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ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

since 2008/03/25

旧数学掲示板のログ

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質問される方は学年（質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。


過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

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★ 東京都教員採用試験 / 20
令和4年度選考(5年度採用)の東京都教採の問題です。情けないことに問1から分からず、困っています。どなたか解説をお願いいたします。

ちなみに答えは
問1 2/3
問2 (8√11)/9
問3 2/9,(8√7)/27
です。
No.90469 - 2025/08/01(Fri) 17:09:23
☆ Re: 東京都教員採用試験 / IT
問1
OHを通り、BC　などに直交する平面での断面図を描いて見てください。
三角形の相似比を２組　使うと計算できると思います。
No.90470 - 2025/08/01(Fri) 19:39:23
☆ Re: 東京都教員採用試験 / IT
三角形の相似比を使って
x:1 = (1/2)OH- xOH :(1/2)OH
x:1 = 1/2-x: 1/2
x/2 = 1/2-x
∴x=1/3
No.90471 - 2025/08/01(Fri) 22:31:30
☆ Re: 東京都教員採用試験 NEW / 20
ご返答ありがとうございます！
相似の三角形を2組使うのですね！
理解いたしました、ありがとうございます！
No.90472 - 2025/08/03(Sun) 03:22:15
★ 数?Vを使わない微分問題 / ぼぶ
誘導がついているのですが
いまいちどう解くのか謎です

画像が切れてるかもしれませんが
（３）はf(x)=0を満たす実数ｘを　求める問題です　答えは１つのようです

あとf(0)は0にはならないという条件があります
No.90466 - 2025/08/01(Fri) 03:08:13
☆ Re: 数?Vを使わない微分問題 / ヨッシー
f(x)−ｘ^3＋4x^2 がｎ次式であるとする。
このとき、左辺は 2n 次式、右辺は ｎ＋１次式であるので、
　２ｎ＝ｎ＋１
より、ｎ＝１。ここで、
　f(x)＝ｘ^3−4x^2＋ax＋b　(a, b は実数、a≠0、b≠0)
とおく。

このとき、
　（左辺）＝(ax＋b)^2＝a^2x^2＋2abx＋b^2
　（右辺）＝８∫[4〜x](at＋b)dt＝８[at^2/2＋bt][4〜x]
　　　　＝８(ax^2/2＋bx−8a−4b)＝4ax^2＋8bx−64a−32b
これらより、
　a^2＝4a、2ab＝8b、b^2＝−64a−32b
これらを解いて、ａ＝４、ｂ＝−１６

よって、
　f(x)＝ｘ^3−4x^2＋4x−16
となり、
　f(x)＝(x−4)(x^2＋4)
と因数分解でき、実数解は、ｘ＝４

これから、34〜42？ を拾ってください。
No.90468 - 2025/08/01(Fri) 14:30:13
★ 大学数学 / Y
GandBさん見てたらお答えいただきたいです。

問題文
次の無限和の値を求めよ。ただしf(t)=t (-π<t<π)のフーリエ級数を用いよ。

7/9日にも画像と同じような問題を解いていただいたのですが、こちらの解き方も教えてください。

以前と同じやり方で解こうとしましたがうまくπが出てこず、解けません。
よろしくお願いします。
No.90461 - 2025/07/30(Wed) 01:23:42
☆ Re: 大学数学 / GandB
　　f(t)=t (-π<t<π)
のフーリエ級数展開を知っているのなら t=π/2 を代入するだけ。
　計算ミスがあったので再投稿。
No.90465 - 2025/07/30(Wed) 18:54:52
★ 積分式変形 / 積分分かりません。
画像の式変形が成り立つ理由を教えてください。
また似たような形で、積分内のxの符号が同じ場合はどうなるかも教えていただきたいです。
(なぜ2が前に出てきたのか、-xはどこにいったのかなど。)
よろしくお願いします。
No.90460 - 2025/07/30(Wed) 00:48:45
☆ Re: 積分式変形 / ヨッシー
左辺の１項目の積分部分(1/2 以外の部分）を　ｕ＝−ｘ として置換積分すると、
　dx＝−du
積分範囲　−２≦ｘ≦０　は　２≧ｕ≧０　に対応
よって、
　（与式）＝∫[2〜0]ｕcos(ｎπｕ/２)(−du)
　　　＝∫[0〜2]ｕcos(ｎπｕ/２)du
これは左辺第２項の積分部分と同じであるので、右辺のようになります。
No.90463 - 2025/07/30(Wed) 08:56:59
★ グラフの書き方について / けい
数学グラフについて

