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ヨッシーの八方掲示板(算数・数学 質問掲示板)

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グラフをテイラー展開で解く場合について / クラウス
この画像のグラフをテイラー展開するとしたらどのようにテイラー展開すれば良いのでしょうか?
No.62783 - 2019/12/25(Wed) 00:42:11

Re: グラフをテイラー展開で解く場合について / クラウス
ちなみに、画像のグラフはテーラー展開なしでもフーリエ級数展開を使えば近似式が導けると思うのですが、その場合はどうやってフーリエ級数展開を使うのでしょうか?
No.62784 - 2019/12/25(Wed) 00:42:45

Re: グラフをテイラー展開で解く場合について / GandB
 ハンドルをころころ変えて、変な質問を繰り返すのはいかがなもんかね(笑)。

 矩形波はテーラー展開できないし、矩形波をフーリエ級数展開した近似関数を、わざわざテーラー級数で展開しようという物好きは、あまりいないだろう。
 いろんなところでフーリエ解析に関する質問を繰り返しているようだが、残薄な知識では、回答をもらったところで身につかず、ムダなQ&Aが拡大生産されるだけ。

 ↑の質問は一応まともだが、「y = x のフーリエ級数展開」で検索すればその導出はすぐ見つかる。

No.62788 - 2019/12/25(Wed) 08:35:00
最大値、最小値の確率の求め方 / まe
(3)(4)の求め方がわかりません。

どなたかご教授お願いします。

No.62782 - 2019/12/25(Wed) 00:37:52
広義積分における定積分と極限計算 / forex
福島大学2019年後期理系第4問です。
画像上部の問題に対して、画像下部の解答がなされていたのですが、波線部について2点質問があります。
(1)なぜTの範囲をT>1と制約する必要があるのか?
(2)なぜT→∞のときαがπ/2に増加しながら収束するのか?
以上2点の解説をお願いします。

No.62778 - 2019/12/24(Tue) 17:25:28

Re: 広義積分における定積分と極限計算 / X
(1)
制約しているわけではありません。
積分範囲が
t:1→∞
なのでT>1を考えれば十分だからです。

(2)
(1)の結果から
θ(t)=arctanp(t)
ここで条件から
p(t)=t
∴θ(t)=arctant
後はよろしいですね。

No.62779 - 2019/12/24(Tue) 19:24:53

Re: 広義積分における定積分と極限計算 / forex
無事に理解できました。
条件式からp(t)=tが導けるということを見逃していました。
Xさんご回答ありがとうございました。

No.62795 - 2019/12/25(Wed) 20:52:27
固有値の方程式の求め方 / まe
画像のような固有値方程式:(1-λ)^3+2(ρ^3)-3(ρ^2)(1-λ)=0の解が
なぜ、λ=1-ρ、1+2ρになるのかわかりません。
どうぞよろしくお願いします。

No.62777 - 2019/12/24(Tue) 16:32:51

Re: 固有値の方程式の求め方 / IT
1-λ=ρ のとき  その行列式=0 となるのは容易に分かります。

また、2行、3行を1行に加えれば、2ρ+1-λが括りだせます。

No.62780 - 2019/12/24(Tue) 20:14:14

Re: 固有値の方程式の求め方 / まe
IT様
解決できました。
ありがとうございます。

No.62781 - 2019/12/25(Wed) 00:36:43
高校数学 / 宅浪アルバイター
写真の問題の答えは1/8で合っているでしょうか?
No.62774 - 2019/12/24(Tue) 11:40:04
写像 / アンティグア=バーブーダ
高3の文系です。
この軌跡の問題において解説者が写像(逆写像)を記述に含めて解説していました。
解き方は定石(動く点の座標を(X,Y)と置いてx,yの関係式から求める)に関係式を逆写像と置くという考え方を追加したような感じです。
自分はこの事について、
定石を詳しく書くと写像を使用しなければならないのだろう
と考えていますが、合っていますか?
あと軌跡の問題で写像をしようするとすればどのように記述をするべきでしょうか?
非常に抽象的な質問になってしまい、申し訳ありません。よろしくお願いします。

No.62767 - 2019/12/23(Mon) 22:53:27
至急 / たか
この問題の解説をお願いします
No.62764 - 2019/12/23(Mon) 21:04:59

