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ヨッシーの八方掲示板(算数・数学 質問掲示板)

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質問される方は学年(質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。


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(No Subject) / 開成高校4年
かこった部分について、y1≧−5なのに(ア)で−a/2≦−5を考えるのですか?そしてy1=−5をどこに代入して最小値25がでているのですか?
No.65410 - 2020/05/16(Sat) 13:23:45

Re: / 関数電卓
例えば a=12 のとき,y についての 2次関数
 f(y)=y^2+12y+60=(y+6)^2+24
−5≦y での 最小値はいくらか
と言ったら分かりますか?
> y1=−5を どこに 代入して最小値25がでているのですか?
OP^2= の式です。

この <解答例> は私はあまりうまいと思いません。
a≠0 を確認した上で,題意より,@Aから y を消去した x の4次方程式は,
 x^4+(a^2−10a)x^2+9a^2=(x+α)^2・(x−α)^2 (α>0)
と書けます。ここから a とαが容易に求まります。

No.65412 - 2020/05/16(Sat) 14:56:38

Re: / 開成高校4年
> 例えば a=12 のとき,y についての 2次関数 f(y)=y^2+12y+60=(y+6)^2+24の −5≦y での最小値はいくらかと言ったら分かりますか?
y=−5で最小値25でしょうか?

−5が含まれるからその確認のために−a/2≦5を確認したってことですか??

No.65413 - 2020/05/16(Sat) 15:14:56

Re: / 関数電卓
> y=−5で最小値25でしょうか?
はい,そうです。
> −5が含まれるからその確認のために−a/2≦5を確認したってことですか?
おそらく誤解していると思う。
ある範囲 内で2次関数の最小値を考えるとき,軸がその範囲内にあるかどうかは,基本の確認事項です。含まれていればその場所で,含まれていなければ区間の端点のどちらかで最小値となります。

No.65414 - 2020/05/16(Sat) 15:27:22

Re: / 開成高校4年
あ、なんか変に考えてました笑
納得できました!ありがとうございます😊

No.65415 - 2020/05/16(Sat) 15:36:59
数aです / 宇都宮 虎丸
どうしてIBが角PBQの二等分線だとIP=IQが言えるのですか?
No.65408 - 2020/05/16(Sat) 10:52:23

Re: 数aです / IT
△IBPと△IBQは、2(3)つの角が相い等しく、斜辺が相い等しい直角三角形なので、合同です。
No.65409 - 2020/05/16(Sat) 11:06:41
二重接線 / dT
多くの四次関数には二重接線が存在する とのこと。
2 x^2+x^4-y+y^3=0 の2重接線が在れば導出しなさい;

No.65402 - 2020/05/16(Sat) 04:49:21

Re: 二重接線 / 関数電卓
 y=±1.372x−0.22
 y=±2.0525x+1.556
が割と近いようです。図は混み合うので a>0 のみ描きました。
> 導出しなさい
解析的には難しいのでは? 少なくとも私には出来ません。
 2x^2+x^4−y+y^3=0 と y=ax+b
から y を消去した
 2x^2+x^4−(ax+b)+(ax+b)^3=0
が重解を2つもつ (左辺=(x−p)^2・(x−q)^2 となる) ように a, b を手探りしました。

No.65411 - 2020/05/16(Sat) 13:33:59

Re: 二重接線 / dT
ありがとうございました。
No.65420 - 2020/05/16(Sat) 20:51:49
方向性について / meow
これらの問題の解き方について教えて頂きたいです.
lim n->inf(a_{n}+b_{n}) = α+β
lim n->inf(a_{n}*b_{n}) = α*β
lim n->inf(a_{n}/b_{n}) = α/β
などを用いて解けば良いのでしょうか.
よろしくお願いします.

