0402106

ヨッシーの八方掲示板(算数・数学 質問掲示板)

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質問される方は学年(質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。


過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

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(No Subject) / Huz
この問題の⑵をエネルギー保存で解いたのですが、答えが違いました。考え方が間違っているのでしょうか?
No.63388 - 2020/02/11(Tue) 01:35:50

Re: / 関数電卓
(2)
あなたと同じ考えで μ=(2√2+1)/7≒0.40 となりましたが模範解答は違うのですか?

No.63390 - 2020/02/11(Tue) 09:39:53
速度 / あき
数学IIIの問題です

X車で直線上にある地点Aから地点Bまで移動することを考える。X車は地点Aを時刻0に速度0で出発し、時刻Tで地点Bに到着する。(Tは正の定数)また、時刻tにおける車の速度vはv=t(t-T)^2で表される。また、車の長さは考えないものとする。

(1)AB間で、vが最大になるときのtを求めよ。
(2)AB間の距離を求めよ。
(3)Y車は地点A,Bで止まることなく、AB間を一定の速度wで走行する。Y車が地点Aを時刻T/4で通過し、時刻3/4TでX車を追い抜いたとする。このときの速度wを求めよ。ただし、車の衝突は考えないものとする。

解説していただけると助かります。

No.63385 - 2020/02/11(Tue) 00:09:08

Re: 速度 / X
計算自体は数学IIの範囲でも解けますが
それだと計算が煩雑になります。
どこで数学IIIで学習する項目を
使っているか考えながら、
以下の解答をご覧下さい。

(1)
条件から
dv/dt=(t-T)^2+2t(t-T)
=(3t-T)(t-T)
これを元に
0≦t≦T
の範囲でtに対するvの増減表を書くことにより
求めるtの値は
t=T/3

(2)
求める距離をlとすると
l=∫[0→T]vdt=∫[0→T]{t(t-T)^2}dt
=[(1/3)t(t-T)^3][0→T]-(1/3)∫[0→T]{(t-T)^3}dt
=(1/12)T^4

(3)
時刻tにおけるX車のAからの距離をL(t)とすると
L(t)=∫[0→t]vdt
=[(1/3)t(t-T)^3][0→t]-(1/3)∫[0→t]{(t-T)^3}dt
=(1/3)t(t-T)^3-(1/12)(t-T)^4+(1/12)T^4
一方、条件から
L(3T/4)=w(3T/4-T/4) (B)
(A)(B)より
(1/3)(3T/4)(-T/4)^3-(1/12)(-T/4)^4+(1/12)T^4=wT/2
これより
(81/4)(T/4)^4=wT/2
(81/1024)T^4=wT/2
∴w=(81/512)T^3

No.63386 - 2020/02/11(Tue) 00:37:36

Re: 速度 / あき
ありがとうございます!
(2)の結果に3T/4を代入するのではなく、積分区間を0→3T/4として積分すると、分子が27でなく81になるのですがどこかおかしな部分はありますか?

No.63387 - 2020/02/11(Tue) 01:32:27

Re: 速度 / ヨッシー
積分区間の 0〜t の t に 3T/4 を代入することと
積分した結果の (1/12)t^4 に 3T/4 を代入することとは
同じことなので、結果は同じになるはずです。
積分の結果はちゃんと (27/1024)T^4 になりましたか?

No.63391 - 2020/02/11(Tue) 09:59:00

Re: 速度 / X
>>ヨッシーさんへ
フォローして頂いた後で大変申し訳ありませんが、
今回は私の計算ミスです(ごめんなさい)。

>>あきさんへ
ごめんなさい。あきさんの仰る通りです。
(3)で誤りがありましたので、No.63386を
直接修正しました。再度ご覧下さい。

注)
ミスの原因は(3)のL(t)を
(2)の結果のTの代わりにtを代入したもの
と勘違いしたことです。

No.63401 - 2020/02/11(Tue) 19:48:16

Re: 速度 / あき
Xさん、ヨッシーさん、ありがとうございました。
No.63417 - 2020/02/12(Wed) 14:24:43
(No Subject) / 積分漸化式
すいません、これも昨日受験したばかりで答えがないのですが、どなたか2の答えと、3の考え方を教えていただけませんでしょうか…

