0402086

ヨッシーの八方掲示板(算数・数学 質問掲示板)

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芝浦工業大学 2019年問題 / たく
芝浦工業大学の2019年の問題ですが、解答がネット上に探せません。
試験に備えて採点したいので解き方も含めて解答例をいただけないでしょうか?

No.63201 - 2020/01/25(Sat) 13:31:50

Re: 芝浦工業大学 2019年問題 / IT
画像が小さくて見えません。
>試験に備えて採点したいので
ご自身の答案を載せられると良いかとおもいます。
 

No.63202 - 2020/01/25(Sat) 14:13:27

Re: 芝浦工業大学 2019年問題 / たく
> 画像が小さくて見えません。
> >試験に備えて採点したいので
> ご自身の答案を載せられると良いかとおもいます。
>  


申し訳ありません。
https://admissions.shibaura-it.ac.jp/admission/guidance/pdf/past_issue_2019/20190201_math_q.pdf
こちらにあるのですがどうでしょうか。

問2の方は何とか解いて解決しました。
問4の方をお願いできればと思います。(こちらは解けませんでした)

No.63205 - 2020/01/25(Sat) 16:33:47

Re: 芝浦工業大学 2019年問題 / IT
>問4の方をお願いできればと思います。(こちらは解けませんでした)
(1) 平面上を運動する点の道のり(=媒介変数された曲線の長さ)の公式を使えば直ぐでは?
 数3の教科書にあると思います。
(2) (1) が出来れば容易かと思います。
(3) まずは(1),(2) を解いてからですね。

No.63207 - 2020/01/25(Sat) 18:53:40
二次関数 / ねおひぃ
座標 (1,-3)を通る直線が、f(x)=|x^2+3x|-x-3 との交点を3つ持つとき、その傾きの最大値を求めよ。
No.63200 - 2020/01/25(Sat) 08:36:10

Re: 二次関数 / IT
(略解)
その直線の傾きをa とおくと
「問題の交点の個数」=「|x^2+3x|=(a+1)x-a の実数解の個数」。
グラフを描いて考えると 
交点が3つのとき,aが最大になるのは、直線y=(a+1)x-aが点(-3,0)を通るときで a=-3/4

No.63203 - 2020/01/25(Sat) 14:26:31
空間ベクトル / 美雪
失礼します。よろしくお願いします。

空間の1点Oを通る4直線で、どの3直線も同一平面上にないようなものを考える。このとき、4直線のいずれともO以外の点で交わる平面で、4つの交点が平行四辺形の頂点になるようなものが存在することを示せ。

3本の直線上のO以外の点をA、B、Cとして、A、B、Cにより定まる平面上で残りの1本の直線との交点をDとします。

A、B、C、Dは同一平面上なので、AD→=sAB→+tAC→

AB→=OB→-OA→…(1)

CD→=OD→-OC→=(1-s-t)OA→+sOB+(t-1)OC→…(2)

OA→、OB→、OC→は一次独立なので、(1)、(2)より、係数を比較して、

1-s-t=-1、s=1、t-1=0

これらを満たすs、tは存在しますので、AB→=CD→となりえますので、
題意は成り立ちます。

と考えたのですが、0点でした。どこを間違えていますか?正しくはどのようにすればよいでしょうか?

No.63198 - 2020/01/25(Sat) 07:18:01

Re: 空間ベクトル / らすかる
その解答は
「3点A,B,Cに対して四角形ABDCが平行四辺形になるような点Dが存在する」
(そのときs=1,t=1となるのは当たり前)
ということを示しているだけで、
「Dが残りの1本の直線上にある」ことがどこにも出てきません。

No.63199 - 2020/01/25(Sat) 07:45:26
数2 図形と方程式 / 浪人生
問)円C:(x-p)^2+(y-q)^2=q^2
円C上の点P(2a,a^2)における接戦の方程式Lを求めよ。