Re: 至急 / らすかる
(1)
(5n^2+9)÷(n^2+1)=5余り4なので
「n^2+1と5n^2+9の最大公約数」=「n^2+1と4の最大公約数」
nが偶数のときn^2+1≡1 (mod 4)
nが奇数のときn^2+1≡2 (mod 4)
なので、n^2+1と4の最大公約数はnが偶数のとき1、奇数のとき2
従ってd[n]={3-(-1)^n}/2

(2)
n^2+1は平方数ではないので、(n^2+1)(5n^2+9)が平方数であるためには
n^2+1=ma^2、5n^2+9=mb^2(a,b,mは自然数でm>1)でなければならない。
(1)から上の式のmが存在するときnが奇数でm=2。
またnが奇数のとき5n^2+9≡2 (mod 4)なのでbは奇数。
奇数を2k+1とおくと(2k+1)^2=4k(k+1)+1≡1 (mod 8)なので
5n^2+9≡6 (mod 8)、mb^2=2b^2≡2 (mod 8)となり
5n^2+9=2b^2を満たす奇数n,bは存在しない。
従って(n^2+1)(5n^2+9)が平方数になることはない。

No.62765 - 2019/12/23(Mon) 22:07:45
フーリエ級数展開 / メメント
フーリエ正弦級数とフーリエ余弦級数はフーリエ級数展開から導けるのでしょうか?
導ける場合はどうやって導くのか詳しく教えてください。

もう一つ、あるグラフの近似式を導く際にフーリエ級数展開を使うと知ったのですが、ではフーリエ展開とはどんな時に使うのでしょうか?フーリエ級数展開とフーリエ展開はどんな関係なのでしょうか?

どうかよろしくお願い致します。

No.62760 - 2019/12/23(Mon) 19:59:53

Re: フーリエ級数展開 / GandB
 質問文は、用語の使い方からして支離滅裂であるから答えようがない。
 フーリエ解析と題された本を、腰を据えてきちんと読み、その上でわからないところを質問した方がよい。

No.62761 - 2019/12/23(Mon) 20:22:12

Re: フーリエ級数展開 / メメント
あるグラフをフーリエ級数展開の式を使い近似して、近似式を作り、その近似式を横軸に角周波数、縦軸に振り幅した図にグラフ化することをフーリエ変換というのでしょうか?
ちなみに、このサイトhttps://www.yukisako.xyz/entry/fourier-transformでは、画像の式からフーリエ級数展開を求めていますが、すでに画像に書いてあるのに、その画像の式の近似式をフーリエ級数展開で求める理由は角周波数と振り幅を含んだ式に変換(フーリエ変換)するためでしょうか?

No.62762 - 2019/12/23(Mon) 20:31:11
a+bi=0⇔a=b=0の証明 / ルル
こんにちは
a、bは実数のとき、a+bi=0⇔a=b=0の証明で
以下ように考えましたが正しいですか。

a+bi=0⇒a=b=0の証明
a+bi=0より a=−bi
a^2=b^2×i^2
a^2=−b^2
a^2+b^2=0
aとbは実数だからa=b=0

a=b=0⇒a+bi=0の証明
a=b=0よりa+bi=0+0i=0

No.62759 - 2019/12/23(Mon) 19:28:19

Re: a+bi=0⇔a=b=0の証明 / ルル
追加して質問します。

「a、bは実数のとき、a+bi=0⇔a=b=0」は定義と書いてある書物がありますが、これは本当に定義ですか。

それとも、私が「a+bi=0⇒a=b=0の証明」「a=b=0⇒a+bi=0の証明」と書いてように証明できたものなので、
定義ではなく定理のような感じがしますが、実際、「a、bは実数のとき、a+bi=0⇔a=b=0」は定義と定理のどちらですか。

No.62766 - 2019/12/23(Mon) 22:16:08

Re: a+bi=0⇔a=b=0の証明 / IT
「複素関数論の要諦」堀川えいじ著 日本評論社では、

二つの実数a,b に対して,a+ibを複素数と呼ぶ.ここで,iは虚数単位と呼ばれる"新しい数"で,i^2=-1を満たすものである.
・・・・(中略)
新しい対象を作ったときには,同じかたちの対象が二つあったとき,それらが同じであるとはどういうことか,を明確にすることがまず必要である(同等の定義)
・・・ a,b,a',b' が実数であるとき,
a+ib=a'+ib' ⇔ a=a',b=b'
と定める.

