ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

since 2008/03/25

旧数学掲示板のログ

使用上の注意はこちらにあります

質問される方は学年（質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。

過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

★ (No Subject) NEW / やり直しメン

引用

算数です

2番です
分かりませんでした

よろしくお願いします

No.90210 - 2025/05/01(Thu) 17:57:12

☆ Re: NEW / ヨッシー

引用

(1)
はじめに並んでいた人数をｘ人とすると、
　ｘ＋30×12 人を４つの入場口で１２分で処理します。
　ｘ＋30×６人を６つの入場口で６分で処理します。
人数の差は　30×(12－6)＝180（人）
仕事量（入場口×時間）の差は　4×12－6×6＝12（分）
１分で処理するのは　180÷12＝15 （人）

(2)
４つの入場口で 12分処理すると 4×12×15＝720（人）処理します。
そのうち、30×12＝360（人）は、あとから並んだ人なので、
最初に並んでいたのは　720－360＝360（人）

(3)
最初の360人と、３分間に増える 3×30＝90(人) を合わせた 450 人を
１分15人を処理できる入場口で３分で処理するには
　450÷(15×3)＝10(箇所)

No.90211 - 2025/05/01(Thu) 18:30:34

★ 微分 / Higashino

引用

何卒よろしくお願いします
以下問題

No.90202 - 2025/04/30(Wed) 03:49:25

☆ Re: 微分 / X

引用

a^3+b^3=2 (A)
とします。

(1)
(A)の両辺をaで微分すると
3a^2+(3b^2)b'=0
∴b'=-(a/b)^2(＜0) (B)
更にaで微分すると
b"=-(2ab^2-(a^2)・2bb')/b^4
=-(2ab^2+(a^4)・2/b)/b^4＜0

よって、横軸にa,縦軸にbを取った
(A)のグラフ(但し、a＞0,b＞0 (P))の形状は
点(2^(1/3),0),(0,2^(1/3))
を両端とする、単位円の第１象限での形状
(但し両端の点は含まず)
となります。
但し
lim[a→+0]b'=0
lim[a→2^(1/3)-0]b'=∞
に注意します。

よって
a+b=k (C)
と置いて、上記の(A)のグラフに
直線(C)を書き込んで、共有点が
存在するkの値の範囲を求めると
2^(1/3)＜k≦K
(Kは(A)に接するときのkの値)
ここで(B)(C)よりKについて
a+b=K (D)
-(a/b)^2=-1 (E)
(A)(D)(E)(P)をa,b,Kについての
連立方程式として解くと
(a,b,K)=(1,1,2)
∴2^(1/3)＜a+b≦2

(2)
(P)から
a=rcosθ (F)
b=rsinθ (G)
(r＞0、0＜θ＜π/2 (H))
と置くことができ、
a^2+b^2=r^2 (I)

(F)(G)を(A)に代入すると
r^3=2/{(cosθ)^3+(sinθ)^3} (A)'
ここで
f(θ)=(cosθ)^3+(sinθ)^3
と置くと
f'(θ)={3(cosθ)^2}sinθ+{3(sinθ)^2}cosθ
=(3√2)sin(θ-π/4)sinθcosθ
∴(I)におけるf(θ)の増減表により
1/√2≦f(θ)＜1
∴(A)'より
2＜r^3≦2√2
∴2^(2/3)＜r^2≦2
なので(I)より
2^(2/3)＜a^2+b^2≦2
∴a^2+b^2の最大値は2
(このときθ=π/4ゆえa=b=1)

No.90203 - 2025/04/30(Wed) 19:09:42

☆ Re: 微分 / Higashino

引用

ご回答ありがとうございました
私は次のように考えました
ご指導のほどよろしくお願いいたします

No.90204 - 2025/04/30(Wed) 21:11:32

☆ Re: 微分 / X

引用

ごめんなさい。
No.90203で(2)の最終的な解答が抜けていましたので
追加しました。再度ご覧ください。

＞＞No.90204について
(1)
〇2は
β=(α^3-2)/(3α)
の誤植ですか？
であれば、最低でも微分して増減表を書く必要
があります。
(過程を端折りすぎです。結果は問題ありませんが。)

