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ヨッシーの八方掲示板(算数・数学 質問掲示板)

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(No Subject) / 開成高校4年
ここって0以上のt一個につきxも一個あるからtの数調べればxの数もわかるよってことですか?
No.65527 - 2020/05/18(Mon) 20:22:47

Re: / X
その通りです。
No.65533 - 2020/05/18(Mon) 21:08:41
(No Subject) / つくも
この問題の(4)の証明の仕方を教えてください。
それと(5)の答えがあわないので教えてほしいです。

No.65524 - 2020/05/18(Mon) 19:31:17

Re: / X
(4)
条件から線分DEは辺BCの垂直二等分線ですので
△BCDはBD=CDの二等辺三角形
一方、OA,ODは円Oの半径ですので
△AODはOA=ODの二等辺三角形
従って
∠BDC=∠AOD (A)
が証明できれば、問題の命題は証明できます。

で、(A)の証明ですが以下の通りです。
対頂角により∠ADD=∠BOE (B)
一方、辺OC,OBは円Oの半径ですので
OB=OC
で条件から
線分OEは辺BCの垂直二等分線
よって
△COE≡△BOE
となるので
∠COE=∠BOE (C)
(A)(B)から
∠BOC=∠BOE+∠COE=2∠AOD (D)
一方、円周角により
∠BOC=2∠BDC (E)
(D)(E)より
2∠BDC=2∠AOD
となり(A)は成立します。

(5)
(3)の結果より
△OADと△BCDの相似比は
OA:BD=5:4√5
よって面積比は
5^2:(4√5)^2=5:16

No.65531 - 2020/05/18(Mon) 21:06:11
(No Subject) / ま
制約条件;4 x^4+4 x^2 y^2-7 x^2+x y+4 y^4-7 y^2+3=0のもとで,6 x+9 yの最大値,最小値を何処でとるかを解説してください;
No.65523 - 2020/05/18(Mon) 19:22:14
(No Subject) / ワカナ
エからどう求めていいのか分かりません
お願いします

No.65522 - 2020/05/18(Mon) 19:01:10

Re: / トーカ
△OABで余弦定理を使うと
AB^2=(6-2t)^2+(1+2t)^2-2(6-2t)(1+2t)cos60°
  =12t^2-30t+31 ←エ〜ケ
  =12(t-5/4)^2+49/4 
これより 5/4分=1分15秒のとき ←コ〜シ
     ABの最小値=√(49/4)=7/2 ←ス〜セ

No.65532 - 2020/05/18(Mon) 21:07:38
教えてください! / 和希
この問題を教えてください。
証明が苦手で…

No.65517 - 2020/05/18(Mon) 17:59:14
あてはめ方がわからない / A
P=3X-4 Q=-3X+6のときの 次の値を計算しなさい。また降べきの順にしろ 解き方がいまいちつかめません掛け合わせる事はたぶんそうなのですが、助言お願いします。
1問目2P
2問目P-Q

No.65514 - 2020/05/18(Mon) 17:38:09

Re: あてはめ方がわからない / ヨッシー
(1)
2P=2(3x−4) これを展開
P−Q=(3x−4)−(−3x+6) これを計算
まずはやってみましょう。
降べきの順かどうかはその次です。

No.65521 - 2020/05/18(Mon) 18:58:40
(No Subject) / kaf
この問題の解き方、答えがわかりません。
どのような手順で解くのでしょうか。
途中式も全てではなくていいので、少しあると助かります

No.65512 - 2020/05/18(Mon) 17:25:32

Re: / ヨッシー
まず、公比はいくらかを調べます。

教科書に、無限等比級数の公式があるはずです。
 公比が〇〇のときは収束
 公比が××のときは発散
といった記述があると思いますので、どちらに当たるか調べます。

 

No.65513 - 2020/05/18(Mon) 17:33:15

Re: / kaf
> まず、公比はいくらかを調べます。
>
> 教科書に、無限等比級数の公式があるはずです。
>  公比が〇〇のときは収束
>  公比が××のときは発散
> といった記述があると思いますので、どちらに当たるか調べます。
>
>  


はい、収束することがわかりました。
和の計算をしてみる4/(1-√2/2)となり和が8/(2-√2)になりました。あってますでしょうか?

