ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

since 2008/03/25

旧数学掲示板のログ

使用上の注意はこちらにあります

質問される方は学年（質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。

過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

★ 微分 NEW / Higashino

引用

何卒よろしくお願いします
以下問題

No.90163 - 2025/04/19(Sat) 18:51:15

☆ Re: 微分 NEW / X

引用

(1)
条件のとき
f'(x)=cosx+1/(cosx)^2-9/2
f"(x)=-sinx+2(sinx)/(cosx)^3
=-sinx{1-2/(cosx)^3}
=-sinx{(cosx)^3-2}/(cosx)^3
ここで
0＜x＜π/2 (A)
∴f"(x)＞0
更に
f(0)=-5/2＜0
lim[x→π/2-0]f(x)=∞
∴中間値の定理により(A)において
f(x)は極小値をただ一つ持ちます。
ここでf'(x)=0のとき
cosx+1/(cosx)^2-9/2=0
2(cosx)^3-9(cosx)^2+2=0
(2cosx-1){(cosx)^2-4cosx-2}=0
(2cosx-1)(cosx-2+√6)(cosx-2-√6)=0
(A)より＜cosx＜1ゆえcosx=1/2
∴x=π/3
∴f(x)は
x=π/3のときに極小値(3/2)√3-3π/2
を取ります。

(2)
条件のとき
g'(x)=cosx+1/(cosx)^2-α
g"(x)=-sinx{(cosx)^3-2}/(cosx)^3＞0
ここでαの値によらず
lim[x→π/2-0]g'(x)=∞
∴題意を満たすためには
g'(0)=2-α＜0
∴2＜α

No.90164 - 2025/04/19(Sat) 19:30:04

★ 高2数学 NEW / りか

引用

車の排ガスには８億２０００万種類の有害物質が含まれておる。
車に乗らない人が他人の車の排ガスで健康被害を受けることを
受動排ガスと呼ぶ。

問
80000^2000を133で割った時の余りを求めよ。

教えてください。

No.90157 - 2025/04/18(Fri) 23:12:54

☆ Re: 高2数学 NEW / らすかる

引用

もしフェルマーの小定理を使ってよければ
133=7×19
フェルマーの小定理により
80000^6を7で割った余りは1なので
80000^1998=80000^(6×333)を7で割った余りは1
また
80000^18を19で割った余りも1なので
80000^1998=80000^(18×111)を19で割った余りも1
従って80000^1998を133で割った余りは1
133×3=399=400-1なので
80000=400×200=(133×3+1)×200を133で割った余りは
200を133で割った余りと等しく、67。
67^2=4489=400×11+89=(133×3+1)×11+89から
67^2を133で割った余りは11+89=100を133で割った余りと等しく、100。
従って80000^2を133で割った余りは100なので、
(80000^2000を133で割った余り)
=(80000^1998を133で割った余り)×(80000^2を133で割った余り)
=100

フェルマーの小定理を使えなければ
(80000^2000を133で割った余り)
=({(133×3+1)×200}^2000を133で割った余り)
=(200^2000を133で割った余り)
=(40000^1000を133で割った余り)
=({(133×3+1)×100}^1000を133で割った余り)
=(100^1000を133で割った余り)
ところで
1÷133=0.007518796992481203 007518796992481203 …
のように循環節が18桁の純循環小数になるので
1/133=7518796992481203/(10^18-1)
つまり
10^18-1=7518796992481203×133なので
10^18を133で割った余りは1
よって
100^1000=(10^18)^111×100を133で割った余りは100
なので、80000^2000を133で割った余りも100

No.90158 - 2025/04/19(Sat) 03:21:26

★ (No Subject) / やり直しメン

引用

算数です

例題の所が分かりませんでした

特に三角形ABCと三角形ACDの面積の比です

No.90150 - 2025/04/17(Thu) 22:41:09

☆ Re: / やり直しメン

引用

写真です

No.90152 - 2025/04/17(Thu) 23:19:43

☆ Re: / ヨッシー

引用

　高さが同じなら、面積比は底辺比
　底辺が同じなら、面積比は高さ比
をまず押さえましょう。

下の図のようにＡＣが底辺になるように置くと、
アとイは高さが同じなので、面積比はＡＥ：ＣＥ＝４：２

ＢＤを底辺とすると、
アとエは高さが同じなので、面積比はＢＥ：ＤＥ＝５：３

再び、下の図のようにＡＣが底辺になるように置くと、
三角形ＡＢＣと三角形ＡＣＤとでは、底辺が同じなので、
面積比は高さ比で　５：３　となります。

下の右の方の図を見ると、
斜辺が５：３のとき、高さも５：３であることは、三角形の相似から言えます。

No.90153 - 2025/04/18(Fri) 09:49:35

☆ Re: / やり直しメン

引用

ありがとうございます。

>>>再び、下の図のようにＡＣが底辺になるように置くと、
三角形ＡＢＣと三角形ＡＣＤとでは、底辺が同じということに気づけばすぐに5:3が出せるということですか。

No.90155 - 2025/04/18(Fri) 12:06:22

★ (No Subject) / ネバラン

引用

任意の自然数nに対して
f(a_n) <= R が成立するとき

lim[n->∞] f(a_n) <= R

は成立しますか？
成立するなら証明を教えてください。

No.90149 - 2025/04/17(Thu) 22:23:39

☆ Re: / らすかる

引用

例えばf(a_n)=(-1)^nのとき
R=1とすればf(a_n)≦Rは成立しますが
極限が存在しないため
lim[n→∞]f(a_n)をRと比較することができません。