(2)
(1)の結果において、等号成立条件が書かれているのであれば、
問題ありません。

No.90205 - 2025/05/01(Thu) 02:29:34

☆ Re: 微分 / Higashino

引用

先生
これからも何卒よろしくお願いします
今回もご指摘いただき
心から感謝いたします

No.90206 - 2025/05/01(Thu) 04:10:14

☆ Re: 微分 / X

引用

＞＞Higashinoさんへ
No.90205について訂正を(ごめんなさい)。
(1)ですが、
微分と増減表は不要ですね。

〇2が誤植であったとしても
〇2,〇3とβ＞0を連立して解けば、
解答は得られます。

No.90207 - 2025/05/01(Thu) 04:23:39

★ 募集 / LLL

引用

新高一向けの数学の良問を探してます。分野は、数と式、二次関数でお願いします。偏差値71の公立高校で、結構できる子が多いので、叶うなら難しい∪面白い解法のある問題をお願いします。

No.90201 - 2025/04/29(Tue) 23:38:28

☆ Re: 募集 NEW / 検索して見つけただけの人

引用

a,b,cは相異なる実数で
((a-b)/(b-c))^2+((b-c)/(c-a))^2+((c-a)/(a-b))^2=5
をみたしている
(a-b)/(b-c)+(b-c)/(c-a)+(c-a)/(a-b)
の値を求めよ

No.90208 - 2025/05/01(Thu) 09:51:12

☆ Re: 募集 NEW / WIZ

引用

べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。

u = (a-b)/(b-c), v = (b-c)/(c-a), w = (c-a)/(a-b)とおくと、
uvw = 1, u^2+v^2+w^2 = 5です。
x = u+v+wとおきます。

u+1 = {(a-b)+(b-c)}/(b-c) = (a-c)/(b-c) = -1/v
v+1 = {(b-c)+(c-a)}/(c-a) = (b-a)/(c-a) = -1/w
w+1 = {(c-a)+(a-b)}/(a-b) = (c-b)/(a-b) = -1/u
⇒ (u+1)(v+1)(w+1) = (-1/v)(-1/w)(-1/u)
⇒ uvw+uv+vw+wu+u+v+w+1 = -1/(uvw)
⇒ uv+vw+wu = -x-3

よって、
5 = (u+v+w)^2-2(uv+vw+wu) = x^2-2(-x-3)
⇒ x^2+2x+1 = (x+1)^2 = 0
⇒ x = -1

# もっと面白い解き方があるのかな?

No.90209 - 2025/05/01(Thu) 16:05:31

☆ Re: 募集 NEW / 検索して見つけただけの人

引用

a,b,cは0ではない実数で
x=a/b - b/a
y=b/c - c/b
z=c/a - a/c
も0ではないとする
(x^4+y^4+z^4-x^2y^2z^2)/(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)
の値を求めよ

No.90212 - 2025/05/01(Thu) 20:29:57

★ (No Subject) / やり直しメン

引用

算数です1番です

なぜ丸3×丸4＝丸12＝300㎤
でとけないのですか？

No.90198 - 2025/04/26(Sat) 07:03:43

☆ Re: / X

引用

これは〇1を計算上で、できるだけ使わないように
しているので、却って分かりにくくしているようですね。

中学数学流に説明すると以下のようになります。
条件から
a=3×k (A)
b=4×k (B)
(k＞0)
と置くことができます。
(kが添付写真の〇1に当たります。)

このとき、Aの底面積は
a×b=3k×4k=12×k×k
この12×k×k(12ではありません)
が添付写真の□12に当たります。
(添付写真をよく見ましょう。〇12ではなくて
□12になっていますよね。
この□は単に底面積の対象が長方形だから
この形にしたのではなくて
〇3と〇4をかけられたことにより、
値の性質が変わっていますよ、ということです。)

