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ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

since 2008/03/25

旧数学掲示板のログ

使用上の注意はこちらにあります

質問される方は学年（質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。


過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

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★ (No Subject) NEW / あああ
この問題の解き方をお願いしますm(＿ ＿)m
No.90367 - 2025/07/02(Wed) 00:49:59
★ 数学Aの問題 / ま
こちらの図形の問題の解き方と答えを教えてもらいたいです。
No.90363 - 2025/06/28(Sat) 13:44:17
☆ Re: 数学Aの問題 / X
条件が足りません。
点Iに対する条件が何かありませんか？
No.90364 - 2025/06/28(Sat) 16:29:29
☆ Re: 数学Aの問題 / ま
> 条件が足りません。
> 点Iに対する条件が何かありませんか？
すみません抜けてました。Iは△ABCの内心です。
No.90365 - 2025/06/28(Sat) 16:52:57
☆ Re: 数学Aの問題 / X
30°となっている角に対する頂点を起点にして
外側の三角形の頂点が時計回りにA,B,C
となっていると仮定して方針を。

点Iが△ABCの内心なので
線分AI,BIはそれぞれ、
∠BAC,∠ABCの二等分線になっています。
よって、△ABC,△ABIの内角の和について
30°×2+2x+53°=180° (A)
30°+x+y=180° (B)
(A)(B)をx,yについての連立方程式
として解きます。
No.90366 - 2025/06/28(Sat) 21:28:55
★ (No Subject) / やり直しメン
□8です。

（2）です。

なぜ(10+15)÷2をするのですか。
No.90361 - 2025/06/27(Fri) 07:16:29
☆ Re: / ヨッシー
食塩水Ａと食塩水Ｂを混ぜた食塩水の濃さを求めるためです。
両方同じ重さずつ加えたので、普通の平均で求められます。
一般に 10% の食塩水 ａｇと、15% の食塩水 ｂｇを混ぜたときの濃さは、
　(10×a＋15×b)/(a+b)
となりますが、ここでは ａ＝ｂ なので、(10＋15)/2 となります。
No.90362 - 2025/06/27(Fri) 09:11:46
★ (No Subject) / やり直しメン
算数です。


□7の（3）です。

解けなかったです。

よろしくお願いします。
No.90358 - 2025/06/23(Mon) 12:56:15
☆ Re: / ヨッシー
(3)
Ｃの水を入れたＡ,Ｂの中身は
Ａ、Ｂ、Ｃすべての量に等しく、濃さも等しいので、
その濃さは４％です。

つまり、Ｂに何ｇ水を入れると、４％になるかということです。
Ｂに最初に入っている食塩は ５．５ｇなので、
これが４％になるには、食塩水全体で、
　５．５÷０．０４＝137.5(g)
になればいいので、最初のＢの量を除くと
　137.5−100＝37.5(g)　・・・Ｃから入れた水の量
No.90359 - 2025/06/23(Mon) 14:40:25
★ 高校1年生 / 名無し
アとイの両方の解き方がわからないです。
教えて欲しいです。
チャートの解説を読んでも分からなかったです。
No.90350 - 2025/06/22(Sun) 17:56:33
☆ Re: 高校1年生 / X
アについて。
AAとOOをそれぞれ一つの文字と見ると
残りの4文字と合わせて6文字でできる
順列を考えればよく
6P6=6!=720[通り] (A)

イについて。
問題の8文字でできる順列の数は
8!/(2!2!)=10080[通り] (B)
一方

Aのみが隣り合い、かつOが隣り合わない
順列の数は、(A)を使うと
7!/2!-720=1800[通り] (C)

Oのみが隣り合い、かつAが隣り合わない
順列の数も(C)と同じ。

(A)(B)(C)から、同じ文字が隣り合わない順列の数は
10800-1440-1440-720=7200[通り]

(注)
イについては
8文字でできる順列全体の集合をU
Aが隣り合っている順列の集合をα
Oが隣り合っている順列の集合をβ
として、ベン図を描いてみるといいかもしれません。
No.90353 - 2025/06/22(Sun) 20:00:36
☆ Re: 高校1年生 / 名無し
> 10800-1440-1440-720=7200[通り]
なぜ引くのは1800ではないのですか？
No.90354 - 2025/06/22(Sun) 20:21:47
☆ Re: 高校1年生 / X
ごめんなさい。計算を間違えていますね。
訂正します。

誤：
10800-1440-1440-720=7200[通り]
正：
10800-1800-1800-720=6480[通り]
No.90360 - 2025/06/23(Mon) 19:29:31
★ 数A 組み合わせです / 名無し
次の条件を満たす（a,b,c,d,e）の個数を求めよ

0≦a≦b＜c≦d≦e≦3

求め方教えてくださいm(_ _)m
No.90346 - 2025/06/22(Sun) 17:12:23
☆ Re: 数A 組み合わせです / IT
a,b,c,d,e が実数なら、無数です。整数と書いてありませんか？
No.90347 - 2025/06/22(Sun) 17:34:11
☆ Re: 数A 組み合わせです / 名無し
> a,b,c,d,e が実数なら、無数です。整数と書いてありませんか？

