ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

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旧数学掲示板のログ

使用上の注意はこちらにあります

質問される方は学年（質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。

過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

★ 慶応大学過去問 NEW / Higashino

引用

慶応大学過去問

積分

何卒よろしくお願いします

以下問題

No.89641 - 2024/12/22(Sun) 06:30:57

☆ Re: 慶応大学過去問 NEW / ポテトフライ

引用

誘導通りにやるのがよいでしょう。

t=x+√(x^2+1)とおくと
(t-x)^2=x^2+1
x=t/2-1/2t
よってdx=(1/2+1/2t^2)dt,√(x^2+1)=t-x=t-t/2-1/2t=t/2+1/2t
よりCを積分定数として
与式=∫(t/2+1/2t)(1/2+1/2t^2)dt
=(t^2-1/t^2)/8+1/2*log|t|+C
=(x√(x^2+1))/2+1/2*log|x+√(x^2+1)|+C

※この積分は有名なものです。置換の仕方も含めて暗記で良いと思います。

※これはy=x^2の曲線の長さを求める積分の準備になります。
例えばx=0～1の長さなら積分区間が[0,1]などとなります。
より詳しくは曲線の長さ、積分で検索すると出てきます。

No.89653 - 2024/12/22(Sun) 21:55:34

★ 確率 / アヤ

引用

問題
・52枚の１組のトランプから同時に５枚を抜き出すとき、次の確率を求めよ。

クラブ3枚と、他の絵札が2枚である確率

解答は「0.00366」となっていて、解説がありませんでした。自分なりで解きましたが「0.00366」になりませんでした。どこに問題があるのか教えていただけると助かります。

52枚の１組のトランプから同時に５枚を抜き出す事象
52C5=2598950

クラブ3枚の事象　13C3＝286
他の絵札2枚の事象　9C2=36
よって、クラブ3枚と、他の絵札が2枚の事象
286×36＝10296

10296/2598950＝0.00396

No.89632 - 2024/12/21(Sat) 13:59:11

☆ Re: 確率 / らすかる

引用

0.00396で正しいと思います。
0.00366は書き写しミスか何かでしょう。

No.89633 - 2024/12/21(Sat) 14:41:40

☆ Re: 確率 / アヤ

引用

らすかる様

ご返信ありがとうございます。
解き方が間違いないことで安心できました。

No.89634 - 2024/12/21(Sat) 14:54:27

★ 電通大過去問 / Higashino

引用

電通大過去問

積分

何卒よろしくお願いします

以下問題

No.89629 - 2024/12/21(Sat) 10:46:34

☆ Re: 電通大過去問 / X

引用

∫[1→√c]{f(x)/x}dx=3 (A)
f(x)=f(c/x) (B)
とします。
(A)に(B)を代入して
∫[1→√c]{f(c/x)/x}dx=3 (A)'
ここでc/x=tと置くと
x=c/t
∴dx=-(c/t^2)dt
でx:1→√cにc:c→√cが対応し
(A)'は
-∫[c→√c]{tf(t)/c}(c/t^2)dt=3
これより
∫[√c→c]{f(t)/t}dt=3
∫[√c→c]{f(x)/x}dx=3 (A)"
(A)+(A)"から
∫[1→c]{f(x)/x}dx=6

No.89638 - 2024/12/21(Sat) 20:53:25

☆ Re: 電通大過去問 NEW / Higashino

引用

x 先生、おはようございます

ご回答ありがとうございます

以下、私の当番です

ご指摘アドバイス等ありましたらよろしくお願いいたします

No.89639 - 2024/12/22(Sun) 03:27:54

☆ Re: 電通大過去問 NEW / X

引用

方針に問題はありません。
但し、添付写真の解答2行目の真ん中辺りで
dxが抜けています。

No.89648 - 2024/12/22(Sun) 20:46:15

★ 積分 / Higashino

引用

積分

何卒よろしくお願いします

関東学院大学過去問

以下問題

No.89626 - 2024/12/21(Sat) 07:55:53

☆ Re: 積分 / X

引用

(1)
与式の第二項において
x=f(t)
と置くと
f'(x)＞0
よりf(x)は単調増加なので
x:5→8
に
t:2→4
が対応し
(与式)=∫[2→4]f(x)dx+∫[2→4]tf'(t)dt
=∫[2→4]f(x)dx+[tf(t)][2→4]-∫[2→4]f(t)dt
=4f(4)-2f(2)
=32-10
=22

(2)
部分積分により
∫[2→4]xf'(x)dx=[xf(x)][2→4]-∫[2→4]f(x)dt
=4f(4)-2f(2)-14
=8 (∵)(1)の過程より

(3)
x=f(t)と置くと、(1)の過程と同様にして
(与式)=∫[2→4]{f'(t)/f(t)}dt=logf(4)-logf(2)
=log(8/5)