f(t)=t^4 (-T/2<=t<T/2)
という周期関数のグラフを書けと言われた時に、T/2の点は黒丸か白丸どちらで描くのが正解ですか？
周期関数なので点が被ってくると思うのですが。
No.90457 - 2025/07/29(Tue) 19:54:09
☆ Re: グラフの書き方について / X
黒丸で問題ないと思います。
No.90458 - 2025/07/29(Tue) 23:32:15
☆ Re: グラフの書き方について / けい
ご回答ありがとうございます。
No.90459 - 2025/07/30(Wed) 00:44:36
★ 中1です / ぴーたろ
正解は53日とのことですが、このやり方の何が間違っているか教えてください！まず問題を貼ります
No.90451 - 2025/07/29(Tue) 12:48:35
☆ Re: 中1です / ぴーたろ
問題です
No.90452 - 2025/07/29(Tue) 12:49:18
☆ Re: 中1です / ぴーたろ
回答です
No.90453 - 2025/07/29(Tue) 12:50:34
☆ Re: 中1です / ぴーたろ
読みづらいので打ちました。よろしくお願いいたします。

五月さんが何日間かかったかを考えて 80*5/3=133あまり1
より134日。
もし、弥生さんが毎日部活があったとすると、1週間で16ページ終わるので、360ページを完了するには 360/16=22あまり8となり、22×7日間=154日。のこりの8ページを祝日2日、平日1日で行うと3日間かかる。よって、157日。

ここで、弥生さんは134日間勉強をしているので、差の157₋134=23日分1ページ多くすればよい。

よって23ににち。
No.90454 - 2025/07/29(Tue) 15:23:44
☆ Re: 中1です / ぴーたろ
模範解答はこちらです。私のやり方で何が間違っているのか知りたいです…。
No.90455 - 2025/07/29(Tue) 15:25:05
☆ Re: 中1です / ヨッシー
２２日とか２３日と言っているのは、余分に勉強すればいいという日数であり、
その間も、１日２ページとか３ページとかやっているので、およそ５０ページの
勉強をしないといけない。これを１日１ページずつ、部活の無い日で補おうというのですから、
部活なし日は５０くらいの日数になるはずです。

ぴーたろさんの方針でやるなら、
・・・・
22×7日間＝154
ここまででわかることは、毎日部活で154日勉強しても、８ページ余るということ。
この８ページと、154−134＝20（日）分の勉強を、
できるだけ少ない部活のない日でこなさないといけない。
20日の内訳は、
　土日６日、平日１４日　４６ページ
　土日５日、平日１５日　４５ページ
これに８を足すと　５４か５３で、より少ないのは、５３日
No.90456 - 2025/07/29(Tue) 16:52:30
☆ Re: 中1です / ぴーたろ
めっちゃわかりました！ありがとうございました！
No.90462 - 2025/07/30(Wed) 07:59:58
★ (No Subject) / やり直しメン
□6です

よろしくお願いします
No.90449 - 2025/07/27(Sun) 10:44:37
☆ Re: / ヨッシー
いろんな解き方があるでしょうが、その一例として捉えてください。

各段階において、縦方向に並んでいる頂点ごとに分けて個数を数えると
１回目：２＋１＋１＝４（個）
２回目：３＋２＋１＝６（個）
３回目：３＋２＋２＋１＋１＝９（個）
４回目：５＋４＋３＋２＋１＝１５（個）
５回目：５＋４＋４＋３＋３＋２＋２＋１＋１＝２５（個）
６回目：９＋８＋７＋６＋５＋４＋３＋２＋１＝４５（個）
７回目：９＋８＋８＋７＋７＋６＋６＋５＋５＋４＋４＋３＋３＋２＋２＋１＋１＝８１（個）
規則性を言葉で書くと、
偶数回目：１からｎまでの和。ｎは２回目３を起点として、４回目５，６回目９と、２倍して１を引く数となっている。
奇数回目：１からｎまでの和と１からｎ−１までの和の合計。ｎは直前の偶数のときのｎ。
よって、
８回目：１から１７までの和で、１５３（個）
９回目：１から１７までの和と、１から１６までの和で、１５３＋１３６＝２８９（個）
No.90450 - 2025/07/28(Mon) 09:06:39
★ 数?V積分について / あああ
∫(sinx/cos^3x)dxについて、やり方によって
{(tanx)^2}/2+Cと1/{2(cosx)^2}+C
の2つの答えが出てきました。どちらが合っているのでしょうか？また、どちらも合っているのでしょうか？
No.90443 - 2025/07/24(Thu) 13:25:11
☆ Re: 数?V積分について / あああ
cos^3xは(cosx)^3の間違いです
No.90444 - 2025/07/24(Thu) 13:32:55
☆ Re: 数?V積分について / ヨッシー
どちらも合っています。

