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ヨッシーの八方掲示板(算数・数学 質問掲示板)

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旧数学掲示板のログ

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質問される方は学年(質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。


過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

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場合の数 / 場合の数
箱の中に

赤玉2個、白玉2個、青玉1個 あるときこの中から3個の玉の選び方は何通りになるか。

5個の中から3個とるので5C3で10通りになるとおもったのですが、答えは5通りになるそうです。なぜでしょうか。

分かる方回答お願いします。

No.65482 - 2020/05/18(Mon) 09:33:26

Re: 場合の数 / ヨッシー
赤がA,B、白がC,D、青がE とすると、
 ACE、ADE、BCE、BDE
の4通りは、どれも 赤、白、青 なので、1通りと数えます。他にも、
 ABC と ABD は同じ
 ACD と BCD は同じなので、
5通りが重複しているので、
 10−5=5(通り) です。

また、普通はこのような引き算ではなく、
 赤白青、赤赤白、赤赤青、白白赤、白白青
の5通り、とする方が一般的です。

 

No.65483 - 2020/05/18(Mon) 09:48:26
極限(改正) / weta
さっき問題を書いた際、不十分であったので

lim(x→2+0) [1/x-2 - 1/log(x-1) ]

すいません。よろしくお願いします。

No.65481 - 2020/05/18(Mon) 09:20:47

Re: 極限(改正) / らすかる
ロピタルの定理とかテイラー展開は使えないと仮定したら
あまり良い解答にならなかったので
参考程度にして欲しいですが
f(x)=log(x-1)-(-x^2+6x-8)/2とおくとf(2)=0で
f'(x)=(x-2)^2/(x-1)から
x>2のときf'(x)>0なので
x>2のときlog(x-1)>(-x^2+6x-8)/2
g(x)=log(x-1)-(x^3-7x^2+18x-16)/2とおくとg(2)=0で
g'(x)=-(3x-5)(x-2)^2/{2(x-1)}から
x>2のときg'(x)<0なので
x>2のときlog(x-1)<(x^3-7x^2+18x-16)/2
よってx>2で
1/(x-2)-1/{(-x^2+6x-8)/2}<1/(x-2)-1/log(x-1)<1/(x-2)-1/{(x^3-7x^2+18x-16)/2}
となるので
lim[x→2+0]{1/(x-2)-1/{(-x^2+6x-8)/2}}≦lim[x→2+0]{1/(x-2)-1/log(x-1)}
≦lim[x→2+0]{1/(x-2)-1/{(x^3-7x^2+18x-16)/2}}
ところで
lim[x→2+0]{1/(x-2)-1/{(-x^2+6x-8)/2}}
=lim[x→2+0]-1/(4-x)
=-1/2
lim[x→2+0]{1/(x-2)-1/{(x^3-7x^2+18x-16)/2}}
=lim[x→2+0](x-3)/(x^2-5x+8)
=-1/2
なので
-1/2≦lim[x→2+0]{1/(x-2)-1/log(x-1)}≦-1/2
となり
lim[x→2+0]{1/(x-2)-1/log(x-1)}=-1/2

No.65497 - 2020/05/18(Mon) 14:49:28
線形代数写像 / キムチ
線形写像f:R2→R2 の像が0,R2,原点を通る直線のいずれかであることの証明がわかりません
お願いします
助けてください

No.65476 - 2020/05/18(Mon) 00:33:34

Re: 線形代数写像 / IT
f(1,0),f(0,1) がどうなるかで分類すればよいのでは?
No.65477 - 2020/05/18(Mon) 07:30:23
(No Subject) / あ
この問題のキの求め方が分かりません。
よろしくお願いします。

No.65466 - 2020/05/17(Sun) 20:14:52

Re: / ヨッシー
cosθ1=√6/3≒0.816
cos(π/5)=(1+√5)/4≒0.809
cos(π/6)=√3/2≒0.866
cosθ1 はこの間にあるので、答えは2 です。

No.65470 - 2020/05/17(Sun) 23:08:16

Re: / あ
ありがとうございます!
No.65474 - 2020/05/18(Mon) 00:03:16
微分の問題です / John Bohnam
(1)で示した式を図にすることができなかったのですが、どなたか解ける方いらしたらお願いします
No.65464 - 2020/05/17(Sun) 19:01:37