No.89627 - 2024/12/21(Sat) 08:50:19

☆ Re: 積分 / Higashino

引用

x 先生、こんにちは

ご回答ありがとうございます

今は積分を始めて、右も左もわからない状態です

基礎に戻り、公式が正しく使えるような草案を作ってみました

ご指摘アドバイスのでいただけると幸いです

以下答案

No.89628 - 2024/12/21(Sat) 09:16:02

☆ Re: 積分 / X

引用

問題ないと思います。

No.89637 - 2024/12/21(Sat) 20:40:22

★ 中学受験算数 / 独ソ不可侵条約

引用

以下の図形の赤線の長さを求められないので教えてください。分数になるらしいです。

No.89622 - 2024/12/20(Fri) 21:28:53

☆ Re: 中学受験算数 / 独ソ不可侵条約

引用

図が正確じゃなくてすみません。しかも手書きで。

No.89623 - 2024/12/20(Fri) 21:31:13

☆ Re: 中学受験算数 / IT

引用

中学受験算数はピタゴラスの定理（三平方の定理）を使えますか？
（小学校では習わないようですが、正しく使っていればOKという説もありますが、使わなくても解ける問題が出題されるはず？）
ピタゴラスの定理（三平方の定理）を使う解法は、思いつきましたが、使わないのは思いつけません。

どこかの中学受験の過去問ですか？

No.89635 - 2024/12/21(Sat) 15:13:48

☆ Re: 中学受験算数 / IT

引用

Cから直線ABへ下した垂線の交点をHとし
三平方の定理をでAHを求める。

DからABへ下した垂線の交点をEとする。
後は容易です。

（参考図　反転してます）

No.89636 - 2024/12/21(Sat) 18:00:09

☆ Re: 中学受験算数 NEW / らすかる

引用

これでどうでしょう

(1) 斜辺が4、底辺が2の3つの二等辺三角形EAB、AFE、BECを図の青線のように組み合わせる。
(2) Cを通りABと平行な直線（緑点線）とBEの交点をPとすると△CPEはCP=CE=2の
二等辺三角形となり、△CPE∽△BECだからPE=1。
四角形ABPCは平行四辺形なのでAC=BP=BE-PE=3、同様にBF=3。
（ここまでで△ABCと点Dは問題の図の通りになっています。）
(3) △GBF∽△GEAによりBG：EG=BF：EA=3：4なので、BG=(3/7)BE=12/7。
(4) △DBG∽△DCAによりBD：CD=BG：CA=12/7：3なので、
CD={3/(3+12/7)}BC=28/11。
よってx=28/11。

No.89643 - 2024/12/22(Sun) 15:02:36

☆ Re: 中学受験算数 NEW / IT

引用

らすかるさん
　小学算数の範囲で出来るんですね!!　
２つの図形を組み合わせるのは、いろいろ考えましたが、３つを組み合わせるのは、全く考えませんでした。
初見で時間内に解けるのは、図形の天才かも知れません。

いちおう三平方の定理を使った解答を載せておきます
y=AH,h=CHとおくと
三平方の定理から
△CAH:y^2+h^2=3^2
△CBH:(2+y)^2+h^2=4^2
2式の差からy=3/4
x:4=EH:BH=(1+y):(2+y)=7:11
∴x=28/11

No.89644 - 2024/12/22(Sun) 15:39:15

☆ Re: 中学受験算数 NEW / IT

引用

らすかるさんの図の一部（下記）でCQ=2-1/4=7/4 を求めてからでも出来ますね。
けっこういろいろな解法があるかも

No.89645 - 2024/12/22(Sun) 16:46:00

★ 積分　005 / Higashino

引用

積分

何卒よろしくお願いします

以下問題

No.89616 - 2024/12/20(Fri) 06:19:01

☆ Re: 積分　005 / X

引用

(1)
√x=t
と置いて置換した後、部分積分をします。

(2)
x=2sinθ
と置きましょう。

(3)
2ax-x^2=a^2-(x-a)^2
と変形して
x-a=asinθ
と置きましょう。

No.89621 - 2024/12/20(Fri) 19:32:13

☆ Re: 積分　005 / Higashino

引用

x 先生、おはようございます

アドバイスありがとうございます

アドバイス通りに答案を作成しました

ご指摘アドバイスなどいただけると幸いです

何卒よろしくお願いいたします

No.89625 - 2024/12/21(Sat) 05:51:27

☆ Re: 積分　005 NEW / X

引用

(1)
２行目の一番右の補1と書かれている式、つまり
＞＞=2(∫[0→2](te^t)dt-…
の
∫[0→2](te^t)dt
が誤りです。ここは
[te^t][0→2]
となります。(部分積分は理解できていますか？)

(2)(3)
問題ありません。

No.89650 - 2024/12/22(Sun) 21:05:42

★ 積分　003 / Higashino

引用

複素数平面も終え　積分の勉強を始めました
何卒よろしくお願いします

以下問題

問題数が多いですが、途中過程を書いていただけると幸いです。1行でもいいので

No.89615 - 2024/12/20(Fri) 06:02:55

☆ Re: 積分　003 / X

引用

いずれも置換積分で解く問題ですね。

(1)
1-x^2=t
と置きます。

(2)
sinx=t
と置きます。

(3)
logx=t
と置きます。

(4)
x^3+1=t
と置きます。

(5)
tanx=(sinx)/cosx
と変形して
cosx=t
と置きます。

(6)
logx=t
と置きます。

No.89620 - 2024/12/20(Fri) 19:29:34

☆ Re: 積分　003 / Higashino

引用

ｘ先生今日は
わたくしは
複素数平面を卒業し
積分に勉強を開始いたしました
今後とも何卒よろしくお願いします

No.89624 - 2024/12/20(Fri) 22:10:57

☆ Re: 積分　003 NEW / X

引用

(5)が間違っていますね。(誤植ですか？)
答えは
-log|cosx|+C
(Cは積分定数)
です。

それと、そこら中で積分の末尾のdxが抜けています。
注意しましょう。(省略していいものではありません。)

