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ヨッシーの八方掲示板(算数・数学 質問掲示板)

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(No Subject) / わおん
解き方教えてください
No.65240 - 2020/05/13(Wed) 11:40:53

Re: / ヨッシー
1/2=2^(-1) なので、
 (1/2)^(-1)={2^(-1)}^(-1)=2^{(-1)×(-1)}=2
よって、
 (与式)=2^(-1/2)×2^1=2^(-1/2+1)=2^(1/2)
ここまででも良いですし √2 としても良いでしょう。

 

No.65246 - 2020/05/13(Wed) 12:27:38
(No Subject) / 開成高校4年
こころのΣってなんで2mまでじゃなくてmまでなんですか??
No.65236 - 2020/05/13(Wed) 08:35:44

Re: / ヨッシー
Σの中の式が (2k−1)^2−(2k)^2 ですので、
2m まで足すと
 (1^2−2^2)+(3^2−4^2)+・・・+{(4m−1)^2−(4m)^2}
になってしまいます。

No.65237 - 2020/05/13(Wed) 08:39:25

Re: / 開成高校4年
言われてみればそうでした!ありがとうございます😊
No.65238 - 2020/05/13(Wed) 08:54:19
三角関数 / うい
これは三角関数の合成をした結果ですよね……?
なんでΠ/4が出てきたのでしょうか、教えてください。
わからなくなってしまいました……

No.65234 - 2020/05/13(Wed) 08:29:02

Re: 三角関数 / うい
問題文です
No.65235 - 2020/05/13(Wed) 08:30:45

Re: 三角関数 / ヨッシー
sinθ+cosθ=sinθcosα+cosθsinα
と書けたなら、加法定理により
 sin(θ+α)
になるのですが、残念ながら、
 cosα=1、sinα=1
となるようなαは存在しません。sin, cos の値として成り立つには、
 sin^2α+cos^2α=1
を満たす必要がありますが、cosα=1、sinα=1 だと
 sin^2α+cos^2α=2
になってしまいます。そこで、sinα, cosα それぞれ √2 で割って、
 cosα=1/√2、sinα=1/√2
にすると、
 sin^2α+cos^2α=1
を満たします。すると今度は、
 sinθcosα+cosθsinα=(1/√2)sinθ+(1/√2)cosθ=(1/√2)(sinθ+cosθ)
となり、全体が 1/√2 倍になってしまいます。
(√2 で割ったので当然ですが)
そこで、その分 √2 を掛けてやると
 √2(sinθcosα+cosθsinα)=sinθ+cosθ
ここで、
 cosα=1/√2、sinα=1/√2
なので、α=π/4 となります。

変形をまとめると、
 sinθ+cosθ=√2{(1/√2)sinθ+(1/√2)cosθ}
  =√2{cos(π/4)sinθ+sin(π/4)cosθ}
  =√2sin(θ+π/4)
となります。

合成の公式は、加法定理の応用ですので、詰まったら、
加法定理に立ち戻って考えれば、解くことが出来ます。
と言うか、私は合成の公式や和積の公式は、都度、加法定理から作っています。
(覚えなくて済むので)

No.65239 - 2020/05/13(Wed) 08:54:47
何度もすみません… / うい
-1≦sin(θ+Π/4)≦1
は、単位円一周分だから こういう範囲になるということですか?

No.65231 - 2020/05/13(Wed) 06:57:24

Re: 何度もすみません… / らすかる
この問題ではたまたま一周分ですが、一周分でなくても-1〜1になり得ます。
θ+π/4のとる値にπ/2+2nπ(1になる値)と(3/2)π+2nπ(-1になる値)が含まれていれば-1〜1です。
もちろん一周分ならばπ/2+2nπと(3/2)π+2nπが含まれていますので-1〜1になります。