自分の回答)
円の中心(p,q)が原点に来るように平行移動させてから円の接線の公式を用いると
 接線l:(2a-p)x+(a^2-q)y=q^2
であり、これをx軸方向に+p,y軸方向に+qだけ平行移動して
 接線L:(2a-p)(x-p)+(a^2-q)(y-q)=q^2
である。

問題集の回答)
円の中心をK(p.q)、接線L上の点をX(x,y)とすると、
ベクトルPKとベクトルPXは垂直であるから
(ベクトルPK)・(ベクトルPX)=0
であり
ベクトルPK=(p-2a,q-2a^2)
ベクトルPX=(x-2a,y-a^2)
を用いると
接線L:(p-2a)(x-2a)+(q-a^2)(y-a^2)=0
である。

答えが一致しないのですがどこが間違えているのでしょうか? よろしくお願いします。

No.63194 - 2020/01/24(Fri) 21:34:30

Re: 数2 図形と方程式 / らすかる
間違えていません。
点P(2a,a^2)が円C上にあるという条件なので
(2a-p)^2+(a^2-q)^2=q^2すなわち
(2a-p)(2a-p)+(a^2-q)(a^2-q)=q^2 … (1)
が成り立ちます。
「自分の解答」の式
(2a-p)(x-p)+(a^2-q)(y-q)=q^2
から(1)を引くと
(2a-p){(x-p)-(2a-p)}+(a^2-q){(y-q)-(a^2-q)}=q^2-q^2
(2a-p)(x-2a)+(a^2-q)(y-a^2)=0
となり、符号を反転すれば「問題集の解答」の式と一致します。
つまり、(2a,a^2)が円C上にあれば、2式は同じ式ということです。

No.63195 - 2020/01/24(Fri) 22:03:23

Re: 数2 図形と方程式 / 浪人生
ありがとうございます。
助かりました。

No.63196 - 2020/01/24(Fri) 22:21:30
(No Subject) / ふう
中2です。
学校で配られたプリントにこのような問題があったのですが、解き方が分かりません。教えていただきたいです。Xの角度を求める問題です。

No.63192 - 2020/01/24(Fri) 20:00:02

Re: / らすかる
条件から∠ABC=80°なので∠CDB=180°-80°-50°=50°
従って∠BCD=∠BDCなのでBC=BD
また∠ACB=80°なので∠CEB=180°-60°-80°=40°
∠FBC=20°となるようにAC上に点Fをとると
∠FEB=∠FBE=40°となるのでEF=BF
また∠CFB=180°-20°-80°=80°なので∠BCF=∠BFCとなりBC=BF
よってBD=BC=BF、∠DBF=60°なので△DBFは正三角形となり
BC=BF=BD=DF=EF
∠DFE=180°-∠CFB-∠BFD=180°-80°-60°=40°なので
△DFEは∠DFE=40°でDF=EFである二等辺三角形
従って∠FED=(180°-40°)÷2=70°なので
∠BED=∠FED-∠FEB=70°-40°=30°

No.63193 - 2020/01/24(Fri) 20:40:00
代数学 / あ
大問19のカッコ1,2が分かりません。
No.63186 - 2020/01/23(Thu) 23:06:02
中1数学です。 / 円
全く手がつきません。
No.63182 - 2020/01/23(Thu) 22:58:36

Re: 中1数学です。 / 円
(3)もお願いします。
No.63184 - 2020/01/23(Thu) 23:01:40

Re: 中1数学です。 / ヨッシー
(1)
点Aの座標は(2, 2) であるので、
反比例の式@は
 y=4/x
(2)
点Bの座標は (3, 4/3) であるので、
点Cの座標は、(4/3,4/3) で、BC=5/3
よって、点Bからy軸の負の方向に 5/3 進んだ点がEなので、
 E(3, −1/3)
(3)
QRとx軸との交点をTとすると、
 OT=QT=TR
より、
 PQ=QR=2QT
よって、直線OPの傾きaは 1/3 とわかります。

No.63187 - 2020/01/23(Thu) 23:44:24
ベクトル / ぽんぽん
ベクトルの問題です。
解いていたのですが全部分かりませんでした。
解答とその過程を教えてくださる方お願いします。

