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ヨッシーの八方掲示板(算数・数学 質問掲示板)

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質問される方は学年(質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。


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教えてください! / ん
この問題の解き方を教えてください
ある店では、ハンバーガーの単品を1個240円、ジュースの単品を一杯120円、ハンバーガー一個とジュース一杯のセットを300円で売られている。ある一日において準備していたハンバーガー200個とジュース180杯がすべて売り切れ、2種類の単品とセットの売り上げは合計で60000円であった。この日、ハンバーガーとジュースのセットは何セット売れたか、求めなさい、ただし、値段は税込みとする

No.63325 - 2020/02/05(Wed) 21:58:41

Re: 教えてください! / らすかる
240+120-300=60だからセットにすることで1セットあたり60円売り上げが減る。
もしハンバーガー200個とジュース180杯をすべて単品で売ると
240×200+120×180=69600となり、売り上げは60000円なのでその差は9600円。
よってセットは9600÷60=160セットだった。
検算
160セットなのでハンバーガー単品は40個、ジュース単品は20杯
よって合計金額は240×40+120×20+300×160=60000となり正しい。

No.63326 - 2020/02/05(Wed) 22:54:45
等式の証明 / morikawa
高2生の親です

a+b=c+d
a+c=b+d
a+d=b+c
のいずれかが成立するとき

4a²b²+4c²d²-(a²+b²-c²-d²)=8abcd を証明せよ


途中までいろいろやってみましたが、
上の3つの条件式の両辺を2乗した式から、それぞれ証明する式(全部左辺に移項した左辺全体)に代入していくと、
3つのパターンのうちどれを使って変形していっても、(ab-cd)が共通項として変形されました・・・方向性があっているのかどうか。。。
よろしくお願い申し上げます。

No.63319 - 2020/02/04(Tue) 22:33:00

Re: 等式の証明 / IT
> 、(ab-cd)が共通項として変形されました・・・

具体的な式を書き込まれないとなんとも言えないと思います。

問題はあっていますか? a=2,b=1,c=0,d=3 で成り立たないような。

No.63320 - 2020/02/04(Tue) 22:40:08

Re: 等式の証明 / ast
示すべき式は4a^2b^2+4c^2d^2-(a^2+b^2-c^2-d^2)^2=8abcdなのではないですか?

参考: 4a^2b^2+4c^2d^2-(a^2+b^2-c^2-d^2)^2-8abcd の因数分解 (wolfram alpha)

No.63321 - 2020/02/04(Tue) 22:42:09

Re: 等式の証明 / morikawa
申し訳ございませんでした・・・
astさんのおっしゃる通り、問題集を再度見直してみると、右の項にも2乗がついていたので、、、
簡単でした〜、、、有難うございます!!

No.63322 - 2020/02/04(Tue) 22:53:18
(No Subject) / 受験生
行列未習ですが、この問題は複素数で解くことができますか?
No.63316 - 2020/02/04(Tue) 19:08:26
確率 / とんき
2つの箱A、Bと玉の入った袋がある
袋の中に赤玉5こ白玉7個 全部で12個入っている
袋から球を1つだし さいころを投げて
1か2が出たらAに入れる
そのほかが出たらBに入れる。取った球は袋に戻さない
これを繰り返すとき、
「5回目の操作でBに赤玉が入る確率は?」


これなんですが
4回目までの赤白の出方などを反復試行で計算するのでしょうか?

No.63315 - 2020/02/04(Tue) 18:04:22

Re: 確率 / IT
5回目の玉が赤であることと、5回目にBに入れることは
独立なので それぞれの確率を求めて 掛ければいいとおもいます。

なお、いろいろな示し方(説明の方法)がありますが、この問題の場合は、1回目の玉が赤である確率も5回目の玉が赤である確率も等しくなります。

No.63318 - 2020/02/04(Tue) 19:44:39
線形代数 / noman
2行目と3行目の間、2列目と3列目の間に区切りを入れ4分割にする。途中4分割の左上の行列のM^nを求める必要がある。ここが分からない
No.63310 - 2020/02/04(Tue) 00:32:37

Re: 線形代数 / Norman
上の問題に対しての追加です。
No.63313 - 2020/02/04(Tue) 16:55:11
Θの求め方 / noman
cosΘ=-9/√130
sinΘ=7/√130
を満たすΘを求めたいのですが分かりません
教えてください。

No.63306 - 2020/02/03(Mon) 23:23:00

Re: Θの求め方 / らすかる
「求める」がθ=(有理数)°やθ=(有理数)πという形で表すという意味ならば、「求める」ことはできません。
0°<θ<360°の範囲の近似値ならばθ≒142.125°です。
もし「θについて解く」だけで良ければ
θ=arccos(-9/√130)
とは書けます。