No.65232 - 2020/05/13(Wed) 07:22:44

Re: 何度もすみません… / うい
理解できました!
ありがとうございます

No.65233 - 2020/05/13(Wed) 08:20:38
(No Subject) / 神谷勝
中学範囲の問題です。模範解答をお願いしたいのですがいいでしょうか?
No.65229 - 2020/05/13(Wed) 02:40:10
ルート(平方根)の問題が解けません。 / 田中隆
添付写真の下の方に写っております、
□×□ = 1.21 × 1.69が
1.43という答えになる計算の方法を教えていただけると幸いです。

※算数・数学がかなり苦手な者です。
宜しくお願い致します。

No.65224 - 2020/05/12(Tue) 23:01:07

Re: ルート(平方根)の問題が解けません。 / ヨッシー
1.21=1.1×1.1
1.69=1.3×1.3
なので、
 1.21×1.69=1.1×1.1×1.3×1.3
   =(1.1×1.3)×(1.1×1.3)
   =1.43×1.43

No.65225 - 2020/05/12(Tue) 23:17:56
(No Subject) / int
x^2 - 4 x y - 16 y^2 - 4 y - k = 0 が 2 直線に 分解するよう kを定め;x^2 - 4 x y - 16 y^2 - 4 y - kを一次式の積表示願います;x^2 - 4 x y - 16 y^2 - 4 y = 0 の整数解は無限にあることの表示を願います;
[[また このような 問題を解析している書籍を御教示願います]]

No.65222 - 2020/05/12(Tue) 22:22:16
(No Subject) / 開成高校4年
部分分数分解のときこの問題で言ったら2k−1と2k+1をどっちを前持ってくればいいかとかルールというかなんか決まりあるのですか?いつも悩んでしまいます。
No.65216 - 2020/05/12(Tue) 20:13:57

Re: / ヨッシー
普通は分母の小さいほうを前に持ってきますが、
逆になったとしても、
 1/(2k-1)−1/(2k+1)

 −1/(2k+1)+1/(2k-1)
になるだけで、結果は同じです。
 

No.65218 - 2020/05/12(Tue) 20:21:57

Re: / 開成高校4年
ありがとうございます!
No.65219 - 2020/05/12(Tue) 20:33:36
(No Subject) / int
1151 x^2+7310 x y+1040 x+9455 y^2+2960 y+160=0の整数解を全て求めて!
(導出法をも記して)

No.65215 - 2020/05/12(Tue) 19:18:50
積分 / 豆田
画像の下線部について
(x)´f(x)としているのですが、どのようなときにこのように(x)´を掛けるのか目安がありましたら教えてください。

No.65213 - 2020/05/12(Tue) 19:11:16

Re: 積分 / ヨッシー
部分積分
 ∫g'(x)f(x)dx=g(x)f(x)−∫g(x)f'(x)dx
を使うために、左辺の g' に当たるものをなんとか作り出したいわけです。
そこで、f(x)=1×f(x) なので、微分して 1 になる関数として、
 g(x)=x
を使うわけです。

No.65214 - 2020/05/12(Tue) 19:18:24
面積の最小値 / su
楕円面 ;x^2/6^2 + y^2/9^2 + z^2 =1 の第一象限の点Pに於いて接平面を作り,x軸,y軸,z軸と交わる点をA,B,Cとする。三角形ABCの面積の最小値を求めよ。
またこのときの点P の座標を求めよ。 以上をお願いします;

No.65212 - 2020/05/12(Tue) 18:43:08
(No Subject) / はん
1/2log3√2-3/2log3∛12+log3√8
の計算方法及び答えがわかりません。教えて下さると嬉しいです。

