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ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

since 2008/03/25

旧数学掲示板のログ

使用上の注意はこちらにあります

質問される方は学年（質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。


過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

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★ 単調増加 NEW / 高校３年生
数学そのものの内容ではないのかもしれませんが、質問させてください。
「単調増加」という言葉についてです。

私は普段
?@「単調増加である」
?A「単調に増加する」
?B「単調増加関数」
という使い方をしますが，

昨日塾の先生が黒板に
「単調増加する」
という言葉を書きました。
ひとつの動詞（？）のような使い方でしょうか。

どうも気持ちが悪いのですが，ほかの皆さんにとっては普通なのでしょうか。

細かいと言われればそれまでかもしれませんが，気になります。

ご教授くだされば嬉しいです。
No.89408 - 2024/11/26(Tue) 14:12:07
★ 部分和 NEW / 高知
集合(2,2,2,3,5,7,10)で部分和が10となる部分集合の個数は？
No.89407 - 2024/11/26(Tue) 11:08:28
☆ Re: 部分和 NEW / らすかる
「部分和が10となる部分集合」が「総和が10となる部分集合」の意味である場合
奇数は3,5,7の3つなので、この中から偶数個選ぶ必要がある。
0個の場合
残りは2,2,2,10で、2+2+2＜10なので(10)のみ
2個の場合
3と5ならあと2なので(3,5,2)
3と7ならそれで10なので(3,7)
よって全部で(10),(2,3,5),(3,7)の3通り。

「部分和が10となる部分集合」がそのままの意味である場合
部分和が10となるためには上記の3通りのいずれかを含めばよい。
つまり「10」を含むか、「2と3と5」を含むか、「3と7」を含めばよい。
よって場合分けして考えると
(1) 10を含む場合
残りは何でもよいので、3,5,7は含むか含まないかでそれぞれ2通りずつ、
2は0個〜3個の4通りとなり、2×2×2×4=32通り。
(2) 10を含まない場合
3は必要。
(2-1) 7を含む場合
残りの5と2は含んでも含まなくてもよいので、2×4=8通り。
(2-2) 7を含まない場合
5は必要、2は1個以上必要なので2が1〜3個の3通り。
従って全部で32+8+3=43通り。
具体的には
(10),(7,10),(5,10),(5,7,10),(3,10),(3,7,10),(3,5,10),(3,5,7,10),
(2,10),(2,7,10),(2,5,10),(2,5,7,10),(2,3,10),(2,3,7,10),(2,3,5,10),(2,3,5,7,10),
(2,2,10),(2,2,7,10),(2,2,5,10),(2,2,5,7,10),(2,2,3,10),(2,2,3,7,10),(2,2,3,5,10),(2,2,3,5,7,10),
(2,2,2,10),(2,2,2,7,10),(2,2,2,5,10),(2,2,2,5,7,10),(2,2,2,3,10),(2,2,2,3,7,10),(2,2,2,3,5,10),(2,2,2,3,5,7,10),
(3,7),(3,5,7),(2,3,7),(2,3,5,7),(2,2,3,7),(2,2,3,5,7),(2,2,2,3,7),(2,2,2,3,5,7),
(2,3,5),(2,2,3,5),(2,2,2,3,5)
No.89409 - 2024/11/26(Tue) 14:53:20
☆ Re: 部分和 NEW / 高知
詳しい解答ありがとうございました。深く感謝します。
No.89412 - 2024/11/26(Tue) 21:41:07
★ 東京大学過去問 NEW / Higashino
東京大学過去問

複素数平面

何卒よろしくお願いします

以下問題
No.89406 - 2024/11/26(Tue) 08:34:34
☆ Re: 東京大学過去問 NEW / X
(1)
条件から
|z-α||w-α|=α^2 (A)
w-α=k(z-α) (B)
(但しkは正の実数)
(A)に(B)を代入して
k={α/|z-α|}^2
これを(B)に代入して
w=(z-α){α/|z-α|}^2+α
∴f[α](z)=(z-α){α/|z-α|}^2+α

(2)
(1)の結果から
f[α](i)=(i-α){α/|i-α|}^2+α
=α/(α^2+1)+i(α^2)/(α^2+1)
∴複素数の相等の定義より
x=α/(α^2+1) (C)
y=(α^2)/(α^2+1) (D)

(3)
(C)を(D)に代入して
y=αx
(C)(D)からxy≠ゆえ
α=y/x (E)
(E)を(D)に代入して
y=(y^2)/(x^2+y^2)
y{y-(x^2+y^2)}=0
∴y-(x^2+y^2)=0
x^2+(y-1/2)^2=1/4

よって求める曲線は
点(i/2)を中心とする半径1/2の円のうちの
第1象限にある半円の部分。
No.89411 - 2024/11/26(Tue) 18:48:10
★ 東北大学過去問 / Higashino
東北大学過去問

複素数平面

なにとぞよろしくお願いします

以下問題
No.89405 - 2024/11/25(Mon) 23:39:42
☆ Re: 東北大学過去問 NEW / X
以下、複素数を対応する複素平面上の点に対する
位置ベクトルとして扱うものとします。
つまり、例えば
点T(a)(aは複素数)
とすると
↑OT=a

(1)
Q(w)とすると、条件から
w=↑OP+↑OA
=z+(1+i√3)
∴z=w-(1+i√3)
これを
|z+2|=1
に代入すると
|w-(-3+i√3)|=1 (A)
よって点Qの軌跡は
点(-3+i√3)を中心とする半径1の円