No.63178 - 2020/01/23(Thu) 19:57:52

Re: ベクトル / ぽんぽん
続きの問題のこれもお願いします🙏
No.63179 - 2020/01/23(Thu) 20:01:26

Re: ベクトル / ヨッシー
(1)

このような図が書ければ、ア以外は図からわかります。
アは公式から
 OAOC=2・2cos60°=2
あとは図より
 AB=2√3
 BC=4
AB⊥ACより
 ABAC=0
 △ABC=AC×AB÷2=2√3
(2)
余弦定理より
 cos∠AOB=(OA^2+OB^2−AB^2)/(2OA・OB)
  =1/12
よって、
 =OA・OBcos∠AOB=1/2
同様に
 cos∠BOC=−1/4
 =2・3(−1/4)=-3/2

OHは△ABCを含む平面上の任意の直線と垂直なので、
 OHAB=0
これに
 OH+(1/2)AC+tAB
を代入して、
 (+(1/2)AC+tAB)・AB
  =AB+t|AB|^2
  =・()+12t
  =−||^2+12t
  =1/2−4+12t=0
よって、
 t=7/24
=2 であることを踏まえ
 OH+(1/2)AC+(7/24)AB
  =(5/24)+(7/24)+(1/2)
の長さを求めると
 |OH|^2=|(5/24)+(7/24)+(1/2)|^2
  =95/48
よって、OH=√(95/48)
これに△ABC=2√3 を掛けて3で割ると
 2√3×√(95/48)÷3=√95/6

No.63188 - 2020/01/24(Fri) 00:38:14

Re: ベクトル / ぽんぽん
すごい分かりやすくて感動しました。図までありがとうございます!勉強頑張ります!
No.63190 - 2020/01/24(Fri) 16:18:58
(No Subject) / ぴんちゃん
すみません、問1からわかりません、教えて欲しいです。
No.63177 - 2020/01/23(Thu) 19:55:43

Re: / ヨッシー
方針を。
(1)
αの式を求める。
Pを通り、αに垂直な(に平行な)直線の式を求める。
この直線とαとの交点を求め、これをTとする。
Tに関して、点Pと対称な点がRである。
(2)
PS=RS であるので、PS+QSで考える代わりに、
RS+QS が最小になる点Sを考える。
P→S→Qは、αではね返る形であるのに対して、
R→S→Qはαをすり抜ける形である。
よって、RS+QSが最小になる点Sを求める目処が付いた。

No.63180 - 2020/01/23(Thu) 20:25:57
(No Subject) / たけ
マーカー引いたところ、どこから導かれたのですか?
No.63175 - 2020/01/23(Thu) 17:44:47

Re: / たけ
なんでもないです!わかりました
No.63176 - 2020/01/23(Thu) 17:48:05
(No Subject) / 音速平和
輪環の順に並んだ積をシグマで表す方法があったら教えて下さい。
僕が知りたいのは、
{a(1)・a(2)・……・a(n-1)}+{a(2)・a(3)・……・a(n)}+{a(3)・a(4)・……・a(n)・a(1)}+……+{a(n-1)・a(n)・a(1)・……・a(n-3)}+{a(n)・a(1)・……・a(n-2)}についてです。
※上の式で()内の数字は、積ではなく、漸化式での番号的なやつです。二重和になりそうです。因みに今のところ
n ?
Σ ( Π ?? ) a(k) って感じになってます。
k=1 k=1

No.63170 - 2020/01/22(Wed) 22:59:41

Re: / X
a[k]≠0(k=1,…,n)
という条件付きなら
(与式)=Σ[k=1〜n](1/a[k])Π[l=1〜n]a[l]
となります。

No.63171 - 2020/01/22(Wed) 23:22:20

Re: / らすかる
a[1]からa[n]までしかないのでしたら
Σ[k=1〜n]Π[j≠k]a[j]
という書き方が簡潔だと思いますが、
「1から○まで」という書き方にしたいのでしたら
Σ[k=1〜n]Π[j=1〜n-1]a[j+[(j+n-k)/n]] ([(j+n-k)/n]の[ ]はガウス記号)
とか
Σ[k=1〜n]Π[j=1〜n-1]a[j+(|j-k+1|-|j-k|+1)/2]
といった書き方ができます。