・・・・
とくに,0は0+i0のことであるので,a+ib=0はa=b=0 という意味になる.

とあります。

このように複素数が定義(構成)されているとすると、ルルさんの証明はおかしい(あるいは「無用な証明」)ということになると思います。 

No.62768 - 2019/12/24(Tue) 00:09:41

Re: a+bi=0⇔a=b=0の証明 / ルル
すみません。なぜ私の理解が不十分です。私の証明がなぜ「無用な証明」なのかわかりません。
その理由を教えてください。

FOCUS GOLD という参考書に、「a、bは実数のとき、a+bi=0⇔a=b=0」の証明で、
「a+bi=0⇒a=b=0の証明(b≠0として背理法を利用)」「a=b=0⇒a+bi=0の証明」が
書いてありました。
「定義は証明する必要がないもの。証明できないもの」と思っているのですが、
「a、bは実数のとき、a+bi=0⇔a=b=0」は証明できてしまうので、定義ではなくて定理ではないですか?

No.62769 - 2019/12/24(Tue) 01:06:36

Re: a+bi=0⇔a=b=0の証明 / IT
>このように複素数が定義(構成)されているとすると、ルルさんの証明はおかしい(あるいは「無用な証明」)ということになると思います。

「このように複素数が定義(構成)されているとすると、」という前提条件つきで 「無用な証明」と書きました。

No.62770 - 2019/12/24(Tue) 01:10:55

Re: a+bi=0⇔a=b=0の証明 / ルル
まだ、わかっていないのですが、

Q1 「定義されたのだから証明の必要はない」ということですか?

Q2 「a、bは実数のとき、a+bi=0⇔a=b=0」は定義と定理のどちらですか。
  また、どのように定義か定理と判断したのですか。

No.62771 - 2019/12/24(Tue) 01:40:33

Re: a+bi=0⇔a=b=0の証明 / ルル
複素数の定義で以下のことを書いてあるものがありました。

複素数は実数aとbの対(a,b)であって、その相等、加法、乗法
が次のように定義されたものである。

1相等 (a,b)=(c,d)とはa=c,b=dが成り立つことである。
2加法 (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)
3乗法 (a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)

Q3 「1相等 2加法 3乗法」が先に書いてあるのですが、計算のしやすさを考ると、
   「1加法 2乗法 3相等」と思うのですが、なぜ「1相等 2加法 3乗法」なのですか。

No.62772 - 2019/12/24(Tue) 03:07:58

Re: a+bi=0⇔a=b=0の証明 / 黄桃
Q1,Q2 について:
そもそも複素数をどのように定義したのか、ということがわからないと答えられない、ということです。
高校数学の教科書では、
x^2=-1 となる数は実数の範囲には存在しないけれども、そのような数を仮想的に考えてそれ(の1つ)をiとする、
というような書き方になっていると思います。
これは、あたかも、xの実数係数多項式と同じように計算し、ただ、i^2が出てきたら-1に置き換える、という約束をすれば、今までの多項式の計算と同じような数の体系ができ、しかもi^2=-1 ということになっている、といるわけです。
この定義では、a,b,c,d が実数であるとき、a+bi = c+di ⇔ a=c, b=d は証明しなければならない定理です。

**** 余談 ****
ただし、厳密には、i^2=-1 をいつ、どこで使うかによって、加減乗除の結果が変わらない、ということをいわないといけません。
つまり、例えば、(i+i^2)(1+i)の計算は、先にi^2=-1を代入して展開して、(i-1)(1+i)=-2 と計算できますが、
先に展開してからi^2=-1を代入して (i+i^2+i^2+i^3)=i-1-1-i=-2 と計算しても同じ、
ということを保証をしないと加減乗除の意味がありません。この保証を教科書は述べてませんが、以下のように考えればOKです:

x=1-√5 の時、x^3-2x+1 の値を求めよ、などという問題を解くときに、いきなりxに代入するのではなく、
xは、2次方程式 x^2-2x-4=0 の解であり、x^3-2x+1=(x^2-2x-4)(x+2)+6x+9 より、
求める値は 6x+9=6(1-√5)+9=15-6√5
と計算する方法があります。
これと同じで、x^2=-1 として計算する複素数とは、結局、xの実数係数多項式を(x^2+1)で割った余り、
で考えるのと同じで、どこでどうx^2=-1を代入しても、答はただ1つのxの1次式になり、これが複素数の演算に他ならないわけです。
なお、これでも厳密には、除法が入ると分数式になるので微妙なのですが、そこはスルーしてます。
**** 余談おしまい ****

