0845549

ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

since 2008/03/25

旧数学掲示板のログ

使用上の注意はこちらにあります

質問される方は学年（質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。


過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

HOME | お知らせ(3/8) | 記事検索 | 投稿回数 | 携帯用URL | フィード | ヘルプ | 環境設定

名前
メール
URL
件名
ファイル
文字色
/ 編集パス

★ 極限 NEW / たくや
y=xlogxは、x→+0 のとき y→-0 となるそうですが、
大学の数学では、ロピタルの定理で簡単だそうですが、
高校数学の範囲で証明できないんですか？
もし、高校数学の範囲で証明出来る方は、どうやるのかお願いします。
No.89973 - 2025/02/19(Wed) 01:16:12
☆ Re: 極限 NEW / らすかる
x＞0に対して
f(x)=(√x)logx+1とおくと
f'(x)=(logx+2)/(2√x)なので
f(x)は0＜x＜e^(-2)で減少、e^(-2)＜xで増加
よってf(x)はx=e^(-2)のときに最小値をとる
f(e^(-2))=1-2/e＞0なので
x＞0全体でf(x)＞0
従って
(√x)logx+1＞0
(√x)logx＞-1
logx＞-1/√x
これにより
lim[x→+0]x(-1/√x)≦lim[x→+0]xlogx≦0
となるが
lim[x→+0]x(-1/√x)=lim[x→+0](-√x)=0なので
lim[x→+0]xlogx=0
No.89974 - 2025/02/19(Wed) 02:00:53
★ (No Subject) / やり直しメン
算数です

（2）です

日本語が理解できてないです。

6秒早く進むだから
3594秒ではないのでしょうか
No.89967 - 2025/02/17(Mon) 23:55:07
☆ Re: / ヨッシー
そのように、秒で考えるならば、
正しい時計が 3600秒進む間に、この時計は 3606秒進みます。
　7200秒で、7212秒
　10800秒で、10818秒
　12000秒で、12020秒　ここで、正しい時刻より20秒進んでいます。
　正しい時刻は、６時よりも 12000秒前の、２時４０分です。

普通は、
１時間で６秒早くなるので、２０秒早くなるのは
　１時間×20/6＝60分×20/6＝200分＝３時間２０分
６時の３時間２０分前には正しかったので、その時刻は ２時４０分
と比で求めます。
（上の 12000秒もそれで求めました）
No.89968 - 2025/02/18(Tue) 01:30:10
☆ Re: NEW / やり直しメン
なぜ6秒早く進む時計が3606秒なのでしょうか。これですと私は6秒遅いと思ってしまいます。

6秒速いから3594秒ではないのでしょうか。
No.89970 - 2025/02/18(Tue) 11:29:19
☆ Re: NEW / ヨッシー
便宜上、標準の時計を正しい時計、６秒進む時計を誤った時計と呼ぶことにします。

問題は、「１時間に６秒早く進む」の「１時間」は何かということです。
誤った時計の長針が１周する時間は、あくまでも１周するだけであって、「１時間」とは言わないでしょう。
だとすると、「１時間に６秒早い」は、
誤った時計の長針が１周したときに、正しい時計は、3594秒の位置にある
ではなく、
正しい時計の長針が１周（つまり１時間）したときに、誤った時計は、3606秒の位置にある
と考えるのが自然でしょう。
No.89971 - 2025/02/18(Tue) 13:25:18
★ (No Subject) / やり直しメン
算数です


（３）です

わからないです
No.89965 - 2025/02/17(Mon) 23:04:02
☆ Re: / やり直しメン
僕は5/7を17/□とするために
17÷5＝3.4だから分子分母に同じ数をかける
というやり方でやりましたが
解説では　7×17/5＝23.8とやっていました。
9/11も同じです。
No.89966 - 2025/02/17(Mon) 23:07:42
☆ Re: / ヨッシー
結局
　5/7＝17/23.8
なので、やろうとしていることは同じです。つまり、
5/7が17/□に等しいとすると、
　5/7＝17/□
□＝の式にすると
　□＝7/5×17＝23.8
としているだけです。
No.89969 - 2025/02/18(Tue) 01:36:19
★ 中学1年生 / はる
定期試験の問題です。模範回答は200人でした。計算方法を教えて下さい。よろしくお願いします。
No.89961 - 2025/02/17(Mon) 17:31:34
☆ Re: 中学1年生 / X
去年の男子の人数をx人とすると、今年増えた人数について
10x/100-5(380-x)/100=11
これをxについての方程式として解きます。
(まず、両辺に100をかけて、計算しやすくしましょう。)
No.89962 - 2025/02/17(Mon) 17:51:46
☆ Re: 中学1年生 / ヨッシー
こちらは連立一次方程式で考えてみます。（試験範囲かどうかは気にしない）

