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ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

since 2008/03/25

旧数学掲示板のログ

使用上の注意はこちらにあります

質問される方は学年（質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。


過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

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★ ベクトル NEW / 数学苦手
立方体ABCD-EFGHがある。
↑AB=↑a、↑AD=↑b、↑AE=↑cとするとき、↑BD・↑CGを計算してBD⊥CGであることを証明せよ。

↑BD=-↑a+↑b、↑CG=↑cであることはわかるのですが、これを使って証明する方法が分かりません。
よろしくお願いします。
No.89682 - 2024/12/27(Fri) 17:49:47
☆ Re: ベクトル NEW / X
条件から
|↑a|=|↑b|=|↑c| (A)
↑a・↑b=↑b・↑c=↑c・↑a=0 (B)
(A)(B)を使って
↑BD・↑CG=0
を示します。
No.89683 - 2024/12/27(Fri) 18:51:00
★ ベクトルの内積 NEW / 数学苦手
図の四角錐において、四角形BCDEは正方形、4つの三角形はすべて正三角形である。各辺の長さが2であるとき、次の内積を求めなさい。

ベクトルの→は省かせていただきます。
(1)ED・BE
(2)BA・CD
(3)EB・CA
(4)AC・AE
(5)DB・BA

始点が変わったりすると、どう考えたら良いのか分からなくなってきました。
教えていただきたいです。
No.89679 - 2024/12/27(Fri) 13:59:29
☆ Re: ベクトルの内積 NEW / X
内積を考えるベクトルの大きさ、なす角が図から
容易にわかる場合(例えば(1))は、小問ごとに
始点を変えるのも一つの考え方ですが、
そうでない限りは
始点を固定し、
内積がわかりやすいベクトルに分解
して考えるのが合理的です。

↑AB=↑b,↑AC=↑c,↑AD=↑d,↑AE=↑e
と置くと、条件から
|↑b|=|↑c|=|↑d|=|↑e|=2 (A)
↑b・↑c=↑c・↑d=↑d・↑e=↑e・↑b=2 (B)
↑b・↑d=↑c・↑e=0 (C)
(∵)条件から△ABD≡△ACE≡△BCD

後は内積を取るベクトルを↑b,↑c,↑d,↑eの式で
表し、展開をして(A)(B)(C)を代入します。

例えば
(1)
↑ED・↑BE=(↑d-↑e)・(↑e-↑b)
=-(↑e-↑d)・(↑e-↑b)
=-{|↑e|^2-(↑d+↑b)・↑e+↑d・↑b}
=-(2^2-2-2)
=0
No.89680 - 2024/12/27(Fri) 14:27:10
☆ Re: ベクトルの内積 NEW / 数学苦手
このやり方ならできそうです！
ありがとうございます！
No.89681 - 2024/12/27(Fri) 15:32:27
★ 数学探求にて / ジョーマ
開成高校に通ってる高校2年生です。
以下の写真に書かれてる式ができたんですけどこれ以上シンプルにできないか検討してます。何か案があればご協力お願いします🙇
No.89676 - 2024/12/26(Thu) 12:48:25
☆ Re: 数学探求にて / ジョーマ
これです。
No.89677 - 2024/12/26(Thu) 12:57:43
☆ Re: 数学探求にて / IT
何を表す式かを示された方が回答が付きやすいかも知れません。
No.89678 - 2024/12/26(Thu) 18:39:57
★ (No Subject) / やり直しメン
算数です
（5）です

まぐれで正解しましたが

なぜ330÷5.5で計算してはいけないのですか？
No.89672 - 2024/12/25(Wed) 08:35:22
☆ Re: / ヨッシー
この問題はどう考えますか？
１１時ちょうどの状態から、次に長針と短針が重なるのは
何分後ですか？
No.89673 - 2024/12/25(Wed) 09:22:19
☆ Re: / やり直しメン
１時間後です
No.89674 - 2024/12/25(Wed) 09:48:35
☆ Re: / ヨッシー
どう考えるか聞いているのに、答えだけ言われても．．．