※ 画像が横になってしまったので、再アップしました。

No.63380 - 2020/02/09(Sun) 13:10:43

Re: / IT
(途中まで)
(2)
部分積分を使えば
a[n]=[(x^n)sin(π/2)x](0,1)-(π/2)∫[0,1](x^n)cos(π/2)xdx
=1-{π/(2(n+1))}b[n+1]

b[n]=[(x^n)cos(π/2)x](0,1)+(π/2)∫[0,1](x^n)sin(π/2)xdx
={π/(2(n+1))}a[n+1]

よって a[n]=1-{π^2/(4(n+1)(n+2))}a[n+2]…(ア)

b[n] も同様にできます。

(3)
定義から
 0≦a[n],b[n]≦∫[0,1](nx^(n-1))dx=[x^n](0,1)=1

(2)より0≦1-a[n]={π^2/(4(n+1)(n+2))}a[n+2]≦π^2/(4(n+1)(n+2))→0(n→∞)
したがって a=1.

No.63383 - 2020/02/09(Sun) 19:46:01

Re: / 積分漸化式
ITさん 回答ありがとうございます。

もう一度、ITさんの解答を参考にしながら、解いてみます。
ありがとうございました。

No.63384 - 2020/02/10(Mon) 21:15:35
(No Subject) / Huz
⑴でanを特性方程式型と考えて解いたのですが、答えと若干、ちがいました。特性方程式型の解き方では解けませんか?
No.63376 - 2020/02/09(Sun) 03:22:10

Re: / X
問題のa[n]についての漸化式は
右辺の第二項が定数ではありません
従って特性方程式型の解き方は使えません。
変換をしたb[n]についての漸化式
についても同様です。

No.63378 - 2020/02/09(Sun) 08:56:49
(No Subject) / し
この式は成り立ちますか?
No.63373 - 2020/02/09(Sun) 01:42:16

Re: / らすかる
〔 〕の意味は何ですか?
No.63374 - 2020/02/09(Sun) 02:23:33

Re: / し
> 〔 〕の意味は何ですか?

ガウス記号です

No.63375 - 2020/02/09(Sun) 03:20:46

Re: / らすかる
それならば
[x]^2-[x]-5/4<0 と
(1-√6)/2<[x]<(1+√6)/2 は
同値です。

No.63377 - 2020/02/09(Sun) 06:57:23

Re: / IT
[ ]がガウス記号である場合を含め、 [x] が 実数ならば、その式は成り立ちますね。
No.63389 - 2020/02/11(Tue) 07:40:38

Re: / らすかる
そうですね。
私は〔x〕^2が〔x〕の2乗でない可能性を考えて質問しました。
〔x〕じゃなくて[x]と書かれていればガウス記号と判断したんですけどね。

No.63392 - 2020/02/11(Tue) 14:45:23
logのもんだいです / ノート
a=log10の2,b=log10の3とする
log10の18をa,bを用いて表せ

No.63366 - 2020/02/08(Sat) 17:06:30

Re: logのもんだいです / ヨッシー
公式
 log10(AB)=log10A+log10B
 log10A^C=clog10
より
 log1018=log10(2・3^2)
  =log102+2log10
(以下略)

No.63369 - 2020/02/08(Sat) 17:18:17
(No Subject) / ラスク
aは実数の定数とする。二次方程式xの2乗+2ax-a+6が異なる2つの虚数解を持つようなaの値の範囲を出せ
No.63365 - 2020/02/08(Sat) 16:59:25

Re: / ヨッシー
xの2乗+2ax-a+6=0 のことと解釈します。

判別式をとって
 (中略)
−3<a<2

No.63370 - 2020/02/08(Sat) 17:21:15
よろしくお願いします / 塩昆布
a,b,cは実数の定数とする
関数f(x)=x3+ax2+bx +cはx=0において極大値をとり、x=4 において極小値をとる。
1.a,bの値をそれぞれ求めよ またf(x)の極大値、極小値をそれぞれcを用いて表せ。
2.方程式f(x)=0の異なる実数解の個数が2個であり、実数解の一方が正、もう一方が負であるとする。cの値と、f(x)=0の解を求めよ
また、そのときのy=f(x)のグラフをかけ