去年の男子の人数をｘ人、女子の人数をｙ人とします。
　ｘ＋ｙ＝３８０　　・・・(1)
今年の人数は、男女それぞれ 1.1ｘ、0.95ｙ なので、
　1.1ｘ＋0.95ｙ＝３９１　・・・(2)

（以下略）
No.89963 - 2025/02/17(Mon) 17:54:25
☆ Re: 中学1年生 NEW / はる
二つの解き方を教えて頂き、ありがとうございました！！
No.89972 - 2025/02/18(Tue) 15:24:41
★ 04京大　極限 / トニー
解いてみたのですが評価がこのくらいでいいのか自分でわからないので教えていただきたいです。よろしくお願いします。
No.89959 - 2025/02/16(Sun) 20:52:08
☆ Re: 04京大　極限 / IT
画像が不鮮明なので確実ではないですが、合っているようです。
文脈から分かりますが「正方形」が何を意味するかが、曖昧だと思います。
本番では、限られた時間で複数の問題を解く必要があるので、仕方ないですが、問題練習では、できるだけ簡潔かつ正確な答案を作られた方が良いと思います。
No.89960 - 2025/02/17(Mon) 12:51:16
☆ Re: 04京大　極限 / IT
> 評価がこのくらいでいいのか
はさみうちの両側の極限値が一致してπという極限値が求められているのですから 、それで良いと思います。

最後に（１/n^2を掛けたところで）
n→∞で　 　→0となる　オーダーの違いは、どうでも大丈夫 だと思います。
No.89964 - 2025/02/17(Mon) 19:58:44
★ (No Subject) / 連続
過去問演習をしていてふと疑問に思ったのですが、二つの関数f(x)とg(x)が共に実数全体で連続なとき、f(x)+g(x)は常に連続なのでしょうか？教えていただきたいです
No.89954 - 2025/02/16(Sun) 00:00:11
☆ Re: / IT
二つの関数f(x)とg(x)が共に実数全体で連続なとき、f(x)+g(x)は常に連続　です。

何年生ですか？　大学で　厳密な連続の定義を習わないと厳密な証明はできないと思います。
No.89955 - 2025/02/16(Sun) 11:22:01
☆ Re: / IT
数３の教科書には、証明や説明抜きに　事実として記載されていると思います。
No.89956 - 2025/02/16(Sun) 11:26:25
☆ Re: / 連続
ありがとうございます。高3です。
No.89957 - 2025/02/16(Sun) 13:03:51
★ (No Subject) / はまっちょ
同志社2025個別文系数学
模範解答作成お願いします
No.89952 - 2025/02/14(Fri) 16:11:31
☆ Re: / _
(1)「合成」によりx=2*cos(θ-pi/6)。
0≦θ≦pi/2より max=2 (θ=pi/6のとき), min=1 (θ=pi/2のとき)。

(2) 与等式は cos(pi/2-3θ)=cos(3(θ-α)) と書ける。
「cosA=cosB ⇔ A±Bが2piの整数倍」に注意して、0≦α≦2pi/3の範囲で考えると、
α=pi/6となる。

以下 θ-pi/6 =uとおく。

(3) (2)よりsin(3θ)=cos(3u)。(1)よりx=2cosuだから、「3倍角」より
cos(3u)=4(cosu)^3-3cosu = (1/2)*(2cosu)^3-(3/2)*(2cosu) = x^2/2-3x/2 。

(4) yの式の第2項と第3項は、「合成」「2倍角」より
　3*cos(2θ)+3sqrt(3)*sin(2θ)=6*cos(2θ-pi/3)=6*cos(2u)
　=6*(2(cosu)^2-1)=3x^2-6
と書ける。また第4項と第5項は -6x と書ける。よって
　y=4(x^2/2-3x/2)+(3x^2-6)-6x = 2x^3+3x^2-12x-6 (=f(x)とおく)。

(5) f'(x)=6x^2+6x-12=6(x+2)(x-1)。いま1≦x≦2で、この範囲でf(x)は増加関数。
よって、
　max は x=2(θ=pi/6)のときで　-2。
　min は x=1(θ=pi/2)のときで　-13。
No.89958 - 2025/02/16(Sun) 14:34:19
★ 極限 / Higashino
自分の答案の間違いが
わかりませんどうか教えてください
何卒よろしくお願いします
No.89948 - 2025/02/12(Wed) 11:59:28
☆ Re: 極限 / ヨッシー
分子の積分区間の３を２に変えたら、13/4 になりますね。
No.89949 - 2025/02/12(Wed) 13:09:39
☆ Re: 極限 / Higashino
ヨッシー先生
そのとうりでした
ありがとうございました
No.89950 - 2025/02/12(Wed) 13:41:52
★ 式変形後の誘導の使い方が分かりません / Shinnosuke
高校3年です。