これこそ　330÷5.5 ですね？
330°離れているのを、１分間に 6−0.5＝5.5 ずつ追いついていくので、こういう式になります。

一方、対称の問題の方は、長針と短針とが、合わせて 330°だけ進むので、6＋0.5＝6.5 で割ります。
No.89675 - 2024/12/25(Wed) 12:59:49
★ (No Subject) / 有栖川
有界な閉区間において連続関数は最大値、最小値を持つことは、高校数学で用いて良いですか？
No.89670 - 2024/12/24(Tue) 21:34:22
☆ Re: / IT
良いと思います。
※数３の教科書には証明なしに　そのことが書いてあります。

※現行課程１つ前の教科書でした。現行課程のは未確認です。
No.89671 - 2024/12/24(Tue) 21:52:08
★ 中学校 / ゆう
(1)が分かりません。
答えは3/2です。
No.89666 - 2024/12/24(Tue) 07:41:28
☆ Re: 中学校 / ヨッシー
△ＡＢＣは直角三角形であり、ＡＣ：ＣＢ＝３：４ であれば、
　ＡＣ：ＣＢ：ＡＢ＝３：４：５
であるので、長さはそのまま　ＡＣ＝3cm、ＣＢ＝4cm です。
ＡＣとＢＤの交点をＧとします。
ＡＤ＝ＤＣより　∠ＡＢＤ＝∠ＤＢＣ　なので、
　△ＧＣＢ、△ＤＥＢ、△ＡＤＢ
は、相似な直角三角形です。
角の二等分線の定理より、
　ＡＧ：ＧＣ＝ＡＢ：ＢＣ＝５：４
よって、
　ＡＧ＝5/3 cm、ＧＣ＝4/3 cm
三平方の定理より、△ＧＣＢ、△ＤＥＢ、△ＡＤＢ　は
　１：３：√10
の直角三角形とわかります。
△ＡＤＢにおいて
　ＤＢ＝ＡＢ×3/√10＝15/√10
△ＤＥＢにおいて、
　ＤＥ＝ＤＢ/√10＝15/10＝3/2　・・・答え
No.89667 - 2024/12/24(Tue) 10:22:39
☆ Re: 中学校 / ヨッシー
算数の範囲で解くなら、
　ＧＣ：ＣＢ＝１：３
がわかったあとに、△ＧＣＢと相似な、△ＡＥＤ、△ＤＥＢにおいて、
　ＡＥ：ＤＥ＝１：３、ＤＥ：ＢＥ＝１：３
より、
　ＡＥ：ＤＥ：ＢＥ＝１：３：９
から、
　ＡＥ＝ＡＢ×1/10＝1/2
　ＤＥ＝ＡＥ×３＝3/2
とする方法もあります。
No.89668 - 2024/12/24(Tue) 10:30:50
☆ Re: 中学校 / ゆう
ありがとうございます！
No.89669 - 2024/12/24(Tue) 19:08:14
★ 中学校数学 / あめ
カッコ6が分かりません。
よろしくお願いします。
No.89664 - 2024/12/23(Mon) 23:51:13
☆ Re: 中学校数学 / IT
ヒントです。まず点に名前を付けます。（下図）

互いに高さが等しい三角形の面積の比から底辺の比が分かります。
△ABC:△ADC= : から BC:DC= :
△FDC:△FEC= : から DC:EC= :
No.89665 - 2024/12/24(Tue) 00:31:43
★ 高校入試 / ゆうま

(4)をお願いいたします。
No.89660 - 2024/12/23(Mon) 16:16:33
☆ Re: 高校入試 / ヨッシー
図のＦＨを通る線(面)で上下に分けます。
下の部分：半径３、高さ２の円錐
上の部分：半径３、高さ３の円錐から、
　　　　　半径0.5、高さ0.5 の円錐を２つ引いたもの
と考えられます。
順に、
９π×２÷３＝６π
９π×３÷３＝９π
0.25π×0.5÷３×２＝π/12
合計：６π＋９π−π/12＝179π/12
No.89661 - 2024/12/23(Mon) 18:15:43
★ (No Subject) / やり直しメン
算数です