　1/{2(cosx)^2}−{(tanx)^2}/2＝(1/2){1−(sinx)^2}/(cosx)^2
　　　＝(1/2){(cosx)^2//(cosx)^2}＝1/2 (一定)
となり、積分定数に吸収されます。

検算で、両方微分してみればいいでしょう。
No.90445 - 2025/07/24(Thu) 14:00:17
☆ Re: 数?V積分について / あああ
ありがとうございます！
積分定数に吸収させる変形ができなくて困っていたのですが、解決しました！
確かに微分すれば一瞬ですね
No.90446 - 2025/07/24(Thu) 14:15:20
★ y=F(x,y')の微分方程式について / ブレジョン1
写真の9-1(1)は非同次微分方程式y=2y'x+x²(y')⁴についてですが、
g(x,p,C)=0というパラメーター表示をするために(Cを式に含めるために)
2xy'+p=0に注目して、x=C/p²というパラメータ表示を得てますが、もうひとつの解てある、1+2xp²=0に注目して得られたy=-4/3(2x)^(2/3)という解は一体何なのでしょうか？特殊解と同じようなものですか？

写真: https://d.kuku.lu/8cr5ajm24

https://d.kuku.lu/6vn8673w2
No.90437 - 2025/07/23(Wed) 16:37:43
★ 図形と方程式 / さや
a＞0、b＞0とする。図形C、Dを以下のように定義する。

C:(a^2-1)x^2+2x+(a^2-1)y^2=1

D:(b^2-1)x^2+2y+(b^2-1)y^2=1

CとDが共有点を持つような(a,b)をab平面上に図示しなさい。

Cは直線x=1/2または(1/(1-a^2),0)を中心とする半径a/|1-a^2|の円で、Dは直線y=1/2または(0,1/(1-b^2))を中心とする半径b/|1-b^2|の円になると思います。

x=1/2とy=1/2は共有点を持つので、(a,b)=(1,1)は図示すべき範囲に含まれると思います。

(1/(1-a^2),0)を中心とする半径a/|1-a^2|の円と(0,1/(1-b^2))を中心とする半径b/|1-b^2|の円が共有点を持つ条件が複雑すぎて計算のやり方がわかりません。

方針としては二つの円の位置関係、

|Cの半径-Dの半径|≦CとDの中心間距離≦Cの半径+Dの半径

を使うのだと思いましたが、ものすごく大変なことになりますので、方針からして違う気が様な気がしてきました。

どうやって解くのが一番スマートなのか教えて頂けないでしょうか。
No.90431 - 2025/07/22(Tue) 08:50:38
☆ Re: 図形と方程式 / IT
C,Dが円のとき
C,D から x^2,y^2 を消去して　x,y の一次式（直線Lの方程式）を作り
CとL、DとLが共有点を持つ条件を考えてはどうですか？
No.90434 - 2025/07/23(Wed) 00:00:31
☆ Re: 図形と方程式 / さや
ご回答ありがとうございます。

＞C,D から x^2,y^2 を消去して　x,y の一次式（直線Lの方程式）を作り

Lの方程式は、

L:2(b^2-1)x-2(a^2-1)y+(a^2-b^2)=0

になると思います。

＞CとL、DとLが共有点を持つ条件

円と直線の位置関係を利用するのでしょうか。その場合、CとLが共有点を持つ条件として、Cの中心とLの距離≦Cの半径という形で立式するのだと思いますが、Cの中心(1/(1-a^2),0)とLの距離がものすごく複雑な計算になりませんか。とても遂行できる気がしないです。ご回答者様の計算を見てみたいです。

ちなみに、CとDの方程式の形から、CとLの場合だけ調べ、DとLの方は、b=aに関して対称にすれば計算しなくてもいいという考えは合っていますでしょうか。
No.90435 - 2025/07/23(Wed) 00:26:10
☆ Re: 図形と方程式 / IT
P(x,y) がCとLの共有点なら D上にもある　と思います。確認してみてください。

2(b^2-1)x-2(a^2-1)y+(a^2-b^2)=0　とC:(a^2-1)x^2+2x+(a^2-1)y^2=1　から　yを消去し、xの二次方程式にして　判別式を使うとどうですか？

（「Cの中心(1/(1-a^2),0)とLの距離がものすごく複雑な計算・・・」　とあまり変わらないかもしれません。
ご自分でやってみてください、

途中 s=a^2-1,t=b^2-1 とおいて　記述量を減らすと良いと思います）
No.90436 - 2025/07/23(Wed) 10:23:28
☆ Re: 図形と方程式 / さや
2(b^2-1)x-2(a^2-1)y+(a^2-b^2)=0とC:(a^2-1)x^2+2x+(a^2-1)y^2=1からyを消去すると、