No.65401 - 2020/05/16(Sat) 02:46:20

Re: 方向性について / IT
ε−N方式で示すしかないのでは。
けっこう面倒なので、問題集やネットを調べて、真似すると良いかも。

No.65404 - 2020/05/16(Sat) 07:52:23

Re: 方向性について / IT
(1つめの方針)
a[2k+1]=(a[2k+1]-a[2k-1])+(a[2k-1]-a[2k-3])+...+(a[2m+1]-a[2m-1])+a[2m-1]
a[2k]=(a[2k]-a[2k-2])+(a[2k-2]-a[2k-4])+...+(a[2m+2]-a[2m])+a[2m]
mを大きくすれば、(a[2m+1]-a[2m-1])などは、いくらでも0に近くできます。
その後、n=2k+1などを大きくします。

このことを使ってε−N方式で、証明します。

No.65405 - 2020/05/16(Sat) 08:53:45

Re: 方向性について / IT
(2つめ)けっこう面倒です。有名問題なので多くの問題集に載っていると思います。
Lim[n→∞]a[n]=αのとき, Lim[n→∞](a[1]+a[2]+...+a[n])/n=α
を示して、これを使って証明します。

No.65406 - 2020/05/16(Sat) 09:04:24

Re: 方向性について / IT
(3つめ)
a[n]-αをあらためてa[n] とおくことにより、α=0の場合を考える。
このとき(na[1]+(n-1)a[2]+...+2a[n-1]+a[n])/n^2 →0を示す。

一方、(nα+(n-1)α+...+2α+α)/n^2 → を計算する。

No.65407 - 2020/05/16(Sat) 09:30:37

Re: 方向性について / meow
回答ありがとうございます.
これから解いてみようと思います.
また分からない点があったら質問させて頂きます.

No.65425 - 2020/05/16(Sat) 22:14:14
(No Subject) / 大学一年
(7.11)右辺の分母分子に(n-r)!をかけるとなぜ(7.12)の式になるのか理解できません。分かる方よろしくお願い致します。
No.65395 - 2020/05/16(Sat) 00:52:11

Re: / らすかる
分母はわかりますよね?
分子の方は、例えば
10・9・8・7 に6!をかけると10・9・8・7・6・5・4・3・2・1=10!
となるように
n(n-1)(n-2)…(n-r+1)に(n-r)!をかけると
n(n-1)(n-2)…(n-r+1)(n-r)(n-r-1)(n-r-2)…・3・2・1=n!
となります。

No.65398 - 2020/05/16(Sat) 01:03:30

Re: / IT
n!=n(n-1)(n-2)...(n-r+1)*(n-r)! が正しいのは分かりますか?
これを使えば良いです。

No.65399 - 2020/05/16(Sat) 01:04:40

Re: / あ
ありがとうございました。理解できました。いつもお世話になっております。
No.65451 - 2020/05/17(Sun) 14:45:19
(No Subject) / 外接球
どんな四面体にも外接球は1つ存在するということは、高校数学において照明なしに用いても良いものでしょうか?
No.65392 - 2020/05/16(Sat) 00:05:26

Re: / ヨッシー
問題の本質(そのことを証明せよとか)でない限り
使って良いと思います。

No.65396 - 2020/05/16(Sat) 00:56:46
(No Subject) / キ
連立方程式
・x^4+2x^2+y^3-y=0
・4x^3+4x=0
の解(x,y)が分かりません。
宜しくお願いします。

No.65390 - 2020/05/15(Fri) 22:54:37

Re: / 関数電卓
実数解は,第2式から x=0 のみです。これと第1式から,y=0, ±1 です。
複素解は,こちら をご覧下さい。「解けた」気にはなりませんが…

No.65391 - 2020/05/15(Fri) 23:40:23

Re: / らすかる
実数解は関数電卓さんが書かれているように
(x,y)=(0,0),(0,±1)ですね。
虚数解は
第2式からx=±iなので第1式に代入して整理するとy^3-y-1=0
これを三次方程式の解の公式で解くと
(x,y)=(±i,{(108+12√69)^(1/3)+(108-12√69)^(1/3)}/6), ←yは実数
(±i,
-(1/12){(108+12√69)^(1/3)+(108-12√69)^(1/3)}
±(i/4){(12√3+4√23)^(1/3)-(12√3-4√23)^(1/3)}) (複号任意) ←yも虚数
となります。

No.65393 - 2020/05/16(Sat) 00:16:41

Re: / id
(-1 + y) y (1 + y) (-1 - y + y^3)=0,
x (-1 - y + y^3)=0,
x^2 - y + y^3=0
を解けばよい。

No.65403 - 2020/05/16(Sat) 05:01:05
ガウスニュートン法のヤコビ行列について / 大学1-2年?
ガウスニュートン法時の
ヤコビ行列の振る舞いにおいて
助言ください。


xはスカラー量の時
E=1/2||e(x)||2 誤差関数
ye(x)=y-f(x,a,b)
yeはxの誤差関数
Yが目的変数
xが説明変数
a,bがパラメータで可変
とすると
ガウスニュートン法におけるヤコビ行列は
1行2列になりますか?