これに対して、今までとは違う新しい数である a+bi に既に a と bi の和、bとiの積が定義されているのはおかしい(まだ新しい数同士の和や積が定義される前に和や積が使われている;教科書流の説明ならxに得体のしれない数iを本当に代入できるのか?)という批判があります。
そこで、このような批判に答えるためにITさんやご本人が述べているように(a,b)(2つの実数の組)に対して和や積を定義する流儀があります。
この流儀では2つの複素数(a,b),(c,d)が等しいことは a=c かつ b=d と定義しますので、定理ではありません。

Q3については、この3つを定義するだけなら、確かに順番はどうでもいいです。
ただし、相等を最後に定義するのであれば、(まだ等号が定義されていない状態における)加法や乗法の定義には=は使えませんので、加法は例えば、
2数(a,b),(c,d)の和 (a,b)+(c,d)は (a+c,b+d)で定義する
と=を使わずに書く必要があります。

そういうわけで、いずれの流儀で複素数をとらえるかによって、元の質問の答はかわります(教科書流なら、最初の証明でいいでしょうし、上記の流儀なら証明不要)。

No.62802 - 2019/12/26(Thu) 08:57:00

Re: a+bi=0⇔a=b=0の証明 / ルル
「いずれの流儀で複素数をとらえるかによって、元の質問の答はかわります(教科書流なら、最初の証明でいいでしょうし、上記の流儀なら証明不要)」

納得しました!!
ありがとうございました。

No.62815 - 2019/12/28(Sat) 18:31:02
さいころの確率 / forex
福島大学2019年理系第1問(3)の質問です。
画像上段の問題に対して画像下段のように解答したのですが、答えでは画像中段のような解説がなされていました。
答えの解説は理解できるのですが、下段の私の解答にはどこに欠陥があるのか回答よろしくお願いします。

No.62756 - 2019/12/23(Mon) 18:33:02

Re: さいころの確率 / IT
3角形にならない場合の考慮が抜けていますね。
No.62757 - 2019/12/23(Mon) 18:51:19

Re: さいころの確率 / らすかる
「三角形が二等辺三角形とならないのは、a,b,cがすべて異なる場合」
と言っているということは
「a,b,cのうち少なくとも二つが同じである場合は二等辺三角形になる」
と考えているということですよね。
しかし、三辺が
(1,1,2)(1,1,3)(1,1,4)(1,1,5)(1,1,6)(2,2,4)(2,2,5)(2,2,6)(3,3,6)
とその入れ替えの計27通りでは二等辺三角形になりません。
この分も引けば、答えは合います。

No.62758 - 2019/12/23(Mon) 18:52:29

Re: さいころの確率 / forex
ご回答ありがとうございます。
無事に納得することができました。
類題の経験があったので余事象で考えれば速いと思ったのですが、このような問題設定においては数え上げざるを得ないみたいですね。
ITさん、らすかるさんご回答ありがとうございました。

No.62763 - 2019/12/23(Mon) 20:35:24

Re: さいころの確率 / らすかる
「数え上げざるを得ない」のは確かにそうですが、
解答では21個を数えているところ、余事象で数えれば
(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,4)(2,5)(2,6)(3,6)
の9個だけ数えて引けばよく、また正三角形を場合分けする必要もないので
余事象を使う方がスマートで良いと思います。
forexさんの解答の最初の2行の後に上の9個を列挙して
1-(6P3+9×3)/6^3=23/72
でいいですね。

No.62775 - 2019/12/24(Tue) 14:05:29
(No Subject) / クリスマス
不等式|2I-3|≦aを満たす整数xが4個であるようなaの値の範囲は

<私の考え>
a>0の時なら|2I-3|≦a⇔―a≦2x-3≦aと出来るがa≧0かどうかわからない…
だからまず絶対値の記号をはずそう

@X≧3/2の時|2x-3|=2x-3≦a
X≦(a+3)/2
もし|2I-3|≦aを満たすIの値の中にx≧3/2を満たすものが存在するとしたら
3/2≦x≦(a+3)/2の時だからこの条件を満たすIが存在する条件はa>0,存在しない時はa<0

