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ヨッシーの八方掲示板(算数・数学 質問掲示板)

since 2008/03/25

旧数学掲示板のログ

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質問される方は学年(質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。


過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

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(No Subject) / 高校生
(1)について、自分では、BとCの取り出す回数について、下のように解いたのですが、これでは答えが合わないです。どこがいけないのでしょうか?
No.65595 - 2020/05/19(Tue) 21:03:20

Re: / IT
B,C:0,6の場合がもれているのでは?

普通は (2/3)^6 と計算すると思います。

(1/3 + 1/3)^6 = (2/3)^6 と考えることも出来ます。

あなたの解法は左辺を二項展開で計算するのと類似です。

No.65596 - 2020/05/19(Tue) 21:11:22

Re: / 高校生
書き忘れていましたが、実際にそれも加えて計算したところ、合わないです。この方法でも合うはずですか?
No.65599 - 2020/05/19(Tue) 21:34:12

Re: / IT
正しく計算すれば合うはずです。
最初の式と6C0などの数値化後と最終結果を書いてみてください。
6C0 などはパスカルの三角形で計算するのが間違いにくいと思います。

No.65601 - 2020/05/19(Tue) 21:41:40

Re: / 高校生
計算合いました!ありがとうございます。ただ、このやり方は効率が悪いと思うので、先におっしゃっていただいたやり方でできるようにしていきたいです。
No.65619 - 2020/05/20(Wed) 09:24:37
(No Subject) / nig
1/15 (11 3^n - 2 3^(1 + n) + 6 5^n)
です。

No.65588 - 2020/05/19(Tue) 18:58:25
数B 漸化式 / 数学が苦手だ!!
写真の問題が分かりません。
No.65586 - 2020/05/19(Tue) 18:43:01

Re: 数B 漸化式 / ヨッシー
 a[n+1]=3a[n]+4・5^(n-1)

 a[n+1]+k・5^(n+1)=3(a[n]+k・5^n)
と書けたとします。展開して整理すると
 a[n+1]=3a[n]−2k・5^n
   =3a[n]−10k・5^(n-1)
元の式と比較して
 k=−2/5
b[n]=a[n]−2・5^(n-1) とおくと、
 b[n+1]=3b[n], b[1]=1
より、
 a[n]−2・5^(n-1)=b[n]=3^(n-1)
よって、
 a[n]=2・5^(n-1)+3^(n-1)

No.65589 - 2020/05/19(Tue) 19:47:05

Re: 数B 漸化式 / ast
別解.

a[n]の係数が 3 であることに着目して, 両辺を 3^(n+1) で割ると

 a[n+1]/3^(n+1) = a[n]/3^n +(4/9)*(5/3)^(n-1)
ここで b[n] := a[n]/3^n とおくと
 b[n+1]-b[n]=(4/9)*(5/3)^(n-1)

となるので, b[n] に階差数列の和の公式を適用したら等比数列の和の計算するくらいで b[n] が出るので, したがって b[n] に 3^n を掛けて a[n] が出ると思います.
# 自分では確認の計算をしていません.

No.65611 - 2020/05/19(Tue) 23:37:05
よろしくお願いします。 / 残念無念
5021のように3種類の数字を使ってできる4けたの整数は全部で何個ありますか。

明快な解法が思い浮かびません。ご教示願います。

No.65576 - 2020/05/19(Tue) 17:48:49

Re: よろしくお願いします。 / らすかる
5021は4種類では?
No.65578 - 2020/05/19(Tue) 17:51:23

Re: よろしくお願いします。 / 残念無念
> 5021は4種類では?