No.63363 - 2020/02/08(Sat) 16:31:29

Re: よろしくお願いします / ヨッシー
1.
f(x)を x で微分して、
 f'(x)=3x^2+2ax+b
f'(x)=0 の解が x=0, 4 なので、
 f'(x)=3x(x-4)
と書けます。展開して係数を比較すると、
 a=−6、b=0
f(x)=x^3−6x^2+c において、
 f(0)=c  ・・・極大値
 f(4)=c−32 ・・・極小値

2.
極大値か極小値のいずれかでx軸と接するグラフになりますが、
それは極大値ではない(f(x)=0 の解がx=0となるため)。
よって、x=4 がf(x)=0 の解(重解)となります。
そのとき、
 f(4)=c-32=0
よって、
 c=32
f(x)=x^3−6x^2+32=0 を解きます。
 f(x)=(x-4)^2(x+2)
より、x=4, −2

グラフは以下の通り。

No.63367 - 2020/02/08(Sat) 17:13:13

Re: よろしくお願いします / 塩昆布
関数はf (x)=x^3+ax^2+bx+c です
No.63368 - 2020/02/08(Sat) 17:13:58
(No Subject) / キャラメル
横向きになっていてすいません
No.63362 - 2020/02/08(Sat) 16:23:22

Re: / ヨッシー
(1)
公式より
 cos(2x)=1−2sin^2(x)=1−2t^2
また、
 4sin(x+π/3)=2sinx+2√3cosx
より
 f(x)=2t^2−2t−1
(2)
 f(x)=2(t−1/2)^2−3/2
 −1≦t≦1 より
 −3/2≦f(x)≦3 (最小値は t=1/2、最大値は t=−1 のとき)
(3)
a>0 のとき
 −(3/2)a=−1 より a=2/3
 最小値を与えるxは t=1/2 より x=π/6 または x=5π/6
a<0 のとき
 3a=−1 より a=−1/3
 最小値を与えるxは t=−1 より x=3π/2

No.63364 - 2020/02/08(Sat) 16:48:46
(No Subject) / 場合の数
今日の入試で出たためにまだ答えがないのですが、どなたか解説していただけませんか?

n個(n≧7)の整数1,2,3,…,nからk個の整数を選ぶ時、どの2数の差の絶対値も2以上となるような選び方は何通りか?

ちなみに入試では n=7,k=3/n=15,k=3の場合が出ました

No.63359 - 2020/02/08(Sat) 14:08:02

Re: / ヨッシー
「どの2数の差も2以上」で良いと思いますが、それはともかく。

まず前提として、n≧2k−1 でないと、そういう選び方は出来ないので、その条件下で、
 (n-k+1)Ck
が答えです。

n個からk−1個除いた n−k+1個の整数で考えます。
1,2,3・・・n-k+1 の中から、数字をk個選びます。
それを、小さい順に並べ、一番小さいものはそのまま、
2番目に小さい数は+1、3番目は+2、・・・n-k+1番目は+(n-k)します。
そうすると、少なくとも差が2である数字が選べます。

n=7,k=3 の場合だと、1〜5の数から3個選び、上の操作を施すと
 (1,2,3)→(1,3,5)
 (1,2,4)→(1,3,6)
 (1,2,5)→(1,3,7)
 (1,3,4)→(1,4,6)
 (1,3,5)→(1,4,7)
 (1,4,5)→(1,5,7)
 (2,3,4)→(2,4,6)
 (2,3,5)→(2,4,7)
 (2,4,5)→(2,5,7)
 (3,4,5)→(3,5,7)
のように、5個から隣り合わせを許して3個取る取り方と
7個から必ず間を1個以上空けて3個取る取り方が1対1に対応します。

No.63360 - 2020/02/08(Sat) 14:24:39

Re: / 場合の数
なるほど!
そのように考えればよかったのですね。
ヨッシーさん解答ありがとうございました

No.63372 - 2020/02/08(Sat) 22:06:39
生産計画問題 / るん
生産計画問題について質問です。

原料a:200kg 原料b:100kg 原料c:50kg から、製品A,B,Cを生産したい。
各製品1s当たりの生産に必要な原料は
製品A:原料a:0.6kg b:0.3kg c:0.1kg
製品B:原料a:0.1kg b:0.5kg c:0.4kg
製品C:原料    b:0.3kg c:0.7kg
であり、各製品1sあたりの利益は製品A:3000円 製品B:2000円 製品C:1000円である。
与えられた原料を用いて利益を最大化したい。