No.90151 - 2025/04/17(Thu) 22:48:25

☆ Re: / ネバラン

引用

極限が存在するという条件も加えると成立しますか？

No.90154 - 2025/04/18(Fri) 11:07:34

☆ Re: / らすかる

引用

成立します。
もし極限がRより大きいR+ε（ε＞0）という値になったとすると
f(a_n)はR＜f(a_n)≦R+εという範囲の値を取り得ない
（もちろんf(a_n)＞R+εという範囲の値も取り得ない）はずなので、矛盾しますね。

No.90156 - 2025/04/18(Fri) 16:54:06

☆ Re: NEW / ネバラン

引用

ですが、それは任意の自然数について成立する条件であって、n->∞となるときは、無限は自然数集合に属するわけではないので、必ずしも成立するとは限らないのではないでしょうか？
+

No.90161 - 2025/04/19(Sat) 16:22:36

★ 微分 / Higashino

引用

何卒よろしくお願いします

以下問題になります

No.90143 - 2025/04/16(Wed) 09:28:50

☆ Re: 微分 / X

引用

f'(x)=2+a{(x^2+1)-2x^2}/(x^2+1)^2
={2(x^2+1)^2-a(x^2-1)}/(x^2+1)^2
={2(x^2+1)^2-a(x^2+1)+2a}/(x^2+1)^2
∴問題はxの4次方程式
2(x^2+1)^2-a(x^2+1)+2a=0 (A)
が異なる4つの実数解を持つ条件を
求めることに帰着します。

ここで
x^2+1=t
と置くと、1＜tなるtの値一つに対し
xの値は2つ対応し、(A)は
2t^2-at+2a=0 (A)'
∴tの二次方程式(A)'が
1＜t
において、異なる二つの実数解を
持つ条件を求めればよいので
(A)'の解の判別式をDとし、
f(t)=2t^2-at+2a
と置いて、横軸にt、縦軸にf(t)を
取った、グラフを考えると
f(1)=2-a+2a＞0 (B)
a/4＞1 (C) (∵)グラフの軸の方程式はt=a/4
D=a^2-16a＞0 (D)
(B)(C)(D)を連立で解いて、
求めるaの値の範囲は
16＜a

No.90146 - 2025/04/16(Wed) 18:29:07

☆ Re: 微分 / Higashino

引用

X先生
お久しぶりです
ご回答いただけて幸いです
わたくしは以下のように考えたのですが
正しいでしょうか
ご指導ください
よろしくお願いいたします

No.90147 - 2025/04/16(Wed) 20:06:01

☆ Re: 微分 / X

引用

f'(x)=0から、a=…の形にもっていくまでの
過程に無駄が多すぎます。
単にf'(x)=0をaについて解くだけでよいのでは？

No.90148 - 2025/04/17(Thu) 06:54:25

☆ Re: 微分 NEW / Higashino

引用

ご指摘アドバイスありがとうございました

No.90162 - 2025/04/19(Sat) 18:50:13

★ 高校数学 / よしぞう

引用

r[n]=cos(π/3)cos(π/4)…cos(π/(n1))
とすると，r[n]→0.1149…
となるらしいんですが、どうやって示せばよいかわからないです。

No.90139 - 2025/04/14(Mon) 17:09:04

☆ Re: 高校数学 / よしぞう

引用

r[n]=cos(π/3)cos(π/4)…cos(π/(n1))
↓訂正です。
r[n]=cos(π/3)cos(π/4)…cos(π/(n+1))

No.90140 - 2025/04/14(Mon) 17:11:27

☆ Re: 高校数学 / らすかる

引用

値については具体的に計算するしかない気がします。

Π[k=3～∞]cos(π/k)
＜Π[k=3～10000]cos(π/k)
≒0.1149988
＜0.115

Π[k=3～∞]cos(π/k)
＝exp(log(Π[k=3～∞]cos(π/k)))
＝exp(Σ[k=3～∞]log(cos(π/k)))
＝exp(Σ[k=3～15000]log(cos(π/k))+Σ[k=15001～∞]log(cos(π/k)))
＞exp(Σ[k=3～15000]log(cos(π/k))+Σ[k=15001～∞]-(π/k)^2)
（∵k≧3でlog(cosx)＞-x^2）
＝exp(Σ[k=3～15000]log(cos(π/k))-(π^2)Σ[k=15001～∞](1/k^2))
＝exp(Σ[k=3～15000]log(cos(π/k))-(π^2)(ζ(2)-Σ[k=1～15000](1/k^2)))
＝exp(Σ[k=3～15000](log(cos(π/k))+(π/k)^2)+5π^2/4-π^4/6)
≒0.114904
＞0.1149
∴Π[k=3～∞]cos(π/k)＝0.1149…