またx=(φ,θ,ψ)と表す
3つの独立な成分をもつベクトルで
yもまた3つの独立な成分をもつベクトルの時
ガウスニュートン法におけるヤコビ行列は
3*2になりますか?

No.65389 - 2020/05/15(Fri) 22:41:26
(No Subject) / 開成高校4年
この囲ったところの動きがわかりません。教えて欲しいです。
No.65382 - 2020/05/15(Fri) 20:41:58

Re: / ヨッシー
解説に「y=0 を解に持ち、y>0 には解を持たない」とあります。
yの解はy=0 と y=2(a−1) ですが、
y=2(a−1)の方が、
y>0 だと、そこで交点が出来てしまいます。
y=0 だと、もう一方のy=0 と重解になって、原点でのみ接し、を満たします。
y<0 だと、xが虚数になり、グラフ上には交点が存在しません。これも、原点でのみ接するを満たします。

No.65385 - 2020/05/15(Fri) 20:55:23

Re: / 開成高校4年
Bの解はy=−2(1−a)とはならないのですか?
y=2(a−1)か正だと交点をがなぜできてしまうのがわかりません…

No.65386 - 2020/05/15(Fri) 21:19:39

Re: / ヨッシー
y=−2(1−a) と y=2(a−1) は同じです。

x^2=2y なので、y>0 だと、xが実数解をもちます。
そのときの(x、y)は、円と放物線の交点として、第1,第2象限に現れます。

No.65387 - 2020/05/15(Fri) 21:23:23

Re: / 開成高校4年
なるほど!!理解できました!ありがとうございます😊
No.65388 - 2020/05/15(Fri) 21:53:34
(No Subject) / 開成高校4年
囲った部分は必ずしも交わってるかわからないから確認しなければいけないって感じでしょうか?
No.65380 - 2020/05/15(Fri) 20:10:52

Re: / ヨッシー
そうです。

もし仮に、両者が交わっていなくても、B以下の流れで
なにがしかの答えを出すことは出来ます。
ところがその直線は、もとの放物線とどういう関係にあるかは
よくわかりません。
(普通は、交わるように問題が出来ていますが、aの値が2つあって、
片方は交わらない、と言うようなことはあり得ます)

No.65383 - 2020/05/15(Fri) 20:47:04

Re: / 開成高校4年
なるほど!ありがとうございます😊
No.65384 - 2020/05/15(Fri) 20:49:08
図形 / 高3
写真の図形で、ADとBCが並行かつAD:BC=1:2ならBP:PD=2:1になるのがどうしてか教えてください。
No.65370 - 2020/05/15(Fri) 17:17:59

Re: 図形 / ヨッシー
△BPCと△DPAにおいて、
 ∠PBC=∠PDA (錯角)
 ∠BPC=∠DPA (対頂角)
よって、
 △BPC∽△DPA
相似比は BC:AD=2:1 なので、
 BP:PD=CP:PA=2:1
となります。

No.65373 - 2020/05/15(Fri) 17:30:05

Re: 図形 / 高3
ありがとうございます。
No.65381 - 2020/05/15(Fri) 20:19:23
(No Subject) / 開成高校4年
最後の注意のところがいまいち理解ができません…どういうことか教えて欲しいです…
No.65369 - 2020/05/15(Fri) 16:51:56

Re: / X
これは、もし{a[n]}の極限値が存在するという
前提条件があるのなら、その極限値をαとして
漸化式のa[n],a[n+1]を全てαに置き換えて
αの方程式を導くことができる、
ということです。