書いてありました💦
No.90348 - 2025/06/22(Sun) 17:52:13
☆ Re: 数A 組み合わせです / IT
(b,c)=(0,1),(0,2),(0,3),(1,2),(1,3),(2,3) について
数え上げる（図を描いてもいいし、重複組み合わせを使ってもいいです）
No.90349 - 2025/06/22(Sun) 17:54:32
☆ Re: 数A 組み合わせです / 名無し
ありがとうございます
No.90351 - 2025/06/22(Sun) 17:57:57
☆ Re: 数A 組み合わせです / IT
b=c も許した場合を数えて（重複組み合わせ）
b=c=0,1,2,3 の場合を除く　方が少し簡単かも
No.90352 - 2025/06/22(Sun) 18:09:48
☆ Re: 数A 組み合わせです / 名無し
> b=c も許した場合を数えて（重複組み合わせ）
> b=c=0,1,2,3 の場合を除く　方が少し簡単かも
ありがとうございます
No.90355 - 2025/06/22(Sun) 20:34:24
☆ Re: 数A 組み合わせです / IT
下記のように考えるのが良いかも
0-a-b-c-d-e-3

+1を6か所の-の内、重複を許して3か所に入れます。
b-c には少なくとも1つ+1を入れます
残りの2つの+1を重複を許して6か所の-の内2か所に入れます。
C(6-1+2,2)=C(7,2)=21 通り
No.90356 - 2025/06/22(Sun) 21:12:58
☆ Re: 数A 組み合わせです / らすかる
A=a+1
B=b+2
C=c+2
D=d+3
E=e+4
とおくと
0≦a≦b＜c≦d≦e≦3
は
1≦A＜B＜C＜D＜E≦7
に変わりますので1〜7から5個選ぶ組合せとなり、7C5=21通りです。

※bとcの間だけ「＜」であることからB=b+2とC=c+2は同じ値を加算しており、
他は「≦」を「＜」にするために加算する値を1ずつ増やしています。
No.90357 - 2025/06/23(Mon) 07:16:49
★ (No Subject) / やり直しメン
算数です
□5の（2）です


なぜペンとえんぴつの本数を同じにする必要があるのですか。


私はペンを　1本、、、1本|8本あまり
　えんぴつは4本、、、4本|一本不足
——————————————————
3本、、、3本　|9本
9÷3=3人とやりました。
No.90342 - 2025/06/18(Wed) 20:41:48
☆ Re: / X
＞＞なぜペンとえんぴつの本数を同じにする必要があるのですか。

えんぴつの本数を、ペンの本数と同じである
3束に小分けして、それぞれの束のえんぴつを
一本づつ配れば、ペンの余る本数は
8[本/束]×3[束]=24[本] (A)
と分かります。

この24本を一束にして、更に1本づつ配れば、
3束から1本づつ配ったのと合わせて
全体で4本配ったことと同じになります。

従って、条件から
(A)を1本づつ配ったときに1本足らない
ということになりますので、配った人数は
24+1=25[人]
と分かります。


＞＞3本、、、3本　|9本
とありますが、この
＞＞|9本
の意味は何ですか。
No.90343 - 2025/06/18(Wed) 22:42:24
☆ Re: / やり直しメン
9本は差です。8本あまりと1本不足の差は9本とやりました
No.90344 - 2025/06/19(Thu) 00:06:52
☆ Re: / X
ペンをa[本]として、n[人]に分けたとすると
ペンの本数について
a=n+8 (A)

(i)えんぴつの本数がペンの本数と同じ場合
えんぴつの本数はa[本]ですので、
4本づつ配った場合
a=4n-1 (B)
(B)-(A)より
3n-9=0 (C)
ですので
n=3

(ii)えんぴつの本数がペンの本数の３倍(つまりご質問の問題の条件)の場合
えんぴつの本数は3a[本]ですので、
4本づつ配った場合
3a=4n-1 (B)'
(B)'-(A)より
3n-9=2a (D)

(C)(D)を見比べてみて下さい。
No.90345 - 2025/06/19(Thu) 18:44:02
★ (No Subject) / ネコ丸
この問題の解き方がなぜこうなるのかわかりません
教えてください。
No.90337 - 2025/06/12(Thu) 12:39:58
☆ Re: / ヨッシー
>ｃ≦80 より ａ は ａ≦66 を満たす自然数
のところはわかりますか？

√3(a+7) が整数になるには、3(a+7) は、Ａ×Ａ　(Ａは整数) という
形に表される必要があります。
３がすでに見えていますので、3(a+7) は、
　(３×Ｂ)×(３×Ｂ)　(Ｂは整数)
という形であるはずです。展開すると、
　3×3B^2 であり、3B^2 が a+7 に当たります。
よって、a+7＝3B^2 であり、B にいろんな整数(この場合は自然数)を当てはめて 条件　0＜ａ≦66 を満たすａを見つけています。
No.90338 - 2025/06/12(Thu) 13:26:27
☆ Re: / ネコ丸
3(a+7) は、
　(３×Ｂ)×(３×Ｂ)　(Ｂは整数)
　　　　　　　　　　　　
　　　　　のところがわかりません