(2)
R(r)、線分OQの中点をUとし、
(1)と同じwを使うと、条件から
r=↑OU+↑UR
=(1/2)↑OQ±{(√3)/2}i↑OQ
={(1±i√3)/2}w
∴w={(1干i√3)/2}r (複号同順、以下同じ)
これを(A)に代入すると
|{(1干i√3)/2}r-(-3+i√3)|=1
これより
|r-(-3+i√3){(1±i√3)/2}|=|{(1±i√3)/2}|
∴
|r-(-6-i2√3)|=1
又は
|r-i4√3|=1
よって点Rの軌跡は
点(-6-i2√3),(i4√3)を中心とする半径1の2つの円
No.89410 - 2024/11/26(Tue) 18:05:56
★ (No Subject) / けんたろう
1+2x＞0、1＋2x＜0というふうに場合分けして考える方法は正しいのでしょうか。xは実数です。
No.89403 - 2024/11/25(Mon) 20:15:47
☆ Re: / ヨッシー
それが一番いいでしょう。
他にも １＋２ｘ≠０ だけことわって、両辺に
(１＋２ｘ)^2　を掛けるというのもありますが、かえって面倒です。
No.89404 - 2024/11/25(Mon) 21:05:39
★ 極限 / もんもん
この計算過程でなぜこうなるのかわからないです。教えていただきたいです類題八の7番です
No.89399 - 2024/11/24(Sun) 13:43:10
☆ Re: 極限 / IT
どの行が不明ですか？
No.89400 - 2024/11/24(Sun) 14:05:57
☆ Re: 極限 / GandB
　一部隠れている上右隅の解説をじっくり読み、有理化をすればすぐわかる。
No.89401 - 2024/11/24(Sun) 14:26:17
☆ Re: 極限 / IT
模範？解答のように、与式の分母分子をnで割って２行目に変形するよりも、
与式の分母を有理化する方が分かり易いかも知れません。

このことについてもGandBさんの御指摘の通り、上右隅の解説に書いてあるようですね。
No.89402 - 2024/11/24(Sun) 14:41:37
★ (No Subject) / 有栖川
両方とも真だと思うのですが、どうやったら示せるのか分かりません。解説して頂けますか？
No.89388 - 2024/11/23(Sat) 17:09:06
☆ Re: / IT
何年生ですか？
有界な単調数列は収束列である。という定理を使って良いですか？
この定理の証明が必要ですか？
No.89389 - 2024/11/23(Sat) 18:16:58
☆ Re: / 有栖川
高３です。大学数学は全然理解していません。
No.89390 - 2024/11/23(Sat) 18:20:37
☆ Re: / 有栖川
高校数学範囲で説明できるならお願いしたいです。
No.89391 - 2024/11/23(Sat) 18:23:27
☆ Re: / IT
極限を扱う場合は、厳密な議論が必要なので「高校範囲で説明」は、私には出来そうもありません。
参考までに、上記の大学１年レベルの定理は、既知として書いておきます。

１　Lim(n→∞) b[n]=βより、自然数Nがあって,n≧Nならば　b[n]＜β+1
任意の自然数nでa[n]≦b[n] なので、n≧Nならば　a[n]＜β+1

・・・

したがって、数列a[n]は、単調増加で上に有界なので収束する。

２　Lim(n→∞) a[n]=αとおく。
　自然数Nがあってn≧Nならば　 α-0.1＜a[n]＜α+0.1…(1)
　任意の自然数mについて a[N+m] はa[N] 以上の自然数（帰納法で証明）
　(1)よりα-0.1＜a[N]≦a[N+m] ＜α+0.1
　α-0.1とα+0.1の 間には、たかだか１つの自然数しかないのでa[N]=a[N+m]
　
　よってn≧Nならばa[n]=a[N]
　・・・
No.89392 - 2024/11/23(Sat) 18:51:38
☆ Re: / IT
下記でどうでしょうか？　２も下記の途中からを少し書き換えるだけです。

Lim(n→∞) b[n]=βより、自然数Nがあって,n≧Nならば　b[n]＜β+1
β+１以上の最小の自然数をMとする。
任意の自然数nでa[n]≦b[n] なので、n≧Nならば　a[n]＜M
数列a[n]は、単調増加なので　任意の自然数nについて　a[n]＜M

すなわち,任意の自然数nについて a[n]≦L となる自然数Lが存在する。

このような自然数Lのうち最小のものが存在する。これをAとする。
このとき　自然数mが存在して,a[m]=A である。（要証明）
m≦n について、A=a[m]≦a[n]≦A なので　a[n]=A である。

したがってLim(n→∞) a[n]=A
No.89393 - 2024/11/23(Sat) 20:31:11
☆ Re: / 有栖川
なるほどありがとうございます。自分が正しく理解できているかの確認なのですが、

β+1でなくてもβ+0.01などでも構わないという事ですか？

Nは十分大きいNに対してという事ですか？
No.89394 - 2024/11/23(Sat) 22:03:35
☆ Re: / 有栖川
εN論法を高校数学的に書き換えたという感じでしょうか？
No.89395 - 2024/11/23(Sat) 22:04:56
☆ Re: / IT
そうですね
No.89397 - 2024/11/24(Sun) 08:47:42
★ 複素数平面　反転写像 / Higashino
複素数平面
東京大学過去問

なにとぞよろしくお願いします

以下の答案が分かりません

2カ所あります

どなたか教えてください。よろしくお願いいたします。

以下わからないところ
No.89387 - 2024/11/23(Sat) 00:50:37
☆ Re: 複素数平面　反転写像 / Higashino
　追伸

点Aが，単位円に関する反転をして，点A'に移った と言うのは，
・ A'が半直線OA上にある
・ OA×OA'＝1
これを満たすことです。


このことと、?Aの質問は関係があるのでしょうか？よろしくお願いいたします。
No.89396 - 2024/11/24(Sun) 04:01:00
☆ Re: 複素数平面　反転写像 / Higashino
おはようございます