この問題の(2)について教えて頂きたいです。
自分なりに式変形をして、誘導に沿った置換を見つけたものの詰まってしまいました。

この式変形と置換でも、(1)の誘導を使って解く方法はあるでしょうか？また、この状態から誘導を使わずに解いたりは可能でしょうか？
No.89941 - 2025/02/10(Mon) 22:44:57
☆ Re: 式変形後の誘導の使い方が分かりません / Shinnosuke
私の式変形はこれです。
No.89942 - 2025/02/10(Mon) 22:45:33
☆ Re: 式変形後の誘導の使い方が分かりません / Shinnosuke
ちなみに本の解説はこんな感じでした。
No.89943 - 2025/02/10(Mon) 22:51:04
☆ Re: 式変形後の誘導の使い方が分かりません / ast
何が疑問かよくわかりませんが, 質問者さんの計算を信用するとして,
f(x)=(xe^x+e^x)/2 に対する (1) の結果(※) とは, 端的に言えば「
　∫(xe^x+2e^x)sin(x)dx = -(xe^x+e^x)cos(x)/2 + (xe^x+2e^x)sin(x)/2 + C (C は積分定数)
のように計算できるということ」であることは分かりますか?
# (※) (1) の結果の式と言っても, 必要なのは定積分ではなくて不定積分 (定数項が任意定数) の形ですが,
# それは (模範解答も同じことだと思うので) 詰まる要素では無いように感じます.
## つまり, 模範解答は f(x)=(xe^x-e^x)/2 に対する (1) の結果として
##　∫xe^xsin(x)dx = -(xe^x-e^x)cos(x)/2 + xe^xsin(x)/2 + C
## と計算しているわけですから,「同じ」ようにするのは問題にならないはずです.
そしたら提示された答案はもう結論さえ書けば終わりの段階にみえるので, 「詰まった」と言われてもなんだかよく分からない (考えるべきところは (1) がもう既に全部やってくれている) というのが所感です.

あるいは誘導無視でやるなら, 質問者さんのしたように部分積分を二度用いると, 求める積分と同じ形の項が出るのでそれをまとめることにより
　2 ∫ x e^x sin(x) dx = -x e^x cos(x) + (x e^x + e^x) sin(x) - ∫ 2 e^x sin(x) dx
を得て, 右辺の残った積分も同様にして
　2 ∫ e^x sin(x) dx = e^x sin(x) - e^x cos(x)
と計算できるからこれも代入して, あとは整理するだけ, でいいのでは.
# 問題でやっているように, 積分変数 t で区間 [0,x] 上定積分->不定積分という手順を経るべきだろうが,
# それは積分定数に関する議論を回避する程度のことに思えるので, ここでは不定積分で通した.
No.89944 - 2025/02/11(Tue) 01:18:46
☆ Re: 式変形後の誘導の使い方が分かりません / Shinnosuke
この問題を解いていた時の私は
F’(x)=f(x)となるF(x)を考えて、F(x)-F(0)のF(0)をどう出せばいいのかを考えていました。
(つまり、定数項をCとしてしまっていいのを忘れていました)

アホな質問をしてしまい本当にすみませんでした。
No.89947 - 2025/02/11(Tue) 22:15:24
☆ Re: 式変形後の誘導の使い方が分かりません / ast
# 解決済みだと思うので続ける必要も無いとは思うが……

> F’(x)=f(x)となるF(x)を考えて、F(x)-F(0)のF(0)をどう出せばいいのか
本問で f(x) の原始函数 F(x) を考える場面はないはずだけど, (f(x)+f''(x))sin(x) の原始函数かな? そうだとしたら, (1) で得られた函数は (定積分の区間に関する性質: ∫_[a,a] =0 (∀a) から) G(0)=0 を満たすような (f(x)+f''(x))sin(x) の原始函数 G(x) ですね.
# ここでの G は, f(x) の原始函数ではないという気分を出すために F 以外の文字を使っただけの
# ローカルな記号で深い意味はない (混同とかしないなら F でよい).