解説では速さの和を求めるのに
列車の長さの和÷27秒 としていました。

又、速さの差では
列車の長さの和÷67.5としていました。

私はこの速さの求め方がイメージしづらいと思い質問しました
No.89655 - 2024/12/23(Mon) 00:45:11
☆ Re: / やり直しメン
写真が掲載されていなかったらまた投稿させて頂きます
No.89656 - 2024/12/23(Mon) 00:48:11
☆ Re: / ヨッシー
列車Ａが速さａ、列車Ｂが速さｂですれ違うときの時間。
列車Ａが速さａ＋ｂで、止まっている列車Ｂの横を通過する時間。
この両者が同じことがイメージできますか？

同様に
列車Ａが速さａで、列車Ｂ（速さｂ）を追い越すときの時間。
列車Ａが速さａ−ｂで、止まっている列車Ｂの横を通過する時間。
も同じです。
No.89658 - 2024/12/23(Mon) 09:56:20
★ より早い方法は？ / 医学部志望の浪人生
5544の正の約数のうち、282より大きく564より小さいものはいくつあるか。

答えは4つなのですが、自分で解いた時に素因数分解と見比べながらやってたら、1個数え忘れて3つになってしまいました。

数え忘れしにくくて早い方法を教えてください！
よろしくお願いします！
No.89646 - 2024/12/22(Sun) 18:54:15
☆ Re: より早い方法は？ / IT
282＜ n=5544/m　＜564 のmの方を見つけたらどうですか？
10から19まで順に5544の約数かを調べる。
No.89647 - 2024/12/22(Sun) 19:15:05
★ 解説お願いします。 / 中学三年
四角形ABCDは平行四辺形である。また、△ＢEC、△D CFはそれぞれ角CBE🟰90度、角FDC🟰90度の直角二等辺三角形である。AとＥ、AとFをそれぞれ結ぶとき問に答えよ。
（1）角ABC🟰124°のとき、角FAEを求めよ。
（2）図2のようにBEをADまで伸ばしたときの交点をＧとする。角ABC🟰135°、GB：BE🟰2：5とするとき、△ABGの面積と四角形ABDFの面積の比を簡単な整数の比で表せ。
No.89642 - 2024/12/22(Sun) 10:24:04
☆ Re: 解説お願いします。 / ヨッシー
(1)
△ＡＢＥと△ＦＤＡにおいて、
　ＡＢ＝ＤＣ＝ＦＤ
　ＢＥ＝ＢＣ＝ＤＡ
　∠ＡＢＥ＝∠ＦＤＡ＝360−90−124＝146（°）
より、
　△ＡＢＥ≡△ＦＤＡ
であり、
　∠ＡＥＢ＝∠ＦＡＤ
　∠ＢＡＥ＝∠ＤＦＡ
よって、
　∠ＦＡＤ＋∠ＢＡＥ＝∠ＦＡＤ＋∠ＤＦＡ＝180−146＝34（°）
以上より
　∠ＦＡＥ＝56＋34＝90（°）
(2)
　ＧＢ＝ＡＧ＝（２）
　ＢＥ＝ＢＣ＝ＡＤ＝（５）
と置きます。また、
　∠ＡＢＣ＝135°
より
　∠ＢＡＤ＝45°
となり、△ＡＢＧは直角二等辺三角形、△ＤＣＦはそれを２つくっつけた直角二等辺三角形となり、
　ＣＦ＝（４）、ＡＤ⊥ＦＣ
となります。
　△ＡＢＧは直角を挟む２辺が（２）の直角三角形。
　△ＡＢＤは底辺（５）、高さ（２）の三角形
　△ＡＤＦも底辺（５）、高さ（２）の三角形
よって、
　△ＡＢＧ：四角形ＡＢＤＦ＝２×２：５×４＝１：５
No.89657 - 2024/12/23(Mon) 09:41:36
★ 慶応大学過去問 / Higashino
慶応大学過去問

積分

何卒よろしくお願いします

以下問題
No.89641 - 2024/12/22(Sun) 06:30:57
☆ Re: 慶応大学過去問 / ポテトフライ
誘導通りにやるのがよいでしょう。

t=x+√(x^2+1)とおくと
(t-x)^2=x^2+1
x=t/2-1/2t
よってdx=(1/2+1/2t^2)dt,√(x^2+1)=t-x=t-t/2-1/2t=t/2+1/2t
よりCを積分定数として
与式=∫(t/2+1/2t)(1/2+1/2t^2)dt
=(t^2-1/t^2)/8+1/2*log|t|+C
=(x√(x^2+1))/2+1/2*log|x+√(x^2+1)|+C