Re: 微分の問題です / John Bohnam
問題文はこちらになります
No.65465 - 2020/05/17(Sun) 19:03:40

Re: 微分の問題です / 関数電卓
あなたの解答は概ね良いのですが,細部の詰めが甘いようです。

(1) −1≦x<1 に1解のみを持つ場合 ⇔ f(−1)・f(1)≦0 and f(1)≠0
 ∴ (1−a+b)(1+a+b)≦0 and 1+a+b≠0
(2) −1≦x<1 に2解を持つ場合
   ⇔ D=a^2−4b≧0 and f(−1)=1−a+b≧0 and f(1)=1+a+b>0
(1)or(2)を満たす (a, b) の存在領域は図の着色部分。
ただし,実線の境界上の点を含み,破線の境界上の点は含まない。

No.65469 - 2020/05/17(Sun) 22:50:17

Re: 微分の問題です / john bohnam
ありがとうございます❗
とても分かりやすい図で助かりました❗

No.65471 - 2020/05/17(Sun) 23:29:50

Re: 微分の問題です / 関数電卓
途中で図を差し替えたので,混乱したら失礼しました。
No.65472 - 2020/05/17(Sun) 23:42:15

Re: 微分の問題です / 関数電卓
お尋ねの問題からは離れ一般論ですが,
 (式1)・(式2)・(式3)>0 …(*)
を満たす領域を図示する場合,
 (@) 3つの式が表す境界線を図示する
 (A) (@)で分割された各領域の任意のひとつの中にある点 P が(*)を満たすならばその部分を塗る。
 (B) (A)で塗った部分から境界線をひとつ越えるごとに交互に市松模様のように塗る
と,(*)を満たす領域が得られます。知っていると便利な方法です。

No.65475 - 2020/05/18(Mon) 00:11:52
(No Subject) / あ
これ、解説合ってますかね?
もともと、数列は a_n+1+αb_n+1=β(a_n+αb_n) です。

No.65461 - 2020/05/17(Sun) 18:16:50

Re: / ヨッシー
Cの式と、Eの途中が間違ってますね。
Eで、=0になる初期値が与えられているので、
奇跡的に最後の答えはあっていますね。

これが、a[1]=3,b[1]=4 とかだと馬脚が現れます。

まさか、学校の教科書や市販の問題集ではないですよね?
個人の手作りテキストですか?(学校にしろ塾にしろ)

No.65463 - 2020/05/17(Sun) 18:55:01

Re: ヨッシー / あ
協同出版の教員採用試験対策の過去問題集です(汗)
この他にも解説にたくさん間違いがありました。

No.65478 - 2020/05/18(Mon) 08:56:46
(No Subject) / 恒等式
恒等式における、係数決定の問題なのですが、

例えば、
1/(x+1)^2(x^2+x+1)=a/(x+1)^2+b/(x+1)+(cx+d)/(x^2+x+1)

はx=-1において恒等式ではないように思えるのですが、それでもこの式は恒等式と呼べるのでしょうか?

No.65457 - 2020/05/17(Sun) 17:23:41

Re: / 恒等式
恒等式とは、どんな時でも成り立つ式ということですよね?
では、x=-1のとき成り立たないと思うのですが

No.65458 - 2020/05/17(Sun) 17:24:31

Re: / ヨッシー
Wikipedia の例に
 tanx=sinx/cosx
があるように、等式が定義できるすべての変数において、
成り立つ、と解釈すべきでしょう。

No.65460 - 2020/05/17(Sun) 17:31:49

Re: / 恒等式
自分の理解不足でした。
回答ありがとうございました。勉強になりました。

No.65468 - 2020/05/17(Sun) 22:18:14

Re: / らすかる
そもそも「成り立たない」というのは
「両辺が定義されて異なる値になる」という意味ですから、
少なくとも片方の辺が未定義であれば左右の辺が比較できず、
「成り立たない」とは言えませんね。
(もちろん「成り立つ」とも言えません。)

No.65473 - 2020/05/17(Sun) 23:42:27
計算 / まい
Nについて解く問題ですが、答えが合いません。
計算過程を見せてください。
よろしくお願いします。

No.65453 - 2020/05/17(Sun) 15:39:42

Re: 計算 / IT
あなたの答えと 計算過程を載せてください。
No.65454 - 2020/05/17(Sun) 16:36:00

Re: 計算 / IT
sinθをs,cosθをc,tanθをt と書きます。

{Ns/m-(-Ns/M)}t=-{(Nc-mg)/m}
Nについて整理すると
 N(st/m+st/M+c/m)=g
mMを掛けて、
 N(Mst+mst+Mc)=mMg

t=s/c を代入すると
N(Ms^2/c+ms^2/c+Mc)=mMg

cを掛けて
 N(Ms^2+ms^2+Mc^2)=mMgc
 N(M+ms^2)=mMgc

∴N=mMgc/(M+ms^2)

