ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

since 2008/03/25

旧数学掲示板のログ

使用上の注意はこちらにあります

質問される方は学年（質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。

過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

★ 今年の千葉大 / 太郎

引用

(4)がわかりません。
よろしくお願いします

No.90018 - 2025/03/06(Thu) 02:02:03

☆ Re: 今年の千葉大 / IT

引用

f(a)-2f((a+b)/2)+f(b)
=-{f((a+b)/2)-f(a)}+{f(b)-f((a+b)/2)}
=-((b-a)/2)f'(α)+((b-a)/2)f'(β) 、a＜α＜(a+b)/2＜β＜bなるα、β がある(平均値の定理)

ここで、さらに平均値の定理を使えばどうですか？

No.90020 - 2025/03/06(Thu) 20:57:11

☆ Re: 今年の千葉大 / _

引用

bを変数xとみて F = 0.5*(f(x)+f(a))*(x-a) - ∫_[a,x]f(t)dt と書くことにします。

L(x) = 0.25*((x-a)^3)*f''(a) - F とする。x>aでL(x)>0になることを示したい。

L'(x), L''(x), L'''(x) を求めると
L'''(x) = f''(a) + 0.5*(f''(a)-f''(x)) - 0.5*(x-a)*f'''(x) となって
問題の仮定からこれはx>aで正と分かる(f''は減少関数であることに注意)。
L''(a)=0よりx>aでL''(x)>0。L'(a)=0よりx>aでL'(x)>0。L(a)=0よりx>aでL(x)>0が分かるので、done.

No.90021 - 2025/03/06(Thu) 21:52:03

★ 中２数学確率 / Bob

引用

同じ大きさのカードがあり
０と書いてあるカード２枚
１とかいてあるカードも２枚
２と書いてあるカードが１枚
３と書いてあるカードが１枚あります
２回連続で引き
１回目に引いたカードを十の位
２回目に書いたカードを一の位
として２けたの整数を作る
引いたカードは戻さない時

２けたの整数が３の倍数になる確率を出すのですが

?@これははじめから総数を出すときに
０が十の位になるものを外すのでしょうか

?A中２がとくとき１Ａ　１Ｂ　０Ａ　０Ｂみたいに
カードを区別して解けばいいのですか

解き方を教えてください

No.90015 - 2025/03/05(Wed) 14:42:42

☆ Re: 中２数学確率 / ヨッシー

引用

０１を２桁の数と言うには無理があるので、総数から外すのが妥当と思います。

0,0,1,1,2,3 とします。
このとき、十の位は
1,1,2,3 の４通りで、それぞれについて、一の位が
それ以外の５つの数が考えられるので、総数は 4×5＝20
このうち３の倍数は
12，12, 21，21, 30, 30
の６通りなので、求める確率は
　6/20＝3/10

No.90016 - 2025/03/05(Wed) 15:27:04

☆ Re: 中２数学確率 / WIZ

引用

横から失礼します。

ヨッシーさんの解説にも一理あるのですが、
一枚目に0を引いてしまった場合どうするのかという点が考慮されていないと思います。

問題文でも、その点に触れられていませんが、
> 引いたカードは戻さない時
> ２けたの整数が３の倍数になる確率を出すのですが
とあるので、一枚目に0を引いてしまった場合、私なら以下の2通りの解釈ができます。

(1)十の位が0であるものと見なす。
(2)「２けたの整数かつ３の倍数」という条件の「２けたの整数」を満たさないと判断し確率に含めない。

6枚から2枚連続で引く場合の数は6*5 = 30通りなので、
(1)なら、00, 03, 03, 12, 12, 21, 21, 30, 30の9通りが該当し、確率は9/30 = 3/10
(2)なら、12, 12, 21, 21, 30, 30の6通りが該当し、確率は6/30 = 1/5
・・・・・と考えることもできます。

失礼しました。

No.90017 - 2025/03/05(Wed) 21:47:41

☆ Re: 中２数学確率 / Bob

引用

やはり問題文の設定が不十分ですよね

ただし書きもなかったので
普通で考えれば02とかは２けたの数として認められないよな
と考えてはいましたが
もやもやが残る問題です

No.90019 - 2025/03/06(Thu) 14:07:52

☆ Re: 中２数学確率 / ヨッシー

引用

憶測ですが、単に、場合の数を出して確率を求めさせるなら、
　１と書いてあるカード２枚
　２とかいてあるカードも２枚
　３と書いてあるカードが１枚
　４と書いてあるカードが１枚あります
でいいと思うのです。
あえて０を入れているということは、と考えると．．．