No.90141 - 2025/04/14(Mon) 23:55:12

☆ Re: 高校数学 / よしぞう

引用

解答ありがとうございました。

No.90144 - 2025/04/16(Wed) 17:30:07

★ 高校数学(数3) / 314

引用

この問題の答えが(1)=2√3+3/8π, (2)=12, (3)=3/2√3+2πになる理由を詳しく教えてください。
滑らないと書いてあることから、サイクロイドを使うらしいですが、どのように使うのかがわかりませんでした。

No.90137 - 2025/04/13(Sun) 21:01:55

☆ Re: 高校数学(数3) / ヨッシー

引用

最初の状態で、円Ｋと△ＯＡＢのＯＡ上における接点をＱ、ＯＡの中点をＭとします。

(1)
　ＯＱ＝ＯＰ＝√3
であり、また、ＱＭ＝優弧ＰＱ＝(4/3)π
よって　ＯＭ＝√3＋(4/3)π
　ＯＡ＝２ＯＭ＝2√3＋(8/3)π　・・・答え１

(2)
半径１の円によるサイクロイドの式は
　ｘ＝θ－sinθ、ｙ＝１－cosθ
これの、θ＝2π/3 から θ＝2π までの長さを求めます。

　Ｌ＝∫[2π/3～2π]√{（１－cosθ)^2＋sin^2θ}dθ
　　＝∫[2π/3～2π]√(２－２cosθ)dθ
１－cosθ＝2sin^2(θ/2) より
　Ｌ＝∫[2π/3～2π]√(4sin^2(θ/2))dθ
　　＝２∫[2π/3～2π]|sin(θ/2)|dθ
2π/3≦θ≦2π のとき、2π/6≦θ≦π であるので、sin(θ/2)≧0
よって、
　Ｌ＝２∫[2π/3～2π]sin(θ/2)dθ
　　＝２[－2cos(θ/2)][2π/3～2π]
　　＝４(１＋1/2）＝６
求める長さはこれの２倍なので、
　６×２＝１２　・・・答え２

(3)
サイクロイド
　ｘ＝θ－sinθ、ｙ＝１－cosθ
において、点Ｐに当たる点の座標は(2π/3－√3/2, 3/2)、
点ＭＭに当たる点の座標は（2π, 0) です。
求める面積は
　Ｓ＝∫[2π/3－√3/2～2π]ｙdx
これに、面積 3√3/8 の直角三角形を加えたものです。
。これをθの積分に置換すると、
積分範囲は　2π/3－√3/2≦ｘ≦2π　→　2π/3≦θ≦2π
　dx/dθ＝1－cosθ
より　
　dx＝(1－cosθ)dθ
これらより
　Ｓ＝∫[2π/3～2π](１－cosθ)(1－cosθ)dθ
　　＝∫[2π/3～2π](１－２cosθ＋cos^2θ)dθ
cos^2θ＝(1＋cos2θ)/2 より
　Ｓ＝∫[2π/3～2π]{１－２cosθ＋(1＋cos2θ)/2}dθ
　　＝∫[2π/3～2π]{3/2－２cosθ＋(cos2θ)/2}dθ
　　＝[3θ/2－2sinθ＋(sin2θ)/4][2π/3～2π]
　　＝3π－π＋√3＋√3/8
　　＝2π＋9√3/8
よって、求める面積は
　2π＋9√3/8＋3√3/8＝2π＋3√3/2

No.90138 - 2025/04/14(Mon) 12:03:00

☆ Re: 高校数学(数3) / 314

引用

ありがとうございます。

No.90142 - 2025/04/15(Tue) 15:11:42

★ (No Subject) / やり直しメン

引用

算数です

◻︎4です

とりあえず図だけは書きました。

よろしくお願いします

No.90127 - 2025/04/11(Fri) 22:36:11

☆ Re: / X

引用

のりこさんが21[m]進んだとき、洋子さんは
のりこさんのスタート地点から
21[m]+94[m]=115[m]
進んでいるので、洋子さんは自分のスタート地点から
115[m]-100[m]=15[m]
進みます。
よって、のり子さんと洋子さんの速さの比は
21:15=7:5 (A)