そうでした。5022の表記ミスです。ご指摘ありがとうございます。

No.65579 - 2020/05/19(Tue) 18:02:47

Re: よろしくお願いします。 / らすかる
5021で3種類と書かれていたので「0は種類に数えない」とか変なルールでもあるのかと思いました。
5022の間違いならそういう変なことはありませんので素直に解けます。

まず0が千の位に来てもよいと考えると
数字の選び方が10C3=120通り、その3つの中でどれを2回使うかが3通り、
1回だけ使う文字を配置する方法が4×3=12通りなので、120×3×12=4320通り
このうち千の位が0であるものの個数を引きます。
0が千の位だけに使われている数は
残り3桁に使う数字の選び方が9C2=36通り、その2つの中でどちらを2回使うかが2通り、
1回だけ使う文字を配置する方法が3通りなので36×2×3=216通り
0が千の位と他の位に使われている数は
千の位以外で0が使われている場所が3通り、その他の数字の入れ方が9P2=72通りなので
3×72=216通り
従って求める場合の数は
4320-216-216=3888通り

No.65582 - 2020/05/19(Tue) 18:26:58

Re: よろしくお願いします。 / 残念無念
ありがとうございました!

0を使わない→9C3×3×4C2×2=3024通り
0を1回使う→9C2×2×9=648通り
0を2回使う→9C2×6=216通り
あわせて3888通りと考えましたが確信もてませんでした。

余事象の利用方法、参考にさせていただきます。

No.65587 - 2020/05/19(Tue) 18:49:48
積分 / タピオカ
答えはわかっているのですが、途中式がわかりません。どなたか教えてください。
No.65571 - 2020/05/19(Tue) 16:25:40

Re: 積分 / らすかる
・これは一つの式ですか、それとも途中少し空いているところで分けて二つの式とみるのですか?
・最後についている!!は二重階乗ですか?

No.65574 - 2020/05/19(Tue) 17:02:42

Re: 積分 / タピオカ
おそらく、2つの式で、!!は二重階乗ではないのだと思います…
ちなみに、答えはganbaroです。

No.65581 - 2020/05/19(Tue) 18:18:14

Re: 積分 / らすかる
それならば
ga∫[b〜n]dx=ga[x][b〜n]=ga(n-b)
a∫[o〜r]dy=a[y][o〜r]=a(r-o)
よって計算した結果と最後の!!を書くと
ga(n-b) a(r-o)!!
となります。

No.65585 - 2020/05/19(Tue) 18:42:25

Re: 積分 / タピオカ
それで合っていたんですね!!
さらに展開する必要があるのかと思いました…
ありがとうございます!

No.65597 - 2020/05/19(Tue) 21:20:29
(No Subject) / dT
https://mathtrain.jp/yojiniju
曰く;↑ 巷説によれば;「多くの四次関数には二重接線が存在する」
   「多くの四次函数 f の G(f)には二重接線が存在する」
   
12 x^4-8 x^3 y+40 x^3-12 x^2 y^2-16 x^2 y+36 x^2+4 x y^3
-28 x y^2-36 x y-36 x+3 y^4-8 y^3-30 y^2+24 y+11=0
の 2重接線が在れば 導出をして下さい;

No.65567 - 2020/05/19(Tue) 15:29:25
微分 極限 / みさと
x−1を分解して見たりしたのですがうまくいきません
教えてください!

No.65565 - 2020/05/19(Tue) 15:20:36

Re: 微分 極限 / ヨッシー
分子を有理化するつもりで、分子分母にあるものを掛けます。
No.65566 - 2020/05/19(Tue) 15:29:11

Re: 微分 極限 / みさと
> 分子を有理化するつもりで、分子分母にあるものを掛けます。

かけたんですけど、うまくいかなかったです

No.65568 - 2020/05/19(Tue) 16:09:07

Re: 微分 極限 / ヨッシー
分子は −x のみではありません。
分母の x−1 は分解する必要はありません。
この2点がマズいところです。

No.65569 - 2020/05/19(Tue) 16:17:41

Re: 微分 極限 / みさと
> 分子は −x のみではありません。
> 分母の x−1 は分解する必要はありません。
> この2点がマズいところです。


とても簡単な凡ミスを…してたようです…
ありがとうございます。

No.65577 - 2020/05/19(Tue) 17:49:13
大学2年 / gab
こちらの問題が分かる方、お願い致します。(1)(2)片方だけでも大丈夫です。
No.65561 - 2020/05/19(Tue) 14:49:26