----
ついでなので
[検算用の別解]:
実変数複素数値函数の積分
　∫ xe^xcos(x)dx + i∫ xe^xsin(x)dx =: ∫ xe^x(cos(x)+isin(x))dx = ∫xe^(x+ix)dx
　= xe^(x+ix)/(1+i) - ∫e^(x+ix)dx/(1+i) = (1-i)xe^(x+ix)/2 - e^(x+ix)((1-i)/2)^2
　= (1-i)xe^x(cos(x)+isin(x))/2 + e^x(cos(x)+isin(x))i/2
　= (xe^x(sin(x)+cos(x))/2-e^xsin(x)/2)+ i(xe^x(sin(x)-cos(x))/2+e^xcos(x)/2)
の虚部を比較 (実部の比較で cos 版の等式も得られる).
# もちろん注意すべきこととして, 複素数値函数の積分が矛盾なく定義できること
# (いまの場合さしあたって複素函数=複素変数複素数値函数に対する一般論までは必要ない),
# 複素数値函数に対する部分積分, 複素数 α に対して (e^(αx))'=αe^(αx) および ∫e^(αx)dx=(1/α)e^(αx)
# など正当化すべきことがいくつもあるし, そもそも高校範囲でもないので, あくまで検算用として.
## とはいうものの変に技巧に凝るよりは素直な計算で求まるこちらのほうが私は好み.
No.89951 - 2025/02/12(Wed) 19:05:16
★ 階乗 / re
高校入試で出ました　(階乗?)

1×2×3×...×2025のようにしてできた数を
5^nで割り切ることのできるとき
nにあてはまる最大の整数は何か?

中学ではまだ階乗は学んでいないのでもしかしたら別の考え方
があるかもしれませんが合っているか確認お願いします。

(中学生の書いたものなので細かいところは気にしないでください)


1〜2025のうち5,25,125,625の倍数は

2025÷5 = 405個
2025÷25 = 81個
2025÷125 = 16.2→16個
2025÷625 = 3.24→3個

被っている(5の倍数であり25の倍数でもある　例:25,50)
数を消していく

16-3 = 13
81-16 = 65
405-81 = 324

よって
5^4の倍数3個と、5^3の倍数13個と、5^2の倍数65個と、
5^1の倍数324個があることが分かり、

これらの積が5^nと等しくなる。

4×3 + 3×13 + 2×65 + 324 ＝12+39+130+324
　　　　　　　　　　　　 ＝505

よってnに当てはまる最大の数は505
No.89930 - 2025/02/09(Sun) 16:07:57
☆ Re: 階乗 / X
問題ないと思います。
No.89931 - 2025/02/09(Sun) 16:38:48
☆ Re: 階乗 / IT
合っていると思います。
405+81+16+3＝505 の方が簡単ですね。
（どういう数え方かは後で）

例えば、1×2×3×...×10のようにしてできた数を
2^nで割り切ることのできるとき
nにあてはまる最大の整数は何か? だと

１,２,３,４,５,６,７,８,９,10
−,○,−,○,−,○,−,○,−,○, 5
−,−,−,○,−,−,−,○,−,−, 2
−,−,−,−,−,−,−,○,−,−, 1

5+2+1= 8

もちろん、reさんの考え方も有効で大切な考え方だと思います。
No.89932 - 2025/02/09(Sun) 16:41:12
☆ Re: 階乗 / re
ありがとうございます!

確かにその考え方を使えば早く解けますね
とてもわかりやすいです!
No.89933 - 2025/02/09(Sun) 23:18:02
★ (No Subject) / Higashino
極限 021 識者の方 私の間違いと正しい方向性を教えてください

何卒よろしくお願いします

以下問題と答案 質問


画像拡大リンク先
https://imgur.com/a/NOkQ8CA
No.89925 - 2025/02/09(Sun) 06:42:48
☆ Re: / X
添付写真1行目で通分する際に2が分子全体に
かかっているのが誤りです。
2はΣの前にしかかかりません。
又、2行目でも、
n→∞のとき分母→0
となることを忘れています。

以上の2点を修正して、計算すれば
0/0の不定形になってしまい、
その方針では計算できないことが
わかります。

で、方針ですが、Σの公式を使いましょう。
(与式)=lim[n→∞]{(1/2)n(n+1)/(n+2)-n/2}
=lim[n→∞]{(1/2)n{(n+1)-(n+2)}/(n+2)}
=lim[n→∞]{-(1/2)n/(n+2)}
=lim[n→∞]{-(1/2)/(1+2/n)}
=-1/2
No.89926 - 2025/02/09(Sun) 07:24:30
☆ Re: / Higashino
先生早速のご回答ありがとうございます