ここで
のり子さんのスタート地点をA
洋子さんのスタート地点をB
のり子さんが洋子さんに追いついた地点をC
とすると、(A)から
AC:BC=7:5
よって
AC:AB=7:2
よって比の値からACは
ABの7/2倍
となりますので、求める距離は
100[m]×7/2=350[m]
となります。

No.90130 - 2025/04/12(Sat) 07:15:53

☆ Re: / IT

引用

（別解）
のりこさんが21[m]進んだとき、２人の距離は　100-94＝6[m]　縮まった。

100[m] 縮まるのは 21×(100/6) = 350 [m]のりこさんが進んだとき

No.90131 - 2025/04/12(Sat) 20:37:01

☆ Re: / やり直しメン

引用

> のりこさんが21[m]進んだとき、洋子さんは
> のりこさんのスタート地点から
> 21[m]+94[m]=115[m]
> 進んでいるので、洋子さんは自分のスタート地点から
> 115[m]-100[m]=15[m]
> 進みます。
> よって、のり子さんと洋子さんの速さの比は
> 21:15=7:5 (A)

この解き方はのり子さんと洋子さんが走った時間が同じときに速さの比と距離の比が同じというのを使ったということですか。

No.90132 - 2025/04/13(Sun) 00:02:11

☆ Re: / IT

引用

余談ですが、２人がそれぞれ「一定の速さで走る」という（現実にはあり得ない）前提条件が書いてないので、解答不能ではありますね。

算数の問題としては、暗黙の了解なのでしょうが。

No.90134 - 2025/04/13(Sun) 07:58:53

☆ Re: / X

引用

＞＞やり直しメンさんへ
その通りです。

No.90135 - 2025/04/13(Sun) 09:33:49

★ (No Subject) / やり直しメン

引用

算数です

観覧車に太郎さんと花子さんが別々に乗りました。
太郎さんが先に乗り、その1分後に花子さんが乗りました。
太郎さんが乗ってから3分後に、太郎さんが乗っているゴンドラの丁度真下に花子さんの乗っているゴンドラが来ました。
この観覧車が一周するのにかかる時間は何分ですか。という問題です。

よろしくお願いします

No.90113 - 2025/04/05(Sat) 21:08:01

☆ Re: / やり直しメン

引用

僕これ、直感で6分と答えたら正解は10分でした

No.90115 - 2025/04/05(Sat) 21:42:21

☆ Re: / WIZ

引用

1分で回転する角度をt°とします。
観覧車の一番低い位置(多分乗り降りする場所)を始点の0°とします。
太郎さんの3分後の位置は3t°で、花子さんは1分遅れて乗ったので位置は2t°です。

従って、太郎さんが観覧車の一番高い位置つまり180°から2t°手前なら花子さんの前上になります。
180-3t = 2tより、t = 36となり、一周は360/36 = 10分となります。

# これくらいなら１次方程式を立てなくても何とかなりそうですね。

No.90117 - 2025/04/05(Sat) 23:39:52

☆ Re: / らすかる

引用

「太郎さんが乗っているゴンドラの丁度真下に花子さんの乗っているゴンドラがある」
ということは、二つのゴンドラを結んだ直線がちょうど地面に対して垂直になっていますね。
そして太郎さんが乗って1分後に花子さんが乗ったということは、
太郎さんが乗って30秒後に二つのゴンドラを結んだ直線が水平（地面と平行）になっています。
ということは、「30秒後」から「3分後」までに観覧車が90°（1/4周）回転したという
ことですから、1/4周の回転に2分30秒、よって1周では2分30秒×4=10分となります。

No.90119 - 2025/04/06(Sun) 23:41:48

☆ Re: / やり直しメン

引用

> 太郎さんが乗って30秒後に二つのゴンドラを結んだ直線が水平（地面と平行）になっています。

なぜこうなるのでしょうか。

よろしくお願いします

No.90128 - 2025/04/12(Sat) 00:01:05

☆ Re: / らすかる

引用

太郎さんが乗った時、太郎さんのゴンドラが最下地点（観覧車の回転軸の中心の真下）で
花子さんのゴンドラはそれより一つ分手前
花子さんが乗った時、花子さんのゴンドラが最下地点で
太郎さんのゴンドラはそれより一つ分先
そして前者の状態から後者の状態になるまでの時間が1分間ですから、
その丁度中間すなわち前者の状態の30秒後には
太郎さんのゴンドラは最下地点を過ぎた位置で、最下地点からゴンドラ間隔の半分進んだ状態
花子さんのゴンドラは最下地点の手前で最下地点まではゴンドラ間隔の半分
ですから太郎さんのゴンドラと花子さんのゴンドラのちょうど真ん中が最下地点であり、
二つのゴンドラを結んだ直線は水平になります。
図を描いてみればわかりやすいと思います。