(1)生産計画問題を線形計画問題にモデル化しなさい。
(2)原料cを1sあたり1000円でいくらでも追加購入できる場合の問題を線形計画問題にモデル化しなさい。

(1)は解けたのですが、(2)の解き方が分かりません。
宜しくお願い致します。

No.63358 - 2020/02/08(Sat) 13:30:03
常微分方程式 キャンパス・ゼミについて / タナカ タケル
大学3年生です。

「マセマ出版社 常微分方程式 キャンパス・ゼミ(改訂6)」について、2つ質問をさせてください。

【対象書籍】
マセマ出版社
常微分方程式 キャンパス・ゼミ(改訂6)

【対象部分】
p28「微分方程式の図形・自然現象・物理への利用」の章

【質問1】
この章では、(-1/y')を考えることで、ある曲線群に直行するような曲線群を求めていると思います。

ここで、(-1/y')を考える際には
y'≠0
つまり、y≠c(定数)
であることが前提となっているため、y=c(定数)の場合は別途検討しなければならないように感じます。

実際、「例題9」において
y=0
は求める曲線群の1つであると思います。

つまりより詳しい答えとしては、
--------------------
x^2+y^2=Cy
もしくは
y=0
--------------------
だと思います。

この考え方は正しいでしょうか。


【質問2】
ただ、
y=c(定数)
を別途検討するとして、そこから「例題9」におけるy=0のような解を求める方法がわかりません。

曲線群の図形的イメージがわからない中で上記のような解を導くためには、どのように考えれば良いでしょうか。


長文で申し訳ありませんが、ご回答いただけますと幸いです。

No.63357 - 2020/02/08(Sat) 10:51:31

Re: 常微分方程式 キャンパス・ゼミについて / m
【質問1】について、
直交曲線群が定義されていれば判別はできるのですが、そうではなさそうです。
本当に正しいかどうかは大学の担当の先生に聞いてみた方がいいと思います。


30ページの「直交する曲線群の求め方」で求めることができるのは
y=f(x)の形であってf'(x)≠0を満たすもののみです。
これで見つけられない曲線は
y=B (定数)
のほかにも
x=A (定数)
があります。(他にはないのかは私には難しくてわかりません。)
y=Bの形はy'≠0としていたのが原因で、
x=Aの形はy'が定義できないことが原因です。


【質問2】
曲線群がF(x, y, c)=0(c: 任意定数)と表されているとします。
x=Aの形のものの見つけ方:
x=Aと曲線群とある曲線Cの交点での曲線Cの傾きは0です。
つまりその交点では「yをxの関数とみて、dF(x, y(x), c)/dx = 0にy'(x)=0を代入したもの」が成り立ちます。
またF(A, y, c)=0も成り立ちます。
これらを連立してAについて解けばいいはずです。

y=Bの形のものの見つけ方はx=Aのときと同様。ただ、y方向の微分が出てきます(詳しくは例で)。


わかり難いと思うので例題9で実際にやってみます。

x=Aの形:
F(x, y, c) = x^2+y^2-cxとおく。
(y'=dy(x)/dxと書くことにする)
0=dF(x, y(x), c)/dx = 2x+2y(x)y'(x)-cよりy'=0として
0=2A-c
(cは任意定数なので)これを満たすA(定数)は存在しない
よって解なし。

y=Bの形:
(x'=dx(y)/dyと書くことにする)
0=dF(x(y), y, c)/dy = 2x(y)x'(y)+2yよりx'=0として
0=2BよってB=0
(これはたまたまF(x, B, c)=0を考えなくていい例。ラッキー)

よってy=0が求める直線。


暇なのでもう一つ例を
曲線群をF(x, y, c)=y-cx^2=0(放物線群)とおく。

x=Aの形:
0=dF(x, y(x), c)/dx = y'-2cxよりy'=0を代入して
0=2cAよってA=0
(これもたまたまF(A, y, c)=0を考えなくていい例)

y=Bの形:
0=dF(x(y), y, c)/dy =1-2cxx'よりx'=0を代入して
0=1よって解なし(厳密には背理法。y=Bの形の法線が存在したとすれば0=1となるから矛盾。よって存在しない)