>2はΣの前にしかかかりません。

次の変形は間違いでしょうか
No.89927 - 2025/02/09(Sun) 08:29:44
☆ Re: / Higashino
質問を詳しくしました
No.89928 - 2025/02/09(Sun) 08:53:56
☆ Re: / らすかる
Xさんが指摘されているのは
Σ[k=1〜n]k/(n+2) - n/2
を通分して
{2Σ[k=1〜n]k - (n+2)n} / {2(n+2)}
となる（分子の(n+2)nには2は掛かっていない）のに、このΣの前の2を
2{Σ[k=1〜n]k - (n+2)n} / {2(n+2)}
のように前に出しているのは間違い、という意味です。
No.89929 - 2025/02/09(Sun) 10:43:17
☆ Re: / Higashino
次の答案の意味が分かりません
詳しく教えていただけると幸いです

?納k=1,n]k/n+2-n/2 …

=?婆/(n+2)-(n^2+6n+6)/2(n+2) …A

=?婆/(n+2)-[(n+2)(n+3)/2+n/2]/(n+2) …B

=?婆/(n+2)-?婆/(n+2)-n/2(n+2) …C

=(n+2)[∫[0,1]xdx-∫[0,1]xdx]-n/2(n+2) …D

=-1/2


質問

A の ?婆 とはなんなのか
A の (n^2+6n+6)/2(n+2)はどう導かれたのか
BからCの変形
CからDの変形

教えてください何卒よろしくお願いします
No.89934 - 2025/02/10(Mon) 10:04:55
☆ Re: / Higashino
文字化けしました

?納=Σ

です

何卒よろしくお願いします
No.89935 - 2025/02/10(Mon) 10:08:07
☆ Re: / Higashino
下の写真となります
No.89936 - 2025/02/10(Mon) 10:12:53
☆ Re: / X
Higashinoさんが参照されたという答案が
No.89936の添付写真の内容が全て
であるなら、答案というより、答案を
書くための下書きのように見える
のですが。
最終的な答えが正しいだけで、答案としては
×です。

まず、Higashinoさんも質問に出されている
通り、2行目以降のΣのパラメータが
明記されていません。
無論、Σのパラメータが1行目と同じなら
2行目のような変形はできません。

次に4行目から5行目の変形について。
恐らく、区分求積法を使うという意図で
下書きとして5行目の積分が書かれている
と思いますが、こんな変形をしなくても
4行目の二つのΣの項は(パラメータの明記
が同じであれば)相殺されます。
No.89939 - 2025/02/10(Mon) 18:55:27
☆ Re: / IT
なおΣ記号は使わなくても

2(1+2+3+...+n)= n(n+1) は、容易に分かります。（ひっくり返して足す。公式のもとの考え方ですね。）
No.89940 - 2025/02/10(Mon) 19:43:32
☆ Re: / Higashino
最終答案
間違いご意見があれば
何卒よろしくお願いします
No.89946 - 2025/02/11(Tue) 01:33:44
☆ Re: / X
添付写真の答案の3行目の{}の中の二つの
Σ[k=1〜n+2]k/(n+2)
が分母に来ているのが
誤りです。
その他の点に問題ありません。

但し、計算過程に無駄が多いです。
答案2行目の最右辺の時点で、()の
第一項、第二項を打ち消しても極限は
求められるのに、わざわざ残して
いますよね。
続く4行目の{}で区分求積法を
使っていますが、{}の外を含めた
式全体でみると

{}内がnの値にかかわらず0

という条件が付いていなければ、安易に
n→∞としてはいけない式の形です。
({}の外にn+2がかかっているので
{}の中の式によっては不定形になります。)
No.89953 - 2025/02/14(Fri) 19:35:06
★ 極限 / Higashino
分求積法