No.65516 - 2020/05/18(Mon) 17:53:55

Re: / ヨッシー
収束するまでは良いですが、答えが違います。
たぶん、公比がいくらかを取り違えているか、
公式に当てはめる時に間違えたかです。

公比はいくらですか?

No.65518 - 2020/05/18(Mon) 17:59:29

Re: / kaf
> 収束するまでは良いですが、答えが違います。
> たぶん、公比がいくらかを取り違えているか、
> 公式に当てはめる時に間違えたかです。
>
> 公比はいくらですか?

-√2/2になりました
あ、分母が2+2√2ですか?

No.65519 - 2020/05/18(Mon) 18:07:22

Re: / ヨッシー
マイナスとプラスが違うという点はそうなんですが、
2√2 というのはどちらにもないので、そこは書き間違いでしょう。

あと、分母の有理化までしておくときれいになります。

No.65520 - 2020/05/18(Mon) 18:13:27
(No Subject) / Kai
二次式f(x)=x^2-2px+q において
実数p,qが、xについての二次方程式f(x)=0が実数解をもち、それらをα,βとするとき、α^2+β^2=1が成り立つように変化する。
この時、aを正の定数として、f(a)の
とりうる値の範囲をaをもちいて表せ。



という問題なのですが、解と係数の関係をもちいて、
q=(4p^2-1)/2 |p|≦1/√2 の条件を表した後、どのように解けば良いのかわかりません。
どなたか教えてください。お願いします。

No.65509 - 2020/05/18(Mon) 17:05:44

Re: / IT
f(a)=a^2-2pa+(4p^2-1)/2=2p^2-2ap+a^2-1/2 なので

各a(>0)について
 pの2次関数 g(p)=2p^2-2ap+a^2-1/2 の |p|≦1/√2 における値域を求めることになります。
( g(x)=2x^2-2ax+a^2-1/2 、|x|≦1/√2 と書いたほうが分かりやすければ、こう書いても同じことです。)

y=g(x)のグラフ(放物線)の軸の位置によって場合分けします。

No.65525 - 2020/05/18(Mon) 19:49:16
(No Subject) / 開成高校4年
なぜこれで等号が成立するのですか?
No.65508 - 2020/05/18(Mon) 16:35:25

Re: / ヨッシー
なぜ、2^x=2^(-x) の時に等号成立するかという質問なら、
相加相乗平均の基本性質です。
なぜ、相加平均のほうが相乗平均より大きいかを調べればわかります。

なぜ、2^x=2^(-x) から x=0 が言えるのかという質問なら、
x=−x から求められます。

No.65511 - 2020/05/18(Mon) 17:16:46

Re: / 開成高校4年
分かりました!ありがとうございます😊
No.65526 - 2020/05/18(Mon) 20:09:10
(No Subject) / ペンタ
平面上にOA =2,OB =1,角OBA=90=90°を満たす直角三角形OBAがある。角AOB =@であるから→OA•→OB=Aである。辺OAの中点をC,辺ABを2:1に内分する点をDとすると→OC=B→OA,→OD =→OA +C→OB /Dであるから → CD =E→OA +C/D→OBである
次に辺ABの中点をEとすると→OE =F(→OA +→OB)である
また,直線OEと直線 CDの交点をFとする。点Fは直線OE上にあることから、→OF =s→OEと表される。一方、点Fは直線 CD上にもあるから、実数tを用いて→CF=t→ CDと表される。この式を変形すると→OF =G-t/H→OA +C/Dt→OBとなる。これらから→OF=I(→OA+→OB)である
@からIまでの数字を教えてください お願いします