自分なりに答案を作成しました

反転と言うことも、資料不足で全くのお手上げ状態ですが

人の手も3分の1ほど借りて、残りは自力で考えました

数多多くの間違いがあると思いますが

ドンドンとご指摘ください

どうにか反転と言う数学の技を身に付けたいのです

お力をお貸しください

何卒よろしくお願いします

以下、不十分な答案
No.89398 - 2024/11/24(Sun) 09:39:25
★ (No Subject) / ringo
三角形ABCにおいて、AB=3、BC=4、AC=5とする。 ∠BACの二等分線と辺BCとの交点をDとする。 また、∠BACの二等分線と三角形ABCの外接円Oとの交点で点Aとは異なる点をEとする。
三角形ABCの2辺ABとACの両方に接し、外接円Oに内接する円の中心をPとする。円Pの半径をrとする。 さらに、円Pと外接円Oとの接点をFとし、直線PFと外接円Oとの交点で点Fとは異なる点をGとする。

添付画像の黄色ラインの部分が、なぜ点Oと接するのかがわかりません。ご回答のほど、よろしくお願いします
No.89383 - 2024/11/22(Fri) 20:38:07
☆ Re: / IT
> 添付画像の黄色ラインの部分が、なぜ点Oと接するのかがわかりません。ご回答のほど、よろしくお願いします

何も「点Oと接する」　などとは書いてないと思いますが？

何が何とどこで接すると書いてあることについての疑問ですか？
No.89384 - 2024/11/22(Fri) 21:50:26
☆ Re: / ringo
ご返答ありがとうございます
「直線FPは2円P、Oの中心どうしを結んだ直線」という部分が理解出来ていません
円Oの中心のことを点Oと記載してしまっていました。すみません😣
No.89385 - 2024/11/22(Fri) 22:15:18
☆ Re: / ringo
接する2円の中心は一直線上にあるというやつですか！！解決しましたありがとうございました
No.89386 - 2024/11/22(Fri) 23:55:17
★ 一次分数変換 / Higashino
複素数平面

質問がありますので、よろしくお願いします。

以下、質問
No.89375 - 2024/11/20(Wed) 12:36:41
☆ Re: 一次分数変換 / X
単に分母分子に-1をかけているだけです。
No.89377 - 2024/11/20(Wed) 17:33:30
☆ Re: 一次分数変換 / らすかる
「z=(dz-b)/(-cz+a)が、成り立ちます。」は
「z=(dw-b)/(-cw+a)が、成り立ちます。」の間違い、
「z={(-1)w+(-2)}/{(-1)z+1}」は
「z={(-1)w+(-2)}/{(-1)w+1}」の間違いですね。
これらが正しければ、
w=(1z+2)/{1z+(-1)} から
a=1,b=2,c=1,d=-1 なので
z=(dw-b)/(-cw+a) にそれらを代入して
z={(-1)w-2}/{(-1)w+1}
となります。
No.89378 - 2024/11/20(Wed) 19:02:14
☆ Re: 一次分数変換 / Higashino
ラスカル先生、こんにちは

ご回答ありがとうございます

スッキリしました。本当に助かります。

これからも何卒よろしくお願いいたします
No.89379 - 2024/11/20(Wed) 20:37:40
★ 中3 相似 / un kn0wn
問題　平行四辺形ABCDがあり、ADの中点をE,CDを3等分する点のうちCに近い方をFとし、Af,ECの交点をGとする。三角形GFCの面積は平行四辺形の面積の何倍ですか？

この問題の解き方を教えてください。AFとBCを伸ばすと相似な三角形が2つできるのはわかります。
No.89363 - 2024/11/19(Tue) 15:17:39
☆ Re: 中3 相似 / un kn0wn
平行四辺形の面積の何倍ですか？は平行四辺形ABCDの面積の何倍ですか？の間違いです。
No.89364 - 2024/11/19(Tue) 15:18:27
☆ Re: 中3 相似 / ヨッシー
ＡＦとＢＣの交点をＨとすると、
　△ＡＢＨ∽△ＦＣＨ　
であり、相似比は ＡＢ：ＦＣ＝３：１。
また、
　△ＡＥＧ∽△ＨＣＧ
であり、相似比は ＡＥ：ＣＨ＝１：１
線分ＡＨ上において、
　ＡＧ＝ＧＨ＝１：１
　ＡＦ：ＦＨ＝２：１
より、
　ＡＧ：ＧＦ：ＦＨ＝３：１：２
△ＧＦＣと平行四辺形ＡＢＣＤの面積を比較するのに、ＣＤ、ＣＦを底辺とすると、
底辺比は　１：３　高さ比は　ＦＧ：ＦＡ＝１：４
一方が三角形、一方が平行四辺形であることを考慮すると、面積比は
　１：２４
答え　1/24
No.89365 - 2024/11/19(Tue) 16:08:48
☆ Re: 中3 相似 / un kn0wn
「△ＡＥＧ∽△ＨＣＧ
であり、相似比は ＡＥ：ＣＨ＝１：１」
１：１はなぜいえるのか教えてください？
No.89366 - 2024/11/19(Tue) 17:09:35
☆ Re: 中3 相似 / ヨッシー
△ＡＢＨと△ＦＣＨの相似比が３：１なので、
　ＢＨ：ＣＨ＝３：１
から
　ＢＣ：ＣＨ＝２：１
つまり、ＣＨはＢＣの1/2倍　ということが言えて、
ＡＥとＣＨは等しいことがわかります。
No.89367 - 2024/11/19(Tue) 17:18:14
☆ Re: 中3 相似 / un kn0wn
わかりました！ありがとうございました！
学年の正答率6%…
No.89382 - 2024/11/21(Thu) 21:04:08
★ 慶応大学過去問 / Higashino
慶応大学過去問

複素数平面

なにとぞよろしくお願いします

以下問題
No.89346 - 2024/11/18(Mon) 06:43:51
☆ Re: 慶応大学過去問 / ヨッシー
ｚ＝ｘ＋ｙｉ　と置きます。
(1)
　0≦|ｚ|≦1
より、
　|ｚ|^2≦1
　|ｚ|^2＝ｘ^2＋ｙ^2≦1　・・・(i)
同様に
　|ｚ−１|^2≦|ｚ|^2
　(ｘ−１)^2＋ｙ^2≦ｘ^2＋ｙ^2
　１−２ｘ≦0
　ｘ≧1/2　　　　・・・(ii)
グラフは省略しますが、
円　ｘ^2＋ｙ^2＝１ の周囲を含む内部のうち、
直線ｘ＝1/2 より右側にある部分（ｘ＝1/2 上の点も含む）
となります。