No.63172 - 2020/01/23(Thu) 00:16:57
(No Subject) / 急ぎです 問1を教えてほしいです。
問1を教えてください
No.63168 - 2020/01/22(Wed) 21:19:26

Re: / ヨッシー
 a[n+1]−na[n]=(n−1)(n+1)!  ・・・(i)
において、

n=1のとき
 (左辺)=a[2]−a[1]=0
 (右辺)=0・2!=0
より、(i) は成り立つ。
n=kのとき、(i) が成り立つ、つまり
 a[k+1]−ka[k]=(k−1)(k+1)!
であるとき、n=k+1について考えます。
 a[k+2]−(k+1)a[k+1]={a[k+2]−(k+2)a[k+1]+ka[k]}+a[k+1]−ka[k]
  =(k^2+k+1)(k+1)!+a[k+1]−ka[k]
  =(k^2+k+1)(k+1)!+(k−1)(k+1)!
  =(k^2+2k)(k+1)!
  =k(k+2)(k+1)!
  ={(k+1)−1}{(k+1)+1}!
よって、n=k+1 のときも(i) が成り立つ。
以上より、任意の自然数nについて、(i) が成り立つ。

No.63169 - 2020/01/22(Wed) 22:40:32
高校数学 / m子
. x = {x1, . . . , xn}, y = {y1, . . . , yn}, x + y = {x1 + y1, . . . , xn + yn} に
対し,
s(x + y) ≤ s(x) + s(y)
を示せ.ただし s は標準偏差を意味する.

高校数学で困っています(><)この不等式の示し方を教えていただけますでしょうか。。。よろしくお願いします!

No.63163 - 2020/01/21(Tue) 23:53:18
線型代数 / 魚大好き
「同様にしてp≦λAが示される。」
というのをどのようにして行うのかを教えていただけないでしょうか。

No.63161 - 2020/01/21(Tue) 23:14:30

Re: 線形代数 / ヨッシー
細かい定義等は教科書に譲るとして、
ρ≧A となる ・・・ よって ρ≧λA となる。
の部分を
ρ≦A となる ・・・ よって ρ≦λA となる。
に書き換えれば良いのではないでしょうか?
もちろん途中の式も、一部不等号の向きが逆になることに注意して。

No.63174 - 2020/01/23(Thu) 11:15:23
中1数学 / 円
分からないので、教えてください。
No.63157 - 2020/01/21(Tue) 21:06:28

Re: 中1数学 / 円
こっちが(1)、(2)です。
No.63158 - 2020/01/21(Tue) 21:14:54

Re: 中1数学 / ヨッシー
(3) だけでいいのかな?

(3)
△AST=△BST より、STを底辺としたときの
高さが等しくなるためには、STが点A,点Bから等距離に
なければならないので、点Pのx座標(点S、点Tも同じ)は、
AとBのx座標の真ん中で、x=5です。
四角形QTRSと△CRSにおいて、△STRは共通なので、
△QSTと△CSTの面積が等しければ、
 四角形QTRS=△CRS
となります。
点QをSTに平行に直線A上まで動かした点がCなので、
P(5, 16/5)、Q(4/5, 16/5)、C(4/5, 1/5)
の順に求められます。

