけではわかりかねますが, しかしおそらくこれ（あるいはこれが誤りならばこれとよく似た正しい式）が, 当然の常識としておくべき前提にあるのではないでしょうか.
No.90321 - 2025/06/02(Mon) 23:59:29
☆ Re: 高校数学(数A) / 314
> > nx̄がどこから出てきたのか
> 変形の前後で項・因子の対応がわかるように式が書かれていますから, 結局
> 　 x^- = (x_1f_1+x_2f_2+…+x_nf_n)/(f_1+f_2+…+f_n)
> であるかどうか, という話であるようです.
> # 右辺の分母は =n で, その分母を払うと nx^- が分かると思います.
>
> これが正しいのかどうかは問題文にすら書かていませんので挙げられた画像だけではわかりかねますが, しかしおそらくこれ（あるいはこれが誤りならばこれとよく似た正しい式）が, 当然の常識としておくべき前提にあるのではないでしょうか.



ありがとうございます。
No.90322 - 2025/06/03(Tue) 11:33:10
☆ Re: 高校数学(数A) / IT
各階級に含まれるデータの値がすべてその階級値x_iに等しい。
各階級の度数がf_i と書いてあります。
度数の計　f_1+f_2+…+f_k　 = n

文脈からx^- は、考えているｎ個のデータの平均値を表すと読めます（astさんの回答にある　当然の常識）から
x^- = (x_1f_1+x_2f_2+…+x_kf_k)/(f_1+f_2+…+f_k)
No.90324 - 2025/06/03(Tue) 19:36:06
☆ Re: 高校数学(数A) / IT
高校数学１（私の手持ではAではなくて1)の教科書には
「一般に、変量xについて、大きさnのデータの総和をnで割った値を、このデータの「平均値」といい,x^- で表す。」
とあります。
No.90325 - 2025/06/03(Tue) 20:01:28
★ 漸化式 / ドンキーコング
次の漸化式で与えられる数列の一般項を求めよ。
a1=2,an=an-1 +n(n+1) n=2,3,4…


次のように解きましたが違うようです。どうして違うのか教えて下さい。
No.90311 - 2025/06/02(Mon) 13:15:01
☆ Re: 漸化式 / ヨッシー
解答の３行目の式に、ｎ＝２ を入れてみると、
　a[2]＝a[1]＋２
ですが、漸化式
　a[n]=a[n-1]+n(n+1)
にｎ＝２を入れると
　a[2]＝a[1]＋６
であり、この３行目からして誤りであることがわかります。

普通の漸化式は
　a[n+1]＝a[n]＋b[n]
の式で書かれているのを前提に
　a[n]＝a[1]＋Σb[n]
が言えるのですが、この問題は
　a[n]＝a[n-1]＋・・・
の形なので、少し変形が必要です。
No.90312 - 2025/06/02(Mon) 13:26:16
☆ Re: 漸化式 / ヨッシー
図が消えてたので、載せておきます。
No.90313 - 2025/06/02(Mon) 13:28:15
☆ Re: 漸化式 / ドンキーコング
ありがとうございます。

これも違ってるみたいなんですが、どこがいけないのですか？
No.90314 - 2025/06/02(Mon) 13:45:38
☆ Re: 漸化式 / ヨッシー
6n だけ２で割られていませんね。
原因は、項をまとめることと、約分することを同時にしたためです。
No.90315 - 2025/06/02(Mon) 14:10:06
☆ Re: 漸化式 / ドンキーコング
ありがとうございます。

初歩的なミスでした。
解決できました。

もう一つ質問ですが、漸化式でnをn+1に置き換えて解きましたが、これって大丈夫な操作なんですか？
No.90316 - 2025/06/02(Mon) 15:04:32
☆ Re: 漸化式 / ヨッシー
a[1]=2, a[n]=a[n-1]+n(n+1) n=2,3,4…
と
a[1]=2, a[n+1]=a[n]+(n+1)(n+2) n=1,2,3…
は同じものです。