(2)
半径１、中心角 120°の扇形から
底辺√3、高さ 1/2 の三角形を引いたものなので、
　π/3−√3/4

(3)
(i)(ii) ともに等号が成り立つときなので、
　ｚ＝1/2±(√3)ｉ/2
No.89353 - 2024/11/18(Mon) 11:23:25
☆ Re: 慶応大学過去問 / Higashino
ヨッシー先生、おはようございます

お久しぶりです

ずいぶん寒くなってきました

今回の私の答案は、先生とほとんど同じだと思います

ご指摘アドバイスなどをいただければ幸いです


以下答案
No.89371 - 2024/11/20(Wed) 09:03:47
★ 数列の問題 / たかし
この問題、教えてください。
6番の問題です。
No.89338 - 2024/11/17(Sun) 22:27:26
☆ Re: 数列の問題 / たかし
以下の添付ファイル確認ください。
No.89339 - 2024/11/17(Sun) 22:32:45
☆ Re: 数列の問題 / T.I
私、質問させてもらった本人ですが、ｎ＝1の時とすること自体、意味のないこと、やってはいけないことと理解するべきなのでしょうか？
但し、数学的にはｎ≧2の条件を付してあげることで解決しそうです。後でｎ＝1の時の検証も付け加える形で良いと考えます。いかがでしょうか？
No.89349 - 2024/11/18(Mon) 08:52:28
☆ Re: 数列の問題 / ヨッシー
これは、
　３＋３^2＋・・・＋３^(n-1)
という書き方が誤解を生むのであって、数の規則性としては問題ありません。

Ｔ＝３＋３^2＋・・・＋３^(n-1) とおくと、
ｎ＝４　のとき
　Ｔ＝３＋９＋２７＝３９
ｎ＝３　のとき
　Ｔ＝３＋９＝１２
ｎ＝２　のとき
　Ｔ＝３
と減らしていくと、ｎ＝１のときは、何も足すものがなくて
　Ｔ＝０
となります。

ただ、ここまでの吟味をする時間があるなら、ｎ＝１は一旦横に置いておいてやるというのも、安心感のある方法ではあります。
No.89351 - 2024/11/18(Mon) 09:47:32
☆ Re: 数列の問題 / T.I
解説頂いて、ありがとうございます。
n＝1の時は3＾0＝1とい考え方ではないということになる
ので、s-3sの前にn≧2の時と条件を付して最後にn＝1の時の
に問題ないか確認するという方針でもよいといういことでしょうか？
No.89352 - 2024/11/18(Mon) 11:00:59
☆ Re: 数列の問題 / ヨッシー
そのように考えるのであれば、ｎ＝１の場合は意味がない、と捉えたほうがしっくり来るかもしれません。

３＋３^2＋・・・＋３^(n-1) 　を、
　３^k を ｋ＝１からｋ＝ｎ−１まで足す
と捉えるか
　３^(k-1) を ｋ＝２からｋ＝ｎまで足す
と捉えるかによって、違ってきます。
後者だと、ｎ＝１は意味を持ちません。
前者と捉えたうえで、
　ｋ＝１からｋ＝０まで足す　＝　何も足さない
と捉えられるなら、ｎ＝１のときも含められます。
No.89354 - 2024/11/18(Mon) 12:25:24
☆ Re: 数列の問題 / T.I
ｋ＝１からｋ＝０まで足す　＝　何も足さない
　ということはよくわからないです。
何も足さないとは３ということでしょうか？
もう少し説明をお願いいたします。
No.89355 - 2024/11/18(Mon) 13:35:29
☆ Re: 数列の問題 / ヨッシー
例えば、次のような処理を考えます。
（少しプログラミングっぽくなりますが）
a[k]＝３^k とします。
＜初期設定＞
Ｔは最初０とします。
ｋは最初１とします。
０以上の整数ｎの値を決めます。
＜手続き＞
ｋがｎ以下のときは　Ｔに a[k] を足し、ｋに１を加え、＜手続き＞に戻る
ｋがｎを超えたときは、手続きをやめる。
＜手続き終わり＞

ｎ＝０と決めると、Ｔはいくつになりますか？
Ｔ＝３になるのは、ｎ＝１のときです。

少し回りくどかったですが、何も足さないということは０ということです。
No.89356 - 2024/11/18(Mon) 13:47:43
☆ Re: 数列の問題 / T.I
数列の和の問題を解きました．
先日、質疑を上げさせていただいた件の解答の添削をお願いいたします．
No.89359 - 2024/11/18(Mon) 23:52:21
☆ Re: 数列の問題 / たかし
すいません、先程の資料は間違いです。
再度載せますので、確認ください。
No.89360 - 2024/11/18(Mon) 23:54:47
☆ 数列の問題 / T.I
私自身で解答させていただきましたのて
添削をお願いします。
No.89368 - 2024/11/19(Tue) 18:06:10
☆ Re: 数列の問題 / ヨッシー
それでいいですが、丸１のあとは、
　これはｎ＝１のときも成り立つ。
　よって、すべての自然数ｎについて、
　　Ｓ＝・・・
で良いと思います。
No.89372 - 2024/11/20(Wed) 09:05:12
★ 三角比 / あ
（2）の問題でなぜ50の2乗でくくるのかがわかりません
50でくくるのはだめなんでしょうか？
よろしくお願いします。
No.89333 - 2024/11/17(Sun) 21:14:43
☆ Re: 三角比 / IT
50で括ってもいいですが、
最後にPQ^2　の平方根を計算するのに、できるだけ平方数で括っておく方が、計算が楽になるということだと思います。
No.89336 - 2024/11/17(Sun) 22:07:48
★ 集合論 / 山田山
赤矢印の部分がわかりません。回答宜しくお願いします。
No.89326 - 2024/11/17(Sun) 13:25:55
☆ Re: 集合論 / IT
「写像fが単射である。」：「単射」の定義は分かりますか？
「単射」の定義を書いてみてください。
No.89327 - 2024/11/17(Sun) 14:22:59
☆ Re: 集合論 / 山田山
空でない集合X,Yに対して、f:X→Yを写像とする。
Xの元x1,x2について、x1≠x2 → f(x1)≠f(x2)
若しくは　f(x1)=f(x2) → x1=x2
を満たすときfを単射という