No.65456 - 2020/05/17(Sun) 17:16:01

Re: 計算 / IT
{Ns/m-(-Ns/M)}t=-{(Nc-mg)/m}

手順はいろいろあります。
先にt=s/c を代入すると
 {Ns/m-(-Ns/M)}(s/c)=-{(Nc-mg)/m}
mMc を掛けると
 {NMs+Nms}s=-NMc^2+mMgc
移項して
 NMs^2+Nms^2+NMc^2=mMgc
 N(Ms^2+ms^2+Mc^2)=mMgc
 N(M+ms^2)=mMgc

∴N=mMgc/(M+ms^2)

No.65459 - 2020/05/17(Sun) 17:30:45

Re: 計算 / IT
正しければ、表現がぴったり合わなくても良い思います。
No.65462 - 2020/05/17(Sun) 18:40:23
関数 / つくも
この(5)の問題がわかりません。
おしえてください。

No.65452 - 2020/05/17(Sun) 15:10:51

Re: 関数 / ヨッシー
点PがOAの中点 (-2, 2) のとき、PBは△OABを二等分する。
このとき、BPの式は、
 y=−x/4+3/2

No.65455 - 2020/05/17(Sun) 16:46:21
ベクトルの平行条件 / 高3
(2)の問題が分かりません。写真に問題と解答を載せているのですが、平行である条件がなぜ解答のようになるのか教えてください。
No.65445 - 2020/05/17(Sun) 10:23:51

Re: ベクトルの平行条件 / B'z
a + b, (2*a - 3*b)} = {{3, -1 + x}, {-4, 3 + 2 x}}
       の 行列式がゼロ 等(と B'z)。 

No.65446 - 2020/05/17(Sun) 12:00:35

Re: ベクトルの平行条件 / X
この模範解答では
成分が
(a,b),(c,d)
なる二つのベクトルが平行なとき
ad-bc=0 (A)
が成立することを直接使っています。

しかし、現在の高校数学の過程では
(A)に対応する公式は参考書にも載っていない
かもしれません。
もし、この問題を解くのであれば
平行条件である
↑a+↑b=k(2↑a-3↑b)
(kは0でない実数)
であることを使い、成分比較から
k,xについての連立方程式を解くのが
無難でしょう。

No.65447 - 2020/05/17(Sun) 12:16:10

Re: ベクトルの平行条件 / IT
a↑+b↑=(3,x-1)と2a↑-3b↑=(-4,3+2x) の第1成分を-12に揃えると

(-4)(a↑+b↑)=(-12,-4(x-1))
3(2a↑-3b↑)=(-12,3(3+2x)) なので

2つのベクトルが平行である条件は-4(x-1)=3(3+2x)

Xさんがきちんとした回答しておられますが参考までに書き込みます。

No.65448 - 2020/05/17(Sun) 12:23:34

Re: ベクトルの平行条件 / IT
計算が面倒ですが、内積を使ってもその公式が出せます。
細かいことを抜きにすれば、
上のように b[1]a↑=(a[1]b[1],a[2]b[1]),とa[1]b↑=(a[1]b[1],a[1]b[2])を比較する方法もあります。

a↑=(a[1],a[2]),とb↑=(b[1],b[2])が平行
⇔a↑・b↑=±|a↑||b↑|
⇔(a↑・b↑)^2=(|a↑||b↑| )^2
これを成分表示すると
 (a[1]b[1])^2+2a[1]b[1]a[2]b[2]+(a[2]b[2])^2=(a[1]^2+a[2]^2)(b[1]^2+b[2]^2)
右辺を展開して整理すると
 2a[1]b[1]a[2]b[2]=(a[1]^2)(b[2]^2)+(a[2]^2)(b[1]^2)
移項して整理すると
 (a[1]b[2]-a[2]b[1])^2=0 
すなわち
 a[1]b[2]-a[2]b[1]=0

No.65450 - 2020/05/17(Sun) 14:33:11
(No Subject) / int
130 x^2-374 x y+12867 x+28 y^2-8628 y+29133=0 の整数解を求めよ
x y-3 x+2 y=0の整数解を求めよ
上の2問は 入試に出題される 同レベルの問題で どちらも双曲線であることを 解説願います;

       上を 解いた後 下を 是非 お願いします
1151 x^2+7310 x y+1040 x+9455 y^2+2960 y+160=0 の整数解を求めよ;

No.65443 - 2020/05/17(Sun) 09:38:00
(No Subject) / 高校生
この計算を工夫する方法を教えていただきたいです!
No.65442 - 2020/05/17(Sun) 09:31:10