4(s^2+t^2)x^2+4(-t^2+ts+2s)x+(-t+s+1)(-t+s-1)=0

(s=a^2-1、t=b^2-1)

になるかと思います。この判別式はとても解けるようのものではないように思えるのですが、何か計算にコツがあるのでしょうか？
No.90438 - 2025/07/23(Wed) 18:16:30
☆ Re: 図形と方程式 / IT
途中計算を確認していませんが、
s,t で考えても４次式になり　高校で習うような図形にはなりませんね。

問題の転記ミスはないですか？　出典は？
No.90439 - 2025/07/23(Wed) 20:23:27
☆ Re: 図形と方程式 / さや
＞問題の転記ミスはないですか？　出典は？

2011・名大理(改)と書かれています。

問題の転記ミスはありません。そのまま写しました。
No.90440 - 2025/07/23(Wed) 23:22:55
☆ Re: 図形と方程式 / 黄桃
中心間距離を使う最初の方針で計算すれば、多少面倒ですけど一直線のようです。
計算は、ITさんがおっしゃるように、a^2-1=s, b^2-1=t と置くと見通しがよくなるようです。

|a/|a^2-1|-b/|b^2-1|| ≦ √(1/(a^2-1)^2+1/(b^2-1))^2) ≦ a/|a^2-1|+b/|b^2-1|
を
|a/|s|-b/|t||<=√(1/s^2+1/t^2)<=a/|s|+b/|t|
と書き換え、両辺に|st|=√(st)^2 をかけて整理すれば
|a|t|-b|s||<=√(s^2+t^2)<=a|t|+b|s|
となりますから、2乗して比較すればよく、
(a|t|-b|s|)^2<=s^2+t^2<=(a|t|+b|s|)^2
が成立するようなa,bを求めればいいわけです。すると、
st(a^2+b^2-2)-2ab|ts|<=0 かつ
st(a^2+b^2-2)+2ab|ts|>=0
という式ができるようですので、あとは、st=|st|, st=-|st|の場合にわけて、計算すればおしまいです。
いずれの場合も st で割る操作が入ることで、簡単な式になります(st=0, つまり、a=1 or b=1の時は別途）。
最終的な答えは第1象限で a+b>=√2 かつ |a-b|<=√2 (3本の直線で囲まれた範囲）となるようです。

おそらく判別式でも、最終的には、(a+b)^2-2>=0 かつ (a-b)^2-2<=0 、つまり、
((a+b)^2-2)((a-b)^2-2)<=0
のような式がでてくるのではないかと思いますが、計算していません。とりあえず、
>4(s^2+t^2)x^2+4(-t^2+ts+2s)x+(-t+s+1)(-t+s-1)=0
の定数項は (s-t)^2-1ではなく、(s-t)^2-4s になるのではないですか？
＃ここにsがあると、とりあえずs=0を代入すると判別式で等号が成立するので、判別式はsでは割れるようです。
No.90441 - 2025/07/24(Thu) 00:28:05
☆ Re: 図形と方程式 / IT
名古屋大学　2011数学　などで検索すると　いくつか解答が見つかりますが、結構面倒ですね。難問ぞろいです。
本番では150分で４問　ですから　迷っている時間はないですね。
思いついた解法で　計算間違いなく進めるしかないと思います。
http://aozemi.blog.fc2.com/blog-entry-72.html

https://stchopin.hatenablog.com/entry/2020/06/04/192151
https://ameblo.jp/mathisii/entry-12843670368.html
No.90442 - 2025/07/24(Thu) 07:15:28
☆ Re: 図形と方程式 / IT
判別式を計算してみました。
地道に展開整理して計算しました。かなり面倒でしたので計算ミス転記ミスがあるかも知れません。

4(s^2+t^2)x^2+4(-t^2+ts+2s)x+(s-t)^2-4s=0
判別式/16= -s^4+2(s^3)t+4s^3-(s^2)t^2+4(s^2)t+4s^2
-s^2 で割ると
s^2-2st-4s+t^2-4t-4
=(a^2-1)^2-2(a^2-1)(b^2-1)-4(a^2-1)+(b^2-1)^2-4(b^2-1)-4
=a^4+b^4-2(a^2)(b^2)-4a^2-4b^2+4
=(a^2+b^2-2)^2-4(a^2)(b^2)
=(a^2-2ab+b^2-2)(a^2+2ab+b^2-2)
=((a-b)^2-2)((a+b)^2-2) ※黄桃さんの推測のとおりです
=(a-b+√2)(a-b-√2)(a+b+√2)(a+b-√2)

s ≠ 0 のとき 判別式≧0 となるのは
(a-b+√2)(a-b-√2)(a+b+√2)(a+b-√2)≦0
a＞0,b＞0 なので
(a-b+√2)(a-b-√2)(a+b-√2)≦0
No.90447 - 2025/07/24(Thu) 20:20:44
☆ Re: 図形と方程式 / さや
ご回答者様　ありがとうございました！