つまり、添付写真流に書くと、
(〇3×〇1)×(〇4×〇1)=〇12×〇1×〇1
=□12
ということです。

よって断面積について
12×k×k=300
これより
k×k=25
k=5
(A)にこれを代入して
a=15[cm]
となります。

No.90199 - 2025/04/26(Sat) 12:34:09

★ (No Subject) / やり直しメン

引用

算数です

5番です

問題文に形も大きさも同じとあるので合同なのでＢは240㎤ではないのですか。

答えは144㎤でした。

No.90196 - 2025/04/25(Fri) 22:21:52

☆ Re: / やり直しメン

引用

後なぜこの問題は比例式で解けるのですか。

No.90197 - 2025/04/25(Fri) 23:12:27

☆ Re: / ヨッシー

引用

同じ紙でも、折り方が違うと体積も違う
このことが想像できるかが、安易に「同じ」と答えてしまわないポイントです。
数学力は読解力と想像力です。

さて、単純に３cm と５cm の紙としましょう。
左の折り方では
　底面が１辺 5/4cm の正方形、高さ3cm
なので、体積は
　5/4×5/4×3＝75/16 (cm^3)

右の折り方では
　底面が１辺 3/4cm の正方形、高さ5cm
なので、体積は
　3/4×3/4×5＝45/16 (cm^3)

辺の長さを勝手に決めたので、Ａの方は 240 cm^3 にはなりませんが、
ＡとＢの体積の比が　75/16：45/16＝５：３になることは変わりありません。

6cm×10cm の紙だと 75/2cm^3 と 45/2cm^3
12cm×20cm の紙だと 300cm^3 と 180cm^3
のようにです。

５：３の、５が２４０に当たるので、３は１４４に当たります。

No.90200 - 2025/04/28(Mon) 11:20:42

★ (No Subject) / やり直しメン

引用

算数です

10番（1）です

三角形EDA 3＋三角形BED2 ＋三角形FCE4
三角形ABC1 合計で10なので
10÷1=10倍ではないのですか？

No.90186 - 2025/04/24(Thu) 00:10:16

☆ Re: / やり直しメン

引用

訂正します
三角形FDA＝3です

また解説書では三角形FDA=（2+1）×3＝9とありました。
なぜこうなるのですか。

No.90187 - 2025/04/24(Thu) 00:29:18

☆ Re: / ヨッシー

引用

まず、三角形ＡＢＦが三角形ＡＢＣの何倍かはわかりますか？

No.90189 - 2025/04/24(Thu) 10:09:47

☆ Re: / やり直しメン

引用

3倍です

No.90191 - 2025/04/24(Thu) 14:25:14

☆ Re: / ヨッシー

引用

では、三角形ＦＤＡは三角形ＡＢＣの何倍ですか？

No.90192 - 2025/04/24(Thu) 14:27:55

☆ Re: / やり直しメン

引用

9倍です
三角形ABFの面積比3ですが
DB:BA＝2:1なので三角形ABFの面積比は1となりますが大きさが違うので最小公倍数してそろえてあげます。
なので三角形FDAは9です

No.90193 - 2025/04/24(Thu) 14:52:06

☆ Re: / ヨッシー

引用

では、上に書かれた
>訂正します
>三角形FDA＝3です
は、誤りですね？
他の部分についても同様に考えれば、答えが出ると思います。

No.90194 - 2025/04/24(Thu) 15:19:15

★ (No Subject) / やり直しメン

引用

6番です
質問は２つあります。
三角形APQの面積比は4/5
ですがこれは1ではダメですか？
三角形ABQで底辺の比が1:1だからです

後は三角形PBQは4/5ですがなぜこれが三角形APQと同じ面積比になるのですが
底辺が同じで高さが同じ場合にだけ底辺の比が面積比になりますので。

よろしくお願いします

No.90185 - 2025/04/23(Wed) 22:16:36

☆ Re: / ヨッシー

引用

三角形APQの面積比ではなく、三角形OAB（などの正三角形）の面積を１としたときの
面積ですね。
>ですがこれは1ではダメですか？
>三角形ABQで底辺の比が1:1だからです
三角形ABQの面積が２であれば、三角形APQは１になりますが、
三角形ABQの面積は２ですか？