Re: 大学2年 / gab
以前jpgで表示されたのですが、今回ファイルがうまく表示されないようなので、もう一度投稿します。それでも表示されなかったら、この質問は無視してください。失礼しました。
No.65563 - 2020/05/19(Tue) 14:58:47

Re: 大学2年 / X
以下、'は常微分の記号ではないとします。

↑r=(x,y,z)
↑r'=(x',y',z')
により
|↑r-↑r'|=√{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}

(1)
(左辺のx成分)=(∂/∂x)√{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}
={(∂/∂x){{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}}/{2|↑r-↑r'|}
=(x-x')/|↑r-↑r'|
同様に
(左辺のy成分)=(∂/∂y)√{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}
=(y-y')/|↑r-↑r'|
(左辺のz成分)=(∂/∂z)√{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}
=(z-z')/|↑r-↑r'|
∴(左辺)=(右辺)

(2)
(1)と方針は同じです。

No.65580 - 2020/05/19(Tue) 18:15:03

Re: 大学2年 / gab
ありがとうございます!
No.65592 - 2020/05/19(Tue) 20:05:42
解き方がわかりません。 / ななこ
途中式も含めて教えてください。お願い致します。
No.65560 - 2020/05/19(Tue) 14:02:42

Re: 解き方がわかりません。 / ヨッシー
途中式と書かれていますが、敢えて聞くと
・算数/数学なのか?クイズなのか?
・2]とあるが、関連する 1]があるのか?それとも 1]は全く別の問題か。

No.65564 - 2020/05/19(Tue) 15:02:39

Re: 解き方がわかりません。 / らすかる
「条件に合うような規則を推測して答えるクイズ」だとしたら、
例えば
・A〜Zは1〜26の数字を表す
・足し算の結果は27で割った余りとする
とすると条件を満たし、この場合A〜Zを全て足すと0になります。

No.65575 - 2020/05/19(Tue) 17:27:26

Re: 解き方がわかりません。 / IT
数学の問題というよりクイズですね。
A=1
E=5
B=2,C=3,D=4 と推測,Y=-2
G=7と推測,Z=-1
X=-3などと推測

A〜Zを全て足すと0

No.65590 - 2020/05/19(Tue) 19:47:24

Re: 解き方がわかりません。 / らすかる
最初、ITさんの考え方で
A〜Zに対して1,2,3,4,5,…,-5,-4,-3,-2,-1
とするとどこからマイナスに変わるのかわからないから
答えが決まらないと思っていたのですが、
答えの選択肢を考えると問題なかったですね。
1,2,3,…,12,13,-13,-12,…,-3,-2,-1 とすると合計は0
1,2,3,…,13,14,-12,-11,…,-3,-2,-1 とすると合計は27
1,2,3,…,14,15,-11,-10,…,-3,-2,-1 とすると合計は54
・・・
のようにどこが境界になっていても合計が27の倍数になることから
1番の「0」以外は除外されるのですね。

No.65616 - 2020/05/20(Wed) 07:27:58
方程式 / 高3
x^4+y^4+z^4-2x^2y^2-2y^2z^2-2z^2x^2=0
この問題を教えてください。

No.65558 - 2020/05/19(Tue) 13:59:19

Re: 方程式 / らすかる
(x+y+z)(x+y-z)(x-y+z)(x-y-z)=0と因数分解できますので
答えはx+y+z=0またはx+y=zまたはy+z=xまたはz+x=yです。

No.65570 - 2020/05/19(Tue) 16:19:06

Re: 方程式 / 高3
よろしければ考え方の過程を教えていただけませんか?
No.65591 - 2020/05/19(Tue) 19:55:42

Re: 方程式 / IT
x^4+y^4+z^4-2x^2y^2-2y^2z^2-2z^2x^2
xについて整理
=x^4-2(y^2+z^2)x^2+y^4+z^4-2y^2z^2
=x^4-2(y^2+z^2)x^2+(y^2-z^2)^2
=x^4-2(y^2+z^2)x^2+((y+z)^2)(y-z)^2
=(x^2-(y+z)^2)(x^2-(y-z)^2)

No.65594 - 2020/05/19(Tue) 20:46:21
すみません 教えてください / うい
sinA+sinBは
sin(A+B)にして大丈夫でしょうか?