もう少し詳しくお願いできますか？
No.90339 - 2025/06/12(Thu) 14:55:30
☆ Re: / ヨッシー
>3(a+7) は、Ａ×Ａ　(Ａは整数)
ここまでは理解されているとして、
3(a+7) は、3 の倍数ですから、Ａは３の倍数です。
そこで、Ａ＝３×Ｂ (Ｂは整数) とおくと
　(３×Ｂ)×(３×Ｂ)　(Ｂは整数)
と書けます。
No.90340 - 2025/06/12(Thu) 15:06:10
☆ Re: / ネコ丸
ありがとうございました
No.90341 - 2025/06/12(Thu) 15:15:23
★ (No Subject) / 中3
このような問題が本当に解けません。
No.90333 - 2025/06/09(Mon) 21:00:35
☆ Re: / ヨッシー
ＢＤ：ＤＣ＝１：２　より
△ＢＦＡ：△ＣＦＡ＝１：２　・・・(1)
ＡＥ：ＥＢ＝３：２　より
△ＢＦＡ：△ＥＦＡ＝５：３　・・・(2)
(1)(2) より
△ＢＦＡ：△ＣＦＡ：△ＥＦＡ＝５：１０：３
よって、ＣＦ：ＦＥ＝１０：３

難関私立高校入試レベルなら、メネラウスの定理も習っているかも。
No.90334 - 2025/06/10(Tue) 08:28:56
☆ Re: / WIZ
別解
# ヨッシーさんによる素晴らしい回答が投稿されていますが、
# 私も一生懸命解いたので複雑で無意味ですが投稿しちゃいます。

△ABCをxy座標上におきます。
点Bを原点に重ね、点Cはx軸の正の部分におきます。
各点の座標はu, v, wを正の実数として、A(5u, 5v), B(0, 0), C(3w, 0) とします。

すると、|AE|:|EB| = 3:2 より E(2u, 2v) となります。
また、|BD|:|DC| = 1:2 より D(w, 0) となります。

直線ADは (y-0)/(5v-0) = (x-w)/(5u-w) ⇒ y = {5v/(5u-w)}(x-w)
直線CEは (y-0)/(2v-0) = (x-3w)/(2u-3w) ⇒ y = {2v/(2u-3w)}(x-3w)
# 図から 5u-w ≠ 0 かつ 2u-3w ≠ 0 であることは自明とします。

直線ADと直線CEの交点が点Fなので、点Fのx座標は
{5v/(5u-w)}(x-w) = {2v/(2u-3w)}(x-3w)
⇒ 5(2u-3w)(x-w) = 2(5u-w)(x-3w)
⇒ {(10u-15w)-(10u-2w)}x = (10u-15w)w-(10u-2w)*3w
⇒ (-13w)x = (10u-15w)w-(30u-6w)w
⇒ -13x = -20u-9w
⇒ x = (20u+9w)/13

点Fのy座標は
y = {5v/(5u-w)}((20u+9w)/13-w)
= {5v/(5u-w)}((20u+9w)-13w)/13
= {5v/(5u-w)}(20u-4w)/13
= {5v/(5u-w)}*4(5u-w)/13
= 20v/13

よって、F((20u+9w)/13, 20v/13) となります。

|CF|^2 = (3w-(20u+9w)/13)^2+(0-20v/13)^2
= {(39w-(20u+9w))^2+(-20v)^2}/169
= {(30w-20u)^2+(20v)^2}/169
= {900w^2-1200wu+400u^2+400v^2}/169
= (100/169)(9w^2-12wu+4u^2+4v^2)

|FE|^2 = ((20u+9w)/13-2u)^2+(20v/13-2v)^2
= {((20u+9w)-26u)^2+(20v-26v)^2}/169
= {(9w-6u)^2+(-6v)^2}/169
= {81w-108wu+36u^2+36v^2}/169
= (9/169)(9w-12wu+4u^2+4v^2)

上記の文字式の部分は同一ですので、
(|CF|^2):(|FE|^2) = 100:9
⇒ |CF|:|FE| = 10:3
No.90335 - 2025/06/10(Tue) 08:48:01
☆ Re: / らすかる
別解
Eを通りADに平行な直線とBCの交点をGとするとDG：GB=AE：EB=3：2
またCD：DB=2：1なのでCD：DG：DG=10：3：2
よってCF：FE=CD：DG=10：3
No.90336 - 2025/06/11(Wed) 00:31:06
★ (No Subject) / 中3
この問題が分かりません
No.90331 - 2025/06/09(Mon) 20:10:14
☆ Re: / ヨッシー
(1)
△ＡＤＢは直角三角形で、∠Ａ＝３６°より、∠Ｂ＝５４°
弧ＣＤ＝弧ＡＣ×２ なので、∠ＣＢＤ＝∠ＡＢＣ×２
よって、∠ＣＢＤ＝５４°×2/3＝３６°
△ＥＤＢは直角三角形なので、∠ＢＥＤ＝９０°−３６°＝５４°・・・答え
△ＯＢＣは二等辺三角形なので、∠ＯＣＢ＝∠ＯＢＣ＝５４°×1/3＝１８°
∠ＯＣＹ＝９０°なので、∠ＢＣＹ＝９０°−１８°＝７２°・・・答え
No.90332 - 2025/06/09(Mon) 20:57:55
★ (No Subject) / やり直しメン

算数です。

□6の（2）教えてください。
特に432-285をする理由が分かりませんでした
No.90327 - 2025/06/04(Wed) 23:51:48
☆ Re: / GandB
　　ある整数を x
　　432、315、285 をxで割った商をq1、q2、q3
　　432 と 285 をxで割った同じ余りを r

とすると

　　432 = q1×x + r
　　315 = q2×x
　　285 = q3×x + r
　　432-285 = 147 = (q1-q3)x （432-285 は x で割り切れる）

　x は147 と 315 の共通の約数だから、その最大値である最大公約数が求める最大の整数である。

　　147 = 3×7×7
　　315 = 3×3×5×7

なので、最大公約数は21。
No.90328 - 2025/06/05(Thu) 08:20:40
★ 高校数学(数A) / 314
nx̄がどこから出てきたのかわかりませんでした。
No.90319 - 2025/06/02(Mon) 23:06:01
☆ Re: 高校数学(数A) / 314
問題文です。
No.90320 - 2025/06/02(Mon) 23:08:04
☆ Re: 高校数学(数A) / ast
> nx̄がどこから出てきたのか
変形の前後で項・因子の対応がわかるように式が書かれていますから, 結局
　 x^- = (x_1f_1+x_2f_2+…+x_nf_n)/(f_1+f_2+…+f_n)
であるかどうか, という話であるようです.
# 右辺の分母は =n で, その分母を払うと nx^- が分かると思います.