No.65505 - 2020/05/18(Mon) 16:23:40

Re: / ヨッシー

3辺の比が 1:2:√3 の直角三角形なので、角度は明らかです。・・・@
OAOB=OA・OBcos∠AOB より内積を求めます ・・・A
OCOAの半分なので... ・・・B
内分する点の公式から、ODを求めます。 ・・・CD
CDODOC より ・・・E
内分する点の公式から、OEを求めます。 ・・・F

点Fは直線OE上にあることから、
 OF=sOE
と表される。
一方、点Fは直線CD上にもあるから、実数tを用いて
 CF=tCD
と表される。
この式を変形すると
 CF=tCD=t((-1/6)OA/6+(2/3)OB)
 OFOCCF=(1/2)OA+t((-1/6)OA/6+(2/3)OB)
  ・・・ GH
これと、
 OF=sOE=(s/2)OA+(s/2)OB
と比較して、s,tを求めると、
 s=4/5、t=3/5
よって、
 OF=(2/5)(OAOB)

No.65510 - 2020/05/18(Mon) 17:11:05
(No Subject) / dT
「多くの四次関数には二重接線が存在する 」とのこと。

4 x^4+4 x^2 y^2-7 x^2+x y+4 y^4-7 y^2+3=0
の2重接線が在れば導出しなさい;

No.65503 - 2020/05/18(Mon) 16:06:12

Re: / 関数電卓
> 4x^4+4x^2・y^2−7x^2+xy+4y^4−7y^2+3=0
与式は因数分解できて2つの楕円を表す。
こちらは前回と異なり,きれいに計算できますね。
結果は図中に書きました。

No.65535 - 2020/05/18(Mon) 22:09:21

Re: / らすかる
全接線の式をまとめると (x^2+7xy+y^2-8)^2=40(x-y)^2
No.65540 - 2020/05/19(Tue) 00:03:28

Re: / dT
お二方 に 感謝いたします。

導出過程をも 赤裸々にお願い致します;

No.65541 - 2020/05/19(Tue) 01:17:51

Re: / らすかる
4x^4+4x^2y^2-7x^2+xy+4y^4-7y^2+3=0に
x={(5√2+3√10)u+(5√2-3√10)v}/15,
y={(5√2-3√10)u+(5√2+3√10)v}/15
を代入して整理すると
(16u^2+8uv+16v^2-15)(256u^2-352uv+256v^2-135)=0
これは2軸がu=vとu=-vである2つの楕円でいずれも|u|≦1,|v|≦1
従って全二重接線は(u^2-1)(v^2-1)=0なので
u={(√10+3√2)x-(√10-3√2)y}/8,
v={(√10+3√2)y-(√10-3√2)x}/8
を代入して整理すると
(x^2+7xy+y^2-8)^2=40(x-y)^2

ちなみに四重接楕円は7x^2+2xy+7y^2=12

No.65542 - 2020/05/19(Tue) 04:51:30

Re: / 関数電卓
四重接楕円の図です。
No.65605 - 2020/05/19(Tue) 22:17:28

Re: / 関数電卓
ヨッシーさんにお尋ね。
↑の図を送るとき,「四重接楕円」とだけ書いて送ると,「日本語が入っていない」と拒否されます。日本語の文字数に制限があるのですか? それとも「。」の有無ですか?

No.65606 - 2020/05/19(Tue) 22:22:26

Re: / らすかる
ヨッシーさんではないですが、
おそらく「ひらがな」の有無で判定しているのだと思います。
(カタカナでもOKかどうかは確認していません)

# 超個人的には、名前にひらがながあるだけでもOKにして欲しいです。

No.65614 - 2020/05/20(Wed) 01:04:35
お願いします / 塩昆布
自然数nに対して、次の等式を証明せよ
1^2+2^2+3^2+.... n^2=1/6n(n+1)(2n+1)