よってx=0が求める直線。


長くなりました。
問題なのは、30ページの方法と合わせても曲線群のすべてが求まるかどうかが分からないという事です。証明できればいいのですが、難しそうです。

No.63381 - 2020/02/09(Sun) 13:18:25
中1数学です。 / 空
よろしくお願いします。
No.63354 - 2020/02/07(Fri) 21:02:21

Re: 中1数学です。 / ヨッシー
(1)(2)は書けているようなので、(3) をやります。

図のようにFH//OC、FO//HCとなるように、直角三角形FHCを作ります。
同様にCI//OD、GI//OCとなるように直角三角形CIGを作ると、
 △FHC≡△CIG
より、
 CI=6
となり、DGIは同一直線上にあり、
 GI=2
より
 DG=4
よって、
 △OFG=OF×DG÷2=2×4÷2=4

No.63355 - 2020/02/08(Sat) 01:11:05
sinについて / kins
画像の式が成り立つ理由を教えてください。
No.63351 - 2020/02/07(Fri) 17:19:13

Re: sinについて / ヨッシー
k=1:sin(t+0π)=sint
k=2:sin(t+π)=−sint
k=3:sin(t+2π)=sint
k=4:sin(t+3π)=−sint
k=5:sin(t+4π)=sint
であることを考えると、kが奇数のときそのまま、kが偶数のとき−1倍なので、
 (-1)^(k-1) を掛けます。
別に、
 (-1)^(k+1) でも、(-1)^(k+101) でも、
良いですが、シンプルな方が良いです。

No.63352 - 2020/02/07(Fri) 17:27:01
添削をお願いしたいのですが・・ / 石
添削お願いできませんか・・間違ってる所を指摘して欲しいです。
No.63342 - 2020/02/07(Fri) 09:46:50

Re: 添削をお願いしたいのですが・・ / 石
(1)です
No.63343 - 2020/02/07(Fri) 09:47:48

Re: 添削をお願いしたいのですが・・ / 石
(1)続きです
No.63344 - 2020/02/07(Fri) 09:48:45

Re: 添削をお願いしたいのですが・・ / 石
(2)です
No.63345 - 2020/02/07(Fri) 09:49:27

Re: 添削をお願いしたいのですが・・ / 石
(2)続きです
No.63346 - 2020/02/07(Fri) 09:50:20

Re: 添削をお願いしたいのですが・・ / 石
(2)続き、途中から(3)です
No.63347 - 2020/02/07(Fri) 09:51:24

Re: 添削をお願いしたいのですが・・ / 石
(3)続きです
No.63348 - 2020/02/07(Fri) 09:52:05

Re: 添削をお願いしたいのですが・・ / 石
連投申し訳ありません。変なところとかあればご指摘よろしくお願いします。
No.63349 - 2020/02/07(Fri) 09:54:10

Re: 添削をお願いしたいのですが・・ / ヨッシー
(1) ○
(2) 最終行の2行前のカッコの中 2・3p は消えるはずです。
  答えは 2/3
  あまり、項を分けるメリットは無いと思います。
  p-1〜p, p〜p+1 それぞれ分けて積分して 1/3+1/3=2/3
  としても、大して変わりません。
(3) 考え方は良いですが、途中で計算間違いがあります。
  p=1 とした方も、不採用の方も両方です。
  答えは p=(√7)/2 です。
  別の方法として、
  =(1, 2p-2)、=(1,2p+2) という2つのベクトルの内積から
  なす角θの cosθを求め、cosθ=±1/√2 から求める方法もあります。
  この方法は、途中で一瞬ビビりますが、意外と簡単に解けます。
 

No.63350 - 2020/02/07(Fri) 17:05:16

Re: 添削をお願いしたいのですが・・ / 石
大変助かりました!!細かい所まで本当にありがとうございます!!
No.63353 - 2020/02/07(Fri) 19:06:10
(No Subject) / うい
正十角形の頂点を結んで三角形を作る時、正十角形と二辺を共有する三角形はいくつできるか