これが正しいのかどうかは問題文にすら書かていませんので挙げられた画像だけではわかりかねますが, しかしおそらくこれ（あるいはこれが誤りならばこれとよく似た正しい式）が, 当然の常識としておくべき前提にあるのではないでしょうか.
No.90321 - 2025/06/02(Mon) 23:59:29
☆ Re: 高校数学(数A) / 314
> > nx̄がどこから出てきたのか
> 変形の前後で項・因子の対応がわかるように式が書かれていますから, 結局
> 　 x^- = (x_1f_1+x_2f_2+…+x_nf_n)/(f_1+f_2+…+f_n)
> であるかどうか, という話であるようです.
> # 右辺の分母は =n で, その分母を払うと nx^- が分かると思います.
>
> これが正しいのかどうかは問題文にすら書かていませんので挙げられた画像だけではわかりかねますが, しかしおそらくこれ（あるいはこれが誤りならばこれとよく似た正しい式）が, 当然の常識としておくべき前提にあるのではないでしょうか.



ありがとうございます。
No.90322 - 2025/06/03(Tue) 11:33:10
☆ Re: 高校数学(数A) / IT
各階級に含まれるデータの値がすべてその階級値x_iに等しい。
各階級の度数がf_i と書いてあります。
度数の計　f_1+f_2+…+f_k　 = n

文脈からx^- は、考えているｎ個のデータの平均値を表すと読めます（astさんの回答にある　当然の常識）から
x^- = (x_1f_1+x_2f_2+…+x_kf_k)/(f_1+f_2+…+f_k)
No.90324 - 2025/06/03(Tue) 19:36:06
☆ Re: 高校数学(数A) / IT
高校数学１（私の手持ではAではなくて1)の教科書には
「一般に、変量xについて、大きさnのデータの総和をnで割った値を、このデータの「平均値」といい,x^- で表す。」
とあります。
No.90325 - 2025/06/03(Tue) 20:01:28
★ 漸化式 / ドンキーコング
次の漸化式で与えられる数列の一般項を求めよ。
a1=2,an=an-1 +n(n+1) n=2,3,4…


次のように解きましたが違うようです。どうして違うのか教えて下さい。
No.90311 - 2025/06/02(Mon) 13:15:01
☆ Re: 漸化式 / ヨッシー
解答の３行目の式に、ｎ＝２ を入れてみると、
　a[2]＝a[1]＋２
ですが、漸化式
　a[n]=a[n-1]+n(n+1)
にｎ＝２を入れると
　a[2]＝a[1]＋６
であり、この３行目からして誤りであることがわかります。

普通の漸化式は
　a[n+1]＝a[n]＋b[n]
の式で書かれているのを前提に
　a[n]＝a[1]＋Σb[n]
が言えるのですが、この問題は
　a[n]＝a[n-1]＋・・・
の形なので、少し変形が必要です。
No.90312 - 2025/06/02(Mon) 13:26:16
☆ Re: 漸化式 / ヨッシー
図が消えてたので、載せておきます。
No.90313 - 2025/06/02(Mon) 13:28:15
☆ Re: 漸化式 / ドンキーコング
ありがとうございます。

これも違ってるみたいなんですが、どこがいけないのですか？
No.90314 - 2025/06/02(Mon) 13:45:38
☆ Re: 漸化式 / ヨッシー
6n だけ２で割られていませんね。
原因は、項をまとめることと、約分することを同時にしたためです。
No.90315 - 2025/06/02(Mon) 14:10:06
☆ Re: 漸化式 / ドンキーコング
ありがとうございます。

初歩的なミスでした。
解決できました。

もう一つ質問ですが、漸化式でnをn+1に置き換えて解きましたが、これって大丈夫な操作なんですか？
No.90316 - 2025/06/02(Mon) 15:04:32
☆ Re: 漸化式 / ヨッシー
a[1]=2, a[n]=a[n-1]+n(n+1) n=2,3,4…
と
a[1]=2, a[n+1]=a[n]+(n+1)(n+2) n=1,2,3…
は同じものです。