No.65500 - 2020/05/18(Mon) 15:35:44

Re: お願いします / らすかる
(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1なので
Σ[k=1〜n]{(k+1)^3-k^3}=3Σ[k=1〜n]k^2+3Σ[k=1〜n]k+Σ[k=1〜n]1
(左辺)
=(2^3-1^3)+(3^3-2^3)+(4^3-3^3)+…+{(n+1)^3-n^3}=(n+1)^3-1
(右辺)
=3Σ[k=1〜n]k^2+3n(n+1)/2+n
よって
3Σ[k=1〜n]k^2={(n+1)^3-1}-{3n(n+1)/2+n}=n(n+1)(2n+1)/2
なので
Σ[k=1〜n]k^2=n(n+1)(2n+1)/6

No.65502 - 2020/05/18(Mon) 15:51:45

Re: お願いします / Momoe
2 次関数の 原始関数が2 + 1 次関数 の
[誰でも一度だけ 経験するのよ誘惑の甘い ...] 経験 から
1^2 + 2^2 + 3^2 + ....n^2 =a*n^3 + b*n^2 + c*n + d と 想像叶い
{a+b+c+d,8 a+4 b+2 c+d,27 a+9 b+3 c+d,64 a+16 b+4 c+d}={1,5,14,30}
{a,b,c,d}={1/3,1/2,1/6,0}

No.65506 - 2020/05/18(Mon) 16:23:46

Re: お願いします / Momoe
https://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/9207/9207222v1.pdf

         をも。

No.65515 - 2020/05/18(Mon) 17:52:04
解析学 / あ
問題1のカッコ2がわかりません
No.65499 - 2020/05/18(Mon) 15:25:38

Re: 解析学 / トーカ
まずQ(D)P(D)を計算する。
Q(D)P(D)=(D-1)(D^3-D^2-D+1)
     =D^4-2D^3+2D-1

Q(D)P(D)e^-x=(D^4-2D^3+2D-1)e^-x
      =D^4(e^-x)-2D^3(e^-x)+2D(e^-x)-e^-x
      =e^-x+2e^-x-2e^-x-e^-x
      =0

No.65529 - 2020/05/18(Mon) 20:57:03

Re: 解析学 / あ
ありがとうございます!
No.65538 - 2020/05/18(Mon) 23:14:24

Re: 解析学 / B'z
y[x]= E^(-x)
{y'''[x], -y''[x], -y'[x], 1 y[x]}
={-E^-x,-E^-x,E^-x,E^-x} 故 
すでにy'''[x]-y''[x]-y'[x]+1y[x]=0

(B'z 「 Zero 」と)

No.65543 - 2020/05/19(Tue) 07:00:18
外包的・内包的表現 / パイソン
「単位円上の点の集合」を外包的・内包的表現で
内包表記は(x, y) ∈ R^2 | x^2 + y^2 = 1 }であってますか?
また、外包表記は、どうかくのでしょうか?

No.65498 - 2020/05/18(Mon) 15:22:11
年齢算の問題です。 / なな
途中式も含めて教えてください。
No.65496 - 2020/05/18(Mon) 14:28:10

Re: 年齢算の問題です。 / ヨッシー


図(上)において、
6年前の息子の3倍が、6年前の母親です。
8年後の父親は、6年前の母親より(6+6+8=)20歳年上です。
8年後の息子は、6年前の息子より14歳年上で、その2倍が父親です。

6年前の息子の年齢は
 14+14−20=8(歳)


現在、父親は36歳、母親は30歳、息子は14歳です。
図(下)において、
求める年数を矢印で表すと、
現在父母合わせて66歳これに2人分の矢印を加えた長さと
息子の年齢に矢印を加え、3倍したものが等しいので、
矢印1つ分の年数は、
 66−14×3=24(年後)

No.65507 - 2020/05/18(Mon) 16:31:37
分からないです。 / 和希
何から始めて良いのかわかりません。
分かる方で回答お願いします。