>三角形APQと同じ面積比になるのですが
は
三角形APQと同じ面積比になるのですか
の誤植だとして、すぐ上で、
>三角形ABQで底辺の比が1:1だからです
とそれらしいことを書いておられますが、まさにそれが理由です。

また、
>底辺が同じで高さが同じ場合にだけ底辺の比が面積比になりますので。
は、誤りではありませんが、正確には
高さが同じ場合にだけ底辺の比が面積比になります
です。

No.90188 - 2025/04/24(Thu) 09:08:43

★ 微分 / Higashino

引用

何卒よろしくお願いします
以下問題

No.90179 - 2025/04/22(Tue) 06:08:54

☆ Re: 微分 / X

引用

条件から
f'(x)=1-asinx
∴f'(x)=0のとき
sinx=1/a (A)
ここで
a＞1
0＜x＜2π (B)
より、(A)の解は
x=α,π-α(但し、0＜α＜π/2)
と置くことができます。

さて、このとき(B)における
f(x)の増減表を考えると、f(x)は
x=αで極大、x=π-αで極小
となるので、条件から
f(π-α)=π-α-acosα=0
∴α+acosα=π (C)
(C)より、求める極大値は
f(α)=α+acosα=π
となります。

No.90182 - 2025/04/22(Tue) 19:48:41

☆ Re: 微分 / Higashino

引用

先生
こんばんは
ご回答ありがとうございました
スマートな回答です
ありがとうございます
以下私の答案にあります
ご指導のほどよろしくお願いいたします

No.90183 - 2025/04/23(Wed) 02:14:37

★ 微分 / Higashino

引用

何卒よろしくお願いします

以下問題

No.90177 - 2025/04/21(Mon) 16:09:31

☆ Re: 微分 / X

引用

条件から
f'(x)=-1/x^2+ae^(-ax)
∴f'(x)=0のとき
{e^(ax)}/x^2=a (A)
ここでa≦0のとき、(A)を満たす実数xは存在しないことから
a＞0 (B)
そこで
g(x)={e^(ax)}/x^2
と置き、(B)に注意して
直線
y=a (C)
が
y=g(x) (D)
のグラフと、(C)の上下に(D)のグラフが
存在するような交点を持つ条件を考えます。

(D)より
g'(x)={(ax^2)e^(ax)-2xe^(ax)}/x^4
={(ax-2)e^(ax)}/x^3
∴g(x)は極小値
g(2/a)=(1/4)(ae)^2
を取り、更に
lim[x→+0]g(x)=∞
∴求める条件は
(1/4)(ae)^2＜a
これを解いて、求めるaの値の範囲は
0＜a＜4/e^2
となります。

No.90181 - 2025/04/22(Tue) 19:28:50

☆ Re: 微分 / Higashino

引用

先生
こんばんは
ご回答いただきありがとうございました

今私の答案です
何卒よろしくお願いいたします

https://imgur.com/a/HEHSu5K

No.90184 - 2025/04/23(Wed) 02:21:13

★ 平面の方程式について / ブレジョン1

引用

写真の赤線部についてですが、
確かに図11.19のようにd=n|OH|と表されるのはわかるのですが、OHの長さはP0の取り方で変わる、つまり同時にdの値もP0によって変わると思うのですが、なぜdはP0に依らない定数であるということが言えるのでしょうか？

No.90173 - 2025/04/21(Mon) 12:11:09

☆ Re: 平面の方程式について / _

引用

ここで扱っている平面をαとします。
また,原点を通りベクトルｎを方向ベクトルとする直線をLとします。

図11.19で, Hは『平面α と直線L の交点』になります。
(これは『原点Oから平面αに下した垂線の足』と言い換えてもよい。)
つまり,平面αが与えられればその時点で点Hは自動的に定まり,よってそれは
P_0の取り方に依りません。

なお蛇足かもしれませんが…
コピーの本では

　(P_0から)原点を通り法線ベクトルの方向の直線(つまり直線L)に下した垂線の足をH

と書いています。
このHを作図するには,

　P_0を通りベクトルｎに垂直な平面と直線L の交点

をとればよいわけですが,
この「P_0を通りベクトルｎに垂直な平面」とは,平面αそのものです(そもそもP_0は平面α上の点でした)。
なのでHは平面αと直線Lの交点になるわけです。