ｎの範囲が違っていることに注意すると、上の疑問は解決するでしょう。
No.90317 - 2025/06/02(Mon) 17:03:16
☆ Re: 漸化式 / ドンキーコング
なるほど。そうゆうことですか。
理解できました。
ありがとうございました。
No.90318 - 2025/06/02(Mon) 21:50:16
★ (No Subject) / 中3
相似です。
解き方が分かりません。答えは、1:5です。
No.90304 - 2025/06/01(Sun) 16:53:51
☆ Re: / X
平行四辺形ABCDの面積をSとすると
条件から
(△BEDの面積)=(1/2)S×(BE/BC)
=(1/2)S×(2/3)
=(1/3)S (A)
一方、AD//BEより
△AFD∽△BEF
なので
BF:DF=BE:AD=2:3 (B)
(A)(B)から
(△DEFの面積)=(DF/BD)×(△BEDの面積)
=(3/5)×(1/3)S
=(1/5)S
よって
(△DEFの面積):S=(1/5):1
=1:5
No.90305 - 2025/06/01(Sun) 17:13:28
★ (No Subject) / 中3
十五の一の解き方が分かりません。
No.90303 - 2025/06/01(Sun) 16:35:14
☆ Re: / X
点A,Bからx軸に下ろした垂線の足を
それぞれH,Iとすると
△CBI∽△CAH
よって条件から
BI:AH=CI:CH
=4:1 (A)
一方、点A,Bは放物線y=(1/4)x^2の点
で,点Aは第1象限、点Bは第2象限の点なので
A(t,(1/4)t^2),B(-u,(1/4)u^2) (B)
(0＜t,0＜u (C))
と置くことができます。
(A)(B)から
(1/4)u^2:(1/4)t^2=4:1
これより
u^2:t^2=4:1
4t^2=u^2
(2t-u)(2t+u)=0
よって(C)より
u=2t
となるので
OI:OH=u:t=2:1 (D)

ここで、点(0,2)を点Dとすると
(台形BIOD)∽(台形ADOH)
なので(D)より
BI:OD=OI:OH=2:1
よって
BI=2OD
なので
(1/4)u^2=4
これより
u^2=16
よって(C)より
u=4
となるので
B(-4,4)

よって直線ABの傾きは
(0-4)/{0-(-4)}=-1
なので求める方程式は
y=-x+2
(もっと簡単な方法があるかもしれません。)
No.90306 - 2025/06/01(Sun) 17:39:08
☆ Re: / WIZ
Xさん、
> (0-4)/{0-(-4)}=-1

上記は点Bと点Dの座標から直線ABの傾きを計算しているのであれば、
(2-4)/{0-(-4)} = -1/2 の間違いだと思います。

以下別解 (簡単になった訳ではありません。)

(1)
直線ABはy切片が2なので y = px+2, 但し p < 0 とおけます。
放物線との交点は (1/4)x^2 = px+2 より x = 2p±√(4p^2+8) となります。

点Aのx座標をa, 点Bのx座標をb, 点Cのx座標をcとすると、
a > b より a = 2p+√(4p^2+8), b = 2p-√(4p^2+8) となります。
また、0 = pc+2 より c = -2/p です。

|CA|:|AB| = 1:3 より (c-a):(a-b) = 1:3 なので、
3(c-a) = a-b
⇒ 3(-2/p)-3(2p+√(4p^2+8)) = (2p+√(4p^2+8))-(2p-√(4p^2+8))
⇒ -6/p-6p = 5√(4p^2+8)
⇒ -6(1+p^2) = 5p√(4p^2+8)
⇒ 36(1+2p^2+p^4) = 25(p^2)(4p^2+8)
⇒ 0 = 64p^4+128p^2-36
⇒ 0 = 16p^4+32p^2-9 = (4p^2)^2+8(4p^2)-9 = (4p^2-1)(4p^2+9)

4p^2 > 0 より 4p^2 = 1, p < 0 より p = -1/2 となり
直線ABは y = (-1/2)x+2 となります。

(2)
直線ABはx切片が-3なので y = p(x+3), 但し p > 0 とおけます。
放物線との交点は 2x^2 = p(x+3) より 2x^2-px-3p = 0 となり
x = {p±√(p^2+24p)}/4 となります。

点Aのx座標をa, 点Bのx座標をbとすると、
a < b より a = {p-√(p^2+24p)}/4, b = {p+√(p^2+24p)}/4 となります。

|CA|:|AB| = 4:5 より (a-c):(b-a) = 4:5 なので、
5(a-c) = 4(b-a)
⇒ 5{p-√(p^2+24p)}/4-5(-3) = 4{p+√(p^2+24p)}/4-4{p-√(p^2+24p)}/4
⇒ 5p+15*4 = 8√(p^2+24p)+5√(p^2+24p)
⇒ 5p+60 = 13√(p^2+24p)
⇒ 25(p^2+24p+144) = 169(p^2+24p)
⇒ 0 = 144(p^2+24p)-25*144 = 144(p^2+24p-25) = 144(p-1)(p+25)

p > 0 より p = 1 となり、直線ABは y = x+3 となります。
No.90323 - 2025/06/03(Tue) 18:08:26
☆ Re: / X
＞＞WIZさんへ
ご指摘ありがとうございます。

＞＞中3さんへ
ごめんなさい。WIZさんの仰る通りです。
No.90326 - 2025/06/04(Wed) 18:07:46
★ 不等式の表す領域の体積 / むっちゃん
次の問題がわからないです。よろしくお願いいたします。

xyz空間において，
|logx|+|logy|+|logz|≦1
を満たす領域の体積を平面z=e^t(-1≦t≦1)による切り口の図形を調べることにより求めよ。
No.90297 - 2025/05/31(Sat) 17:38:34
☆ Re: 不等式の表す領域の体積 / WIZ
べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。
対数関数logは自然対数、eは自然対数の底と解釈します。