No.63159 - 2020/01/21(Tue) 21:38:42

Re: 中1数学 / 円
ごめんなさい、(1)、(2)もお願いします。

> (3) だけでいいのかな?
>
> (3)
> △AST=△BST より、STを底辺としたときの
> 高さが等しくなるためには、STが点A,点Bから等距離に
> なければならないので、点Pのx座標(点S、点Tも同じ)は、
> AとBのx座標の真ん中で、x=5です。
> 四角形QTRSと△CRSにおいて、△STRは共通なので、
> △QSTと△CSTの面積が等しければ、
>  四角形QTRS=△CRS
> となります。
> 点QをSTに平行に直線A上まで動かした点がCなので、
> P(5, 16/5)、Q(4/5, 16/5)、C(4/5, 1/5)
> の順に求められます。
>

No.63160 - 2020/01/21(Tue) 22:56:40

Re: 中1数学 / ヨッシー
(1)
Bは反比例の式なので、
 y=a/x
の形の式になります。これが点A(2, 8)を通るので、
 y=16/x
(2)
Pの座標は、y=16/x にx=3を代入して y=16/3 より
 (3, 16/3)
y=16/3 に対応する @y=4x 上の点Qは Q(4/3, 16/3)
x=3 に対応する @y=4x 上の点Sは S(3, 12)

点Bは(8, 2) なので、A の式は y=x/4
y=16/3 に対応する Ay=x/4 上の点Rは R(64/3, 16/3)
x=3 に対応する Ay=x/4 上の点Tは T(3, 3/4)

四角形QTRS=(1/2)QR・ST
    =(1/2)20・(45/4)=225/2

No.63162 - 2020/01/21(Tue) 23:37:33

Re: 中1数学 / 円
ありがとうございます。
No.63185 - 2020/01/23(Thu) 23:03:51
辺の長さと正弦の関係 / まゆ
辺a<b<cのとき、sinA<sinB<sinCは必ず成り立つと言えるのでしょうか?
No.63152 - 2020/01/20(Mon) 20:47:28

Re: 辺の長さと正弦の関係 / らすかる
正弦定理からa:b:c=sinA:sinB:sinCですから、必ず成り立ちます。
No.63153 - 2020/01/20(Mon) 20:59:50

Re: 辺の長さと正弦の関係 / まゆ
学校の先生に、鈍角?だと成り立たないと言われたので、聞いてみました。ありがとうございます!
No.63154 - 2020/01/20(Mon) 22:05:48

Re: 辺の長さと正弦の関係 / らすかる
鈍角三角形でa<b<cならば鈍角はCですね。
sinCはCが180°に近づくと小さくなって0に近づいていくことから
先生が勘違いされたのかも知れませんが、
このときもしsinA<sinC<sinBになったとすると
sinC=sin(180°-C)なので
sin(180°-C)<sinB
180°-C<B
∴180°<B+C
となってしまい、三角形になりません。
よってCが鈍角でもsinA<sinB<sinCは必ず成り立ちます。

No.63155 - 2020/01/20(Mon) 22:16:38
オイラー 証明問題について / コロン
この写真の問題なのですが、上手く証明ができません。

c=b^x
=(a^m)^x =a^mx
そこで、 mx=1から、c=aである。
という解答でも証明になるでしょうか。
これではやはり、不足でしょうか。

No.63150 - 2020/01/20(Mon) 19:22:51

Re: オイラー 証明問題について / IT
nの条件「nは全て異なる素数合成数とする。」は、どういう意味ですか?(正確に記載してください)
φ(n) は、オイラー関数ですか?

(mod n) なしで c=a などとは必ずしもいえないのでは?

No.63151 - 2020/01/20(Mon) 20:04:06
xとyについての方程式の積のグラフ / asr
数2の勉強中に疑問に思いました。
xとyについての方程式の積、例えば(x+y-2)(x-3y+2)=0のグラフは、x+y-2=0、x-3y+2=0のグラフを重ね合わせたようなグラフになりますが、なぜそうなるのか理由がいまいちわかりません。