No.90174 - 2025/04/21(Mon) 15:41:46

☆ Re: 平面の方程式について / ヨッシー

引用

例えば、点Ｐ0(1,2,3) を通り、ベクトル(2,3,4) に垂直な平面を考えます。
この平面上の任意の点(x,y,z) に置いて、
　2(x-1)＋3(y-2)＋4(z-3)＝0
が成り立ち、
　2x＋3y＋4z＝20
となり、ｄ＝２０です。
一方、別の点 (6,4,-1) も、この平面を通るので、
　2(x-6)＋3(y-4)＋4(z+1)＝0
であり、展開すると、やはり
　2x＋3y＋4z＝20
となり、ｄは変わりません。
点Ｐ0 として選ばれる点は、
　2x＋3y＋4z＝20
を満たすので、どう変形しても 2x＋3y＋4z＝20 に戻ってきます。

とりあえず、
>dの値もP0によって変わる
は、そんなことないよ、ということを示してみました。

なお、Ｈは原点から平面におろした垂線の足なので、
>OHの長さはP0の取り方で変わる
これも違います。Ｐ0 が動いても、Ｈはじっとしています。

No.90175 - 2025/04/21(Mon) 15:49:43

★ (No Subject) / やり直しメン

引用

算数です

5番についてです

No.90166 - 2025/04/19(Sat) 22:37:35

☆ Re: / やり直しメン

引用

分かりませんでした

No.90167 - 2025/04/19(Sat) 22:38:02

☆ Re: / X

引用

辺AFと辺DEとの交点をI
辺AFと辺BGとの交点をJ
とします。
今、△AEIを点Eを固定して回転させ、
点Aが点Bに重なるようにします。

このときIの元の位置の点を
改めてI'とすると

四角形IBJI'は斜線部分と合同な正方形

になることはよろしいですか？。
(よろしくないのであれば、その旨のレスを下さい。)

上記の三角形を回転させる操作は点Bに対応していますが
同様の操作を点C,D,Aに対して行うと
結局、正方形ABCDは、

斜線部分と合同な正方形5個に分割できる

ことがわかります。
よって求める面積は
10[cm]×10[cm]÷5=20[cm^2]
となります。

No.90169 - 2025/04/20(Sun) 07:32:27

☆ Re: / やり直しメン

引用

ありがとうございます

なんとか理解しようと図を書きました。

でもよく分かりませんでした

No.90170 - 2025/04/20(Sun) 11:00:43

☆ Re: / やり直しメン

引用

大丈夫でした

No.90171 - 2025/04/20(Sun) 11:49:01

☆ Re: / やり直しメン

引用

これ比とか使うのではなくて移動して気づきさえすれば解けたのですね。

No.90172 - 2025/04/20(Sun) 11:53:54

★ 微分 / Higashino

引用

何卒よろしくお願いします
以下問題

No.90163 - 2025/04/19(Sat) 18:51:15

☆ Re: 微分 / X

引用

(1)
条件のとき
f'(x)=cosx+1/(cosx)^2-9/2
f"(x)=-sinx+2(sinx)/(cosx)^3
=-sinx{1-2/(cosx)^3}
=-sinx{(cosx)^3-2}/(cosx)^3
ここで
0＜x＜π/2 (A)
∴f"(x)＞0
更に
f(0)=-5/2＜0
lim[x→π/2-0]f(x)=∞
∴中間値の定理により(A)において
f(x)は極小値をただ一つ持ちます。
ここでf'(x)=0のとき
cosx+1/(cosx)^2-9/2=0
2(cosx)^3-9(cosx)^2+2=0
(2cosx-1){(cosx)^2-4cosx-2}=0
(2cosx-1)(cosx-2+√6)(cosx-2-√6)=0
(A)より＜cosx＜1ゆえcosx=1/2
∴x=π/3
∴f(x)は
x=π/3のときに極小値(3/2)√3-3π/2
を取ります。