0 ≦ |log(z)| ≦ 1
⇒ -1 ≦ log(z) ≦ 1
⇒ 1/e ≦ z ≦ e
同様に、1/e ≦ x ≦ e, 1/e ≦ y ≦ e となります。

tの値を固定して e^t を定数と見なせば、z = e^t はxy平面に平行な平面となります。
平面 z = e^t による題意の立体の切り口の面積を s(t) とし、求める体積をVとすると、
V = ∫[1/e, e]s(t)dz = ∫[-1, 1]s(t)(e^t)dt

(1) t = log(z) < 0 の場合
1/e ≦ z = e^t < 1 つまり -1 ≦ t < 0 となり |log(x)|+|log(y)| ≦ 1-|log(z)| = 1+t です。
よって、|log(y)| ≦ 1+t-|log(x)| となります。

(1a) log(x) < 0 つまり 1/e ≦ x < 1 の場合
log(x) < -log(x) となりますから、
|log(y)| ≦ 1+t+log(x)
⇒ 1+t+log(x) ≦ log(y) ≦ 1+t-log(x)
⇒ e^(1+t+log(x)) ≦ y ≦ e^(1+t-log(x))
⇒ x(e^(1+t)) ≦ y ≦ (1/x)(e^(1+t))
この部分の面積は
∫[1/e, 1]{(1/x)(e^(1+t))-x(e^(1+t))}dx
= (e^(1+t))∫[1/e, 1]{1/x-x}dx
= (e^(1+t))[log(x)-(x^2)/2]_[1/e, 1]
= (e^(1+t)){(-1/2)-(-1-1/(2e^2))}
= (e^(1+t)){1/2+1/(2e^2)}

(1b) log(x) ≧ 0 つまり 1 ≦ x ≦ e の場合
-log(x) ≦ log(x) となりますから、(1a)とほぼ同様に
⇒ (1/x)(e^(1+t)) ≦ y ≦ x(e^(1+t))
この部分の面積は
(e^(1+t))∫[1, e]{x-1/x}dx
= (e^(1+t))[(x^2)/2-log(x)]_[1, e]
= (e^(1+t)){((e^2)/2-1)-(1/2)}
= (e^(1+t)){(e^2)/2-3/2}

よって、(1)の部分の面積は (e^(1+t)){2(e^2)/2-1} = (e^t)(e^3-e) となります。

(2) t = log(z) ≧ 0 の場合
1 ≦ z = e^t ≦ e つまり 0 ≦ t ≦ 1 となり |log(x)|+|log(y)| ≦ 1-|log(z)| = 1-t です。
よって、|log(y)| ≦ 1-t-|log(x)| となります。

(2a) log(x) < 0 つまり 1/e ≦ x < 1 の場合
log(x) < -log(x) となりますから、(1a)とほぼ同様に
⇒ x(e^(1-t)) ≦ y ≦ (1/x)(e^(1-t))
この部分の面積は
(e^(1-t))∫[1/e, 1]{1/x-x}dx = (e^(1-t)){1/2+1/(2e^2)}

(2b) log(x) ≧ 0 つまり 1 ≦ x ≦ e の場合
-log(x) ≦ log(x) となりますから、(1a)とほぼ同様に
⇒ (1/x)(e^(1-t)) ≦ y ≦ x(e^(1-t))
この部分の面積は
(e^(1-t))∫[1, e]{x-1/x}dx = (e^(1-t)){(e^2)/2-3/2}

よって、(2)の部分の面積は (e^(1-t)){2(e^2)/2-1} = (e^(-t))(e^3-e) となります。

以上から、
V = ∫[-1, 0]{(e^t)(e^3-e)(e^t)}dt+∫[0, 1]{(e^(-t))(e^3-e)(e^t)}dt
= (e^3-e){∫[-1, 0]{e^(2t)}dt+∫[0, 1]{1}dt
= (e^3-e){[(e^(2t))/2]_[-1, 0]+[t]_[0, 1]}
= (e^3-e){(1-e^(-2))/2+1}
= (e^3-e)(3-e^(-2))/2
= (3e^3-3e-e+e^(-1))/2
= (3e^3-4e+e^(-1))/2

# 私の勘違い、計算間違いがある可能性大ですので質問者さんの方で良く確認してください!
No.90300 - 2025/06/01(Sun) 12:17:25
☆ Re: 不等式の表す領域の体積 / IT
私は求積はやっていませんが
(3e^3-4e+e^(-1))/2 > e^3 なので、まちがっているようですね
No.90301 - 2025/06/01(Sun) 14:46:12
☆ Re: 不等式の表す領域の体積 / X
＞＞WIZさんへ
(1a)で絶対値を外す箇所が間違っているようです。
＞＞⇒ 1+t+log(x) ≦ log(y) ≦ 1+t-log(x)
ではなくて
-{1+t+log(x)} ≦ log(y) ≦ 1+t+log(x)
では？。
No.90307 - 2025/06/01(Sun) 17:45:01
☆ Re: 不等式の表す領域の体積 / WIZ
ITさん、Xさん、ご指摘ありがとうございます。

少なくとも「絶対値を外し方」と「積分範囲」を間違えていました。
(1)は -1 ≦ t < 0 なので 0 ≦ |log(x)|+|log(y)| = 1+t < 1 であり、
(1a)は log(x) < 0 なので 0 < -log(x) ≦ 1+t
⇒ -(1+t) ≦ log(x) < 0
⇒ e^(-1-t) ≦ x < 1

また |log(y)| ≦ 1+t-|log(x)| より、
⇒ -{1+t+log(x)} ≦ log(y) ≦ 1+t+log(x)
⇒ (1/x)e^(-1-t) ≦ y ≦ x(e^(1+t))