10通りあるらしいのですが、どう考えるのか教えてほしいです。

No.63340 - 2020/02/06(Thu) 22:08:00

Re: / ヨッシー
共有する2辺は、正十角形の隣り合った2辺でないと三角形になりません。
隣り合った2辺は、頂点の数だけある(1つの頂点から伸びる2つの辺として理解できる)ので、全部で10組。
三角形も10個となります。


No.63341 - 2020/02/06(Thu) 22:11:01
確率 / アキ
確率の問題です。

Aさん、Bさんを含む男子6人と、Cさんを含む女子6人の計12人のクラスがあり、4人ずつの3つの班に分ける。この時、Aさん、Bさんが同じ班で、Cさんが別の班にいる確率を求めよ。なのですが、自分は
班の分け方は5775通りあり、題意を満たす班の分け方は、まず、ABが同じ班にいるとして、残り2人はC以外から選ぶので、9C2通りあるため、36/5775=12/1925となったのですが、答えは12/55でした。
どこが間違っているのか分かりません。

No.63335 - 2020/02/06(Thu) 19:27:19

Re: 確率 / らすかる
9C2通りというのはABが同じ班にいてCが残り8人の中にいる分け方であって、
「残り8人」の4人ずつの組み分けが考慮されていません。
それを考慮すると分子が35倍になりますので、正しく36×35÷5775=12/55となります。

No.63336 - 2020/02/06(Thu) 19:39:32

Re: 確率 / アキ
9C2と考えたら、残りのCさんを含む8人を4人ずつに分ける8C4×4C4をして、区別しないのでこれを2!で割る、という考えでよろしいでしょうか?
No.63338 - 2020/02/06(Thu) 20:05:26

Re: 確率 / らすかる
はい、それで大丈夫です。
No.63339 - 2020/02/06(Thu) 20:40:29
余弦定理、正弦定理 / 高校数学
解答のやり方は理解できるのですが、

自作の回答のように正弦定理を用いてから、Cの長さを求めると、どうして解答と異なった値になってしまうのかが分かりません。

どなたか解説をよろしくお願いいたします。

No.63333 - 2020/02/06(Thu) 18:37:04

Re: 余弦定理、正弦定理 / 高校数学
解答です。
No.63334 - 2020/02/06(Thu) 18:37:53

Re: 余弦定理、正弦定理 / ヨッシー
c^2-2c-2=0 までは合っています。
その後の解き方がまずいです。

No.63337 - 2020/02/06(Thu) 20:00:07
(No Subject) / たけ
これの(1)ってどう解くんですか?
No.63329 - 2020/02/05(Wed) 23:23:50

Re: / X
方針を。
C[1]とC[2]の交点のx座標について
ax^2=b(x-4)^2+4
整理をして
(a-b)x^2+8bx-16b-4=0 (A)
条件から(A)が実数解を一つしか持たない
ことが分かりますので
(A)の左辺のx^2の係数について
場合分けして考えます。
(i)a-b≠0のとき
これは(A)の解の判別式に対する
条件を考えます。
(ii)a-b=0のとき
これは実際にPの座標をaを用いて表し、
その点におけるC[1],C[2]を表す
関数の微分係数が等しいかどうかを
確かめます。

実は添付写真の解答欄が答え一つ分しかない時点で
(ii)は不適であることは予想がつくのですが、
この(ii)のときのC[1],C[2]のグラフを実際に
描いてみて、不適であることとの対応関係を
考えることは、二次関数の理解を進める助けに
なると思います。

No.63332 - 2020/02/06(Thu) 05:48:49
(No Subject) / おちゃっかん
この問1が解けません、なんとかしてan.bnを求めようとしたのですが、うまくできません。どうやって解くのですか、わかる方教えてください
No.63328 - 2020/02/05(Wed) 23:07:08

Re: / ast
a[n], b[n]は無理でも |OC[n+1]|^2 = a[n+1]^2+b[n+1]^2 と |OC[n]|^2 = a[n]^2+b[n]^2 との関係は与えられた連立漸化式からすぐに出ますね.
No.63330 - 2020/02/05(Wed) 23:40:13

Re: / らすかる
a[n],b[n]は
a[n]=cos(π(n-1)/3)/2^(n-1)
b[n]=sin(π(n-1)/3)/2^(n-1)
とは表せますが、astさんが書かれたように解く方が早いと思います。

No.63331 - 2020/02/06(Thu) 01:05:54
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