※この積分は有名なものです。置換の仕方も含めて暗記で良いと思います。

※これはy=x^2の曲線の長さを求める積分の準備になります。
例えばx=0〜1の長さなら積分区間が[0,1]などとなります。
より詳しくは曲線の長さ、積分で検索すると出てきます。
No.89653 - 2024/12/22(Sun) 21:55:34
★ 弘前大学過去問 / Higashino
弘前大学過去問

積分

何卒よろしくお願いします

以下問題
No.89640 - 2024/12/22(Sun) 06:30:16
☆ Re: 弘前大学過去問 / X
原始関数を求めずに定積分の値を計算する
典型的な問題ですね。

求める定積分の値を順にI,Jとすると
I+J=∫[0→π/2]dx=π/2 (A)
一方、Iにおいて
x=π/2-t
と置くと
I=-∫[π/2→0]{(cost)/(cost+sint)}dt
∴I=J (B)
(A)(B)より
I=J=π/4
ということで二つの定積分の値は
いずれもπ/4になります。
No.89649 - 2024/12/22(Sun) 20:49:24
★ 確率 / アヤ

問題
・52枚の１組のトランプから同時に５枚を抜き出すとき、次の確率を求めよ。

クラブ3枚と、他の絵札が2枚である確率

解答は「0.00366」となっていて、解説がありませんでした。自分なりで解きましたが「0.00366」になりませんでした。どこに問題があるのか教えていただけると助かります。


52枚の１組のトランプから同時に５枚を抜き出す事象
52C5=2598950

クラブ3枚の事象　13C3＝286
他の絵札2枚の事象　9C2=36
よって、クラブ3枚と、他の絵札が2枚の事象
286×36＝10296

10296/2598950＝0.00396
No.89632 - 2024/12/21(Sat) 13:59:11
☆ Re: 確率 / らすかる
0.00396で正しいと思います。
0.00366は書き写しミスか何かでしょう。
No.89633 - 2024/12/21(Sat) 14:41:40
☆ Re: 確率 / アヤ
らすかる様

ご返信ありがとうございます。
解き方が間違いないことで安心できました。
No.89634 - 2024/12/21(Sat) 14:54:27
★ 極 / あおい
(1)点Pのx座標が5/2のとき、四角形PQORの面積
　答え：3√14/2

(2)点Pがのx座標が4のとき、直線QRの方程式
　答え：4x+y=9


答えは分かっているのですが、解き方が分からないです。
No.89631 - 2024/12/21(Sat) 13:37:42
☆ Re: 極 / ヨッシー
点Ｐがどこにあっても
　∠ＰＱＯ＝∠ＰＲＯ＝90°
　△ＰＱＯ≡△ＰＲＯ
　ＯＱ＝ＯＲ＝３
であることは変わりません。

(1)
Ｐの座標は (5/2, 5/2) であるので、
　ＰＯ＝5√2/2
　ＰＱ＝√(ＰＯ^2−ＯＱ^2)＝√(25/2−9)＝√14/2
　△ＰＱＯ＝ＰＱ×ＱＯ÷２＝3√14/4
よって、四角形ＰＱＯＲの面積はその２倍で、
　3√14/2　・・・答え

(2)
Ｐの座標は(4, 1) より、この点から円
　ｘ^2＋ｙ^2＝９に引いた２接線の接点を結ぶ直線の式は
　４ｘ＋ｙ＝９
説明はこちらなど。
No.89659 - 2024/12/23(Mon) 10:19:37
★ 電通大過去問 / Higashino
電通大過去問