No.63312 - 2020/02/04(Tue) 02:03:12
重積分 / a
画像の重積分が分かりません
No.63305 - 2020/02/03(Mon) 22:52:37

Re: 重積分 / X
ヒントを。
極座標に変換すると
D={(r,θ)|r≦cosθ,-π/2≦θ≦π/2}
となります。

No.63307 - 2020/02/04(Tue) 00:02:25

Re: 重積分 / a
その方法も試したのですが、答えが合わなくて...
答えは(3π-4)/9ですが、どこかで計算を間違えているのでしょうか?

No.63311 - 2020/02/04(Tue) 01:36:27

Re: 重積分 / X
下から2行目の被積分関数の第1項を間違えています。
-(1/3)(sinθ)^3
ではなくて
{-(1/3)(sinθ)^2}・|sinθ|
です。

No.63317 - 2020/02/04(Tue) 19:26:19

Re: 重積分 / a
解決しました、ありがとうございます
No.63324 - 2020/02/05(Wed) 12:42:16
(No Subject) / ちゆり
y=x2乗について 
xが−1≦x≦3のときのyの変域の求め方はどうやるんですか

No.63304 - 2020/02/03(Mon) 22:07:14

Re: / X
-1≦x≦3
より
(i)-1≦x≦0
又は
(ii)0≦x≦3

(i)のとき
yの変域は
0≦y≦1
(ii)のとき
yの変域は
0≦y≦3^2=9

よって求めるyの変域は
0≦y≦1又は0≦y≦9
ということで
0≦y≦9
となります。

No.63308 - 2020/02/04(Tue) 00:08:12

Re: / ヨッシー
グラフです。

No.63309 - 2020/02/04(Tue) 00:18:21
(No Subject) / ぬまっこ
以下の式をY=変換できますか?電気の抵抗計算です。

(1/4)X=XY/(X+Y)

No.63301 - 2020/02/03(Mon) 11:43:53

Re: / ヨッシー
両辺に 4(X+Y) を掛けて
 X(X+Y)=4XY
展開して整理すると
 X^2=4XY−XY=3XY
両辺 3X で割って
 Y=X/3 (ただし X≠0)

No.63302 - 2020/02/03(Mon) 12:17:46

Re: / ぬまっこ
ありがとうございます、助かりました!!式の展開が苦手で・・。汗
No.63303 - 2020/02/03(Mon) 17:35:34
n=784です / うい
56の倍数で正の約数が15個である自然数nを求めよ
これで、 p¹⁴ (pは素数) の場合は起こらない、
というのが理解できないので教えてほしいです。

56=2³・7だからp⁴q² の方が合うのかな、とはなんとなく思うのですが…

No.63298 - 2020/02/02(Sun) 20:55:59

Re: n=784です / ヨッシー
56=23・7 のように、すでに素因数が2つあるので、
p14 の形はあり得ません。

No.63299 - 2020/02/02(Sun) 20:59:26
2012 慶應 総合政策 第5問1 / マーベル
答えはわかっているのですが、解き方がわかりません!

 自然数nに対し整数を値にとる関数f(n)を次のように定める。
 テーブルの上にはn個の碁石が置かれている。2人のプレーヤーAとBが交互に碁石を1個か2個とる。そして最後に碁石をとったプレーヤーが負けである。ゲームはAから始める。Bがいかなるとり方をしても、Aが最良のとり方をすれば勝てるときはf(n)=1とする。逆にAがいかなるとり方をしても、Bが最良のとり方をすれば勝てないときはf(n)=-1とする。それ以外の場合はf(n)=0とする。例えばf(1)=-1,
f(2)=1である。

問い f(3) f(4) f(5) を求めよ

   20
問い Σ f(n) を求めよ
   n=1

解答 f(3)=1 f(4)=-1 f(5)=1

   20
   Σ f(n) =6
   n=1


ゲーム理論を使うらしいのですが、1つ1つの場合をかんがえるしかないのでしょうか?法則性や考え方などがありましたらご教授、ご鞭撻のほどよろしくお願いいたします。

No.63294 - 2020/02/02(Sun) 12:26:49

Re: 2012 慶應 総合政策 第5問1 / IT
f(1)=-1,f(2)=1 は、容易に分かります。
自然数nについて、f(n+2)を調べます。
n+2 個から Aが2個とった場合と、1個とった場合を考えると、
f(n)=1かつf(n+1)=1ならば,Aが1個とっても2個とっても、その後Bに必勝法がありますのでf(n+2)=-1、
それ以外の場合は,Aが1個か2個かうまくとればBに必勝法がありませんのでf(n+2)=1であることが分かります。

