x、y、zを整数とする。
(1)x+y+z=10,x>0、y>0、z>0を満たす整数の組(x,y,z)は全部で何個あるか
(2)x+y+z=10,x≧0,y≧0，z≧0を満たす整数(x，y，z)は全部で何個あるか
(3)x+y+z=10，0≦x≦y≦zを満たす整数の組(x,y,z)は全部で何個あるか
(4)x+y+z=10，x≧0，y≧0，z≧0を満たす整数(x,y,x)のうちx≧yまたはy≦zであるものは全部で何個あるか
解答解説よろしくお願いします
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No.90600 - 2025/12/08(Mon) 10:11:18
| ☆ Re: / ヨッシー  | | | (1)
◯◯◯◯◯◯◯◯◯◯ のように、10個の◯が並んでおり、
９つある隙間に、重複なく２つの仕切りを立て、仕切りに区切られた
３つの部分の○の数を左からｘ，ｙ，ｚとします。
◯◯｜◯◯◯｜◯◯◯◯◯ だと、ｘ＝２，ｙ＝３，ｚ＝５ です。
このような仕切りの立て方は、９つのものから２つ選ぶ組み合わせなので、
9Ｃ2＝36 ・・・答え
(2)
◯◯◯◯◯◯◯◯◯◯ の、両端と○と○の間の１１か所の部分に、重複を許して仕切りを立てます。
◯◯｜｜◯◯◯◯◯◯◯◯ はｘ＝２，ｙ＝０，ｚ＝８
｜◯◯◯◯◯｜◯◯◯◯◯ はｘ＝０，ｙ＝５，ｚ＝５ です。
重複しない場合は、 11Ｃ2＝ 55
重複する場合は 11 なので、合わせて 66個
(3)
(2) の66個の組のうち、ｘ＝ｙ＝ｚ であるものはなく、
ｘ＝ｙ であるもの、ｙ＝ｚ であるもの、ｚ＝ｘ であるものがそれぞれ
６個ずつ、計18個あり、残りの 66−18＝48（個）は、ｘ，ｙ，ｚ いずれも異なるものです。
2つの数が同じ18個の組の中には、並べ方を変えるとおなじになるものが３個ずつあり、
0≦x≦y≦z を満たすものは、１つに絞られます。 よって、これらから得られる組は 18÷3＝6
３数がすべて異なる48個の組の中には、並べ方を変えると同じになるものが６個ずつあり、
0≦x≦y≦z を満たすものは、48÷6＝8
合わせて 6＋8＝14（個）となります。
(4)
(2) の66個の組のうち、ｘ＜ｙ かつ ｙ＞ｚであるものの数を出して、66から引きます。
2つの数が同じ18個の組で、同じ数が０，１，２，３ の場合は、１つずつ該当するものがあり、
同じ数が４，５の場合は、該当するものはありません。
※該当するものは(0,10,0),(1,8,1),(2,6,2),(3,4,3)
３数がすべて異なる48個の組の中には、並べ方を変えると同じになるものが６個ずつあり、
そのうち２個がｙが一番大きいので、該当するものは 8×2＝16（個）
よって、ｘ＜ｙ かつ ｙ＞ｚであるものは、4＋16＝20（個）であり、
求める個数は 66−20＝46（個）
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No.90601 - 2025/12/08(Mon) 14:06:59 |
| ☆ Re: / ヨッシー | | | (2) の 66個が正しいなら、そこから、
(0,6,4),(0,7,3),(0,8,2),(0,9,1),(0,10,0),
(1,5,4),(1,6,3),(1,7,2),(1,8,1),(1,9,0),
(2,5,3),(2,6,2),(2,7,1),(2,8,0),(3,4,3),
(3,5,2),(3,6,1),(3,7,0),(4,5,1),(4,6,0)
の20個を引くので、46 で良いはずです。
58 となった経緯はわかりますか？
また、(2) 66個 は合っていますか？
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No.90603 - 2025/12/08(Mon) 18:01:50 |
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