No.65208 - 2020/05/12(Tue) 16:29:00

Re: / らすかる
問題が
(1/2)log[3]√2-(3/2)log[3](12^(1/3))+log[3]√8
ならば
(1/2)log[3]√2-(3/2)log[3](12^(1/3))+log[3]√8
=(1/2)(1/2)log[3]2-(3/2)(1/3)log[3]12+(1/2)log[3]8
=(1/4)log[3]2-(1/2)log[3](2^2・3)+(1/2)log[3]2^3
=(1/4)log[3]2-(1/2)log[3]2^2-(1/2)log[3]3+(1/2)log[3]2^3
=(1/4)log[3]2-(1/2)・2log[3]2-(1/2)log[3]3+(1/2)・3log[3]2
=(1/4)log[3]2-log[3]2-1/2+(3/2)log[3]2
=(3/4)log[3]2-1/2

No.65210 - 2020/05/12(Tue) 16:38:12

Re: / はん
ありがとうございました!
No.65243 - 2020/05/13(Wed) 11:51:32
解析 / キュリオシティ
連立方程式
◦e^x・y^3=1
◦x+2logy=e^x・y^3
の(x,y)の解が出ません。
宜しくお願い致します

No.65207 - 2020/05/12(Tue) 16:27:54

Re: 解析 / らすかる
e^x・y^3=1 から
y^3=e^(-x)
3logy=-x
logy=-x/3
これを第2式に代入して
x+2logy=x-2x/3=e^x・y^3=1
∴x=3
y^3=e^(-x)=e^(-3)からy=1/e
従って
(x,y)=(3,1/e)

No.65209 - 2020/05/12(Tue) 16:33:58
(No Subject) / える
指数関数・対数関数の分野です。
この2つの問題がわかりません。
途中計算を詳しく書いて下さるとうれしいです。
よろしくお願いします。

No.65206 - 2020/05/12(Tue) 16:22:20

Re: / らすかる
log[81](√27/9)^(1/4)
=log[3](√27/9)^(1/4)/log[3]81
=(1/4)log[3](√27/9)/4
=(1/16)log[3](1/√3)
=(1/16)log[3](3^(-1/2))
=(1/16)(-1/2)log[3]3
=-1/32

log[3√3](1/√243)
=log[3](1/√243)/log[3](3√3)
=log[3](3^(-5/2))/log[3](3^(3/2))
=(-5/2)log[3]3/{(3/2)log[3]3}
=(-5/2)/(3/2)
=-5/3
となります。

No.65211 - 2020/05/12(Tue) 16:45:00

Re: / える
ありがとうございました!
No.65242 - 2020/05/13(Wed) 11:44:12
(No Subject) / su
制約条件; -1 + x0^2/4 + y0^2 == 0, 0 < x0, 0 <
y0  の下で Sqrt[16/x0^2 + 1/y0^2] の最小値
を求めよ

No.65204 - 2020/05/12(Tue) 15:28:48

Re: / ヨッシー
X=16/x0^2、Y=1/y0^2 と置くと、
 -1+4/X+1/Y=0
の条件下で、√(X+Y) の最小値を求める問題となります。
変形して、
 Y-1=4/(X-4)
となります。

このグラフと 直線 X+Y=k が共有点を持ちながら、k を変化させると、
X=6, Y=3 のときに、k が最小値 9 を取ります。
まとめると、
 x0=√(8/3)、y0=√(1/3) のとき、最小値 3 をとる。
となります。

No.65205 - 2020/05/12(Tue) 16:09:41

Re: / su
有難うございました。
No.65226 - 2020/05/12(Tue) 23:28:43
(No Subject) / remer
数学教えてください。
No.65201 - 2020/05/12(Tue) 10:43:27

Re: / ヨッシー
下の方の記事に、レスが付いていますので、それに続く形で、話を進めてください。
No.65202 - 2020/05/12(Tue) 10:47:43
(No Subject) / よびりん
1番の問題で、解答と自分の考え方が違ったのですが、右側の自分の回答の方でも合っていますか?
No.65199 - 2020/05/12(Tue) 09:07:29

Re: / ヨッシー
良いと思います。

「aとbの積が、最大公約数と最小公倍数の積に等しい」
が、既習であれば、問題ないです。

No.65200 - 2020/05/12(Tue) 10:03:40
(No Subject) / うい
Bから、3/4Π≦t、Π/4≧tを導く
という考え方であっていますか?