よって、(f(1),f(2),f(3),....)=(-1,1,1,-1,1,1,-1,...)

f(20) までを使うぐらいならこれで求めればいいとおもいます。

一般の自然数nについてf(n) を求める必要があれば、nを3で割った余りで分類すれば良いです。

No.63295 - 2020/02/02(Sun) 13:18:36

Re: 2012 慶應 総合政策 第5問1 / IT
具体的な戦略は、残りの個数を3で割った余りが1になるようにとる。 ですね。

まず、nを3で割った余りが0のときAは2個とる。余りが2のときは1個とる。
(余りが1のときは、必勝法はないので1個とってBの失敗(残りの数を3で割った余りが1以外になるの)を待つ。)

その後、Bが1個とればAは2個、Bが2個とればAは1個とればいいです。

No.63300 - 2020/02/02(Sun) 21:03:17
サンプリング定理について / ロコム
サンプル値(5,2,-1,2)をサンプリング定理により波の式を再生するとf(x)=2+3cosxとなるそうなのですが、どうやって計算してf(x)を求めたのか過程の計算を教えてください!

出来れば簡単な例としてsinθをフーリエ変換する方法はわかるのですが、フーリエ変換した後の縦線のグラフを逆フーリエ変換する方法がわかりません。
どうか教えて下さい。
最後に−∞〜∞に関する積分を行う際にグラフを書いたりして−∞〜∞に関する積分の式を求めやすくするような方法はないでしょうか。
どうかよろしくお願いいたします。

No.63292 - 2020/02/02(Sun) 03:06:25

Re: サンプリング定理について / GandB
 内容が支離滅裂である。
 フーリエ変換・逆変換

 離散フーリエ変換・逆変換
をごっちゃにしている。信号処理の本をみっちり読みなさい。

No.63296 - 2020/02/02(Sun) 15:12:38
証明 / りゅう
この証明はいかがでしょうか。ご指摘お願いします。
No.63287 - 2020/02/01(Sat) 23:17:13

Re: 証明 / IT
f'(x)=cosx の証明はどうやりますか?
No.63288 - 2020/02/01(Sat) 23:26:44

Re: 証明 / りゅう
加法定理を使ったやり方ではだめですか?
No.63289 - 2020/02/01(Sat) 23:37:13

Re: 証明 / IT
lim(x→0)((sinx)/x)=1 を使っていればダメですね。
No.63290 - 2020/02/01(Sat) 23:43:52

Re: 証明 / りゅう
なぜでしょうか?
No.63291 - 2020/02/02(Sun) 01:55:26

Re: 証明 / IT
lim(x→0)((sinx)/x)=1 を証明するために
lim(x→0)((sinx)/x)=1 を使って証明した公式(sinx)'=cosxを使ってはダメだと思います。

No.63293 - 2020/02/02(Sun) 08:05:41

Re: 証明 / りゅう
なるほど。問題にされている証明の結果を前提とした公式は使えないと言うことですね。わかりました!ありがとうございます。
No.63297 - 2020/02/02(Sun) 20:13:31
(No Subject) / とんき

6の{log[10]7}乗ってどう出せばいいのですか?
常用対数は2と3だけ与えられています

No.63285 - 2020/02/01(Sat) 19:41:32

Re: / IT
{log[10]7}{log[10]6}
=log[10](6^{log[10]7})
=log[10](7^{log[10]6})
ですから

6の{log[10]7}乗= 7の{log[10]6}乗
=7^{log[10]2+log[10]3}

です。これでいいでしょうか? 
どういう問題ですか? 

No.63286 - 2020/02/01(Sat) 20:24:05

Re: / とんき
log[10]2=a とlog[10]3=b

6の{log[10]7}乗をaとbで表せという問題です

TTさんのやり方でやったら7^(a+b)となりできました!
ありがとうございます

No.63314 - 2020/02/04(Tue) 18:01:00
高校入試問題(西大和学園) / のんこ
答えはわかっているのですが、解き方がわからないので丁寧な解説をお願いします。
No.63281 - 2020/02/01(Sat) 01:57:35