No.65557 - 2020/05/19(Tue) 13:51:45

Re: すみません 教えてください / ヨッシー
sin30°=1/2 です。
sin30°+sin30°=1/2+1/2=1 です。

では、
sin(30°+30°)=sin60°=1 でしょうか?

No.65559 - 2020/05/19(Tue) 13:59:51

Re: すみません 教えてください / うい
なるほど!
そうですね ありがとうございます

No.65562 - 2020/05/19(Tue) 14:54:33
被積分関数にガウス記号 / nct
この式の答えが1/δdになるまでの過程を教えて貰いたいです.
積分範囲を分割すればできそうな気もしますが,dはどこから出てくるのでしょうか?

No.65556 - 2020/05/19(Tue) 12:49:15

Re: 被積分関数にガウス記号 / X
>>積分範囲を分割すればできそうな気もしますが
ではそのように計算してみます。

(左辺)=lim[n→∞]Σ[k=0〜n](k+1)∫[k→k+1]{e^(-δt)}dt
=lim[n→∞](1/δ){1-e^(-δ)}Σ[k=0〜n](k+1)e^(-δk) (A)

ここで
S[n]=Σ[k=0〜n](k+1)e^(-δk) (B)
と置くと
{e^(-δ)}S[n]=Σ[k=0〜n](k+1)e^(-δ(k+1))
=Σ[k=1〜n+1]ke^(-δk) (C)
(k+1を改めてkと置いた)
(B)-(C)より
{1-e^(-δ)}S[n]=Σ[k=0〜n]e^(-δk)-(n+1)e^(-δ(n+1))
={1-e^{-δ(n+1)}}/{1-e^(-δ)}-(n+1)e^{-δ(n+1)}
∴S[n]={1-e^{-δ(n+1)}}/{1-e^(-δ)}^2-(n+1){e^{-δ(n+1)}}//{1-e^(-δ)}
よって(A)より
(左辺)=1/{δ{1-e^(-δ)}}

ということで
1-e^(-δ)=d
と置いているのだと思います。

No.65583 - 2020/05/19(Tue) 18:31:00

Re: 被積分関数にガウス記号 / X
>>積分範囲を分割すればできそうな気もしますが
ではそのように計算してみます。

(左辺)=lim[n→∞]Σ[k=0〜n](k+1)∫[k→k+1]{e^(-δt)}dt
=lim[n→∞](1/δ){1-e^(-δ)}Σ[k=0〜n](k+1)e^(-δk) (A)

ここで
S[n]=Σ[k=0〜n](k+1)e^(-δk) (B)
と置くと
{e^(-δ)}S[n]=Σ[k=0〜n](k+1)e^(-δ(k+1))
=Σ[k=1〜n+1]ke^(-δk) (C)
(k+1を改めてkと置いた)
(B)-(C)より
{1-e^(-δ)}S[n]=Σ[k=0〜n]e^(-δk)-(n+1)e^(-δ(n+1))
={1-e^{-δ(n+1)}}/{1-e^(-δ)}-(n+1)e^{-δ(n+1)}
∴S[n]={1-e^{-δ(n+1)}}/{1-e^(-δ)}^2-(n+1){e^{-δ(n+1)}}/{1-e^(-δ)}
よって(A)より
(左辺)=1/{δ{1-e^(-δ)}}

ということで
1-e^(-δ)=d
と置いているのだと思います。

No.65584 - 2020/05/19(Tue) 18:32:05

Re: 被積分関数にガウス記号 / nct
返信おそくなって申し訳ないです.
理解することができました.
ありがとうございました.