この部分の面積は
∫[e^(-1-t), 1]{x(e^(1+t))-(1/x)e^(-1-t)}dx
= [((x^2)/2)e^(1+t)-log(x)e^(-1-t)]_[e^(-1-t), 1]
= {(1/2)e^(1+t)}-{(1/2)(e^(-2-2t))e^(1+t)-(-1-t)e^(-1-t)}
= (1/2)e^(1+t)-(1/2)e^(-1-t)+(1+t)e^(-1-t)
= (1/2)e^(1+t)+(1/2+t)e^(-1-t)

同様に(1b)は 0 ≦ log(x) ≦ 1+t なので 1 ≦ x ≦ e^(1+t) となり、
-{1+t-log(x)} ≦ log(y) ≦ 1+t-log(x)
⇒ x(e^(-1-t)) ≦ y ≦ (1/x)(e^(1+t))

この部分の面積は
∫[1, e^(1+t)]{(1/x)e^(1+t)-x(e^(-1-t))}dx
= [log(x)e^(1+t)-((x^2)/2)e^(-1-t)]_[1, e^(1+t)]
= {(1+t)e^(1+t)-(1/2)(e^(2+2t))e^(-1-t)}-{-(1/2)e^(-1-t)}
= (1/2+t)e^(1+t)+(1/2)e^(-1-t)

よって、-1 ≦ t < 0 において
s(t) = {(1/2)e^(1+t)+(1/2+t)e^(-1-t)}+{(1/2+t)e^(1+t)+(1/2)e^(-1-t)}
= (1+t){e^(1+t)+e^(-1-t)}

(2)は 0 ≦ t ≦ 1 なので 0 ≦ |log(x)|+|log(y)| = 1-t < 1 であり、
(2a)は log(x) < 0 なので 0 < -log(x) ≦ 1-t
⇒ -(1-t) ≦ log(x) < 0
⇒ e^(-1+t) ≦ x < 1

また -{1-t+log(x)} ≦ log(y) ≦ 1-t+log(x) より、
⇒ (1/x)e^(-1+t) ≦ y ≦ x(e^(1-t))

この部分の面積は
∫[e^(-1+t), 1]{x(e^(1-t))-(1/x)e^(-1+t)}dx
= [((x^2)/2)e^(1-t)-log(x)e^(-1+t)]_[e^(-1+t), 1]
= {(1/2)e^(1-t)}-{(1/2)(e^(-2+2t))e^(1-t)-(-1+t)e^(-1+t)}
= (1/2)e^(1-t)+(-3/2+t)e^(-1+t)

同様に(2b)は 0 ≦ log(x) ≦ 1-t なので 1 ≦ x ≦ e^(1-t) となり、
-{1-t-log(x)} ≦ log(y) ≦ 1-t-log(x)
⇒ x(e^(-1+t)) ≦ y ≦ (1/x)(e^(1-t))

この部分の面積は
∫[1, e^(1-t)]{(1/x)e^(1-t)-x(e^(-1+t))}
= [log(x)e^(1-t)-((x^2)/2)e^(-1+t)]_[1, e^(1-t)]
= {(1-t)e^(1-t)-(1/2)(e^(2-2t))e^(-1+t)}-{-(1/2)e^(-1+t)}
= (1-t)e^(1-t)-(1/2)e^(1-t)+(1/2)e^(-1+t)
= (1/2-t)e^(1-t)+(1/2)e^(-1+t)

よって、0 ≦ t ≦ 1 において
s(t) = {(1/2)e^(1-t)+(-3/2+t)e^(-1+t)}+{(1/2-t)e^(1-t)+(1/2)e^(-1+t)}
= (1-t){e^(1-t)-e^(-1+t)}

以上から
V = ∫[-1, 0]{(1+t){e^(1+t)+e^(-1-t)}e^t}dt+∫[0, 1]{(1-t){e^(1-t)-e^(-1+t)}e^t}dt
= ∫[-1, 0]{(1+t){e^(1+2t)+1/e}}dt+∫[0, 1]{(1-t){e-e^(-1+2t)}}dt

前半の積分は
[(1+t)(e^(1+2t))/2+(t+(t^2)/2))/e]_[-1, 0]-∫[-1, 0]{(e^(1+2t))/2}dt
= {e/2-(-1+1/2)/e}-[(e^(1+2t))/4]_[-1, 0]
= (1/2)(e+1/e)-(1/4)(e-1/e)
= (1/4)(e+3/e)

後半の積分は
[(t-(t^2)/2)e-(1-t)(e^(-1+2t))/2]_[0, 1]+∫[0, 1]{(-1)(e^(-1+2t))/2}dt
= {(1-1/2)e+(1/2)(1/e)-[(e^(-1+2t))/4]_[0, 1]
= (1/2)(e+1/e)-(1/4)(e-1/e)
= (1/4)(e+3/e)

よって、V = (1/4)(e+3/e)+(1/4)(e+3/e) = (1/2)(e+3/e) となると思います。
No.90309 - 2025/06/01(Sun) 23:38:13
☆ Re: 不等式の表す領域の体積 / むっちゃん
返信が遅くなり申し訳ありません。
とても助かりました。
ありがとうございます。
No.90329 - 2025/06/06(Fri) 20:39:18
★ (No Subject) / やり直しメン
算数です
120÷3=40