Re: / ヨッシー

工夫といっても、図のように、
 (1/2) を先に√の中で約分しておく
 分母は素因数分解のまま残しておく、
くらいでしょうか。

No.65444 - 2020/05/17(Sun) 09:52:39
logの二乗の積分 / あ
下線部分がよくわかりません。というかlogの二乗の積分がわかりません。どうやるのですか。
No.65438 - 2020/05/17(Sun) 01:27:07

Re: logの二乗の積分 / X
例えばlogxを積分する際、部分積分により
∫logxdx=xlogx-∫x(1/x)dx
=xlogx-∫dx
とすることで被積分関数からlogxが消えます。
(logx)^2の積分の場合はこれと同じ操作を
2回繰り返します。
つまり
∫{(logx)^2}dx=x(logx)^2-∫x{2(logx)(1/x)}dx (まず1回目)
=x(logx)^2-2∫logxdx
=x(logx)^2-2{xlogx-∫x(1/x)dx} (第2項に2回目)
=x(logx)^2-2xlogx+2∫dx

問題の積分ではlogxではなくてlog2xとなっていますが
方針は同じです。上記を参考にしてもう一度考えて
みて下さい。

No.65439 - 2020/05/17(Sun) 02:54:53
時計の問題です / あい
7時30分と8時の間で、時計の短針方向と12時方向の作る角を、長針2等分する時刻は7時何分ですか??

答え:7時49 13/23(帯分数)(1127/23 仮分数)

この解き方がわかりません。

No.65433 - 2020/05/17(Sun) 00:12:56

Re: 時計の問題です / ヨッシー

図において、
 A:12時の方向
 B:8時の方向
 C:求める時刻のときに短針の指す方向
 D:BからCまでの角度を、Aからとった位置
 E:求める時刻のときに長針が指す方向
とします。
長針と短針の一定時間に進む角度の比は 12:1 です。

8時から何分戻ったかを考えます。
長針がAからEまで戻る間に、短針はBからCまで戻ります。
 ∠AOE=∠COE
 ∠AOE:∠BOC=∠AOE:∠AOD=12:1
よって、
 ∠AOD:∠DOE:∠EOB:∠BOC=1:11:11:1
つまり、∠AOEは、∠AOB(120°)の12/23倍
長針が20分進む角度の 12/23倍なので、時間は
 20×12/23=240/23(分)=10と10/23(分)
求める時刻は
 8時00分−10と10/23分=7時49と13/23分

No.65435 - 2020/05/17(Sun) 00:43:31

Re: 時計の問題です / ヨッシー
ちなみに、仮分数は 1127/23 ではなく、1140/23 です。
No.65437 - 2020/05/17(Sun) 01:01:56

Re: 時計の問題です / あい
ありがとうございます!!
わかりました!!

No.65441 - 2020/05/17(Sun) 08:44:30
漸化式 / れいな
数列の漸化式の問題です。
a1=1/3
(1-an+1)(1+2an)=1(n=1,2,3,…)
の一般項を求めよ。
このパターンは見たことがないので、
考え方からお願いします!

No.65430 - 2020/05/16(Sat) 23:53:48

Re: 漸化式 / X
>>(1-an+1)(1+2an)=1

(1-a[n+1])(1+2a[n])=1
と解釈して方針を。

(1-a[n+1])(1+2a[n])=1 (A)
より
a[n+1]=1-1/(1+2a[n])
a[n+1]=2a[n]/(1+2a[n])
1/a[n+1]=1+1/(2a[n]) (A)'
ここで
1/a[n]=b[n]
と置くと(A)'は
b[n+1]=(1/2)b[n]+1
よって…

No.65432 - 2020/05/16(Sat) 23:59:29

Re: 漸化式 / れいな
ありがとうございます!
答えが
a[n]=2^(n-1)/2^(n)+1
になりました!
数式の書き方はこれでいいのかな笑

No.65449 - 2020/05/17(Sun) 13:29:32

Re: 漸化式 / X
基本的にはソフトのプログラミングでハードが認識できる
式の形が望ましいです。
この掲示板の最上部の辺にある注意書きを参考に。

れいなさんの結果だと例えば
a[n]={2^(n-1)}/(2^n+1)
といった書き方になります。

>>a[n]=2^(n-1)/2^(n)+1
という書き方だと、例えば
a[n]=2^{(n-1)/2^(n)}+1
とも解釈されてしまいます。

No.65504 - 2020/05/18(Mon) 16:20:11
確率の問題です。 / U
各点が整数値で左から右に値が増える数直線があり、一ステップで確率1/2で左に1、確率1/2で右に1移動する点(0ステップでは原点にある)がある時、初めて+Nまたは-Nに到達するのに必要な平均ステップ数を、Nの関数で求めるとどうなるりますか。
No.65427 - 2020/05/16(Sat) 22:55:43