No.90129 - 2025/04/12(Sat) 01:36:51

★ (No Subject) / やり直しメン

引用

◻︎6です　算数です

教えてください。

No.90107 - 2025/04/05(Sat) 07:26:32

☆ Re: / WIZ

引用

7時の時点で、長針の位置は12時つまり0分の位置で、短針は7時つまり35分の位置にあります。
m分後(mは非負実数で整数とは限らない)は、長針がm分の位置で、短針が(35+m/12)分の位置です。

12時と6時を結ぶ直線に対して、長針と短針が線対称となるmを求めるのであれば、
# 長針と短針の長さが違うと思うので完全な線対称とは言えないが、
# 12時と6時を結ぶ直線と長針のなす角度と
# 12時と6時を結ぶ直線と短針のなす角度が等しいという意味と解釈。

m = 60-(35+m/12)より、m = 300/13 ≒ 23.07･･･

# これ本当に算数(小学校)の問題なの? 1次方程式を習うのは中学校だと思うけど、
# 逆に1次方程式を使わずに小学生がどうやって解くのかに興味がある。

No.90116 - 2025/04/05(Sat) 23:38:02

☆ Re: / やり直しメン

引用

解説書です

No.90118 - 2025/04/05(Sat) 23:56:26

★ (No Subject) / 大西

引用

部分積分を用いてもInとIn+1との関係がうまく出せませんでした。
そもそも漸化式を用いて解こうとする自体が間違っているのでしょうか。

何かInを直接計算する方法があるのでしょうか。

No.90096 - 2025/04/03(Thu) 22:41:12

☆ Re: / ast

引用

問題の趣旨にはおそらく合わないでしょうが, ベータ函数に馴染みがあるのならば tan(x)^(1/n) = sin(x)^(1/n) cos(x)^(-1/n) と見る (必要ならば u:=sin(x)^2 などで置換する) ことで当該の積分が
　 I[n] = Β[(1+1/n)/2, (1-1/n)/2)]/2 --(*)
のように書けることは言えると思います.
# よく知られた関係式によってガンマ函数で表せば
#　 (*) = (Γ((1+1/n)/2)Γ(1-(1+1/n)/2)/Γ(1))/2 = (π/sin(π(1+1/n)/2))/2 = π/(2cos(π/(2n)))
# と計算できて極限も I[n] → π/2 と求まりそうです.
## もとの積分において極限と積分が交換可能ならば
## 　∫_[0,π/2] lim_[n→∞]tan[x]^(1/n)dx = ∫_[0,π/2]dx = π/2
## となるはずなので, ↑の計算も合っていそうとは思いますが, 保証するつもりはありません.

No.90102 - 2025/04/04(Fri) 17:48:12

☆ Re: / 大西

引用

astさんご返信ありがとうございます。

Γ(1-s)Γ(s)=π/sinπsという関係式がありましたね。
ベータ関数とガンマ関数を使えば解けるのですね。
でも大学入試問題だそうなので他の方法がありそうです。

No.90105 - 2025/04/04(Fri) 20:18:54

☆ Re: / IT

引用

大学入試問題ではないのでは？　
広義積分もベータ関数・ガンマ関数も高校数学の範囲外だと思います。

できそこないの模試とかでは？
受験勉強なら　しっかりした解答解説付きの参考書・問題集で学習されるのが効率的かと思います。

No.90106 - 2025/04/04(Fri) 20:54:28

☆ Re: / 大西

引用

ITさんご返信ありがとうございます。

大学入試問題だと言われたのですがそうじゃないのかも知れませんね。

受験勉強ではありませんが、興味がある問題に色々とチャレンジしています。

No.90111 - 2025/04/05(Sat) 13:22:38

☆ Re: / 黄桃

引用

本題とは関係ないですが参考までに。

これは架空の大学である信州国際学院大学の国際観光学部令和6年度数学の過去問です
（https://kokushin-u.jp/prospective-student/past-questions/からダウンロードできます）。
ドメイン名が.ac.jp でないことからわかるように、この大学自体が壮大なジョークなので注意が必要です。

数学の過去問は、本問のように、多分数学としては正しいけど、少なくとも日本の大学入試問題としてはジョークと呼べるものが多数見受けられます。
形式は大学入試問題なのに、怪しげであれば、ここの問題でないか確認した方がいいです。
その上で、出典を明記して質問するのは構わないでしょう（ジョークであっても著作権はあるでしょうから）。

No.90126 - 2025/04/08(Tue) 22:38:06

★ 質問です。 / てふら

引用

下の問題を解いていたのですが，答えが解説と合わないので教えてもらえればと思います。

問題）座標平面上に曲線Ｃを媒介変数t (-1≦t≦1) を用いて
x=1-t^2，y=t-t^3 …?@と定める。以下の問いに答えよ。
(1)　曲線Ｃの概形を描け。
(2)　曲線Ｃをy軸のまわりに１回転してできる回転体の体積Ｖを求めよ。