59÷3=19あまり2

40-19=21まい
21÷4=5あまり1

Ｂさんが取ったカードは５枚です

答えでは10枚でした。
No.90292 - 2025/05/29(Thu) 10:30:42
☆ Re: / ヨッシー
Ａさんが取った21枚の３の倍数のカードから
Ｂさんが４の倍数のカードを取る
のであれば、その考えでいい（正しい答えは６枚ですが）ですが、
この問題は、Ａさんが取らなかった40枚のカードから
Ｂさんが４の倍数のカードを取る
なので根本的に違います。
No.90293 - 2025/05/29(Thu) 13:47:47
☆ Re: / やり直しメン
Aが取った120÷3=40
59÷3=19あまり2
40-19=21枚
Ｂは120÷4=30
59÷4＝14あまり3
Ｂは30-14=16まい
答えは16枚ですか
No.90294 - 2025/05/30(Fri) 15:41:34
☆ Re: / GandB
　A が取った3の倍数 { 60, 63, 66, …,120 } の個数は
　　(120-60)/3 + 1 = 21

　この中には3の倍数であると同時に4の倍数である数、つまりは 12 の倍数
　　{ 60, 72, 84, …,120 }
の個数が
　　(120-60)/12 + 1 = 6
だけある。
　4の倍数 { 60, 64, 68, …,120 } の個数は全部で
　 (120-60)/4 + 1 = 16
あるわけだが、このうち6個はすでにAが取っている。
　したがって求める個数は
　　16 - 6 = 10

　カードは全部で

60,　61,　62,　63,　64,　65,　66,　67,　68,　69
70,　71,　72,　73,　74,　75,　76,　77,　78,　79
80,　81,　82,　83,　84,　85,　86,　87,　88,　89
90,　91,　92,　93,　94,　95,　96,　97,　98,　99
100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109
110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119
120

だけしかないのだから、わかりにくいときは手作業で数える。
No.90295 - 2025/05/30(Fri) 16:19:30
☆ Re: / やり直しメン
59÷12=4あまり9
10-4=6
16-6=10まいということです。
なぜこのような計算はされてないのでしょうか。
No.90296 - 2025/05/31(Sat) 15:35:40
☆ Re: / ヨッシー
そのような式の羅列ではなく、前後に日本語を書くクセをつけましょう。

１以上５９以下の１２の倍数は
　59÷12=4あまり9
より、４枚。
１以上１２０以下の１２の倍数は
　120÷12＝10
より、１０枚。よって、６０以上１２０以下の１２の倍数は
　10-4=6
より、６枚。一方、６０以上１２０以下の４の倍数は １６枚（方法は省略）なので、
Ｂさんの取った、６０以上１２０以下で、３の倍数でない４の倍数の枚数は
　16-6=10 （枚）

太字の部分が全部抜けています。

その上で、GandB さんの回答と比較して、どこが違いますか？　
No.90310 - 2025/06/02(Mon) 08:51:35
★ (No Subject) / えｃれふぃるぇｘｒ
Σ(∞,n=1)1/(n^2×2^n)=(π^2)/12-((log2)^2)/2を示して下さい。解き方が分からないので出てくるか知りませんが、もしバーゼル問題がでてきても証明なしに使ってよいです。
No.90285 - 2025/05/25(Sun) 19:19:44
☆ Re: / WIZ
Li2(x) = Σ[n=1,∞]{(x^n)/(n^2)}における Li2(1/2) の計算方法は、ググると下記で解説されています。
[まめけびのごきげん数学・物理]-[ホーム]-[数学]-[特殊関数]-[多重対数関数（ポリログ）の関係式一覧・証明付き]
https://mamekebi-science.com/math/spetialfunction/polylog-identities/
No.90291 - 2025/05/26(Mon) 12:59:19
★ (No Subject) / 中3
解き方が分かりません
No.90284 - 2025/05/25(Sun) 16:25:39
☆ Re: / X
方針だけ。

添付写真において、大きい三角形と小さい三角形
がありますが、そのうち、大きい三角形の頂点を
右上の頂点から反時計回りにA,B,Cとし、
小さい三角形の頂点をAから反時計回りに
D,Eとします。

このとき、四角形DBCEは円に内接しているので
∠ABC=∠AED (A)
∠ACB=∠ADE (B)
(A)(B)より
△ABC∽△ADE
このことから対応する辺の相似比について
(6+4):x=(x+3):4=8:y (C)

(C)をx,yについての連立方程式として
解きます。
No.90289 - 2025/05/25(Sun) 20:15:10
☆ Re: / ヨッシー
方べきの定理は、円周角（円に内接する四角形の定理）と三角形の相似だけで説明できる定理です。
ご参考まで。
No.90290 - 2025/05/26(Mon) 08:52:36
★ 円 / 中3
xの求め方が分かりません。
No.90283 - 2025/05/25(Sun) 16:19:58
☆ Re: 円 / X
添付写真において、線分の端点のうち、円周上
にあるものを、左上にあるものから反時計回りに
A,B,C,D
とし、線分AC,BDの交点をEとします。
すると、円周角により
△ABE∽△CDE
なので、対応する辺について
AE:DE=BE:CE
よって
(16×5/8):(19-x)=x:(16×3/8) (A)

(A)を
0＜x＜19 (B)
に注意して解きます。

注)
添付写真の図では
BE＜DE (C)
となっていますが、もし(C)が条件になっている
のであれば、(B)の代わりに
0＜x＜19/2 (B)'
がxに対する条件になります。
No.90288 - 2025/05/25(Sun) 20:10:20
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