ですよね？
No.89332 - 2024/11/17(Sun) 21:01:06
☆ Re: 集合論 / IT
そうですね。
後の方の「単射」の定義の記述を踏まえて、ご質問の箇所を見直したときに
何が疑問ですか？
No.89334 - 2024/11/17(Sun) 21:32:12
☆ Re: 集合論 / 山田山
x1,x2 がA1,A2の共通部分の要素となる事に引っかかりました。
No.89340 - 2024/11/17(Sun) 22:58:03
☆ Re: 集合論 / IT
今も分かりませんか？
No.89348 - 2024/11/18(Mon) 07:10:52
☆ Re: 集合論 / 山田山
単射の定義上、y=f(x1)=f(x2) → x1=x2 より　f(x1) かつ f(x2)を満たすXの元はA1かつA2に存在するという事で大丈夫でしょうか？
No.89358 - 2024/11/18(Mon) 21:49:04
☆ Re: 集合論 / ast
なんだろうなあ……. 結局のところ矢印の部分は
　「x_1∈A_1 が x_1(=x_2)∈A_2 をも満たす ⇔: x_1∈A_1∩A_2」
(まあ x_1 と x_2 の役割は入れ替えてもいいが) という話をしているだけですし, これ自体は "∩ の定義" そのものであり, 引っかかるようなところではありません (定義を知っているかいないかでしかない).
# 仮に ∩ を定義も分からず使っているとしたら, この問題に取り組む以前の問題ということになるので,
# それは考慮しないでも構わないはずです.

> という事で大丈夫でしょうか？
上の話はもちろん単射性とは無関係です (単射性は x_1=x_2 を言うことのためだけに用いています) から, もし「単射性が絡むからわからない」と考えているのであればもうその時点で「読めていない」と考えるのが妥当でしょう.
No.89369 - 2024/11/20(Wed) 04:16:44
☆ Re: 集合論 / 山田山
ITさん、astさん回答ありがとうございます。
「x_1 = x_2 → x_1∈X_2 」は完全に盲点でした。
本当にありがとうございました。
No.89374 - 2024/11/20(Wed) 09:06:58
★ 一橋大学過去問 / Higashino
一橋大学過去問

複素数平面

なにとぞよろしくお願いします


以下問題
No.89322 - 2024/11/17(Sun) 03:50:10
☆ Re: 一橋大学過去問 / Higashino
以下問題となります
No.89323 - 2024/11/17(Sun) 03:52:16
☆ Re: 一橋大学過去問 / Higashino
こんばんは

私の答案が作成できましたので、投稿させていただきます

大変怪しい答案ですので、ご指摘ご指導のほどよろしくお願いいたします

以下答案
No.89345 - 2024/11/18(Mon) 02:05:37
☆ Re: 一橋大学過去問 / X
所々に誤字がありますが、方針に問題はありません。
但し、βの定義をどこかに書いておきましょう。
No.89357 - 2024/11/18(Mon) 18:10:14
★ 極限値の問題 / ひろし
極限値の計算で質問があります。よろしくお願いします。

＜問題＞
lim[x→0]{f(2-cosx)-f(1)}/x^2をf'(1)で表せ。


＜解答１＞
g(x)=f(2-cosx)-f(1)とおくと、
g(0)=f(2-cos0)-f(1)=0

g'(x)=f'(2-cosx)sinx
g'(0)=0

lim[x→0]{f(2-cosx)-f(1)}/x^2
＝lim[x→0]{g(x)/x^2}
＝lim[x→0]{g(x)-g(0)}/x・1/x
＝lim[x→0]{g(x)-g(0)}/(x-0)・1/x
＝lim[x→0]{g(x)-g(0)}/(x-0)・lim[x→0]{1/x}
=g'(0)×（±∞）
=0×（±∞）
不定形


＜解答２]＞
g(x)=f(2-cosx)-f(1)とおくと、
g(0)=f(2-cos0)-f(1)=0

g'(x)=f'(2-cosx)sinx
g'(0)=0

lim[x→0]{f(2-cosx)-f(1)}/x^2
＝lim[x→0]{g(x)/x^2}
＝lim[x→0]{g(x)-g(0)}/x・1/x
＝lim[x→0]{g(x)-g(0)}/(x-0)・1/x
＝lim[x→0]{g(x)-g(0)}/(x-0)・lim[x→0]{1/x}
＝g'(0)・lim[x→0]{1/x}
＝f'(2-cos0)sin0・lim[x→0]{1/x}
＝f'(2-cos0)sin0・1/0
＝f'(2-cos0)・（sin0/0）
＝f'(1)・1
＝f'(1)

正解は参考書ではf'(1)/2 です。
＜解答１]＞と＜解答２＞のどこが誤りですか。
よろしくお願いします。
No.89317 - 2024/11/16(Sat) 22:53:48
☆ Re: 極限値の問題 / らすかる
どちらも「解き方がまずくて答えにたどりついていない」ということです。
例えば
lim[x→∞]1=1ですが、これを
lim[x→∞]1=lim[x→∞]x・1/x
=lim[x→∞]x・lim[x→∞]1/x
=∞・0
=不定形
としているのと同様です。