Re: 高校入試問題(西大和学園) / らすかる
nが28^3で割り切れますので、自然数mを用いて
n=28^3×m=(2^2×7)^3×m=2^6×7^3×m
と表せます。
これが28^4=2^8×7^4で割り切れませんので、
mは2^2×7で割り切れません。
n^2=2^12×7^6×m^2=2^6×14^6×m^2ですから、
少なくとも14^6では割り切れ、例えばm=1ならば14^7で割り切れません。
従ってkの最小値は6となります。
mが素因数2を持たないとき、n^2の素因数2の個数は12個なので、
mが7^3で割り切れれば14^12で割り切れますが、14^13では割り切れません。
mが素因数2を1個だけ持つとき、n^2の素因数2の個数は14個なので、
mが7^4で割り切れれば14^14で割り切れますが、14^15では割り切れません。
mが素因数2を2個以上持つときは、mは素因数7を持てませんので
n^2は14^6でしか割り切れません。
従ってkが最大となるのはmが2×7^4の奇倍数のときで、
このときn^2は14^14で割り切れて14^15で割り切れませんので、
kの最大値は14となります。

# kが最小となる具体値の例はn=28^3=21952、
# 最大となる具体値の例はn=28^3×2×7^4=105413504です。

No.63282 - 2020/02/01(Sat) 05:17:29

Re: 高校入試問題(西大和学園) / IT
(少し違う書き方)
nの素因数2の指数をa,7の指数をb とする.
n^2の素因数2の指数は2a,7の指数は2bで,k=min(2a,2b)である.

nが28^3=(2^6)(7^3)で割り切れるので a≧6かつb≧3
28^4=(2^8)(7^4)で割り切れないので a<8またはb<4

a<8 のとき
 a=6,7
 b=3,4,5,....
 2a=12,14
 2b=6,8,10,....
 よってkの最小値は6、最大値は14.

b<4のとき
 b=3
 a=6,7,8,.....
 2b=6
 2a=12,14,16,...
 よってk=6.

したがって,kの最小値は6,最大値は14.

No.63283 - 2020/02/01(Sat) 08:46:14
確率 / ぶるぁ
A,B,Cの3人が試験を受けた。各人の合格する確率は、それぞれ 2/3 , 1/2 , 2/5 である。
@一人だけ合格する確率はいくらか。
A二人だけ合格する確率はいくらか。


模範解答
@
Aだけが合格する確率は(2/3)×(1/2)×(3/5)=1/5。
Bだけが合格する確率は(1/3)×(1/2)×(3/5)=1/10。
Cだけが合格する確率は(1/3)×(1/2)×(2/5)=1/15。
よって、11/30

A
AとBが合格する確率は(2/3)×(1/2)×(3/5)=1/5。
AとCが合格する確率は(2/3)×(1/2)×(2/5)=2/15。
BとCが合格する確率は(1/3)×(1/2)×(2/5)=1/15。
よって、2/5


各条件の確率を出す過程において、分子が減ったり増えたりしているのがどういうことなのか分かりません。詳しい解説をお願いします。

No.63279 - 2020/01/31(Fri) 23:37:41

Re: 確率 / IT
各人の合格する確率は、それぞれ 2/3 , 1/2 , 2/5 である。
ので、

各人の不合格の確率は、それぞれ 1/3 , 1/2 , 3/5 です.

これを踏まえて、模範解答の式の中の各分数が何を表しているのか考えてください。

No.63280 - 2020/01/31(Fri) 23:53:50
代数学 / ゆ
カッコ2番は(14)(12)(16)(37)(5)であってますか?
No.63274 - 2020/01/31(Fri) 11:49:44

Re: 代数学 / ヨッシー
最後の (5) は取って、
 (1 4)(1 2)(1 6)(3 7)
だけでいいと思います。

No.63275 - 2020/01/31(Fri) 12:20:30

Re: 代数学 / ゆ
5があっても間違いにはならないですか?
No.63277 - 2020/01/31(Fri) 21:33:17

Re: 代数学 / ヨッシー
そもそも (5) は互換なのか?というのは置いておいて、
これを許すなら、
 (1 4)(3)(1 2)(2)(4)(1 6)(1)(3 7)(5)
のように、どこに何を挟んでも良いことになりますので、
入れないのが良いと思います。

No.63278 - 2020/01/31(Fri) 22:34:41

Re: 代数学 / ゆ
ありがとうございます
No.63284 - 2020/02/01(Sat) 19:22:21
三角関数 / 耐水性
(3)の解き方を教えてください。
よろしくお願いします。

No.63270 - 2020/01/30(Thu) 19:36:46

Re: 三角関数 / X
二倍角の公式を使ってcosxについての二次方程式に
変形します。

No.63271 - 2020/01/30(Thu) 20:15:12

Re: 三角関数 / 耐水性
回答ありがとうございます。
答えがX=0,1/3,5/3になったのですが、合っているでしょうか?もしよろしければ教えていただきたいです。

No.63272 - 2020/01/30(Thu) 21:34:56

Re: 三角関数 / ヨッシー
たぶん、2次方程式を解くまでは合っていると思いますが、答えは違います。
No.63273 - 2020/01/30(Thu) 22:14:10

Re: 三角関数 / X
>>耐水性さんへ
>>X=0,1/3,5/3

はタイプミスではありませんか?