最初の方針でよかったのは意外でした。助かりました。
No.90448 - 2025/07/24(Thu) 23:05:03
★ (No Subject) / やり直しメン
□8の（3）です

21000÷(125+25)では解けないのですか。
No.90429 - 2025/07/21(Mon) 16:48:33
☆ Re: / ヨッシー
それは、ＰとＱが同時にそれぞれＡ，Ｂを出発してから
出会うまでの時間です。
この問題では、着いたのは同時ですが、出発は同時ではありません。
No.90430 - 2025/07/22(Tue) 01:19:50
☆ Re: / やり直しメン
ありがとうございました。
No.90432 - 2025/07/22(Tue) 12:17:06
★ (No Subject) / やり直しメン
算数です


□2

前半の話です。式は分かっているのですがなぜそのように計算するのか分かりません。
感覚としてはＢさんも動いている訳なので400mよりも多いのではないかという感覚です。
No.90424 - 2025/07/16(Wed) 22:18:35
☆ Re: / ヨッシー
「その用に計算」がどのような計算かもわかりませんし、
「何が」400m よりも多いかもわかりませんが、
Ａさんが１分間にａｍ（分速ａｍ）、Ｂさんが１分間にｂｍ（分速ｂｍ）進むとします。
Ａさんのほうが速い時、
ＡさんがＢさんを追いかける時、１分間に ａ−ｂｍ ずつ差が縮まります。
ＡさんとＢさんが近づく時、１分間に ａ＋ｂｍ ずつ差が縮まります。
＜チェック１＞

これは、Ｂさんが止まっていて、Ａさんがそれぞれ分速ａ−ｂｍ、ａ＋ｂｍで進むのと同じです。
＜チェック２＞

１周400ｍの円を同じ地点から同じ方向に進むのは、400ｍ前にいるＢさんをＡさんが追いかけるのと同じです。
１周400ｍの円を同じ地点から反対の方向に進むのは、400ｍ 離れているＡさんとＢさんが近づいていくのと同じです。
＜チェック３＞

同じ距離を進むのにかかる時間の比は、速さの逆比になります。
例えば、時間が　５：２　なら、速さは　２：５　になります。
＜チェック４＞

以上のことから
　ａ−ｂとａ＋ｂの比は　８：２０＝２：５　になります。
＜チェック５＞

２数の和が○、差が△のとき
　大きい方の数＝（○＋△）÷２
　小さい方の数＝（○−△）÷２
和差算の基礎
＜チェック６＞

以上より、
　Ａさんの速さ：Ｂさんの速さ＝５＋２：５−２＝７：３
となります。
＜チェック７＞

Ａさんの速さ−Ｂさんの速さ＝４００÷２０＝２０（ｍ毎分）
＜チェック８＞

Ａさんの速さ＝２０×７/（７−３）＝３５（ｍ毎分）
＜答え＞

上記＜チェック＞は、どこまで理解されてますか？
No.90425 - 2025/07/17(Thu) 09:15:13
★ フーリエ / Y
度々質問すみません。

写真の関数の実フーリエ級数と複素フーリエ級数を求めてください。
解答と解説があるとありがたいです。

よろしくお願いします。
No.90413 - 2025/07/15(Tue) 17:36:21
☆ Re: フーリエ / X
f(t)=(1/2)sin2tcost (∵)二倍角の公式
=(1/4)(sin3t+sint) (∵)積和の公式
=(1/4)sint+(1/4)sin3t
これがf(t)の実フーリエ級数です。
これをさらに変形して
f(t)={1/(8i)}{e^(it)+e^(-it)}+{1/(8i)}{e^(3it)+e^(-3it)}
={1/(8i)}e^(-3it)+{1/(8i)}e^(-it)+{1/(8i)}e^(it)+{1/(8i)}e^(3it)
これがf(t)の複素フーリエ級数です。
No.90414 - 2025/07/15(Tue) 17:42:21
☆ Re: フーリエ / Y
ご回答ありがとうございます。
2倍角から積和の変換は分かるのですが、初めの関数から2倍角を使用した変換がわかりません。
何がどのように変換したのか教えていただきたいです。
No.90415 - 2025/07/15(Tue) 23:33:44
☆ Re: フーリエ / GandB
　2倍角や積和の公式がわかるなら、あとは足し算と引き算（笑）。
No.90416 - 2025/07/16(Wed) 06:14:23
☆ Re: フーリエ / Y
すみません僕の勘違いで変な質問してしまいました(T . T)