具体的なまずい点は、
lim[x→a]f(x)g(x)=lim[x→a]f(x)・lim[x→a]g(x)
のように変形できるのは
lim[x→a]f(x) と lim[x→a]g(x) がいずれも収束するときであって、
どちらかが発散するように分けたら成り立ちません。
（つまり分けた結果どちらかが発散したらその分け方は誤りです。）

それと、最後の方でsin0/0を1としていますが、これも誤りです。
lim[x→0]sinx/xは1ですが、sin0を0で割ることはできません。
（その前の1/0も誤りです。）
No.89318 - 2024/11/16(Sat) 23:46:17
☆ Re: 極限値の問題 / ast
> 正解は参考書ではf'(1)/2 です。
質問の趣旨からは外れているとは思いますが
　(f(a+(1-cos(x))-f(a))/x^2
　=(f(a+h)-f(a))/h * (1-cos(x))/x^2　　(by h:=1-cos(x))
　=(f(a+h)-f(a))/h * (sin(x/2)/(x/2))^2 / 2　　(半角公式)
　→ f'(a) * 1^2 / 2　(as x → 0).　　 (∵h→0 as x→0)
あたりが参考書の想定解答なのではないですか?
# もちろん本問は a=1 というはっきり決まった値が相手ですが, 敢えて a と暈しました.
## (一般的には相応に具体的であるべきですが) 具体的過ぎるとときには話の筋を見失いかねないので.
No.89319 - 2024/11/17(Sun) 03:10:45
☆ Re: 極限値の問題 / ひろし
lim[x→a]f(x)g(x)=lim[x→a]f(x)・lim[x→a]g(x)
のように変形できるのは
lim[x→a]f(x) と lim[x→a]g(x) がいずれも収束するときであって、
どちらかが発散するように分けたら成り立ちません。
（つまり分けた結果どちらかが発散したらその分け方は誤りです。）

この内容とお二人の説明で＜解答１＞＜解答2＞の誤りは理解できましたが、１つ質問させて頂きます。

「分けた結果どちらかが発散したらその分け方は誤りです。」はわかりましたが、
例外として、以下の<例1>ように
lim[x→a]f(x) が0以外の値で収束して、lim[x→a]g(x) が発散するときは、
im[x→a]f(x)g(x)=lim[x→a]f(x)・lim[x→a]g(x)
のように計算できるのですか。

<例1>
lim[x→0](1+3/x^2)
＝lim[x→0](x^2+3)・(1/x^2)
＝lim[x→0](x^2+3)・lim[x→0](1/x^2)
（＝3・∞）
＝∞
No.89325 - 2024/11/17(Sun) 09:56:26
☆ Re: 極限値の問題 / らすかる
それは結果は合っていますので問題ないという人もいるかも知れませんが、
基本的に「発散するもの」に何かを掛けるという操作は
四則演算では定義されていませんので、
lim[x→a]f(x)・lim[x→a]g(x)
の形にはしない方がよいと思います。
# 本当は結果が発散した場合は途中の「=」が「同じ数値」を意味しませんので
# それもイマイチだと思いますが、それをダメにするとかなり不便なので
# それだけは許されているということだと思います。
No.89328 - 2024/11/17(Sun) 14:47:24
☆ Re: 極限値の問題 / ひろし
# 本当は結果が発散した場合は途中の「=」が「同じ数値」を意味しませんので
# それもイマイチだと思いますが、それをダメにするとかなり不便なので
# それだけは許されているということだと思います。
↑
すみません。わかっていませんので、具体的な例などを入れて説明して下さい。
No.89331 - 2024/11/17(Sun) 17:38:58
☆ Re: 極限値の問題 / らすかる
例えば
lim[x→1](x-1)/(x^3-3x^2+3x-1)
=lim[x→1](x-1)/(x-1)^3
=lim[x→1]1/(x-1)^2
=+∞
のような計算式があったとき、どの行も「発散」であり数値ではないので
本来「=」で結ぶことはできないはずですが、
「=」で結ばないと非常に不便なので
特別に許されているのだろう、という意味です。
No.89335 - 2024/11/17(Sun) 21:40:09
☆ Re: 極限値の問題 / ひろし
わかりました。


最初に書いていただいた、
lim[x→∞]（x・1/x）=lim[x→∞]x・lim[x→∞]1/x
は誤りのようですが、逆に

lim[x→∞]x・lim[x→∞]1/x＝lim[x→∞]（x・1/x）も誤りですよね。
それから、
lim[x→∞]x・lim[x→∞]1/xの答えはどのように書いたらいいですか。
No.89337 - 2024/11/17(Sun) 22:22:44
☆ Re: 極限値の問題 / らすかる
その二つの掛け算は未定義で計算できませんので、そういう問題は出ないはずです。
もし出たら「lim[x→∞]xは発散するので、積は定義できされていません」とでも書いておきましょう。

ちなみに
lim[x→∞](x+1)/x・lim[x→∞]x/(x+1)
を
lim[x→∞]((x+1)/x・x/(x+1))
にするのも誤りです。
No.89341 - 2024/11/17(Sun) 23:30:02
☆ Re: 極限値の問題 / ひろし
ちなみに
lim[x→∞](x+1)/x・lim[x→∞]x/(x+1)
を
lim[x→∞]((x+1)/x・x/(x+1))
にするのも誤りです。