積分

何卒よろしくお願いします

以下問題
No.89629 - 2024/12/21(Sat) 10:46:34
☆ Re: 電通大過去問 / X
∫[1→√c]{f(x)/x}dx=3 (A)
f(x)=f(c/x) (B)
とします。
(A)に(B)を代入して
∫[1→√c]{f(c/x)/x}dx=3 (A)'
ここでc/x=tと置くと
x=c/t
∴dx=-(c/t^2)dt
でx:1→√cにc:c→√cが対応し
(A)'は
-∫[c→√c]{tf(t)/c}(c/t^2)dt=3
これより
∫[√c→c]{f(t)/t}dt=3
∫[√c→c]{f(x)/x}dx=3 (A)"
(A)+(A)"から
∫[1→c]{f(x)/x}dx=6
No.89638 - 2024/12/21(Sat) 20:53:25
☆ Re: 電通大過去問 / Higashino
x 先生、おはようございます

ご回答ありがとうございます

以下、私の当番です

ご指摘アドバイス等ありましたらよろしくお願いいたします
No.89639 - 2024/12/22(Sun) 03:27:54
☆ Re: 電通大過去問 / X
方針に問題はありません。
但し、添付写真の解答2行目の真ん中辺りで
dxが抜けています。
No.89648 - 2024/12/22(Sun) 20:46:15
★ 積分 / Higashino
積分

何卒よろしくお願いします

関東学院大学過去問

以下問題
No.89626 - 2024/12/21(Sat) 07:55:53
☆ Re: 積分 / X
(1)
与式の第二項において
x=f(t)
と置くと
f'(x)＞0
よりf(x)は単調増加なので
x:5→8
に
t:2→4
が対応し
(与式)=∫[2→4]f(x)dx+∫[2→4]tf'(t)dt
=∫[2→4]f(x)dx+[tf(t)][2→4]-∫[2→4]f(t)dt
=4f(4)-2f(2)
=32-10
=22

(2)
部分積分により
∫[2→4]xf'(x)dx=[xf(x)][2→4]-∫[2→4]f(x)dt
=4f(4)-2f(2)-14
=8 (∵)(1)の過程より

(3)
x=f(t)と置くと、(1)の過程と同様にして
(与式)=∫[2→4]{f'(t)/f(t)}dt=logf(4)-logf(2)
=log(8/5)
No.89627 - 2024/12/21(Sat) 08:50:19
☆ Re: 積分 / Higashino
x 先生、こんにちは

ご回答ありがとうございます

今は積分を始めて、右も左もわからない状態です

基礎に戻り、公式が正しく使えるような草案を作ってみました

ご指摘アドバイスのでいただけると幸いです

以下答案
No.89628 - 2024/12/21(Sat) 09:16:02
☆ Re: 積分 / X
問題ないと思います。
No.89637 - 2024/12/21(Sat) 20:40:22
★ 中学受験算数 / 独ソ不可侵条約
以下の図形の赤線の長さを求められないので教えてください。分数になるらしいです。
No.89622 - 2024/12/20(Fri) 21:28:53
☆ Re: 中学受験算数 / 独ソ不可侵条約
図が正確じゃなくてすみません。しかも手書きで。
No.89623 - 2024/12/20(Fri) 21:31:13
☆ Re: 中学受験算数 / IT
中学受験算数はピタゴラスの定理（三平方の定理）を使えますか？
（小学校では習わないようですが、正しく使っていればOKという説もありますが、使わなくても解ける問題が出題されるはず？）
ピタゴラスの定理（三平方の定理）を使う解法は、思いつきましたが、使わないのは思いつけません。

どこかの中学受験の過去問ですか？
No.89635 - 2024/12/21(Sat) 15:13:48
☆ Re: 中学受験算数 / IT
Cから直線ABへ下した垂線の交点をHとし
三平方の定理をでAHを求める。