No.63276 - 2020/01/31(Fri) 17:55:59
代数学 / ゆ
どうやったらこんな風なあみだくじができるか分かりません。分かる方いませんか?
No.63264 - 2020/01/30(Thu) 14:54:26

Re: 代数学 / ヨッシー
あみだくじに横線を引くことは、その両端の縦線の経路を入れ替えるということですから、これを互換に見立てています。

σが最終的に (1 2)(3 4)(4 5)(3 4)(2 3) に変形できるまでの過程はて理解されていますか?
このように、隣り合った数字同士の互換の積に表せたら、右の互換から順に、その数字の間に線を引いていけば、あみだくじの完成です。
(必ず、上から順に引くこと)

No.63265 - 2020/01/30(Thu) 15:49:26

Re: 代数学 / ゆ
分かりました!
ありがとうございます

No.63266 - 2020/01/30(Thu) 16:12:31

Re: 代数学 / ゆ
あ、すみません
最終的に変形されてる部分がわかりません。

No.63267 - 2020/01/30(Thu) 16:15:35

Re: 代数学 / ヨッシー
(1 2 5 3) までは良いですか?というか、むしろ、これを経ずにいきなりいくつかの互換の積に直すことを考えたほうが良いかもしれません。
(1 2 3 4 5) に (1 2) を実施すると (2 1 3 4 5)
(2 1 3 4 5) に (1 5) を実施すると (2 5 3 4 1)
(2 5 3 4 1) に (1 3) を実施すると (2 5 1 4 3)
となり、σが実現できます。実施した順に右から並べて
 (1 3)(1 5)(1 2)
です。これは、まだ隣同士でない互換も含まれるので、それぞれ隣同士の互換の積に直します。
(1 2 3)→(2 1 3)→(3 1 2)→(3 2 1) の順に実施すれば(1 3) が実現します。
行なった互換は順に (1 2), (2 3), (1 2) なので、式で書くと
 (1 3)=(1 2)(2 3)(1 2)
同様に
 (1 5)=(1 2)(2 3)(3 4)(4 5)(3 4)(2 3)(1 2)
となります。よって、
 (1 3)(1 5)(1 2)=(1 2)(2 3)(1 2)(1 2)(2 3)(3 4)(4 5)(3 4)(2 3)(1 2)(1 2)
と書けます。この式の通り11本の横線を引いても所望のあみだくじは出来ますが、
同じ縦線の間を行ってまた帰ってというムダな動きを含んだくじとなります。
それらを排除するために、同じ互換が並んだ部分(上の図の四角で囲った部分)を取り除くと
 (1 2)(2 3)[(1 2)(1 2)](2 3)(3 4)(4 5)(3 4)(2 3)[(1 2)(1 2)]
 =(1 2)[(2 3)(2 3)](3 4)(4 5)(3 4)(2 3)
 =(1 2)(3 4)(4 5)(3 4)(2 3)
となります。

No.63268 - 2020/01/30(Thu) 16:45:58

Re: 代数学 / ゆ
分かりました!
No.63269 - 2020/01/30(Thu) 17:11:01
(No Subject) / はぴ
問2がわかりません。
答えは6(n-3)/n(n-1)になるらしいのですが。
どうしてもそこまで出ません。
取り出した玉が端の二つ+なにか(隣じゃないもの)
端の玉を含まないように2つ取る+なにか
だと考えてますが、うまくいきません。教えてください。
導出過程お願いします

No.63260 - 2020/01/29(Wed) 20:42:08

Re: / CORNO
(1)が(2)につながるので,あなたが(1)をどう解いたかが重要です.
面倒でも,ここに(1)のあなたの答案を書き込むべきです.

No.63261 - 2020/01/29(Wed) 20:56:26

Re: / IT
CORNO さんのおっしゃるとおりだと思いますが、書き込みかけていたので、ヒントだけ。

3つの数の最小と最大の差の値毎に取り出し方の数を数えればいいとおもいます。
真ん中の数は 最小値+1か最大値-1の2通りです。
(他にも考え方があるかもしれません。ご自身の(1)の考え方を一般化してみるのが良いと思います。)

同じようなことですが、3つの数の最小値毎に数える方法もありますね。

No.63262 - 2020/01/29(Wed) 21:13:22
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