(2)
条件のとき
g'(x)=cosx+1/(cosx)^2-α
g"(x)=-sinx{(cosx)^3-2}/(cosx)^3＞0
ここでαの値によらず
lim[x→π/2-0]g'(x)=∞
∴題意を満たすためには
g'(0)=2-α＜0
∴2＜α

No.90164 - 2025/04/19(Sat) 19:30:04

☆ Re: 微分 / Higashino

引用

ご回答ありがとうございました
以下私の答案になります
何卒よろしくお願いします

No.90176 - 2025/04/21(Mon) 16:06:50

★ 高2数学 / りか

引用

車の排ガスには８億２０００万種類の有害物質が含まれておる。
車に乗らない人が他人の車の排ガスで健康被害を受けることを
受動排ガスと呼ぶ。

問
80000^2000を133で割った時の余りを求めよ。

教えてください。

No.90157 - 2025/04/18(Fri) 23:12:54

☆ Re: 高2数学 / らすかる

引用

もしフェルマーの小定理を使ってよければ
133=7×19
フェルマーの小定理により
80000^6を7で割った余りは1なので
80000^1998=80000^(6×333)を7で割った余りは1
また
80000^18を19で割った余りも1なので
80000^1998=80000^(18×111)を19で割った余りも1
従って80000^1998を133で割った余りは1
133×3=399=400-1なので
80000=400×200=(133×3+1)×200を133で割った余りは
200を133で割った余りと等しく、67。
67^2=4489=400×11+89=(133×3+1)×11+89から
67^2を133で割った余りは11+89=100を133で割った余りと等しく、100。
従って80000^2を133で割った余りは100なので、
(80000^2000を133で割った余り)
=(80000^1998を133で割った余り)×(80000^2を133で割った余り)
=100

フェルマーの小定理を使えなければ
(80000^2000を133で割った余り)
=({(133×3+1)×200}^2000を133で割った余り)
=(200^2000を133で割った余り)
=(40000^1000を133で割った余り)
=({(133×3+1)×100}^1000を133で割った余り)
=(100^1000を133で割った余り)
ところで
1÷133=0.007518796992481203 007518796992481203 …
のように循環節が18桁の純循環小数になるので
1/133=7518796992481203/(10^18-1)
つまり
10^18-1=7518796992481203×133なので
10^18を133で割った余りは1
よって
100^1000=(10^18)^111×100を133で割った余りは100
なので、80000^2000を133で割った余りも100

No.90158 - 2025/04/19(Sat) 03:21:26

★ (No Subject) / やり直しメン

引用

算数です

例題の所が分かりませんでした

特に三角形ABCと三角形ACDの面積の比です

No.90150 - 2025/04/17(Thu) 22:41:09

☆ Re: / やり直しメン

引用

写真です

No.90152 - 2025/04/17(Thu) 23:19:43

☆ Re: / ヨッシー

引用

　高さが同じなら、面積比は底辺比
　底辺が同じなら、面積比は高さ比
をまず押さえましょう。

下の図のようにＡＣが底辺になるように置くと、
アとイは高さが同じなので、面積比はＡＥ：ＣＥ＝４：２

ＢＤを底辺とすると、
アとエは高さが同じなので、面積比はＢＥ：ＤＥ＝５：３

再び、下の図のようにＡＣが底辺になるように置くと、
三角形ＡＢＣと三角形ＡＣＤとでは、底辺が同じなので、
面積比は高さ比で　５：３　となります。

下の右の方の図を見ると、
斜辺が５：３のとき、高さも５：３であることは、三角形の相似から言えます。

No.90153 - 2025/04/18(Fri) 09:49:35

☆ Re: / やり直しメン

引用

ありがとうございます。

>>>再び、下の図のようにＡＣが底辺になるように置くと、
三角形ＡＢＣと三角形ＡＣＤとでは、底辺が同じということに気づけばすぐに5:3が出せるということですか。

No.90155 - 2025/04/18(Fri) 12:06:22

★ (No Subject) / ネバラン

引用

任意の自然数nに対して
f(a_n) <= R が成立するとき

lim[n->∞] f(a_n) <= R

は成立しますか？
成立するなら証明を教えてください。

No.90149 - 2025/04/17(Thu) 22:23:39

☆ Re: / らすかる

引用

例えばf(a_n)=(-1)^nのとき
R=1とすればf(a_n)≦Rは成立しますが
極限が存在しないため
lim[n→∞]f(a_n)をRと比較することができません。