Re: 確率の問題です。 / IT
下記の「ゲームの平均持続時間」の計算で出来ますね。
https://shoichimidorikawa.github.io/Lec/prob_stat/ruin.pdf

No.65440 - 2020/05/17(Sun) 08:06:37
中学受験の問題です。 / あき
この問題の表面積の求め方がわからないです。
No.65426 - 2020/05/16(Sat) 22:37:07

Re: 中学受験の問題です。 / ヨッシー
円柱に円錐が乗ったような立体になることはおわかりと思います。
底面は半径6の円で、面積:6×6×3.14
円柱部分の側面は、展開すると、長方形になり、
 面積は 5×(2×6×3.14)
円錐部分の側面は展開すると扇形になり、半径10、中心角 360°×6/10
 面積は 10×10×3.14×6/10
これらを足したものが答えとなります。

 

No.65428 - 2020/05/16(Sat) 23:02:41

Re: 中学受験の問題です。 / あき
ありがとうございます!!
とても分かり易かったです。

No.65429 - 2020/05/16(Sat) 23:22:10
三角関数 / こう
以前質問させて頂いたものです。(記事No.65326)解法をお教え願いたいのですが、ほかたくさんの質問に埋もれてしまい、お返事が頂けなくなってしまいましたので、もう一度質問させて頂きたいと思います。
cos2x=-√3/4のとき、sinxとcosxの値の求め方を教えてください。お願いします。
公式を使い、答えを自分なりに出してみまして、
cosx=(4√2−√8√3)/8
sinx=(-4√2-√8√3)/8
というところまでいったのですが…いかがでしょうか?

No.65424 - 2020/05/16(Sat) 22:06:37

Re: 三角関数 / X
計算を間違えています。
>>cosx=(4√2−√8√3)/8
の両辺を二乗して検算してみて下さい。



(cosx)^2=(4-√3)/8

(cosx)^2+(sinx)^2=1
により
(sinx)^2=(4+√3)/8

cosx=±{√(4√2-√6)}/4
sinx=±{√(4√2+√6)}/4
となります。
注)二重根号は外すことはできません。

No.65431 - 2020/05/16(Sat) 23:54:03

Re: 三角関数 / ヨッシー
xについての制限が無いということでしたので、一般解を見据えて、
解の見当を付けておきます。

cos(2x)=−√3/4 となる 2x は、約116°と、約244°、
さらに1周加えた 約476°と 約604°があります。
xの値としては 58°、122°、238°、302° およびこれに
2nπ(nは整数)を加えたものとなります。

sinx、cosx の値としては、符号違いで2つずつあり、組合せとしては4通りあります。

さて、
 cos(2x)=2cos^2x−1=1−2sin^2x=−√3/4
から得られる cosx、sinx の値は
 cosx=±(√(8−2√3))/4
 sinx=±(√(8+2√3))/4
複号は任意です。

No.65434 - 2020/05/17(Sun) 00:20:09

Re: 三角関数 / こう
お返事が遅くなってしまい申し訳ありません。
とても分かりやすい解答をありがとうございます!
助かりました。

No.65555 - 2020/05/19(Tue) 12:12:48
(No Subject) / 開成高校4年
このアンダーラインを引いたところの変形?がどうなってるのか教えてほしいです。
No.65418 - 2020/05/16(Sat) 20:36:17

Re: / らすかる
0≦(1-x)^2<1
|1-x|<1
-1<1-x<1
-1<x-1<1
0<x<2
となりますね。

No.65419 - 2020/05/16(Sat) 20:50:14

Re: / 開成高校4年
0≦のほうは考えなくていいのですか??
No.65421 - 2020/05/16(Sat) 21:26:38

Re: / らすかる
(1-x)^2はそれだけで0以上ですから
0≦があってもなくても変わりません。
つまり「0≦(1-x)^2<1」と「(1-x)^2<1」は同値です。

No.65422 - 2020/05/16(Sat) 21:30:18
(No Subject) / M
a^x<a^yならばx<yであることを、x<k/l,y=p/qを用いて証明する問題で、a^lqx<a^lqyと変形するらしいんですが、そこから先がわかりません。教えてください。
No.65416 - 2020/05/16(Sat) 17:35:04

Re: / IT
使える事項はなんでしょうか?
どのレベル(高校・大学等)の出題かと、元の問題全文と与えられたヒントをそのまま書いてください。

No.65417 - 2020/05/16(Sat) 18:21:19
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