No.90022 - 2025/03/07(Fri) 08:54:53

☆ Re: 中２数学確率 / IT

引用

出題者は、あまり深く考えていない可能性が高いと思います。

「同じ大きさのカード」とか、どうでも良いことが書いてありますけど、・・・　
Bobさんのお考えどおり　中学数学の問題としては、問題不備だと思います。

例えば、平成30年の岡山県高校入試問題では、類似の問題が出題されていますが、さすがにきちんと書いてあります。
この問題にあまり考えずに0を加えたり、枚数を変えたりして作（錯）問したのでは？
https://resemom.jp/feature/public-highschool-exam/okayama/2018/math/i_question01.html

以前、中堅？出版社の中学数学問題集の校正をやったことがありますが、中には問題として成立していないようなものもありました。

No.90024 - 2025/03/07(Fri) 19:08:08

☆ Re: 中２数学確率 NEW / Bob

引用

皆さんありがとうございます
まだ解説模範解答がもらえてないので
どれが正解かわからない状態です

No.90027 - 2025/03/08(Sat) 15:56:36

★ 無限等比級数を分けていいときの条件 / セルギー

引用

画像の問題について、｢落ちた距離｣と、｢跳ね返った距離｣の2つの無限等比級数に分けて、それぞれの和を足して答えを求めました。が、模範解答では、落ちた距離も、跳ね返った距離も合わせた1つの等比級数として答えを求めていました。無限等比級数を、2つに分けて考えて答えがあっていましたが、それが許される行為なのかわかりません。分けてはいけないなら、分けてはいけない理由、分けても良いなら、分けても良い理由を教えていただきたいです。

No.90009 - 2025/03/01(Sat) 16:19:03

☆ Re: 無限等比級数を分けていいときの条件 / セルギー

引用

画像を添付し忘れました

No.90010 - 2025/03/01(Sat) 16:20:46

☆ Re: 無限等比級数を分けていいときの条件 / らすかる

引用

一般には分けられません。
例えば
1+1/2-1
+1/3+1/4-1/2
+1/5+1/6-1/3
+1/7+1/8-1/4
+…
=log2
を
1+1/2+1/3+1/4+…
と
-1-1/2-1/3-1/4-…
に分けると両方とも収束しませんし、
1-1/2-1/3+1/3-1/6-1/7+1/5-1/10-1/11+…
と
-1+1/2-1/4-1/5+1/4-1/8-1/9+1/6-1/12-…
に分けると両方とも収束しますが、和が-log2になります。
全項が正（または負、あるいは有限項のみ正または負）で
収束するならば分けても同じ値に収束しますが、
学習進捗状況によっては証明せずにこれを使うのはまずいかも知れません。

No.90013 - 2025/03/03(Mon) 06:38:49

★ (No Subject) / やり直しメン

引用

算数です

◻︎4がどうしても分かりません

No.89997 - 2025/02/25(Tue) 00:11:20

☆ Re: / やり直しメン

引用

写真が逆さまでした。申し訳ありません。

No.89999 - 2025/02/25(Tue) 08:39:54

☆ Re: / ヨッシー

引用

答えらしきものが書かれてますが．．．

１２枚ずつ配って１枚余ったところに２０枚増やす
と
１２枚ずつ配って余りなく配ったところに２１枚増やす
のとは、結果は同じです。

２１枚を配って、２枚ずつは配れるが、３枚は配れない人数を調べれば良く、
１１人以上は２枚配れないのでダメ、７人以下は３枚以上配れるのでダメ
よって、
　８，９，１０人

No.90000 - 2025/02/25(Tue) 09:26:00

★ 極限 / Higashino

引用

おはようございます

よろしくお願いします

∞/0

極限を教えてください

No.89985 - 2025/02/23(Sun) 04:59:08

☆ Re: 極限 / Higashino

引用

数列 b(n)/n^2 の極限はどうなりますか
教えてください
何卒よろしくお願いします

No.89988 - 2025/02/23(Sun) 05:25:18

☆ Re: 極限 / X

引用

lim[n→∞]b[n]=∞
ということであれば
lim[n→∞]b[n]/n^2
は不定形です。

No.89991 - 2025/02/23(Sun) 11:54:05

☆ Re: 極限 / らすかる

引用

例えば
b(n)=nであれば lim[n→∞]b(n)/n^2=0
b(n)=cn^2であれば lim[n→∞]b(n)/n^2=c
b(n)=n^3であれば lim[n→∞]b(n)/n^2=∞
のようになりますが、これらはいずれも「○/∞」の形であり
「∞/0」とは関係ありません。