ご質問の問題は2項間漸化式ですが
例えば、これが
a[n],a[n+1],a[n+2]
の間に成立する3項間漸化式であっても
同様に
a[n],a[n+1],a[n+2]
をαに置き換えて
αの方程式を導くことができます。

とはいっても、高校数学の範囲では
{a[n]}の極限値が存在するのか
確かめるのは、模範解答のように
{a[n]}の極限値を直接計算しなければ
ならない場合が殆どです。
ですので、赤枠の中の事項の使い道は
極限値の検算程度と思って差し支え
ないと思います。

No.65378 - 2020/05/15(Fri) 18:43:44

Re: / 開成高校4年
なるほど!ありがとうございます😊
No.65379 - 2020/05/15(Fri) 20:08:18
(No Subject) / 小学17年生
問題がこれです。
No.65364 - 2020/05/15(Fri) 15:30:57

Re: / 小学17年生
すみません。自分で解決できました。ありがとうございました。
No.65365 - 2020/05/15(Fri) 15:59:26
(No Subject) / 小学17年生
部分分数分解の問題です。Aの答えが1/(x+1) +(2x-1)/(x^2+1)なのですが、とき直してもこの答えになりません。分かる方よろしくお願い致します。
No.65363 - 2020/05/15(Fri) 15:30:29
(No Subject) / 大学一年
なぜ余りが6になるのか分かりません。よろしくお願い致します。
No.65362 - 2020/05/15(Fri) 15:24:51

Re: / ヨッシー
余り 9 ですね。
No.65366 - 2020/05/15(Fri) 16:06:55

Re: / 小学17年生
ありがとうございます。問い合わせてみます。
No.65367 - 2020/05/15(Fri) 16:12:38
(No Subject) / あ
なぜsin(-3/4π)=-1になるのでしょうか?
No.65357 - 2020/05/15(Fri) 10:46:38

Re: / ヨッシー
sin(−π/2) や sin(3π/2) は −1 ですが、
sin((-3/4)π)=−1/√2 です。

No.65358 - 2020/05/15(Fri) 10:51:40

Re: / あ
この問題のオ、カなんですが
-π<=θ<=0より
-3/4π<=θ+π/4<=π/4が
なぜ-√2<=t<=1になるのかがわかりません。

No.65359 - 2020/05/15(Fri) 12:35:14

Re: / ヨッシー
合成の公式により
 t=√2sin(θ+π/4)
これの
 −π≦θ≦0
における最小値が=−√2、最大値が 1 になります。

No.65360 - 2020/05/15(Fri) 12:50:04

Re: / あ
理解できました。
ありがとうございます!

No.65372 - 2020/05/15(Fri) 17:26:19
(No Subject) / かんた
これの答えがわかりません。
解き方もわかりません。
提出が今日までなのですが、お願いします。

No.65349 - 2020/05/15(Fri) 08:49:23

Re: / ast
f(x):=sin^2(x) と置くと

 (与式) = lim_[h→0] {f(π/4+h)-f(π/4)}/h = f'(π/4).

No.65350 - 2020/05/15(Fri) 08:59:31

Re: / かんた
ast さん
f(x)=sin^2(x)に置き換えるという発想はどこからかのですか?
できれば計算の途中式と解答も欲しいです。
正直まだ、解答にピンときていません。すみません

No.65352 - 2020/05/15(Fri) 09:13:04

Re: / ast
> 置き換えるという発想はどこからかのですか?
置き換える必要は全くないので置き換える発想自体は不要です. ただあからさまに微分係数の定義式の形をしてるのに, それが見えないのは余計な情報に目が奪われてるせいではないかなあ, ということで言っているだけです.

No.65353 - 2020/05/15(Fri) 09:18:50

Re: / かんた
あ、やっと意味がわかりました。
答えが1と出たのですが、あってますでしょうか?

No.65354 - 2020/05/15(Fri) 09:26:50

Re: / ast
> 答えが1と出たのですが、あってますでしょうか?
そうです. d(sin^2(x))/dx = 2*sin(x)*cos(x) = sin(2x) なので, x=π/4 として sin(π/2) = 1 ですね.