No.90151 - 2025/04/17(Thu) 22:48:25

☆ Re: / ネバラン

引用

極限が存在するという条件も加えると成立しますか？

No.90154 - 2025/04/18(Fri) 11:07:34

☆ Re: / らすかる

引用

成立します。
もし極限がRより大きいR+ε（ε＞0）という値になったとすると
f(a_n)はR＜f(a_n)≦R+εという範囲の値を取り得ない
（もちろんf(a_n)＞R+εという範囲の値も取り得ない）はずなので、矛盾しますね。

No.90156 - 2025/04/18(Fri) 16:54:06

☆ Re: / ネバラン

引用

ですが、それは任意の自然数について成立する条件であって、n->∞となるときは、無限は自然数集合に属するわけではないので、必ずしも成立するとは限らないのではないでしょうか？
+

No.90161 - 2025/04/19(Sat) 16:22:36

☆ Re: / WIZ

引用

横から失礼します。

∞が自然数ではないというのは正しいですが、
lim[n→∞]f(a[n])がf(a[∞])などという物を表しいる訳ではありません。

極限lim[n→∞]f(a[n])が存在し、その値がAであることは以下の数式で表します。
lim[n→∞]f(a[n]) = A

上記は以下の論理式で定義されます。自然数全体の集合をNとします。
∀ε > 0, ∃m ∈ N s.t. ∀(n ∈ N) > m ⇒ |f(a[n])-A| < ε
# 任意の正実数εに対して、ある自然数mが存在して、
# 自然数nがmより大きいならば、f(a[n])とAの差はεより小さい

上記には∞は出てこず、よってa[∞]などというものも相手にしていません。

|f(a[n])-A| < εというのは、A-ε < f(a[n]) < A+εと同値です。
nはmより大きい「自然数」ですので、前提条件のf(a[n]) ≦ Rが成立します。

もし、R < Aと仮定すると、ε = A-R > 0と取れば、R = A-ε < f(a[n]) < A+εとなって
前提条件に矛盾します。よって、A ≦ Rでなければなりません。

No.90165 - 2025/04/19(Sat) 20:40:37

☆ Re: / 黄桃

引用

>それは任意の自然数について成立する条件であって、n->∞となるときは、無限は自然数集合に属するわけではないので、必ずしも成立するとは限らない
いいたいことは、例えば a[n] が有理数だからといって lim a[n]が有理数とは限らない、というようなことでしょうか。

しかし、極限については、実数の範囲で考えれば、極限が存在すれば、それは必ず実数になります
（実数の完備性といいます；無限小数で表せるものは実数、といってもいいです）。
なので実数の範囲で考えればあふれることはないので、成立します。

＃以下、元の質問で、単なるa[n]でなく、f(a[n])になっているのがちょっと気になるので
＃忖度してみます。外していたらごめんなさい。

なお、lim_[n→∞] a[n]=a が成立し、lim_[x→a] f(x) が存在するのであれば、
lim_[n→∞]f(a_n)= lim_[x→a] f(x) となります
（fがx=aで連続なら、どんな飛び飛びの近づき方をしても同じ値に収束する、というようなこと）。
が、特定の数列{an}について、lim_[n→∞]f(a_n)が存在するからと言って、lim_[x→a] f(x)と等しいとは限りません
（f(x)=sin(xπ), an=n とおけば、f(an)=0 だからlim_[n→∞]f(a_n)=0ですが、lim_[x→∞] f(x)は存在しません）。

＃大学数学の内容ですが、、特定の数列ではなく、どんな数列についてもいえるなら、逆もいえます。
＃https://mathlandscape.com/seq-func-conv-iff/
＃あたりでも眺めてみてください。