ご回答いただきありがとうございます！
No.90417 - 2025/07/16(Wed) 07:52:00
★ (No Subject) / やり直しメン
□7です

分かりませんでした。

解説では短針が1周目の9をさすとき、長針は2周目の9をさす。


速さの比は24:9＝8:3とありました。
No.90410 - 2025/07/13(Sun) 23:32:06
☆ Re: / やり直しメン
3×8/3で長針が8周とありました。

なぜそうなるのか分かりませんでした。
No.90411 - 2025/07/13(Sun) 23:42:04
☆ Re: / ヨッシー
前半は質問なのか何なのかわかりませんが、一応解説。
短針が
0→1→2→3→4→5→6→7→8→9 と9目盛分進む間に、長針は
0→1→2→3→4→5→6→7→8→9→10→11→12→13→14→0→1→2→3→4→5→6→7→8→9
と、24目盛分進むので、速さの比は
　２４：９＝８：３

２つの針が重なる位置は
　9, 3, 12, 6, 0
ここまでに短針は3周しています。
（9と3の間, 12と6の間にそれぞれ0を通過している）
長針の速さは短針の 8/3 倍なので、長針が回った数は
　3×8/3＝8　（周）

　
No.90412 - 2025/07/14(Mon) 14:21:50
★ (No Subject) / やり直しメン
算数です


□2です

なぜ2人が進んだ距離の和を600×6×2にするのですか

6は分かるのですがなぜ2もひつようなのですか。
No.90407 - 2025/07/13(Sun) 17:27:21
☆ Re: / やり直しメン
殴り書きではありますが図を書きました。
6回目までにかけるさんの距離600×7
あゆむさんは600×6
和は7800.m
解説では7200でした
No.90408 - 2025/07/13(Sun) 17:41:33
☆ Re: / X
＞＞6は分かるのですがなぜ2もひつようなのですか。
分かりにくければ、二人が出発してから「初めて」
すれ違うまでに二人が走った距離の和を考えてみましょう。
No.90408の図だと
スタートしてから最も左の赤ポッチまで
に二人が進んだ距離の和ですね。
AB間の往復距離
つまりAB間の距離の二倍になっていませんか？
No.90409 - 2025/07/13(Sun) 19:08:52
★ 数列n本の直線と平面(1つ目の質問） / ひろし
平面上にn本の直線があり、平行な組はなく、更にどの3本も同一の点を通らないものとする。これらのn本の直線によって分けられる。平面の部分の個数a(n)とする。
解答で質問が２つあります。1つだけでも先に教えていただけたら助かります。

Q１　　　
n＋１本目の直線を引くとき、この直線は交点をn個持ち、n+1個の半直線または線分を持つから
a(n+1)=a(n)+(n+1)よってa(n)=a(1)+Σ[k=1からn-1](k+1)=1/2(n^2+n+2)＝1/2(n^2+n+2)=(nC2)+n+1
になると思います。

(nC2)はn本の直線から2点を選んだときの交点の合計と解釈できます。
(nC2)+n+1で＋nは交点がn個増え、+1は最初の面の数らしいのですが、
なぜ(nC2)+n+1になるのか理解できませんので教えて下さい。

Q2
別の解答として、
1つ前の直線の本数と比較して
n=１のとき、平面は1増加、a(1)=1+1
n=２のとき、平面は2増加、a(2)=1+(1+2)
n=3のとき、平面は3増加、a(3)=1+(1+2+3)

n＋１本目の直線を引くとき、この直線は交点をn個持ち、n+1個の半直線または線分を持つので
a(n)=1+(1+2+3+……＋n)=1+n(n+1)/2=1/2(n^2+n+2)　
のように考えました。これは解答でどこか不足していますか。
No.90406 - 2025/07/13(Sun) 16:24:47
☆ Re: 数列n本の直線と平面(1つ目の質問） / ヨッシー
>(nC2)+n+1で＋nは交点がn個増え、+1は最初の面の数らしいのですが、
+1は最初の面の数　とは誰の言葉でしょうか？
問題集の解説なら、その近辺をそのまま記述（またはスクショ）してください。
No.90418 - 2025/07/16(Wed) 08:41:44
☆ Re: 数列n本の直線と平面(1つ目の質問） / ヨッシー
Q2 について言えば、
Q1 の上３行が、
　a(1)＝2 として、n=2 からの増え方を考えている
のに対して、
　a(0)＝1 として、n=1 からの増え方を考えている
という意味で、ほぼ同じ考え方です。
一方、Q2 の方は、まだ n+1 本目を引く段階ではないのに
n+1本目の直線を引くとき　とあるのはおかしいです。
n本目を引くと、平面はn増える、ということを言うべきです。
No.90419 - 2025/07/16(Wed) 08:46:24
☆ Re: 数列n本の直線と平面(1つ目の質問） / ひろし
1で、「(nC2)+n+1で＋nは交点がn個増え、+1は最初の面の数らしいのですが」
は私がネットで偶然見つけた解答でした。どこにあるか今はわかりません。すみません。