少々余談というか脱線気味に別の解法について述べます.
sin(π/4)=1/√2 だから, 問題が lim{sin^2(h+π/4)-1/2}/h と書いてあってもよさそうなものだけれどそうしていないことから, 上ではおそらくこのような解法を想定しているのだろうというのを「あからさま」という言葉で表現しましたが,
あるいは逆にそう書き直してから問題を見た場合だと, 2*sin^2(h+π/4)-1 = -cos(2(h+π/4)) という倍角公式の利用に気付きます. これはどうやら具合がよさそうです. この場合, -cos(2(h+π/4) = -cos(2h+π/2) = sin(2h) だから,

 (与式) = lim_[h→0] sin(2h)/2h = 1

とできます.

No.65355 - 2020/05/15(Fri) 09:51:28

Re: / かんた
ありがとうございます
No.65356 - 2020/05/15(Fri) 10:00:08
(No Subject) / 開成高校4年
∞/∞は1ですか?
No.65347 - 2020/05/15(Fri) 08:18:48

Re: / ヨッシー
65314の記事に関連して、
 a[n]/b[n]
の形の数列で、a[n]、b[n] ともに∞に発散する場合のことを言われていると思いますが、
そちらにも書かれているように、「いろいろ」です。

それに、∞は数値ではないので、∞/∞ という表現は正しくありません。

No.65348 - 2020/05/15(Fri) 08:24:36

Re: / 開成高校4年
だんだんわかってきました!ありがとうございます😊
No.65351 - 2020/05/15(Fri) 09:01:41
(No Subject) / ぴんちゃん
lim [e^(-x )-1]/sin2xの解き方がわかりません
x→0

答えは-1\2になるそうなのですが、計算の過程も含めて解説をお願いしたいです

No.65341 - 2020/05/15(Fri) 00:36:09

Re: / ぴんちゃん
訂正 答えは-1/2
No.65342 - 2020/05/15(Fri) 00:36:42

Re: / らすかる
f(x)=e^(-x)とすると
lim[x→0](f(x)-1)/x
=lim[x→0](f(x)-f(0))/x
=f'(0)
=-1
なので
lim[x→0](e^(-x)-1)/sin2x
=lim[x→0](e^(-x)-1)/2x・2x/sin2x
=(1/2)lim[x→0](e^(-x)-1)/x・2x/sin2x
=(1/2)・(-1)・1
=-1/2

No.65343 - 2020/05/15(Fri) 01:03:34
(No Subject) / 和
12^617の桁数を計算します。
log(10)2=0.3010、log(10)3=0.4771の値を利用して解きます。

log(10)12^617=617×log(10)3×log(10)2^2
=617×0.4771×(0.3010)^2
=26.670707279
となり、27桁になると思ったのですが、ネットで調べてみたところそんな桁数にはならないみたいで…この解き方を教えてください。

No.65328 - 2020/05/14(Thu) 18:51:12

Re: / 和
件名を入れ忘れました。すみません。
指数対数関数です。

No.65329 - 2020/05/14(Thu) 18:53:21

Re: / X
教科書に戻って対数の公式を復習しましょう。

公式の適用が滅茶苦茶で、1行目から計算を
間違えています。

No.65330 - 2020/05/14(Thu) 18:55:59

Re: / ヨッシー
公式については、X さんの言われるとおり、教科書を見ていただくとして、
10^617 でさえ 618桁なので、12^617 はもっと大きいはずです。
こういう、間違いを嗅ぎ分ける能力も必要です。

No.65333 - 2020/05/14(Thu) 19:06:44

Re: / 和
xさん、ヨッシーさんすみません。自分なりにもう一度考え計算しなおしました。何度も申し訳ないです。
もう一度ご教授いただけますと幸いです。

log(10)12^617=617×log(10)3+log(10)2+log(10)2
=617×1.0791
=665.80…
よって666桁になる
でしょうか。

No.65338 - 2020/05/14(Thu) 23:04:13

Re: / ヨッシー
正解です。

ただし、途中式で
617×(log(10)3+log(10)2+log(10)2)
のように、カッコが必要です。

No.65339 - 2020/05/14(Thu) 23:09:13

Re: / 和
そうでした。ご指摘くださいましてありがとうございます。
長々と本当にありがとうございました。

No.65340 - 2020/05/14(Thu) 23:14:13
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