(2)の答えが，?@で定まるyの関数xのうち，y≧0であるものの計算を行って，体積Ｖ=32π/105 としています。

y≦0についても同様に考えて，答えを２倍すべきだと思うのですが，違うのでしょうか。

No.90090 - 2025/04/03(Thu) 12:33:16

☆ Re: 質問です。 / ヨッシー

引用

>(2)　曲線Ｃをy軸のまわりに１回転してできる回転体の体積Ｖを求めよ。
まだ、計算していませんが、
(2) は、「ｙ軸」で合ってますか？

No.90092 - 2025/04/03(Thu) 16:06:15

☆ Re: 質問です。 / WIZ

引用

私の方の計算でも質問者さんと同じ結果となりましたので、
おそらく問題文か解答に誤りがあるものと思います。
例えば質問者さんの問題文の写し間違いで「0 ≦ t ≦ 1」とか?

(1)の解答はy ≦ 0の部分も含めたグラフになっているのですか?

No.90093 - 2025/04/03(Thu) 16:22:27

☆ Re: 質問です。 / てふら

引用

お返事ありがとうございます。

神戸大学の入試問題の改題のようです。
もともとは，媒介変数t (0≦t≦1) を用いて
x=1-t^2，y=t-t^3 と定めており，(2)は曲線Ｃとx軸で囲まれた部分をy軸のまわりに１回転してできる回転体の体積Ｖを求めよ。
だそうです。その答えは，32π/105 だと思うので合っているんですが...

念のため，質問内容の問題と解説を貼らせてもらいます。

No.90094 - 2025/04/03(Thu) 17:14:47

☆ Re: 質問です。 / てふら

引用

画像がうまく貼れなかったです。

問題文は
『座標平面上に曲線Ｃを媒介変数t (-1≦t≦1) を用いて
x=1-t^2，y=t-t^3 と定める。以下の問いに答えよ。
(1)　曲線Ｃの概形を描け。
(2)　曲線Ｃをy軸のまわりに１回転してできる回転体の体積Ｖを求めよ。
』
で間違いないです。

No.90095 - 2025/04/03(Thu) 17:17:29

★ Σの公式の使い方について / るる

引用

高校2年生の数学Bの問題で和を求める問題です。
解説を読んだのですが分からなかったので質問させていただきます。
よろしくお願いします。

No.90089 - 2025/04/03(Thu) 11:25:43

☆ Re: Σの公式の使い方について / ヨッシー

引用

公式は覚えるものではなく作るもの、という観点に立って作ってみます。

　Ｓ＝Σ[k=1～n]ｒ^(k-1)＝１＋ｒ＋ｒ^2＋・・・＋ｒ^(n-1)
とおくと、
　ｒＳ＝ｒ＋ｒ^2＋ｒ^3＋・・・＋ｒ^n
上式から下式を引くと
　Ｓ－ｒＳ＝１－ｒ^n
　Ｓ＝(１－ｒ^n)/(１－ｒ)　　・・・(1)

　Ｓ＝Σ[k=1～n]ｒ^k＝ｒ＋ｒ^2＋ｒ^3＋・・・＋ｒ^n
とおくと、
　ｒＳ＝ｒ^2＋ｒ^3＋・・・＋ｒ^(n+1)
上式から下式を引くと
　Ｓ－ｒＳ＝ｒ－ｒ^(n+1)
　Ｓ＝{ｒ－ｒ^(n+1)}/(１－ｒ)　・・・(2)

このように、それぞれ別の公式になることは理解いただいたうえで、
後者を(1) の公式を使って導けないかを考えます。
　Ｓ＝Σ[k=1～n]ｒ^k＝Σ[k=1～n+1]ｒ^(k-1)－ｒ^0
と書けるので、(1) の公式を使って、
　Ｓ＝{１－ｒ^(n+1)}/(１－ｒ)－１
　　＝{１－ｒ^(n+1)}/(１－ｒ)－(１－ｒ)/(１－ｒ)
　　＝{ｒ－ｒ^(n+1)}/(１－ｒ)
と (2) と同じ結果になります。
これを代入して解いたと言えるのかは謎です。

(2) の公式に、
　ｒに 1/3、ｎにｎ－１を代入すると、
　Ｓ＝{1/3－(1/3)^n)}/(１－1/3)
　　＝(1/3){1－(1/3)^(n-1))}/(１－1/3)
となります。