「Q1 の上３行が、a(1)＝2 として、n=2 からの増え方を考えている　……　n+1本目の直線を引くとき　とあるのはおかしいです。」
を理解できていません。別の説明をしていただけたら助かります。

(nC2)+n+1の1はa(0)なので、n本の平面の個数は(nC2)+n+a(0)だと思います。
No.90420 - 2025/07/16(Wed) 15:35:00
☆ Re: 数列n本の直線と平面(1つ目の質問） / ひろし
「Q2 の方は、まだ n+1 本目を引く段階ではないのに
n+1本目の直線を引くとき　とあるのはおかしいです。」
もなぜn+1本目ではだめなのか、わかっていません。
（Q1ではn+1本目はつかっていいようですが、Q2ではだめな理由がわかりません）
No.90422 - 2025/07/16(Wed) 15:41:47
☆ Re: 数列n本の直線と平面(1つ目の質問） / ヨッシー
n+1 本目を引いたのなら、
　a(n)=1+(1+2+3+……＋n)=・・・
ではなく
　a(n+1)=1+{1+2+3+……＋n+(n+1)}=・・・
となるはずですよね？

Q1 の方は、
　a(n+1)=a(n)+(n+1)
となっているので、これで良いのです。
No.90423 - 2025/07/16(Wed) 16:40:14
☆ Re: 数列n本の直線と平面(1つ目の質問） / ひろし
n+1 本目を引いたのなら、
a(n+1)=1+{1+2+3+……＋n+(n+1)}=・・・
で納得しQ２の質問は解決しました。
ありがとうございました。

Q1がまだわかっていませんので、もし可能であれば教えて下さい。
No.90426 - 2025/07/17(Thu) 13:08:26
☆ Re: 数列n本の直線と平面(1つ目の質問） / ひろし
Q1がわかってきました。

a(4)
=(0本の領域）+(n=1で増えた1個の領域)+(n=2で増えた2個の領域)+(n=3で増えた3個の領域)+(n=4で増えた4個の領域)
=(0本の領域)+{(交点0個)+1個}+{(交点1個)+1個}+{(交点2個)+1個}+{(交点3個)+1個}
=(0本の領域)+{(交点0個)+(交点1個)+(交点2個)+(交点3個)}+1×4
=(0本の領域)+(4C2)+4
=1+4+(4C2)
=(4C2)+4+1
よって
a(n)＝(nC2)+n+1
で正しいですか。
No.90428 - 2025/07/18(Fri) 13:02:57
★ 数学?T（図形の計量） / ひろ
面積が240の△ABCがあり、辺BCの中点をMとすると、∠AMC =45°、AC =22 である。このとき、ABの長さを求めよ。
No.90403 - 2025/07/12(Sat) 01:41:23
☆ Re: 数学?T（図形の計量） / X
条件から座標平面上に
M(0,0),A(-a,0),B(a,0),C(X,X)
(但し、a＞0,X＞0)
と取っても一般性を失いません。
このとき、△ABCの面積について
(1/2)・2a・X=240
∴aX=240 (A)
一方、辺CAの長さについて
(X-a)^2+X^2=22^2 (B)
更に辺ABの長さをLとすると
(X+a)^2+X^2=L^2 (C)
(A)(B)(C)をX,a,Lについての連立方程式
として解きます。
(B)より
2X^2-2aX+a^2=22^2
これに(A)を代入して
2X^2+a^2=22^2+480 (B)'
一方、(B)+(C)より
2(2X^2+a^2)=22^2+L^2 (C)'
(C)'に(B)'を代入して
2(22^2+480)=22^2+L^2
これより
L^2=22^2+2・480
=4(11^2+240)
=4・361
∴L=2・19=38
No.90404 - 2025/07/12(Sat) 09:38:49
☆ Re: 数学?T（図形の計量） / IT
別解）
AからBCに下した垂線の足をHとする
h=AH,a=BM=MC とおくと
△ABC=ah=240