No.89992 - 2025/02/23(Sun) 17:34:24

☆ Re: 極限 / Higashino

引用

ラスカル先生お久しぶりです
よろしくお願いします
頂いた回答でよくわからない点がありましたので
詳しく教えてもらえると幸いです

>b(n)=cn^2であれば lim[n→∞]b(n)/n^2=c

この極限の出し方がわかりません

また

b(n)=n^2であれば極限はどうなるでしょうか

何卒よろしくお願いします

No.89993 - 2025/02/23(Sun) 21:01:46

☆ Re: 極限 / らすかる

引用

b(n)=cn^2ならば
lim[n→∞]b(n)/n^2
=lim[n→∞]cn^2/n^2
=lim[n→∞]c
=c
b(n)=n^2の場合は上記でc=1の場合ですから、極限は1です。

No.89994 - 2025/02/23(Sun) 22:25:36

☆ Re: 極限 / Higashino

引用

ラスカル先生ありがとうございました

今後とも何卒よろしくお願いします

No.89995 - 2025/02/23(Sun) 22:38:03

★ 極限 / Higashino

引用

山口大学過去問

何卒よろしくお願いします

以下問題

No.89980 - 2025/02/21(Fri) 20:03:08

☆ Re: 極限 / Higashino

引用

訂正
添付ミスです
こちらが質問になります

No.89981 - 2025/02/21(Fri) 20:05:15

☆ Re: 極限 / X

引用

(1)
例えば
(a[n],b[n])=(n^2,n)

(2)
条件から
lim[n→∞](a[n]-b[n])=α (A)
∴lim[n→∞]a[n](1-b[n]/a[n])=α (A)'
ここで
lim[n→∞]a[n]=∞
なので
lim[n→∞](1-b[n]/a[n])≠0
を仮定すると、(A)'に矛盾。
∴lim[n→∞](1-b[n]/a[n])=0
となるので
lim[n→∞](b[n]/a[n])=1 (B)
∴lim[n→∞]{{(b[n])^2}/a[n]-{(a[n])^2}/b[n]}
=lim[n→∞]{{(b[n])^3-(a[n])^3}/(a[n]b[n])}
=lim[n→∞]{(b[n]-a[n]){(b[n])^2+b[n]a[n]+a[n]^2}/(a[n]b[n])}
=lim[n→∞]-(a[n]-b[n])(b[n]/a[n]+1+a[n]/b[n])
=-3α (∵)(A)(B)より

No.89982 - 2025/02/22(Sat) 11:46:54

☆ Re: 極限 / IT

引用

Xさん
>lim[n→∞](1-b[n]/a[n])≠0を仮定すると(A)'に矛盾。
これでは説明不足で、この行を書かないのとほとんど変わらない気がします。

No.89983 - 2025/02/22(Sat) 15:03:54

☆ Re: 極限 / IT

引用

{a[n]}は正の無限大に発散するので、nが十分大きいときa[n]＞0

lim[n→∞]{(a[n]-b[n])(1/a[n]}
=lim[n→∞](a[n]-b[n])lim[n→∞](1/a[n])
=α・0 =0

一方
lim[n→∞]{(a[n]-b[n])(1/a[n]}
＝lim[n→∞]{1-(b[n]/a[n])}　この式から始めると記述が短くなりますが、少し天下り的かも
＝0
∴lim[n→∞]b[n]/a[n]＝1

No.89984 - 2025/02/22(Sat) 15:15:42

☆ Re: 極限 / Higashino

引用

ご回答ありがとうございます
返信が遅れましたことを
申し訳ございません
以下が私の考え方です
ご指摘アドバイスなど
何卒よろしくお願いいたします

No.89986 - 2025/02/23(Sun) 05:01:29

★ 極限 / たくや

引用

y=xlogxは、x→+0 のとき y→-0 となるそうですが、
大学の数学では、ロピタルの定理で簡単だそうですが、
高校数学の範囲で証明できないんですか？
もし、高校数学の範囲で証明出来る方は、どうやるのかお願いします。

No.89973 - 2025/02/19(Wed) 01:16:12

☆ Re: 極限 / らすかる

引用

x＞0に対して
f(x)=(√x)logx+1とおくと
f'(x)=(logx+2)/(2√x)なので
f(x)は0＜x＜e^(-2)で減少、e^(-2)＜xで増加
よってf(x)はx=e^(-2)のときに最小値をとる
f(e^(-2))=1-2/e＞0なので
x＞0全体でf(x)＞0
従って
(√x)logx+1＞0
(√x)logx＞-1
logx＞-1/√x
これにより
lim[x→+0]x(-1/√x)≦lim[x→+0]xlogx≦0
となるが
lim[x→+0]x(-1/√x)=lim[x→+0](-√x)=0なので
lim[x→+0]xlogx=0