一般の等比数列（初項ａ、公比ｒ）の和　ａ＋ａｒ＋・・・ａｒ^(n-1)
の公式は
　ａ[１－ｒ^(n-1)}/(１－ｒ)
ですので、これに代入したとも言えます。

No.90091 - 2025/04/03(Thu) 15:57:03

☆ Re: Σの公式の使い方について / るる

引用

ありがとうございます🙇‍♀️

No.90100 - 2025/04/04(Fri) 10:41:18

★ 定積分で表された関数が分かりません / YUKI

引用

数学の参考書に添付させていただいた画像の数式が載っていたのですが

詳しい説明や証明などがなく、なぜこのような等式になるのかが分かりません
ㅤ
分かる方おられましたらご教授いただければ幸いです、何卒よろしくお願い申し上げます。

No.90086 - 2025/04/02(Wed) 12:01:28

☆ Re: 定積分で表された関数が分かりません / ヨッシー

引用

左辺の ’（ダッシュ）は、ｘによる微分とします。

f(x) の原始関数を F(x) とします。つまり　F'(x)＝f(x) です。

（左辺）＝{F(h(x))－F(g(x))}’
　　　＝F'(h(x))×h'(x)－F'(g(x))×g'(x)
　　　＝f(h(x))×h'(x)－f(g(x))×g'(x)
となります。

No.90087 - 2025/04/02(Wed) 13:23:12

☆ Re: 定積分で表された関数が分かりません / YUKI

引用

ありがとうございます！！

No.90088 - 2025/04/02(Wed) 14:12:21

★ (No Subject) / やり直しメン

引用

算数です　ニュートン算です

さとしさんは毎月決まった額のお小遣いをもらいます。
貯金もありますが、毎月5,000円ずつ使うと4か月で貯金がなくなります。また1か月に4,000円ずつ使うと12カ月で貯金がなくなります
という問題文で
(1)の問題は毎月もらうお小遣いは何円ですか　という問題になります

これはどのように考えればいいですか

No.90077 - 2025/03/28(Fri) 22:44:42

☆ Re: / らすかる

引用

5000円ずつ使うと4ヶ月で貯金がなくなるから、
4ヶ月後まで使える貯金＋お小遣いは5000×4＝20000円
4000円ずつ使うと4ヶ月で貯金がなくなるから、
12ヶ月後まで使える貯金＋お小遣いは4000×12＝48000円
この差48000－20000＝28000円は8ヶ月の間に貰えるお小遣いだから、
毎月のお小遣いは28000÷8=3500円。
(検算)
毎月のお小遣いが3500円なら4ヶ月で貰えるお小遣いは14000円なので、
貯金は20000－14000＝6000円あることになります。
そして3500×12＋6000＝48000円なので、4000円ずつ使った場合の合計金額とも
一致しています。

No.90078 - 2025/03/29(Sat) 07:57:50

★ 場合の数 / スズ

引用

nを2以上の整数とする。
何も記入されていない白紙がn枚横一列に並んでいる。
これらn枚の白紙に、左から順に0か1を次の条件(＊)を満たすように記入するとき、その記入の仕方の総数をAnとする。
Anを求めなさい。

(＊)
1を連続して記入する場合、必ず1と記入された紙が偶数枚連続しなければならない。

例えば、n=4のとき、【1011】のように記入するならば、1を3回記入することはできる。
1を奇数回記入してはならないということではない点に留意しなさい。

解説をお願いします。

No.90075 - 2025/03/28(Fri) 18:42:26

☆ Re: 場合の数 / IT

引用

けっこう面倒そうですね。
nを奇数と偶数に分けて
0の有無、
0があるときは　最左端の0の位置によって場合分けして　
　漸化式を立てるのでしょうね。
　最左端の0の左側および最左端の0より右側の部分は、それぞれ条件(＊)を満たす必要があります。

No.90076 - 2025/03/28(Fri) 21:43:53

☆ Re: 場合の数 / らすかる

引用

末尾が0で終わっているものをB[n]
末尾が01で終わっているものをC[n]
末尾が2個以上の偶数個の1で終わっているものをD[n]
末尾が3個以上の奇数個の1で終わっているものをE[n]
とすると
A[n]=B[n]+C[n]+D[n]であり
B[2]=2 (00と10)
C[2]=1 (01)
D[2]=1 (11)
E[2]=0 (なし)
B[n+1]=B[n]+C[n]+D[n]
C[n+1]=B[n]
D[n+1]=C[n]+E[n]
E[n+1]=D[n]
となります。
これからA[n]の漸化式を作ると
A[2]=4, A[3]=7, A[4]=14, A[5]=26, A[n+4]=A[n+3]+2A[n+2]-A[n]
となるのですが、これは多分綺麗な形の一般式では書けません(https://oeis.org/A052535)。
私の解釈に間違いがなければ、問題が正しくない気がします。