ｎの範囲が違っていることに注意すると、上の疑問は解決するでしょう。
No.90317 - 2025/06/02(Mon) 17:03:16
☆ Re: 漸化式 / ドンキーコング
なるほど。そうゆうことですか。
理解できました。
ありがとうございました。
No.90318 - 2025/06/02(Mon) 21:50:16
★ (No Subject) / 中3
相似です。
解き方が分かりません。答えは、1:5です。
No.90304 - 2025/06/01(Sun) 16:53:51
☆ Re: / X
平行四辺形ABCDの面積をSとすると
条件から
(△BEDの面積)=(1/2)S×(BE/BC)
=(1/2)S×(2/3)
=(1/3)S (A)
一方、AD//BEより
△AFD∽△BEF
なので
BF:DF=BE:AD=2:3 (B)
(A)(B)から
(△DEFの面積)=(DF/BD)×(△BEDの面積)
=(3/5)×(1/3)S
=(1/5)S
よって
(△DEFの面積):S=(1/5):1
=1:5
No.90305 - 2025/06/01(Sun) 17:13:28
★ (No Subject) / 中3
十五の一の解き方が分かりません。
No.90303 - 2025/06/01(Sun) 16:35:14
☆ Re: / X
点A,Bからx軸に下ろした垂線の足を
それぞれH,Iとすると
△CBI∽△CAH
よって条件から
BI:AH=CI:CH
=4:1 (A)
一方、点A,Bは放物線y=(1/4)x^2の点
で,点Aは第1象限、点Bは第2象限の点なので
A(t,(1/4)t^2),B(-u,(1/4)u^2) (B)
(0＜t,0＜u (C))
と置くことができます。
(A)(B)から
(1/4)u^2:(1/4)t^2=4:1
これより
u^2:t^2=4:1
4t^2=u^2
(2t-u)(2t+u)=0
よって(C)より
u=2t
となるので
OI:OH=u:t=2:1 (D)

ここで、点(0,2)を点Dとすると
(台形BIOD)∽(台形ADOH)
なので(D)より
BI:OD=OI:OH=2:1
よって
BI=2OD
なので
(1/4)u^2=4
これより
u^2=16
よって(C)より
u=4
となるので
B(-4,4)

よって直線ABの傾きは
(0-4)/{0-(-4)}=-1
なので求める方程式は
y=-x+2
(もっと簡単な方法があるかもしれません。)
No.90306 - 2025/06/01(Sun) 17:39:08
☆ Re: / WIZ
Xさん、
> (0-4)/{0-(-4)}=-1

上記は点Bと点Dの座標から直線ABの傾きを計算しているのであれば、
(2-4)/{0-(-4)} = -1/2 の間違いだと思います。

以下別解 (簡単になった訳ではありません。)

(1)
直線ABはy切片が2なので y = px+2, 但し p < 0 とおけます。
放物線との交点は (1/4)x^2 = px+2 より x = 2p±√(4p^2+8) となります。

点Aのx座標をa, 点Bのx座標をb, 点Cのx座標をcとすると、
a > b より a = 2p+√(4p^2+8), b = 2p-√(4p^2+8) となります。
また、0 = pc+2 より c = -2/p です。

|CA|:|AB| = 1:3 より (c-a):(a-b) = 1:3 なので、
3(c-a) = a-b
⇒ 3(-2/p)-3(2p+√(4p^2+8)) = (2p+√(4p^2+8))-(2p-√(4p^2+8))
⇒ -6/p-6p = 5√(4p^2+8)
⇒ -6(1+p^2) = 5p√(4p^2+8)
⇒ 36(1+2p^2+p^4) = 25(p^2)(4p^2+8)
⇒ 0 = 64p^4+128p^2-36
⇒ 0 = 16p^4+32p^2-9 = (4p^2)^2+8(4p^2)-9 = (4p^2-1)(4p^2+9)

4p^2 > 0 より 4p^2 = 1, p < 0 より p = -1/2 となり
直線ABは y = (-1/2)x+2 となります。

(2)
直線ABはx切片が-3なので y = p(x+3), 但し p > 0 とおけます。
放物線との交点は 2x^2 = p(x+3) より 2x^2-px-3p = 0 となり
x = {p±√(p^2+24p)}/4 となります。

点Aのx座標をa, 点Bのx座標をbとすると、
a < b より a = {p-√(p^2+24p)}/4, b = {p+√(p^2+24p)}/4 となります。

|CA|:|AB| = 4:5 より (a-c):(b-a) = 4:5 なので、
5(a-c) = 4(b-a)
⇒ 5{p-√(p^2+24p)}/4-5(-3) = 4{p+√(p^2+24p)}/4-4{p-√(p^2+24p)}/4
⇒ 5p+15*4 = 8√(p^2+24p)+5√(p^2+24p)
⇒ 5p+60 = 13√(p^2+24p)
⇒ 25(p^2+24p+144) = 169(p^2+24p)
⇒ 0 = 144(p^2+24p)-25*144 = 144(p^2+24p-25) = 144(p-1)(p+25)

p > 0 より p = 1 となり、直線ABは y = x+3 となります。
No.90323 - 2025/06/03(Tue) 18:08:26
☆ Re: / X
＞＞WIZさんへ
ご指摘ありがとうございます。

＞＞中3さんへ
ごめんなさい。WIZさんの仰る通りです。
No.90326 - 2025/06/04(Wed) 18:07:46
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