（４）が区分求積法で求められません

教えてください
No.89918 - 2025/02/08(Sat) 07:43:28
☆ Re: 極限 / Higashino
以下問題です
No.89919 - 2025/02/08(Sat) 07:44:24
☆ Re: 極限 / Higashino
以下答案になります
No.89920 - 2025/02/08(Sat) 07:45:20
☆ Re: 極限 / IT
分子分母をn^3 で割るとどうですか？
No.89921 - 2025/02/08(Sat) 08:35:40
☆ Re: 極限 / Higashino
IT先生
アドバイスのおかげで無事解決しました
念のためチェックしていただけると幸いです
No.89922 - 2025/02/08(Sat) 10:21:01
★ (No Subject) / ネコ丸
　中二です。
　この問題の(2)の求め方で、どうしてこうなるのかがわかりません。
No.89913 - 2025/02/07(Fri) 12:30:37
☆ Re: / ヨッシー
６本のくじを　ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆ とし、ａ と ｂ が当たりとします。
Ａがａを引いて、Ｂがｂ を引いた状態を （ａ，ｂ）と表すことにすると、
Ａ、Ｂ２人のくじの引き方は
(a,b) (a,c) (a,d) (a,e) (a,f)
(b,a) (b,c) (b,d) (b,e) (b,f)
(c,a) (c,b) (c,d) (c,e) (c,f)
(d,a) (d,b) (d,c) (d,e) (d,f)
(e,a) (e,b) (e,c) (e,d) (e,f)
(f,a) (f,b) (f,c) (f,d) (f,e)
の３０通り。
このうち、Ｂが a を引くのは、
(b,a) (c,a) (d,a) (e,a) (f,a)
の５通り
Ｂが b を引くのは
(a,b) (c,b) (d,b) (e,b) (f,b)
の５通りで、合わせて１０通り。
求める確率は
　10/30＝1/3
このことを踏まえたうえで、
　ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆ を
　当1,当2,外1,外2,外3,外4
に置き換えて、元の解答を見てみましょう。
No.89914 - 2025/02/07(Fri) 12:52:16
☆ Re: / ネコ丸
ありがとうございました
No.89937 - 2025/02/10(Mon) 11:05:05
★ 至急！2023年度同志社個別文化情報学部 / はまっちょ
明日入試なのでなる早で解答教えてほしいです！どこにも載ってなくて、、

画質悪くてすみません！
No.89907 - 2025/02/06(Thu) 20:19:47
☆ Re: 至急！2023年度同志社個別文化情報学部 / はまっちょ
> 明日入試なのでなる早で解答教えてほしいです！どこにも載ってなくて、、
>
> 画質悪くてすみません！

(5)以外は解けました。

(1)A=20、B=50
(2)k=3
(3)36.5
(4)(m1+m2+m3+m4+m5)/5
No.89908 - 2025/02/06(Thu) 20:23:21
☆ Re: 至急！2023年度同志社個別文化情報学部 / IT
y[i]の定義などから
y[i]-5≦x[i] ＜y[i]+5 であることを言い、このことから容易に示せると思います。

どこまで丁寧に書くかですが、明日受験で　この問題が、このまま出るわけではないでしょうから、ポイントだけ押さえておけば良いのでは？
No.89909 - 2025/02/06(Thu) 20:54:42
☆ Re: 至急！2023年度同志社個別文化情報学部 / ヨッシー
(3)と(4) は違います。
(3) は多分単純な計算ミスと思われます。
(4) はそう単純ではなく、データＸの総和を求める方向で計算しましょう。
No.89911 - 2025/02/07(Fri) 08:14:20
☆ Re: 至急！2023年度同志社個別文化情報学部 / はまっちょ
ありがとうございます！理解できました！
No.89923 - 2025/02/08(Sat) 14:43:49
★ 確率 / 清瀬
問題

正方形ABCDの頂点AにPが、頂点CにQがいる。
PとQはそれぞれ、頂点A、頂点Cを同時に出発し、1秒後に反時計回りに、隣の頂点に移動する確率が1/3、1秒後に時計回りに、隣の頂点に移動する確率が1/3、その場にとどまる確率が1/3であるとする。

ここでの反時計回りは、A→B→C→D→Aに移動する向きを、時計回りは、A→D→C→B→Aに移動する向きを、それぞれ表すものとする。

PとQが同じ頂点に移動した時点で、終了する。
このとき、n秒後に終了する確率をPnとする。Pnを求めよ。


2020年の名古屋大学理系の4番目の問題が、PとQを交互に動かすという問題だったのですが、PとQが同時に動くものだと完全に読み間違えて解いてしまいました。本来の問題を読み違えた問題なので、答えはないのですが、綺麗な感じの答えが出てきたので、考え方と答えが合っているかどうか見て頂けないでしょうか。やる意味がないのはわかってはいます。よろしくお願いいたします。

解答

事象としては、PとQが一致する、PとQが対角に位置する、PとQが隣接するの三つだけで、それぞれの事象を、E、F、Gで表します。

n秒後に事象Fが起きている確率をQn、事象Gが起きている確率をRnとします。

n秒後に事象Fが起きるためには、n-1秒後に事象Fまたは事象Gが起きていて、

F→Fになる確率が3/9、G→Fになる確率が2/9、なので、

Qn=(3/9)Q(n-1)+(2/9)R(n-1)

同様に考えて、

Rn=(4/9)Q(n-1)+(5/9)R(n-1)