No.65676 - 2020/05/21(Thu) 10:54:50
(No Subject) / P
問 4. 条件 φ(x,y) = 0 のもとで、f(x,y) の極値を求めよ(2) φ(x,y) = x^2 + xy + y^2 −4, f(x,y) = 1/2 (x^2 + y^2)
g(x,y,k)=f(x,y)-kφ(x,y)
と置くと
∂g/∂x=x-k(2x+y)
∂g/∂y=y-k(2y+x)
∂g/∂k=-(x^2+xy+y^2-4)
∴極値を与えるx,y,kについて
・x-k(2x+y)=0 (A)
・y-k(2y+x)=0 (B)
・-(x^2+xy+y^2-4)=0 (C)
x,y,kの解と極値の導出が上手くできません、
宜しくお願いします。

No.65553 - 2020/05/19(Tue) 11:38:09

Re: / Lag
-4+x^2+x y+y^2=0,1/2 (x^2+y^2)=4,1/2 (x^2+y^2)=4/3
を描いて 眺め 再考してください;

No.65572 - 2020/05/19(Tue) 16:31:44

Re: / Lag
{2 x+y,x+2 y}={k x,k y},-4+x^2+x y+y^2=0
を解いて 考察を

No.65573 - 2020/05/19(Tue) 16:47:58
(No Subject) / 開成高校4年
この例題6って上の無限級数の和の性質をどのように使ってるんですか?
No.65551 - 2020/05/19(Tue) 11:20:24

Re: / ヨッシー
Σ(3/2^n) はSに収束する
Σ(2/3^n) はTに収束する
このとき 
Σ(3/2^n−2/3^n) はS−Tに収束する
ですね。

No.65552 - 2020/05/19(Tue) 11:32:13
積分 / ぺち
⑴ ∫e^tanx・sec^2xdx
⑵ ∫ cotx / 1+sin^2 dx

の解き方を教えてください。よろしくお願いします。

No.65548 - 2020/05/19(Tue) 11:06:27

Re: 積分 / ヨッシー
(1)
u=tanx とおくと、
du/dx=sec^2x より、
 (与式)=∫e^udu=e^u+C=e^tanx+C (Cは積分定数)

(2) はちょっと長いので、こちらなど。

No.65554 - 2020/05/19(Tue) 11:45:02
(No Subject) / 開成高校4年
記述のとき(2)のように同様にしてで済ませていいのですか?
No.65546 - 2020/05/19(Tue) 08:42:05

Re: / ヨッシー

同様に、で問題ありません。
例えば、上の図のように、記号を付け替えて、(1) と同じことをしたら、
記号上はAP:PR:RLですが、実際には、記号を替える前の
BQ:QP:PM ですよね?

辺を内分する比率などは全部同じですので、
 AP:PR:RL=BQ:QP:PM=CR:RQ:QN
が言えます。

今回は、メネラウスの練習なので、上記のようになりますが、
実はこの問題、中学入試では有名な問題で、図のように変形すると 1/7 がすぐに分かることになっています。

No.65547 - 2020/05/19(Tue) 09:42:30

Re: / 開成高校4年
なるほど!!
分かりやすかったですありがとうございます😊

No.65549 - 2020/05/19(Tue) 11:18:19
(No Subject) / よーた
分からないので教えてください。よろしくお願いします。
No.65545 - 2020/05/19(Tue) 08:38:34

Re: / トーカ
(1)まずy=sin^-1(x)をxで微分する
 y'=1/√(1-x^2)
 √(1-x^2)・y'=1
 両辺をxで微分する
√(1-x^2)y''-x/√(1-x^2)・y'=0
(1-x^2)y''-xy'=0
この両辺をライプニッツの公式を使ってxでn回微分すると目的の式が示せます。