↑

lim[x→∞](x+1)/x=1、lim[x→∞]x/(x+1)＝１
で両方とも有限の極限値を持つから
　　
lim[x→∞](x+1)/x・lim[x→∞]x/(x+1)＝lim[x→∞]((x+1)/x・x/(x+1))
も
lim[x→∞]((x+1)/x・x/(x+1))＝lim[x→∞](x+1)/x・lim[x→∞]x/(x+1)
も
正しいと思いますが、なぜ誤りですか。
No.89342 - 2024/11/17(Sun) 23:39:29
☆ Re: 極限値の問題 / らすかる
lim[x→∞](x+1)/x のxと
lim[x→∞]x/(x+1) のxは別物だからです。
よって「同じ速度で無限大に行く」と考えてはいけないので
一つのx→∞にまとめることはできません。
もし一つの式にするならば
lim[x→∞](x+1)/x・lim[x→∞]x/(x+1)
=lim[x→∞,y→∞](x+1)/x・y/(y+1)
のように別の変数にする必要があります。
（よって一つにまとめても意味がありません）
No.89343 - 2024/11/17(Sun) 23:54:59
☆ Re: 極限値の問題 / ひろし
lim[x→∞](x+1)/x のxと
lim[x→∞]x/(x+1) のxは別物だからです。
よって「同じ速度で無限大に行く」と考えてはいけないので
一つのx→∞にまとめることはできません。
もし一つの式にするならば
lim[x→∞](x+1)/x・lim[x→∞]x/(x+1)
=lim[x→∞,y→∞](x+1)/x・y/(y+1)
のように別の変数にする必要があります。
（よって一つにまとめても意味がありません）

↑

例えば、lim[x→0]((x+1)＝1(有限）、lim[x→0]((x+3)=3（有限）だから
lim[x→0]((x+1)・(x+3))＝lim[x→0](x+1)・lim[x→0](x+3)＝1・3=3……(1)
のように計算できるはずですが、
im[x→0](x+1)・lim[x→0](x+3)における
lim[x→0](x+1)のxとlim[x→0](x+3)のｘは異なるのですか？
つまりlim[x→0]((x+1)・(x+3))＝lim[x→0](x+1)・lim[y→0](y+3)ということですか？

(1)の計算で
lim[x→0]((x+1)・(x+3))＝lim[x→0](x+1)・lim[x→0](x+3)のどれも
(x+1)と(x+3)のｘは同じで、このｘは同じように増加して（同じ速さで）
∞になっていくと思っています。
No.89344 - 2024/11/18(Mon) 00:56:52
☆ Re: 極限値の問題 / らすかる
> lim[x→0]((x+1)・(x+3))＝lim[x→0](x+1)・lim[x→0](x+3)のどれも
> (x+1)と(x+3)のｘは同じで、このｘは同じように増加して（同じ速さで）
> ∞になっていくと思っています。
この認識は正しくありません。
式を二つに分けたらxが別物になりますので、変化速度の関連性はなくなります。
左辺はxは一つですから(x+1)と(x+3)のxは同じもので、当然同じ速度で変化しますが、
右のように分けるとそれぞれのxはそのlim内だけに通用するものですから、
同じ文字ですが無関係な変数となります。
例えば lim[x→0](x+3) と lim[y→0](y+3) は同じ意味ですから
lim[x→0](x+1)・lim[x→0](x+3)
と
lim[x→0](x+1)・lim[y→0](y+3)
は全く同じ意味です。後者は文字が異なり別々に変化するものですから、
前者も同様に別々に変化します。
No.89347 - 2024/11/18(Mon) 07:10:24
☆ Re: 極限値の問題 / ひろし
im[x→0]f(x)・lim[x→0]g(x)の２つのxは一般的に異なり
im[x→0]f(x)・lim[y→0]g(y)であることを初めて知りました。

そうすると、im[x→0]f(x)とlim[x→0]g(x)がともに有限な極限値をもつとしても
im[x→0]f(x)・lim[x→0]g(x)＝im[x→0]｛f(x)・g(x)｝は誤りですね。
im[x→0]f(x)・lim[x→0]g(x)＝im[x→0]f(x)・lim[ｙ→0]g(y)＝im[x→0,y→0]{f(x)・g(y)}
になるのですね。

とても勉強になりました。らすかるさん、astさんの丁寧な説明でよく理解できました。
本当にありがとうございました。
No.89361 - 2024/11/19(Tue) 00:20:48
☆ Re: 極限値の問題 / ひろし
＜すみませんlimのlが消えてましたの書き直しました。＞

lim[x→0]f(x)・lim[x→0]g(x)の２つのxは一般的に異なり
lim[x→0]f(x)・lim[y→0]g(y)であることを初めて知りました。

そうすると、lim[x→0]f(x)とlim[x→0]g(x)がともに有限な極限値をもつとしても
lim[x→0]f(x)・lim[x→0]g(x)＝lim[x→0]｛f(x)・g(x)｝は誤りですね。
lim[x→0]f(x)・lim[x→0]g(x)＝lim[x→0]f(x)・lim[ｙ→0]g(y)＝lim[x→0,y→0]{f(x)・g(y)}
になるのですね。

とても勉強になりました。らすかるさん、astさんの丁寧な説明でよく理解できました。
本当にありがとうございました。
No.89362 - 2024/11/19(Tue) 00:28:05
☆ Re: 極限値の問題 / ast
んむむ……
No.89319 は (質問に関係ないと書いた通り) "説明" ではなくて「参考書にそういう論法が (もしかしたら本問でではなくて類題でかもしれないが) 用いられていないか」という "確認" をしたくて問いかえしたものだったのだが…….
# これを気にするのは, 何をさせたい (気付かせたい) 問題なのか把握できるならそのほうがいいから.
## たとえばロピタル使ってもいいなら, なんてことない計算問題でしかないし.
No.89370 - 2024/11/20(Wed) 04:34:17
☆ Re: 極限値の問題 / ひろし
astさんの例も参考になりました。
ありがとうございました。
No.89380 - 2024/11/21(Thu) 08:09:07
★ 岡山大学過去問 / Higashino
岡山大学過去問

複素数平面

なにとぞよろしくお願いします

以下問題
　
No.89312 - 2024/11/16(Sat) 13:26:28
☆ Re: 岡山大学過去問 / X
(1)
条件から
|w|≦a|z|^2+b|z|+c (A)
(不等号の下の等号は
a|z|^2=b|z|=c (B)
のとき成立)
ここで
f(x)=ax^2+bx+c (0≦x≦1 (C))
を考えると、a,b,cが正数であることから
y=f(x)のグラフは
軸がx＜0の領域にある下に凸の放物線
∴f(x)は(C)において単調増加 (D)
(A)(B)(D)から
∴|w|≦f(|z|)≦f(1)=a+b+c=1
(不等号の下の等号は、(B)かつ|z|=1
、つまりa=b=c=1/3のとき成立)