No.65495 - 2020/05/18(Mon) 13:57:57
(No Subject) / こーる
変数関数がf(x) = -x^3+3.5x^2-2x+5の時
x = 1の位置における,@関数値f(x),Aグラジェントベクトルg(x),Bヘッセ行列H(x)を求めよ
上の関数でx = 1から出発し,グラジェントベクトルgを探索ベクトルとし,係数a=0.5とした場合の,探索過程を計算し,最大値を示せ.探索点が移動しなくなったら終了とする

この問題が解けなくて困っています 助けてください・・・

No.65493 - 2020/05/18(Mon) 13:26:16
(No Subject) / ま?
条件 φ(x, y) = 0 のもとで、f (x, y) の極値を求めよ。
(1) φ(x, y) = x2 + xy + y2 − 1, f (x, y) = x + 2y
上記の問題がわかりません、
宜しくお願いします。

No.65490 - 2020/05/18(Mon) 12:37:50

Re: / X
ラグランジュの未定定数法をつかいます。

g(x,y,k)=f(x,y)-kφ(x,y)
と置くと
∂g/∂x=1-k(2x+y)
∂g/∂y=2-k(2y+x)
∂g/∂k=-(x^2+xy+y^2-1)
∴極値を与えるx,y,kについて
1-k(2x+y)=0 (A)
2-k(2y+x)=0 (B)
-(x^2+xy+y^2-1)=0 (C)
(A)×2-(B)より
-2k(2x+y)+k(2y+x)=0
kx=0
(A)(B)よりk≠0ゆえ
x=0
これを(C)に代入して
y=1,-1
∴(A)から
(x,y,k)=(0,1,1),(0,-1,-1)

以上から求める極値は
f(0,1)=2
f(0,-1)=-2

No.65492 - 2020/05/18(Mon) 12:52:32

Re: / KARA
{x,y}={(t^2-1)/(t^2+t+1),(-t^2-2 t)/(t^2+t+1)}で      x+2*y=(-t^2-4 t-1)/(t^2+t+1)
   KARA (-t^2-4 t-1)/(t^2+t+1)∈[-2,2]

No.65501 - 2020/05/18(Mon) 15:37:19
手も足も出ません… / John Bohnam
何から始めていいかすらわかりません。
どなたかわかる方お願いします

No.65488 - 2020/05/18(Mon) 10:59:07

Re: 手も足も出ません… / ヨッシー
(1)
まず、√(x−[x]) について考えます。
xの値と y=x−[x] の値の関係は
 x=0.24, y=0.24
 x=1.35, y=0.35
 x=3.05, y=0.05
 x=7.69, y=0.69
のように小数部分を表す関数になります。
よって、y=x−[x] のグラフは下図(左)のとおりで、
y=x(0≦x<1) の繰り返しとなります(図の右)。
また、y=√(x−[x]) は、y=√x のグラフの繰り返しとなります。

y=−√(x−[x]) は、y=√(x−[x]) をx軸反転させたもの(図の左)で、
y=[x]−√(x−[x]) は、整数部分を上乗せしたもの(図の右)になります。


グラフが描けたら、(2)(3) は、これに直線のグラフを絡めるだけなので、少しやってみてください。

No.65489 - 2020/05/18(Mon) 12:07:30
(No Subject) / 開成高校4年
別解1で接戦がx=3でない確認はするのにy=1ではない確認しないのはなんでですか??違いを教えてほしいです。
No.65484 - 2020/05/18(Mon) 09:53:42

Re: / ヨッシー
直線x=3は
 y−1=m(x−3)
では表せないので、別途調べますが、直線y=1は表せるので、その必要がありません。

No.65485 - 2020/05/18(Mon) 10:00:29

Re: / 開成高校4年
なるほど!じゃぁ記述で書くときはこの解答例のように確認すればOKってことですか?
No.65486 - 2020/05/18(Mon) 10:09:22

Re: / ヨッシー
それでOKです。
明らかにy軸平行の直線はありえないような場合は、省略される場合もあります。

No.65487 - 2020/05/18(Mon) 10:11:49
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