Qn=(1/3)・(7/9)^n+(2/3)・(1/9)^n
Rn=(2/3)・(7/9)^n-(2/3)・(1/9)^n

Pn=(3/9)Qn+(2/9)Rn=(1/3)・(7/9)^n+(2/3)・(1/9)^nとなりました。
No.89904 - 2025/02/06(Thu) 14:04:41
☆ Re: 確率 / ヨッシー
一番下の行以外は合っています。

まず
Pn=(3/9)Qn+(2/9)Rn
この漸化式が違います。係数も添字も。

また、別の考え方として、
　Sn＝1−Qn−Rn
を考えます。Sn はｎ回目までに終了する確率ですので、
　P[n]＝S[n]−S[n-1]
の関係があります。
No.89905 - 2025/02/06(Thu) 15:31:41
☆ Re: 確率 / 清瀬
ヨッシー様

＞まず
Pn=(3/9)Qn+(2/9)Rn
この漸化式が違います。係数も添字も。

Qnの係数は2/9でした。それから、左辺の添字はn+1とすべきでした。

これらを踏まえて、修正しましたら、

P(n+1)=(2/9)Qn+(2/9)Rn=(2/9)(7/9)^n

Pn=(2/9)(7/9)^(n-1)となりまして、ご紹介いただきました、Snを利用した場合の解答と一致しました。

上記の修正で合っていますでしょうか。

もしかして、運営者様でしょうか。
質問でシグマ記号を使う場合の記入方法を教えて頂けないでしょうか。

P2mをm=1からm=[N/2]([]はガウス記号です)まで足す場合のシグマはどのように記入すればよいでしょうか。
No.89910 - 2025/02/07(Fri) 00:31:28
☆ Re: 確率 / ヨッシー
それでも良いですし、
　Pn=(2/9)(7/9)^(n-1)
　　＝(2/9)(9/7)(7/9)^n
　　＝(2/7)(7/9)^n
まで持っていったほうが綺麗かもしれないです。

シグマの書き方は別に決まりはありませんが、
　Σ{m=1〜[N/2]}Ｐ[2m]
のように私は書いています。
No.89912 - 2025/02/07(Fri) 08:19:41
☆ Re: 確率 / 清瀬
ありがとうございました。

読み間違いの問題に、とてもご丁寧にお付き合いいただけましたこと、大変感謝申し上げます。
No.89915 - 2025/02/07(Fri) 13:54:45
★ 中3平面図形 / あいり
⑵と⑶の解説をお願いします
答えは⑵16:19⑶3:38です
No.89898 - 2025/02/05(Wed) 22:55:39
☆ Re: 中3平面図形 / _
(1)は
円周角の定理から「△ABEと△DCEは相似」が示せて、そこから
AE：DE＝BE：CE＝AB：DC＝2：5を導いたのでしょうか。
とりあえずこれでAE＝2k, DE＝5k とおけます。

同様に「△BCEと△ADEは相似」も示せるハズ。すると
BE：AE＝CE：DE＝BC：AD＝4：6＝2：3　が言えます。
よって
　BE は AEの2/3 だから BE＝4k/3,　CE は DEの2/3 だから CE＝10k/3
となって、
　AC＝AE+CE＝16k/3,　BD＝BE+DE＝19k/3
が得られます。これで(2)ができた。

まとめると、Eのまわりの線分が
　EA＝2k,　EC＝10k/3,　EB＝4k/3,　ED＝5k
と分かったので、ここから(3)の面積比を求めるのは難しくないハズ。
No.89899 - 2025/02/06(Thu) 00:14:37
☆ Re: 中3平面図形 / あいり
ありがとうございます！
No.89902 - 2025/02/06(Thu) 10:10:54
★ 数学の証明 / 独ソ不可侵条約
下の図で、Oは円の中心とし、弧AQ=弧BQ、PQが直径であるときに、PQとABが90°になることを証明したいです。
No.89895 - 2025/02/05(Wed) 17:29:20
☆ Re: 数学の証明 / 独ソ不可侵条約
＜訂正＞ PQとABが90°→PQとABが直交