(2)
(1)の過程から、|w|=1のとき
|z|=1
∴求めるzの値は
z=cosθ+isinθ
(θは任意の実数)
No.89313 - 2024/11/16(Sat) 13:57:44
☆ Re: 岡山大学過去問 / IT
Xさん＞
> (1)
> 条件から
> |w|≦a|z|^2+b|z|+c (A)
> (不等号の下の等号は
> a|z|^2=b|z|=c (B)
> のとき成立)

なぜ、(B)のとき等号が成立すると言えますか？
例えば a=b=c=1/3 ,z=i のとき(B)が成立しますが
w=i/3 となり不等号の下の等号は成立しません。
複素数の三角不等式について勘違いをしておられるようです
No.89314 - 2024/11/16(Sat) 19:18:00
☆ Re: 岡山大学過去問 / X
＞＞ITさんへ
ご指摘ありがとうございます。
＞＞Higashinoさんへ
ごめんなさい。ITさんの仰る通り
(B)が間違っています。
それに伴って、大幅な修正が必要ですので
改めて回答をアップします。

(1)
条件から
|w|≦a|z|^2+b|z|+c (A)
(不等号の下の等号は
az^2=bz=c (B)
のとき成立)
ここで
f(x)=ax^2+bx+c (0≦x≦1 (C))
を考えると、a,b,cが正数であることから
y=f(x)のグラフは
軸がx＜0の領域にある下に凸の放物線
∴f(x)は(C)において単調増加 (D)
(A)(B)(D)から
∴|w|≦f(|z|)≦f(1)=a+b+c=1 (E)

ここで(B)と
|z|=1
a+b+c=1
を連立して解くと
(a,b,c,z)=(1/3,1/3,1/3,1)
∴(E)の２つの不等号の下の等号が
同時に成立する条件は存在するので
|w|≦1

(2)
(1)の過程から、|w|=1のとき
z=1
No.89316 - 2024/11/16(Sat) 21:17:15
☆ Re: 岡山大学過去問 / Higashino
^_^こんにちは

ご回答ありがとうございます

私は複素数の三角不等式を用いて解きました

　ご指導ご指摘のほどよろしくお願いいたしま

以下答案
No.89320 - 2024/11/17(Sun) 03:19:28
☆ Re: 岡山大学過去問 / Higashino
^_^
補足2

1部間違っておりました

三角不等式の等号が成り立つ時です

失礼しました

何卒よろしくお願いいたします
No.89321 - 2024/11/17(Sun) 03:33:58
☆ Re: 岡山大学過去問 / IT
Xさん＞
> (1)
> 条件から
> |w|≦a|z|^2+b|z|+c (A)
> (不等号の下の等号は
> az^2=bz=c (B)
> のとき成立)
不等号の下の等号はzが負でない実数なら成立するのでは？
No.89324 - 2024/11/17(Sun) 09:13:42
☆ Re: 岡山大学過去問 / X
＞＞ITさんへ
z,w,uを複素数とするとき
|z+w+u|≦|z|+|w|+|u|
(等号成立はz=w=uのとき)
であることをそのまま使ったのですが。
(B)で済ませたのが、計算がやり足りなかった
ということでしょうか？
No.89329 - 2024/11/17(Sun) 17:12:05
☆ Re: 岡山大学過去問 / IT
Xさん＞
> z,w,uを複素数とするとき
> |z+w+u|≦|z|+|w|+|u|
> (等号成立はz=w=uのとき)
> であること
間違いです。 反例|1+2+3|＝|1|+|2|+|3|。

等号成立はarg(z)=arg(w)=arg(u)のとき の間違いでは？
（z=0などの場合は除いて）
No.89330 - 2024/11/17(Sun) 17:32:22
☆ Re: 岡山大学過去問 / X
＞＞ITさんへ
ご指摘ありがとうございます。
＞＞Higashinoさんへ
こめんなさい。ITさんの仰る通りです。

Higashinoさんが既にNo.89320で正しい解答を
出されていますので、修正した回答は
控えさせていただきます。
No.89376 - 2024/11/20(Wed) 17:32:14
★ (No Subject) / やり直しメン
算数です

濃度算の問題についてです
(3)です
解説では天秤算を使っていました。
なぜ天秤算を使って解けるのでしょうか
その理由について教えてください
No.89311 - 2024/11/16(Sat) 01:06:47
☆ Re: / ヨッシー
ご質問の意図は、
　なぜ、濃度の問題が天秤算で解けるのか？
ということか、それとも
　単純でないこの問題で、なぜあえて天秤算に挑戦したのか？
ということのどちらでしょうか？

前者であれば、こちらなどに説明があります。
No.89350 - 2024/11/18(Mon) 09:15:41
★ 数3 / ふつく
(3)からわかりません、お願いします
No.89307 - 2024/11/13(Wed) 17:33:16
☆ Re: 数3 / ふつく
あ
No.89308 - 2024/11/13(Wed) 17:34:40
☆ Re: 数3 / _
(3)は
P_k からx軸に下した垂線の足をH_kとすると、題意の面積は
　△OP_(n+1)H_(n+1) - △OP_nH_n - ∫[a_n→a_(n+1)]x*log(x)dx
と書ける。ここから差分形の簡単な漸化式が得られ(a_n)^2 が求まる。
　(a_n)^2 = (4/3)n^3 - (なんたらかんたら)　となるかな。

(4) は普通に区分求積。

(5) は直接は計算できなさそうだから挟み撃ちにして(4)の利用か。(k-1)^3<★<k^3の形に。
No.89310 - 2024/11/15(Fri) 15:42:40
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