AX<3/2の時|2x-3|=-2x+3≦a
X≧(3-a)/2

もしx<3/2が|2I-3|≦aを満たす解の中に含まれているのであれば
(3-a)/2≦x≦3/2の時だからこの条件を満たすIが存在する条件は(3-a)/2≦3/2
つまりa≧0の時|2I-3|≦aの解の中の(3-a)/2≦x≦3/2,a<0の時はx<3/2を満たすIは存在しない。

@Aよりa>0の時この不等式を満たすIの範囲は(3-a)/2<x<(3+a)/2でありこの値の差は(3+a)/2-(3-a)/2=aでありこの間に整数が4個存在すればよいから4≦a<5である。
としたんですけど…答えが合わなくて

でそれからもう少し考えて@Aから少なくともa>0の時この不等式を満たすIの範囲の中に必ず3/2が入っているのは確実だから条件を満たす整数が4つあるとしたらその整数の組み合わせは(-1.,0,1,2)か(0,1,2,3)か(1,2,3,4)のいずれかだから
2≦(a+3)/2<3かつ—2<(a-3)/2≦-1を満たす共通のaの値の範囲は…ない
3≦(a+3)/2<4かつ-1<(a-3)/2≦0を満たす共通のaの値の範囲は…3≦a<5
4≦(a+3)/2<5かつ0<(a-3)/2≦1を満たす共通のaの値の範囲は…ない

で正しい答え出せたんだけど…もっと簡単に出せませんかね…。
@Aよりa>0の時この不等式を満たすIの範囲は(3-a)/2<x<(3+a)/2でありこの値の差は(3+a)/2-(3-a)/2=aでありこの間に整数が4個存在すればよいから4≦a<5である
じゃうまくいかないんでしょうか。うまくいかない理由かつ模範解答よろしくお願いします。

No.62753 - 2019/12/23(Mon) 16:29:06

Re: / CORNO
簡単かどうかの判断は任せるとして,

  |2x−3|≦a
が解をもつためには,a>0であることが必要で,このとき不等式は,
  −a≦2x−3≦a
これから,
  3/2−a/2≦x≦3/2+a/2
この区間は3/2を中心(←よい表現ではないかも…)とするから.
この区間が整数を4個含むならばそれは,0,1,2,3である.
したがって,
  −1<3/2−a/2≦0 かつ 3≦3/2+a/2<4
となり,これから,
  3≦a<5
これはa>0を満たしている.

No.62754 - 2019/12/23(Mon) 17:05:33

Re: / CORNO
>うまくいかない理由
@,A は,不等式が完全に解けていません.

例えば,
  |2x−3|≦2
を場合分けして解くとき,どうするかを考えてみてください.

No.62755 - 2019/12/23(Mon) 17:33:16

Re: / クリスマス
|2x-3|≦2

@2x-3≧0の時x≧3/2
この時|2x-3|=2x-3
よって|2x-3|=2x-3≦2
2I≦5
x≦5/2

x≦5/2かつx≧3/2の共通部分は3/2≦x≦5/2

A2x-3<0の時x<3/2
この時|2x-3|=—2x+3
よって|2x-3|=-2x+3≦2
-2I≦-1
x≧1/2

よってx<3/2かつx≧1/2の共通部分は1/2≦x<3/2

@Aより1/2≦x≦5/2

|2x-3|≦aの不等式が完全に解けてないって書いてるけどよくわからないんですけど…。

2x-3が0以上か0未満かで場合分けするでしょ
だから
@2I-3≧0
x≧3/2の時|2x-3|=2x-3
よって|2x-3|≦a
2x-3≦a
x≦(a+3)/2≧3/2

よってx≧3/2かつx≦(a+3)/2の共通部分は
3/2≦x≦(a+3)/2

A2I-3<0の時x<3/2
この時|2x-3|=-2x+3より
|2x-3|=—2I+3≦a
x≧(3−a)/2(<3/2)

x<3/2かつx≧(3-a)/2の共通部分は(3-a)/2≦x<3/2

よって@Aより(3-a)/2≦I≦(3+a)/2

じゃないの?

CORNOさんの −1<3/2−a/2≦0 かつ 3≦3/2+a/2<4
となり,これから,
  3≦a<5
これはa>0を満たしている.
っていうのは分かるんですけど…(3-a)/2≦I≦(3+a)/2
の間の差が4以上5未満になればいいんじゃないのっていう考え方はだめなの?