ちなみにこの漸化式からA[n]を順次求めると
4,7,14,26,50,95,181,345,657,1252,…
のようになり、小さい方いくつかを個別に計算してみると
n=2: 2^2=4通り
n=3: 2^3通りのうち111だけ不適なので2^3-1=7通り
n=4: 2^4通りのうち0111と1110の2つが不適なので2^4-2=14通り
n=5: 2^5通りのうち00111,10111,01110,11100,11101,11111の6つが不適なので2^5-6=26通り
n=6: 2^6通りのうち
000111,010111,100111,110111,
001110,101110,
011100,011101,
111000,111001,111010,111011,
011111,111110
の14個が不適なので2^6-14=50通り
n=7: 2^7通りのうち
0000111,0010111,0100111,0110111,1000111,1010111,1100111,1110111,
0001110,0101110,1001110,1101110,
0011100,0011101,1011100,1011101,
0111000,0111001,0111010,0111011,
1110000,1110001,1110010,1110011,1110100,1110101,1110110,
0011111,1011111,
0111110,
1111100,1111101,
1111111
の33個が不適なので2^7-33=95通り
のようになって（私の解釈が正しければですが）正しそうです。

No.90079 - 2025/03/29(Sat) 08:45:11

☆ Re: 場合の数 / IT

引用

出典は何ですか？　
問題文がそのとおりなら、出題者が考えた解答がまちがっている可能性が高いですね。

No.90080 - 2025/03/29(Sat) 12:38:53

☆ Re: 場合の数 / スズ

引用

春休みの課題(学校のではなく、数学部という部活の)ですが、確認しましたら、訂正が出ていました。

(訂正前)
Anを求めなさい。　　

(訂正後)
Anを隣接多項間漸化式で表しなさい。
ここでの隣接多項間漸化式とは、自然数iを用いて、A(n+i)と書けるもののうち、必要なものだけを用いた漸化式を意味する。

自分であらたに漸化式を導入して、連立漸化式に持ち込むとは、全然思いつきませんでした。

ありがとうございました。

No.90081 - 2025/03/29(Sat) 15:16:25

☆ Re: 場合の数 / IT

引用

(訂正後)
Anを隣接多項間漸化式で表しなさい。

ならば、納得ですね

No.90082 - 2025/03/29(Sat) 16:21:09

☆ Re: 場合の数 / IT

引用

No.90076 の考えでやってみました。
A[2] = 4
A[3]= 2^3-1=7

・nが４以上の偶数のとき　
1がn回記入されている　 1通り
0が1回以上記入されている場合
　0のとき　A[n-1]通り
　10のとき　A[n-2]通り
　110のとき　A[n-3]通り
　11110のとき　A[n-5]通り
　・・・
　n-１番目が最初の0のとき　2通り
　
∴A[n]=1+A[n-1]+A[n-2]+A[n-3]+A[n-5]+・・・+2
また A[n+2]=1+A[n+1]+A[n]+A[n-1]+A[n-3]+A[n-5]+・・・+2
　よって[n+2]-A[n]=A[n+1]+A[n]-A[n-2]
∴A[n+2]=A[n+1]+2A[n]-A[n-2]
　特にA[4]=1+A[3]+A[2]+2=14　

・nが５以上の奇数のとき　0が1回以上記入されている
　最も左の0の位置によって場合分けする
　0のとき　A[n-1]通り
　10のとき　A[n-2]通り
　110のとき　A[n-3]通り
　11110のとき　A[n-5]通り
　・・・
　n番目が最初の0のとき　1通り

∴A[n]=A[n-1]+A[n-2]+A[n-3]+A[n-5]+・・・+1
また A[n+2]=A[n+1]+A[n]+A[n-1]+A[n-3]+A[n-5]+・・・+1
よってA[n+2]-A[n]=A[n+1]+A[n]-A[n-2]
∴A[n+2]=A[n+1]+2A[n]-A[n-2]
特に A[5]=A[4]+A[3]+A[2]+1=26

・nが４以上のとき偶奇いずれの場合も、A[n+2]=A[n+1]+2A[n]-A[n-2]

※nが偶数の場合と奇数の場合を統一的に書けると、解答がすっきりするかも知れませんね。

No.90083 - 2025/03/30(Sun) 09:50:22

★ (No Subject) / やり直しメン

引用

2です。ニュートン算、算数です。

解説書では一分間に入口を通る人数は25+50とありました
なぜ減る人数と増える人数を合わせることで入口に通る人数が75となるのですか？

No.90071 - 2025/03/27(Thu) 20:03:01

☆ Re: / やり直しメン

引用

よろしくお願いします

No.90072 - 2025/03/27(Thu) 20:04:58

☆ Re: / やり直しメン

引用

訂正します

一分間に減る人数です

No.90073 - 2025/03/27(Thu) 20:06:40

☆ Re: ニュートン算 / ヨッシー

引用

24分間に増えた人数は　
　50×24 人
です。元からいた600人と合わせて、
　600＋50×24 人
が24分間に減ったので、１分間に減った人数は、
　(600＋50×24)÷24＝600÷24＋50×24÷24＝25＋50 人
となります。

No.90074 - 2025/03/28(Fri) 00:17:15

以下のフォームに記事No.と投稿時のパスワードを入力すれば
投稿後に記事の編集や削除が行えます。

300/300件 [ ページ : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 >> | 過去ログ | 画像リスト ]