そのあとの、ABより というのがわからないので教えてください

No.65191 - 2020/05/11(Mon) 21:56:56

Re: / ヨッシー
0≦t<2π ならば、
 sint≧√2/2
の解は
 π/4≦t≦3π/4
です。

ところが
0≦x<2π に対して t=x+2π/3 なので、tの範囲は
 2π/3≦t<8π/3
です。よって、最初の解
 π/4≦t≦3π/4
のうち、
 π/4≦t<2π/3
の部分は、
 2π/3≦t<8π/3
に入っていません。その分、2周目に
 9π/4≦t<8π/3
として現れます。

No.65194 - 2020/05/11(Mon) 22:37:18
軌跡 / あめ
(3)について大まかに2つ程質問があります。

ひとつめは、解答では交点の軌跡が最終的には円になると結論付けられますが、解答の流れがあたかも最初から円になることを知っていて、円周角と中心角の関係を利用したりと、「これはありなのか」と、何か強い違和感を覚えます。
パターン暗記だと言ってしまえばそれでおしまいですが、この問題は「円になるだろうな、と予想を立てて、その様になるように進めて言ったらやはり円になった。」という考え方で解答を進めているのでしょうか?
また軌跡はこういった結論を知っていたり、予想立て出来ないと解答が難しい範囲なのかと不安です…。試験で軌跡の問題が出た時に太刀打ち出来るためには、色々な軌跡の問題に触れておく事が必須でしょうか?それとも先程申した予想立てする力を養うべきでしょうか? ここら辺の助言を頂きたいです。

ふたつめはxとyの取りうる範囲について。
左ページ最終行の「@はy軸と一致することなく」は右ページにある「注」からそうなることが分かりました。 では「Aは直線y=2と一致することはない」となるのは、『@がy軸と一致することが無いのでそれに垂直な関係であるAもy=2と一致することはない』という考え方で正しいですか?

長々と申し訳ありません、御教授お願い致します。

No.65190 - 2020/05/11(Mon) 21:35:42

Re: 軌跡 / IT
>ひとつめは、解答では交点の軌跡が最終的には円になると結論付けられますが、解答の流れがあたかも最初から円になることを知っていて、円周角と中心角の関係を利用したりと、「これはありなのか」と、何か強い違和感を覚えます。
>


解答の流れというよりも、設問の(1)(2)が誘導となっていますので、そんなに天下り的ではないと思います。

No.65192 - 2020/05/11(Mon) 22:10:20

Re: 軌跡 / ヨッシー
最初から円とわかっている。が正解です。
2点を別々に通る2直線が一定の角になると来たら
即、円周角の定理(の逆)です。
円周角を習ったときにこういう図をイメージしませんでしたか?

イメージしたことないなら、この機に目に焼き付けましょう。

>それに垂直な関係であるAもy=2と一致することはない
間接的にはそれでもいいですが、解説に
>y=mx+n型直線は、y軸と平行な直線は表せません。
とあるので、そこは素直に、
>x=my+n型直線は、x軸と平行な直線は表せません。
と置き換えれば良いでしょう。

No.65193 - 2020/05/11(Mon) 22:18:03

Re: 軌跡 / あめ
御二方ともありがとうございました。
No.65203 - 2020/05/12(Tue) 12:24:58
(No Subject) / 楽しんご
Σがkからmになるになるのはどうしてですか?2mではないかと思ったら違ったので混乱してます。
No.65188 - 2020/05/11(Mon) 20:38:10

Re: / らすかる
第1項:1^2-2^2
第2項:3^2-4^2
第3項:5^2-6^2
・・・
第m項:(2m-1)^2-(2m^2)
のように項数がm項だからです。

No.65189 - 2020/05/11(Mon) 20:53:13
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