No.62773 - 2019/12/24(Tue) 11:22:41

Re: / CORNO
まず,
>|2x-3|≦aの不等式が完全に解けてないって書いてるけどよくわからないんですけど…。
についてですが,
すいませんでした.長い書き込みの中に埋没していて
>Iの範囲は(3-a)/2<x<(3+a)/2であり
を見落としました.
ただし,イコールが落ちています.

次に,
>間の差が4以上5未満になればいいんじゃないのっていう考え方はだめなの?
ですが,これはだめです.
実際,区間の幅が3である1≦x≦4には,整数が4個含まれます.
だからその方針では,
 「……間の差が3以上5未満になれば……」
が正しいと思います.

No.62776 - 2019/12/24(Tue) 14:09:31
センター図形 / しょう
チツテトの解説をお願いします。
No.62752 - 2019/12/23(Mon) 10:32:17
高校数学 / 宅浪アルバイター
写真の問題の答えは11/90で合っているでしょうか?
No.62751 - 2019/12/23(Mon) 09:27:18
(No Subject) / nana
sを負の実数とした時、図形のような曲線Anに沿う複素積分を考える

ここで、S<0であることより、nを無限にして積分をすると0になるらしいのですが何故0になるのかわかりません

No.62746 - 2019/12/22(Sun) 23:30:44
(No Subject) / うい
(相加平均)≧(相乗平均)
なのはわかるのですが、この青で囲った-2はどこへ消えてしまったのですか?
-2がないと別の式になってしまいますよね…?

No.62744 - 2019/12/22(Sun) 23:28:20

Re: / うい
つけ忘れました
No.62745 - 2019/12/22(Sun) 23:28:45

Re: / らすかる
相加相乗平均を適用するのは「-2」を除いた部分なので
そこだけ先に計算して「8以上」、よって
-2を付ければ「6以上」になるということです。

No.62747 - 2019/12/23(Mon) 00:21:48

Re: / うい
分母がx+2だからx+2で約分できるようにしたのですか?

相加相乗平均を適用するのが-2を除いた部分
というのがよくわからないです

頭が弱くて申し訳ありません…………

No.62749 - 2019/12/23(Mon) 01:21:21

Re: / らすかる
> 分母がx+2だからx+2で約分できるようにしたのですか?
そうです。

相加相乗平均は
○+△/○
という形になっていないと使えません。
○=x+2、△=16とすれば
(x+2)+16/(x+2)
ですからこの形の式には相加相乗平均は適用できますが、
(x+2)+16/(x+2)-2
には適用できません。
(もちろんx+16/(x+2)にも適用できません。)
従って-2を除いた
(x+2)+16/(x+2)
の部分に相加相乗平均を適用して
(x+2)+16/(x+2)≧8
と算出し、その後で両辺から2を引けば
(x+2)+16/(x+2)-2≧6
となり、これは求めたかった式の形です。
よって
x+16/(x+2)=(x+2)+16/(x+2)-2≧6
とわかります。

No.62750 - 2019/12/23(Mon) 01:28:13
指数法則 / うい
2^x*2^(-x)
って1であっていますか?

No.62743 - 2019/12/22(Sun) 23:08:15

Re: 指数法則 / らすかる
あってます。
No.62748 - 2019/12/23(Mon) 00:22:11
(No Subject) / 合成関数
(1)はまじめに、代入、整理有理化を繰り返して求めるしかないのでしょうか?
No.62737 - 2019/12/22(Sun) 16:58:18

Re: / IT
「有理化」とは具体的にどんな作業か分かりませんが

f[2]=(x-√3)/(√3x+1),f[3]=-1/xまで地道に計算で求めれば f[6]=f[3](f[3]) =xと求まるのでは?