自分のわかったところとしては、
三角形APDと三角形BPDが合同だったら(∠ADB)180÷2=90で90度を示すことができる。と思うのですが、
合同条件を満たしません。
円周角の定理から、等しい弧に対する円周角が等しいので
∠APD=∠BPD
共通だからPD=PD
までは出来たのですが…
No.89896 - 2025/02/05(Wed) 17:34:03
☆ Re: 数学の証明 / IT
ＯＡ、ＯＢを結ぶとどうですか？
※円の中心は重要なポイントです。
No.89897 - 2025/02/05(Wed) 18:51:38
☆ Re: 数学の証明 / 独ソ不可侵条約
ODが共通で、弧AQ=BQから∠AOD=∠BOD、半径だからOA=0Bがわかるから、△OAD≡△OBD
ということですね！わかりましたっ
No.89924 - 2025/02/08(Sat) 17:27:12
★ 度数分布表の中央値（中１です） / ぷよ太郎
授業で、度数分布表の中央値は中央の値がある階級の階級値を答えると習いました。
もし、データの数が偶数で、上から数えたときの中央の値と、下から数えたときの中央の値が別々の階級にあるときは、中央値はどのように表すのでしょうか？
No.89884 - 2025/02/04(Tue) 20:16:07
☆ Re: 度数分布表の中央値（中１です） / ヨッシー
データの数が偶数のときは、真ん中に最も近い２つの値の平均値が中央値となります。
No.89893 - 2025/02/05(Wed) 09:01:23
☆ Re: 度数分布表の中央値（中１です） / ぷよ太郎
ヨッシーさん、ありがとうございます。
１つずつの値がわかっているときはそれで良いのですが、度数分布表のときがわかりませんでした。

例えば、真ん中に最も近い２つの値が１０〜２０の階級と２０〜３０の階級に入っていたら、中央値はどうやって求めれば良いのでしょうか？
階級値の平均を考えて、（１５＋２５）÷２＝２０ですか？
No.89894 - 2025/02/05(Wed) 16:44:33
☆ Re: 度数分布表の中央値（中１です） / ヨッシー
こちらによると、
　（１５＋２５）÷２＝２０
で良いようです。
No.89900 - 2025/02/06(Thu) 09:30:51
☆ Re: 度数分布表の中央値（中１です） / ぷよ太郎
ヨッシーさん、ありがとうございました！
すごくスッキリしました！！
No.89906 - 2025/02/06(Thu) 15:40:26
★ 極限 / Higashino
京都大学過去問

何卒よろしくお願いします

以下問題
No.89881 - 2025/02/04(Tue) 15:22:29
☆ Re: 極限 / X
以下の通りです。

(1)
(与式)=lim[n→∞]{√(n+1)}{n-(n-1)}/{√n+√(n-1)}
=lim[n→∞]{√(1+1/n)}/{1+√(1-1/n)}
=1/2

(2)
(与式)=lim[n→∞]{(n^3+n)-n^3}/{√(n^3+n)+n^(3/2)}
=lim[n→∞]1/{√(n+1/n)+√n}
=0
No.89883 - 2025/02/04(Tue) 17:38:59
☆ Re: 極限 / Higashino
ｘ先生こんばんは
ご回答ありがとうございました
私は近似法で考えました
ご指摘があればよろしくお願いします
No.89885 - 2025/02/04(Tue) 23:04:22
☆ Re: 極限 / Higashino
考え方は変わらないのですが答案の書き方が良くなかったので再びアップします
No.89888 - 2025/02/05(Wed) 05:51:24
☆ Re: 極限 / Higashino
この問題には近似法の方が良いと思うのですが
どうしても解けない問題があります
また質問させていただきます
ｘ生ありがとうございました
No.89890 - 2025/02/05(Wed) 06:15:02
★ 極限 / Higashino
極限

何卒よろしくお願いします
No.89878 - 2025/02/04(Tue) 11:51:16
☆ Re: 極限 / ヨッシー
√（ｎ^2＋3n＋2)−ｎ
　＝{√（ｎ^2＋3n＋2)−ｎ}{√（ｎ^2＋3n＋2)＋ｎ}/{√（ｎ^2＋3n＋2)＋ｎ}
　＝(3n＋2)/{√（ｎ^2＋3n＋2)＋ｎ}
　＝(3＋2/n)/{√（1＋3/n＋2/n^2)＋1}
これを ｎ→∞ に飛ばすと
　√（ｎ^2＋3n＋2)−ｎ　→　3/2
No.89879 - 2025/02/04(Tue) 12:01:11
☆ Re: 極限 / Higashino
ヨッシー先生
を久しぶりです
ご回答ありがとうございます
わたくしは近似値で考えてみました
間違ってる点がありましたらよろしくお願いします
No.89880 - 2025/02/04(Tue) 13:58:30
☆ Re: 極限 / Higashino
私の答案に間違いがありましたので
再度掲載させていただきます
No.89889 - 2025/02/05(Wed) 06:12:57
☆ Re: 極限 / Higashino
申し訳ありません再度訂正です
No.89891 - 2025/02/05(Wed) 06:21:13
以下のフォームに記事No.と投稿時のパスワードを入力すれば
投稿後に記事の編集や削除が行えます。
300/300件 [ ページ : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 >> | 過去ログ | 画像リスト ]