(2)(1)で示した式でx=0とすれば 
 y^(n+2)(0)=n^2y^(n)(0)
 nをn-2に置き換えて
 y^(n)(0)=(n-2)^2y^(n-2)(0) ・・・@
 ただしy^(n)はyをn回微分した式という意味
 あとは@でnを2ずつ減らしていけば
 nが奇数のとき
 y^(n)(0)=(n-2)^2y^(n)(0)
     =(n-2)^2・(n-4)^2y^(n-2)(0)
     =(n-2)^2・(n-4)^2・・・・3^2・1^2y'(0)
     =(n-2)^2・(n-4)^2・・・・3^2・1^2 
     ∵y'(0)=1
 nが偶数のときは y(0)=sin^-1(0)=0よりy^(n)(0)=0

No.65598 - 2020/05/19(Tue) 21:34:09
(No Subject) / dT
巷説によれば;「多くの四次関数には二重接線が存在する」

 x^4-6 x^2 y^2+y^4-1 =0 の2重接線が在れば導出を;

No.65539 - 2020/05/18(Mon) 23:48:03

Re: / らすかる
x^4-6x^2y^2+y^4-1=0にx=u+v, y=u-vを代入して整理すると
4u^4-24u^2v^2+4v^4+1=0
u^2の二次方程式とみて判別式を考えると
D/4=(12v^2)^2-4(4v^4+1)≧0から|v|≧2^(-5/4)なので
対称性から全二重接線は(8u^2-√2)(8v^2-√2)=0
これにu=(x+y)/2, v=(x-y)/2を代入して整理することにより、
x^4-6x^2y^2+y^4-1=0の全二重接線は2(x^2-y^2)^2+1=(2√2)(x^2+y^2)
(個別ではy=±x±2^(-1/4)(複合任意))

No.65544 - 2020/05/19(Tue) 07:56:03
線形代数 / 大学生
添付の問題の(2)が分かりません。
自分の回答と解説が違うのですがこの回答のどこが間違えているのかがわかりません。よろしくお願いします。

No.65534 - 2020/05/18(Mon) 22:04:01

Re: 線形代数 / 大学生
自分の回答と解説はこちらに添付してます。
(2)です。

No.65536 - 2020/05/18(Mon) 22:09:49

Re: 線形代数 / ast
クロネッカーのデルタ δ[i,j] の定義は i=j のとき 1, i≠j のとき 0 ですから, 比較されるのは δ の添字である i と j の間でであって, 添字とは無関係の k,l と i,j との関係を調べる道具とする余地はありません (i,j=1,…,nを動かして k や l との一致を判定したいなら δ の添字に固定の k や l が入っている必要がある). i,j を動かして i=k,j=l となったときだけ考えたとしてもそれは δ[k,l] であり k と l が比較されて k≠l なら 0 なので, E_kl の (k,l)-成分が常に 1 であることとはだいぶかけ離れていることがわかります.

結局, E=(δ[i,j]) とおいたのでは行列単位ではなく単位行列になってしまいます (この場合, i=j は i=1,…,n の各場合で起きるので主対角線上に 1 が n 個出てきます).

正しい道筋をえるには, i と k の一致判定のために δ[i,k], j と l の一致判定のために δ[j,l] を個別に用意することが必要であり, 両判定において同時に一致する場合のみを取り出すことは積をとることでうまくいくので, まとめると解説の通りだということが結論付けられますね.

No.65537 - 2020/05/18(Mon) 22:31:49
(No Subject) / あ
逆三角関数の問題教えてください。
No.65528 - 2020/05/18(Mon) 20:53:47

Re: / らすかる
sinx=sin(π-x)で
sin^(-1)は通常-π/2〜π/2の値を返しますので
sin^(-1)(sin((3/5)π))
=sin^(-1)(sin(π-(3/5)π))
=sin^(-1)(sin((2/5)π))
=(2/5)π
となります。

No.65530 - 2020/05/18(Mon) 21:04:17
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