No.90168 - 2025/04/20(Sun) 07:24:48

★ 微分 / Higashino

引用

何卒よろしくお願いします

以下問題になります

No.90143 - 2025/04/16(Wed) 09:28:50

☆ Re: 微分 / X

引用

f'(x)=2+a{(x^2+1)-2x^2}/(x^2+1)^2
={2(x^2+1)^2-a(x^2-1)}/(x^2+1)^2
={2(x^2+1)^2-a(x^2+1)+2a}/(x^2+1)^2
∴問題はxの4次方程式
2(x^2+1)^2-a(x^2+1)+2a=0 (A)
が異なる4つの実数解を持つ条件を
求めることに帰着します。

ここで
x^2+1=t
と置くと、1＜tなるtの値一つに対し
xの値は2つ対応し、(A)は
2t^2-at+2a=0 (A)'
∴tの二次方程式(A)'が
1＜t
において、異なる二つの実数解を
持つ条件を求めればよいので
(A)'の解の判別式をDとし、
f(t)=2t^2-at+2a
と置いて、横軸にt、縦軸にf(t)を
取った、グラフを考えると
f(1)=2-a+2a＞0 (B)
a/4＞1 (C) (∵)グラフの軸の方程式はt=a/4
D=a^2-16a＞0 (D)
(B)(C)(D)を連立で解いて、
求めるaの値の範囲は
16＜a

No.90146 - 2025/04/16(Wed) 18:29:07

☆ Re: 微分 / Higashino

引用

X先生
お久しぶりです
ご回答いただけて幸いです
わたくしは以下のように考えたのですが
正しいでしょうか
ご指導ください
よろしくお願いいたします

No.90147 - 2025/04/16(Wed) 20:06:01

☆ Re: 微分 / X

引用

f'(x)=0から、a=…の形にもっていくまでの
過程に無駄が多すぎます。
単にf'(x)=0をaについて解くだけでよいのでは？

No.90148 - 2025/04/17(Thu) 06:54:25

☆ Re: 微分 / Higashino

引用

ご指摘アドバイスありがとうございました

No.90162 - 2025/04/19(Sat) 18:50:13

★ 高校数学 / よしぞう

引用

r[n]=cos(π/3)cos(π/4)…cos(π/(n1))
とすると，r[n]→0.1149…
となるらしいんですが、どうやって示せばよいかわからないです。

No.90139 - 2025/04/14(Mon) 17:09:04

☆ Re: 高校数学 / よしぞう

引用

r[n]=cos(π/3)cos(π/4)…cos(π/(n1))
↓訂正です。
r[n]=cos(π/3)cos(π/4)…cos(π/(n+1))

No.90140 - 2025/04/14(Mon) 17:11:27

☆ Re: 高校数学 / らすかる

引用

値については具体的に計算するしかない気がします。

Π[k=3～∞]cos(π/k)
＜Π[k=3～10000]cos(π/k)
≒0.1149988
＜0.115

Π[k=3～∞]cos(π/k)
＝exp(log(Π[k=3～∞]cos(π/k)))
＝exp(Σ[k=3～∞]log(cos(π/k)))
＝exp(Σ[k=3～15000]log(cos(π/k))+Σ[k=15001～∞]log(cos(π/k)))
＞exp(Σ[k=3～15000]log(cos(π/k))+Σ[k=15001～∞]-(π/k)^2)
（∵k≧3でlog(cosx)＞-x^2）
＝exp(Σ[k=3～15000]log(cos(π/k))-(π^2)Σ[k=15001～∞](1/k^2))
＝exp(Σ[k=3～15000]log(cos(π/k))-(π^2)(ζ(2)-Σ[k=1～15000](1/k^2)))
＝exp(Σ[k=3～15000](log(cos(π/k))+(π/k)^2)+5π^2/4-π^4/6)
≒0.114904
＞0.1149
∴Π[k=3～∞]cos(π/k)＝0.1149…

No.90141 - 2025/04/14(Mon) 23:55:12

☆ Re: 高校数学 / よしぞう

引用

解答ありがとうございました。

No.90144 - 2025/04/16(Wed) 17:30:07

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