DからABへ下した垂線の交点をEとする。
後は容易です。

（参考図　反転してます）
No.89636 - 2024/12/21(Sat) 18:00:09
☆ Re: 中学受験算数 / らすかる
これでどうでしょう

(1) 斜辺が4、底辺が2の3つの二等辺三角形EAB、AFE、BECを図の青線のように組み合わせる。
(2) Cを通りABと平行な直線（緑点線）とBEの交点をPとすると△CPEはCP=CE=2の
二等辺三角形となり、△CPE∽△BECだからPE=1。
四角形ABPCは平行四辺形なのでAC=BP=BE-PE=3、同様にBF=3。
（ここまでで△ABCと点Dは問題の図の通りになっています。）
(3) △GBF∽△GEAによりBG：EG=BF：EA=3：4なので、BG=(3/7)BE=12/7。
(4) △DBG∽△DCAによりBD：CD=BG：CA=12/7：3なので、
CD={3/(3+12/7)}BC=28/11。
よってx=28/11。
No.89643 - 2024/12/22(Sun) 15:02:36
☆ Re: 中学受験算数 / IT
らすかるさん
　小学算数の範囲で出来るんですね!!　
２つの図形を組み合わせるのは、いろいろ考えましたが、３つを組み合わせるのは、全く考えませんでした。
初見で時間内に解けるのは、図形の天才かも知れません。

いちおう三平方の定理を使った解答を載せておきます
y=AH,h=CHとおくと
三平方の定理から
△CAH:y^2+h^2=3^2
△CBH:(2+y)^2+h^2=4^2
2式の差からy=3/4
x:4=EH:BH=(1+y):(2+y)=7:11
∴x=28/11
No.89644 - 2024/12/22(Sun) 15:39:15
☆ Re: 中学受験算数 / IT
らすかるさんの図の一部（下記）でCQ=2-1/4=7/4 を求めてからでも出来ますね。
けっこういろいろな解法があるかも
No.89645 - 2024/12/22(Sun) 16:46:00
☆ Re: 中学受験算数 / らすかる
なるほど、その方が簡単ですね。
CA,AE,EBが向きを変えながら同じ傾きであることに注目して
BEを7延長してEA'=4、A'C'=3とするとCC'//AA'//HEであることから
BD：DC=BE：EC'=4：7のようにしても出せますね。
No.89654 - 2024/12/23(Mon) 00:33:24
☆ Re: 中学受験算数 / 独ソ不可侵条約
みなさんありがとうございます。
数学の先生が趣味で見たどっかの中学入試だそうで。
三平方は小学生は使えないです。相似とか同位角とか錯角は使うらしいです。
No.89662 - 2024/12/23(Mon) 21:13:34
☆ Re: 中学受験算数 / 独ソ不可侵条約
先生の想定してた解き方としては、
角Bを◯、角Cを△とおく→∠CAEが◯になるようにEをとって補助線AEをひく→それに平行でDを通る直線を引いて錯角とか同位角とか外角とかでゴタゴタやる→◯、△、◯◯△の三角形が大量生産されて相似を利用
みたいな感じらしいです。
No.89663 - 2024/12/23(Mon) 21:30:32
★ 設問ミス？？定期テストの変な問題です。 / 定期テスト
Xを求めてください。

与えられた情報は、図にあるものだけです。

並行などの情報も一切ありません。

手書きですみませんがよろしくお願いします。

以下問題
No.89618 - 2024/12/20(Fri) 14:18:43
☆ Re: 設問ミス？？定期テストの変な問題です。 / IT
左の三角形から　70+2a=2b∴70=2b-2a
右の三角形から　x+a=b ∴x=b-a
ここまでわかればできますよね？
No.89619 - 2024/12/20(Fri) 18:44:26
★ 積分　006 / Higashino
積分　

なにとぞよろしくお願いします

以下問題
No.89617 - 2024/12/20(Fri) 06:38:47
☆ Re: 積分　006 / ポテトフライ
返信がつかないようなので

(4)
x=tanyとおけばdx=dy/cos^2y
x:0→aのときy:0→b（ただしtanb=aをみたすb）
よって
与式=∫[0,b]dy=b=π/3
これよりa=tanb=tanπ/3=√3

(5)
x=atanyとおけばdx=(a/cos^2t)*dt
与式=∫cosy/a^2 dy=siny/a^2+C（Cは積分定数)
ここで
(x/a)^2+1=tan^2y+1=cos^2y
1-sin^2y=a^2/(x^2+a^2)
sin^2y=1-a^2/(x^2+a^2)
siny=x/√(x^2+a^2)
よって
与式=x/(a^2√(x^2+a^2))+C
No.89652 - 2024/12/22(Sun) 21:17:44
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