AC^2=AH^2+HC^2 (三平方の定理)
HC= a-h などを代入
22^2=h^2+(a-h)^2

一方
AB^2=AH^2+BH^2=h^2+(a+h)^2(三平方の定理)
=h^2+(a-h)^2+4ah=22^2+4*240=1444
No.90405 - 2025/07/12(Sat) 14:58:53
☆ Re: 数学?T（図形の計量） / ひろ
解答、ありがとうございます。
条件の立式はできたのですが、計算でハマってました。
No.90427 - 2025/07/17(Thu) 20:48:40
★ (No Subject) / やり直しメン
算数です

□12(3)です

なぜ比の6:0.5で解けるのですか

3240/13°÷6の6は6毎分ということですか。
No.90400 - 2025/07/10(Thu) 23:54:20
☆ Re: / ヨッシー
何をどう比で解いたのかも、3240/13°÷6 がどこに書かれているのかもわからないので答えようがないですが、
普通に解くなら、
９：００から図の時刻までに、
長針は１２時の位置から、８時を少し回ったところまで、
短針はアの分だけ進みますが、これはイと同じです。
長針の進んだ角度にイを加えると、９時の位置まで来ますので、
長針と短針は合わせて２７０°進んだことになります。
長針と短針は１分間に合わせて６．５°進みますので、
２７０°進むのにかかる時間は
　270÷6.5＝540/13＝41と7/13（分）
であり、3240 は出てきません。
No.90401 - 2025/07/11(Fri) 08:28:17
★ (No Subject) / やり直しメン
□6（1）です


分かりませんでした。
240m手前はどこにありますか。
No.90389 - 2025/07/09(Wed) 20:12:32
☆ Re: / ヨッシー
グラフの主要な部分だけ抜き出すと、図のようになります。
すると、２つの相似な三角形が出来、相似比は
　３００：２４０＝５：４
です。15分から時刻アまでの時間は
　15×4/5＝12(分)
なので、時刻０から時刻アまでの時間hは
　１５＋１２＝２７(分)
となります。
No.90394 - 2025/07/10(Thu) 09:00:32
☆ Re: / やり直しメン
15×4/5で計算できるのは

三角形を変えられるからですか。
No.90396 - 2025/07/10(Thu) 12:47:10
☆ Re: / ヨッシー
相似比が５：４なので、（300と240を底辺とした）高さの比も５：４になります。
No.90397 - 2025/07/10(Thu) 13:22:50
☆ Re: / GandB
> 240m 手前はどこにありますか。
　「どこに」というのなら、240m 手前は 240m 手前に決まっている（笑）。

　この問題、ごく平均的な小学生はどんな解き方をするのだろうか？

　質問(1)は、兄が家を出発してから郵便局に着くまで何分かかったのかを聞いている。
　アを式に入れるとちょっとみっともなく感じるので a としよう。

(1) 兄の歩く速さを v[m/分]、弟の歩く速さを u[m/分] とする。
　15 分後、兄が歩いた距離は v×15[m]、弟が歩いた距離はそれより 300[m] 少ないから
　　v×15 = u×15 + 300[m]
　　v×15 - u×15 = 300[m]
　　(v-u)15 = 300[m]
　　v-u = 300/15 = 20[m/分]
　a 分後、兄が歩いた距離は v×a[m]、弟が歩いた距離はそれより 300 + 240 = 540[m] 少ないから
　　v×a = u×a + 540[m]
　　v×a - u×a = 540[m]
　　(v-u)a = 540[m]
　　a = 540/(v-u) = 540/20 = 27[分]
No.90398 - 2025/07/10(Thu) 19:13:52
★ 大学数学 / Y
画像の無限和の値を求めてください。
ただしf(t)=-t (-π<=t<0),t (0<=t<=π)です。

解答と解説があるとありがたいです。
よろしくお願いします。
No.90386 - 2025/07/09(Wed) 13:42:49
☆ Re: 大学数学 / X
方針を。

問題のf(t)をフーリエ級数展開したものに
t=0を代入すると
(問題の無限和)×(定数)
の形が出現します。

f(t)のフーリエ級数展開の計算については
別の方の質問であるNo.90368のスレを
参考にしてみて下さい。
No.90388 - 2025/07/09(Wed) 17:19:36
☆ Re: 大学数学 / GandB
途中計算にまちがいがあったので再投稿
No.90399 - 2025/07/10(Thu) 19:18:22
☆ Re: 大学数学 / Y
ありがとうございます。
自分で解けるように頑張ります。
No.90402 - 2025/07/11(Fri) 23:57:01
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