#他に何にか良い工夫があるかも知れませんが、本番では単純にやった方が、結果的に早い場合も多いです。
(工夫を否定するものではありません。)

No.62738 - 2019/12/22(Sun) 17:30:29

Re: / IT
一般に
f(x)=(ax+b)/(cx+d)、h(x)=(sx+t)/(ux+v) について
f(h(x))=(a(sx+t)/(ux+v)+b)/(c(sx+t)/(ux+v)+d)
=((as+bu)x+(at+bv))/((cs+du)x+(ct+dv))

ここでf(x)=(ax+b)/(cx+d)=(√3x-1)/(x+√3) とすると

f(h(x))=((√3s-u)x+√3t-v)/((s+√3u)x+t+√3v)

これを使うとf(f(x)),f(f(f(x))) などが少し機械的に計算できます。

※記入ミスや計算ミスがあるかもしれないので検算してください。

No.62741 - 2019/12/22(Sun) 22:59:22
確率 / はるか
1000人に1人、インフルエンザが発症する学校があります。インフルエンザの判定キットがあり、陽性者を間違えなく陽性と判定しますが、陰性者を5%の確率で陽性をと判定します。陽性と判断された人が、本当に陽性である確率を求めよ。
という問題です。条件付き確率で求めれば良いのですかね?方針だけでも良いのでどなたかご教授お願いします。

No.62736 - 2019/12/22(Sun) 15:57:06

Re: 確率 / IT
その学校のある人が陽性と判定される確率は 
真に陽性の場合と陰性者を誤って陽性と判定する場合ですから

(1/1000)+((1000-1)/1000)*(5/100)
このうち 真に陽性なのは1/1000 です。

No.62739 - 2019/12/22(Sun) 19:39:25
(No Subject) / うい
1/6公式を応用してるとは思うのですが
よくわからないので
何故こうなるか教えてください。

No.62726 - 2019/12/21(Sat) 03:51:07

Re: / らすかる
ここでは1/6公式は関係ありません。
(x+1)^2を積分すると(1/3)(x+1)^3、
(x-3)^2を積分すると(1/3)(x-3)^3
になります。
青枠の後半が
(1/3)(x-3)^3
でなく
(1/3)(x-3)^2
となっているのは、単なる誤記ですね。

No.62728 - 2019/12/21(Sat) 04:04:54

Re: / うい
(x+1)^2を積分すると、[x^3/3+x^2+x]1 -1
になってしまうのですが
何がいけないかわかりますか……?

(1/3)(x+1)^3になる過程を詳しく教えていただけると嬉しいです。

No.62732 - 2019/12/21(Sat) 22:19:59

Re: / らすかる
∫(x+1)^2dx は
t=x+1とおくとdt=dxなので
∫(x+1)^2dx
=∫t^2dt
=t^3/3+C
=(x+1)^3/3+C … (1)
となります。
∫(x+1)^2dxを展開して積分すると
x^3/3+x^2+x+Cとなりますが
(1)を展開すると
x^3/3+x^2+x+1/3+C
となり、1/3+Cを新たに積分定数とすれば
全く同じ積分結果ですね。

# 積分の仕方で定数部分が変わるのはよくあることです。

No.62733 - 2019/12/21(Sat) 23:15:51

Re: / うい
置き換えるのですね!
ありがとうございます。
すっきりしました。

No.62742 - 2019/12/22(Sun) 23:07:09
2点間の最短距離 / 山田
「2点間の最短距離は直線である」ことを証明するのって困難ですか?調べたところ、公理であるとか、もしくは変分法というものを用いて…などと書かれていました。

単純に、「直線AB上に任意の点Oから垂線を下ろし、その足をPとしたときにAO>AP、BO>BPとなるから、2点ABの最短は線分ABである」では証明として不十分なのでしょうか?

No.62725 - 2019/12/21(Sat) 03:24:39

Re: 2点間の最短距離 / たけし
おそらく、
"直線AB上にない点Oをとおる曲線の長さ" > "線分AOの長さ" + "線分BOの長さ" > "線分ABの長さ"
をイメージしてるのでしょう。

2番目の不等号は、おっしゃる通り言えます
しかし1番目の不等号に関しては、その証明では何も言及されていないので不十分です。

この問題が本当に難しいのは、「直線」や「距離」(曲線の長さ)をどう定義するのかというところにあります。

1+1=2の証明で、1や2や足し算をどう定義するかの部分が難しいのと同じですね。

ちなみに定義の仕方は一通りではないですし、定義によってはその定理の証明は自明になったりもします。

No.62727 - 2019/12/21(Sat) 03:57:52

Re: 2点間の最短距離 / 山田
なるほど。確かに「直線より短い曲線は存在しない」を言わないとダメですね。難しそうだ。
ありがとうございました。

No.62729 - 2019/12/21(Sat) 14:20:03
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