No.89974 - 2025/02/19(Wed) 02:00:53

☆ Re: 極限 / IT

引用

（別解）概要
t=-logx とおくと、x→+0 のとき　t→∞
x=e^(-t)なので、y=-te^(-t)
t→∞のとき-te^(-t)→-0 ここは要証明
（2＜e を使う. 1＜e で良いが2の方が簡単)
でどうでしょうか？

No.89975 - 2025/02/19(Wed) 20:26:17

☆ Re: 極限 / タクヤ

引用

ラスカルさん、ITさん、回答有難う御座います。証明できることは分かりました。^_^

No.89976 - 2025/02/20(Thu) 16:53:28

★ (No Subject) / やり直しメン

引用

算数です

（2）です

日本語が理解できてないです。

6秒早く進むだから
3594秒ではないのでしょうか

No.89967 - 2025/02/17(Mon) 23:55:07

☆ Re: / ヨッシー

引用

そのように、秒で考えるならば、
正しい時計が 3600秒進む間に、この時計は 3606秒進みます。
　7200秒で、7212秒
　10800秒で、10818秒
　12000秒で、12020秒　ここで、正しい時刻より20秒進んでいます。
　正しい時刻は、６時よりも 12000秒前の、２時４０分です。

普通は、
１時間で６秒早くなるので、２０秒早くなるのは
　１時間×20/6＝60分×20/6＝200分＝３時間２０分
６時の３時間２０分前には正しかったので、その時刻は２時４０分
と比で求めます。
（上の 12000秒もそれで求めました）

No.89968 - 2025/02/18(Tue) 01:30:10

☆ Re: / やり直しメン

引用

なぜ6秒早く進む時計が3606秒なのでしょうか。これですと私は6秒遅いと思ってしまいます。

6秒速いから3594秒ではないのでしょうか。

No.89970 - 2025/02/18(Tue) 11:29:19

☆ Re: / ヨッシー

引用

便宜上、標準の時計を正しい時計、６秒進む時計を誤った時計と呼ぶことにします。

問題は、「１時間に６秒早く進む」の「１時間」は何かということです。
誤った時計の長針が１周する時間は、あくまでも１周するだけであって、「１時間」とは言わないでしょう。
だとすると、「１時間に６秒早い」は、
誤った時計の長針が１周したときに、正しい時計は、3594秒の位置にある
ではなく、
正しい時計の長針が１周（つまり１時間）したときに、誤った時計は、3606秒の位置にある
と考えるのが自然でしょう。

No.89971 - 2025/02/18(Tue) 13:25:18

★ 中学1年生 / はる

引用

定期試験の問題です。模範回答は200人でした。計算方法を教えて下さい。よろしくお願いします。

No.89961 - 2025/02/17(Mon) 17:31:34

☆ Re: 中学1年生 / X

引用

去年の男子の人数をx人とすると、今年増えた人数について
10x/100-5(380-x)/100=11
これをxについての方程式として解きます。
(まず、両辺に100をかけて、計算しやすくしましょう。)

No.89962 - 2025/02/17(Mon) 17:51:46

☆ Re: 中学1年生 / ヨッシー

引用

こちらは連立一次方程式で考えてみます。（試験範囲かどうかは気にしない）

去年の男子の人数をｘ人、女子の人数をｙ人とします。
　ｘ＋ｙ＝３８０　　・・・(1)
今年の人数は、男女それぞれ 1.1ｘ、0.95ｙなので、
　1.1ｘ＋0.95ｙ＝３９１　・・・(2)

（以下略）

No.89963 - 2025/02/17(Mon) 17:54:25

☆ Re: 中学1年生 / はる

引用

二つの解き方を教えて頂き、ありがとうございました！！

No.89972 - 2025/02/18(Tue) 15:24:41

★ 04京大　極限 / トニー

引用

解いてみたのですが評価がこのくらいでいいのか自分でわからないので教えていただきたいです。よろしくお願いします。

No.89959 - 2025/02/16(Sun) 20:52:08

☆ Re: 04京大　極限 / IT

引用

画像が不鮮明なので確実ではないですが、合っているようです。
文脈から分かりますが「正方形」が何を意味するかが、曖昧だと思います。
本番では、限られた時間で複数の問題を解く必要があるので、仕方ないですが、問題練習では、できるだけ簡潔かつ正確な答案を作られた方が良いと思います。

No.89960 - 2025/02/17(Mon) 12:51:16

☆ Re: 04京大　極限 / IT

引用

> 評価がこのくらいでいいのか
はさみうちの両側の極限値が一致してπという極限値が求められているのですから、それで良いと思います。

最後に（１/n^2を掛けたところで）
n→∞で　　→0となる　オーダーの違いは、どうでも大丈夫だと思います。

No.89964 - 2025/02/17(Mon) 19:58:44

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