No.63145 - 2020/01/20(Mon) 06:11:58

Re: xとyについての方程式の積のグラフ / ヨッシー
直線 x+y-2=0 上の点は、x+y-2=0 を満たすので、
 (x+y-2)(x-3y+2)=0
を満たします。
直線 x-3y+2=0 上の点は、x-3y+2=0 を満たすので、
 (x+y-2)(x-3y+2)=0
を満たします。
直線 x+y-2=0 上でも、直線 x-3y+2=0 上でもない点は、
x+y-2≠0 かつ x-3y+2≠0 であるので、
 (x+y-2)(x-3y+2)=0
を満たしません。よって、
 (x+y-2)(x-3y+2)=0
を満たす点は、上記の2直線上の点のすべて、かつそれ以外にはないことになります。

No.63146 - 2020/01/20(Mon) 06:18:08
線形代数 行列 基本 / もちもち
線形代数の行列の問題について質問です。
画像のように問題を解こうとしたのですが、全然一致しません。一応、余因子展開を用いたつもりですが、どこかおかしな点はありますか?

No.63139 - 2020/01/19(Sun) 22:14:28

Re: 線形代数 行列 基本 / ヨッシー
1つめの式の、ど真ん中の4は3の誤りですね。
No.63140 - 2020/01/19(Sun) 22:21:29

Re: 線形代数 行列 基本 / もちもち
ありがとうございます!
モヤモヤが晴れました!

No.63141 - 2020/01/19(Sun) 22:42:28
数列の極限 / aiko
⑴極限値 lim[n→∞] Σ[k=n→k=2n] =1/k を求めよ。

⑵任意の正値aに対して、lim[n→∞] Σ[k=n→k=2n] 1/(a+n) は⑴と同じ極限値を持つことを示せ。

という問題がわかりません!

よろしくお願いします!

No.63136 - 2020/01/19(Sun) 20:49:48

Re: 数列の極限 / IT
(1) 1/x の定積分で挟んで評価すれば良いのでは?

∫[x=n→2n](1/x)dx<Σ[k=n→2n](1/k)<1/(n-1)+∫[x=n→2n](1/x)dx

No.63138 - 2020/01/19(Sun) 21:48:47

Re: 数列の極限 / aiko
> (1) 1/x の定積分で挟んで評価すれば良いのでは?
>
> ∫[x=n→2n](1/x)dx<Σ[k=n→2n](1/k)<1/(n-1)+∫[x=n→2n](1/x)dx




⑵のほうがわかりません!

ちなみに⑴は区分級積ですね!

No.63147 - 2020/01/20(Mon) 10:35:48

Re: 数列の極限 / X
>>(2)のほうがわかりません!

問題文の
>>lim[n→∞] Σ[k=n→k=2n] 1/(a+n)

lim[n→∞] Σ[k=n→k=2n] 1/(a+k)
のタイプミスとみて回答を。

ITさんの(1)の方針と同じ方針を使えば解けます。
つまり
∫[x=n→2n]{(1/(x+a)}dx<Σ[k=n→2n]{1/(a+k)}<1/{(n-1)+a}+∫[x=n→2n]{1/(x+a)}dx
でn→∞を考え、はさみうちします。

>>ちなみに(1)は区分級積ですね!
違います。
もう一度区分求積法での定義式を復習しましょう。

No.63148 - 2020/01/20(Mon) 14:30:29

Re: 数列の極限 / m
S(n) = Σ[k=n, 2n] 1/k
  = Σ[k=0, n] 1/(n+k)
  = 1/n + 1/n Σ[k=1, n] 1/(1+k/n)
とすれば区分求積がつかえますね。

本題の(2)は誘導に従う?なら
T(n) = Σ[k=0, n] 1/(a+n+k)
とおいて、S(n)の不等式ではさんではさみうちの原理を使いたいところです。
T(n)<S(n)はすぐ言えます。略。
S(n)/(1+a/n)<T(n)も言えます。
各n, k (0≦k≦n)に対し
1/(n+k) * 1/(1+a/n) = 1/(n+k+a+ak/n) < 1/(n+k+a)
よりkについて足せばいえた。
1/(1+a/n)→1とはさみうちの原理より
T(n)とS(n)は同じ極限を持つことがいえた。

No.63149 - 2020/01/20(Mon) 16:17:44
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