No.89651 - 2024/12/22(Sun) 21:11:31

★ (No Subject) / やり直しメン

引用

算数です

トライしましたが難しかったです

解説も見ましたが難しかったです
解説では勉強を始めた1時○分のときの、長しんと短しんがつくる小さい方の角を□度とすると、短しんは□度まわっています。また、勉強をしていた時間は2時間から3時間の間と書いてありました。

No.89610 - 2024/12/19(Thu) 08:27:39

☆ Re: / ヨッシー

引用

これ、希学園のＭ先生が、Ｈ学園にいたときに、予想していた問題ですね。
その後、入試で本当に出たのか、あるいは、このテキストがＭ先生著のものなのか．．．

それはさておき、問題ですが、左の図の長針が指している位置をＡ分、
右の図の長針が指している位置をＢ分とします。
左の時刻から右の時刻までの間に、長針は
　１時Ａ分→２時Ａ分→３時Ａ分→４時Ｂ分
と、３周より少し足りない所まで回ります。一方、短針は
　Ｂ分→Ａ分
までの角度を進みます。ここまでで［ウ］は求めることが出来て、
長針と短針、合わせて３周分、つまり　1080°です。

１分間に、長針と短針は合わせて 6.5°進むので、1080°動くのにかかる時間は
　1080÷13/2＝2160/13＝166と2/13(分)
　２時間46と2/13分
となります。

No.89611 - 2024/12/19(Thu) 09:08:49

☆ Re: / ヨッシー

引用

下の方の速さの問題、写真が貼れてないので、
未解決なら、また貼っておいてくださいね。

No.89612 - 2024/12/19(Thu) 09:12:58

☆ Re: / やり直しメン

引用

ヨッシーさんご回答ありがとうございます

一方、短針は
　Ｂ分→Ａ分
までの角度を進みます。
ここが分かりませんでした。

又、以前に質問した写真ですがどうやらIpadに投稿すると写真が掲載されない時があります。

No.89613 - 2024/12/19(Thu) 12:23:14

☆ Re: / やり直しメン

引用

早とちりしました。

条件に書いてあるところを見落としました。

申し訳ありません。

No.89614 - 2024/12/19(Thu) 12:34:37

★ (No Subject) / 高知

引用

10桁の整数で5を6つ含むものの個数は幾つありますか。この問題の解き方を教えてください。

No.89604 - 2024/12/18(Wed) 08:29:54

☆ Re: / ヨッシー

引用

10個の数字を置く位置のうち、６個を選んで５を置く方法は
　10Ｃ6＝210(通り)
残った４個の位置に、５以外の９個の数字を置く方法は
　9^4＝6561(通り)
よって、５を６個含む数字の置き方は
　210×6561＝1377810

このうち、一番左が０になると９桁以下になるので除きます。その数は
　9Ｃ6×9^3＝61236(個)
よって、求める個数は
　1377810－61236＝1316574(個)

No.89605 - 2024/12/18(Wed) 09:13:10

☆ Re: / 高知

引用

ありがとうございます。感謝です。

No.89606 - 2024/12/18(Wed) 10:06:34

★ 東京芸術大学過去問 / Higashino

引用

東京芸術大学過去問

複素数平面

何卒よろしくお願いします

以下問題

No.89582 - 2024/12/16(Mon) 22:30:18

☆ Re: 東京芸術大学過去問 / X

引用

x^2+γx+1=0 (A)
とします。

条件から(A)において解と係数の関係から
α+β=-γ (B)
αβ=1 (C)
(B)より
(α+β+γ)/3=0 (D)
(D)とα,β,γが正三角形をなすことから
問題の正三角形の重心は原点。
∴α,β,γは原点を中心とした同一円周上
に存在します。
∴この円の半径をrとすると
|α|=|β|=r
となるので(C)により
r=1
以上のことと、γが実数であることから
γ=1,-1
が候補となります。

(i)γ=1のとき
(A)より
x=(-1±i√3)/2=cos(2π/3)±sin(2π/3)
(複号同順)
∴題意を満たします。
(ii)γ=-1のとき
(A)より
x=(1±i√3)/2=cos(π/3)±sin(π/3)
(複号同順)
∴題意を満たします。

よって
γ=1,-1

No.89584 - 2024/12/16(Mon) 22:58:50

☆ Re: 東京芸術大学過去問 / Higashino

引用

ｘ先生
お久しぶりです
ご回答ありがとうございます
考え方がかなり違いますが
ご指摘アドバイスなどいただけると幸いです
以下答案