0402109

ヨッシーの八方掲示板(算数・数学 質問掲示板)

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極限の良難問 / 数学愛好家
高校数学の数学V〜基礎的な大学数学の範囲内で「極限」に関する難問を教えてください!
大学入試レベルを(多少)超えていても構いません。
もし出典等があれば、併せて教えていただけると幸いです。
よろしくお願いします。

No.62987 - 2020/01/08(Wed) 02:15:17

Re: 極限の良難問 / GandB
「数学 大学入試 極限の難問」
で検索すればいろいろ出てくるのでは。
 たとえば
  https://gould2007.hatenadiary.org/entry/20071121/1195653864
 超難問だそうな。
 なお、そこの(2)の解説に出てくる

  lim[n→∞]a[n] = α ⇒ lim[n→∞] (a[1] + a[2] + …… + a[n])/n = α

は高校数学スタイルの極限の定義では証明が難しいことで有名。というか数学者が書いた微積の参考書にはたいてい載っていると思う。証明がくどいほど丁寧なのは
  イプシロン−デルタ(田島 一郎 共立出版)

No.62989 - 2020/01/08(Wed) 20:03:19

Re: 極限の良難問 / IT
青空学園数学科の問題研究↓の微積 (東大、京大(特に特色や後期),東工大などに難問が多いと思います。)
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/kakomon/kakomon.htm

下記などは難問とまでは言えませんがやや難ですね。
(京大理系後期1993年第4問)
aは正の定数とする。不等式a^x≧axがすべての正の数xについて成り立つという。
このときaはどのようなものか。

No.62992 - 2020/01/08(Wed) 20:33:58

Re: 極限の良難問 / 数学愛好家
お三方ともご回答ありがとうございます!
ご紹介いただいた問題にじっくり取り組んでみたいと思います。

No.63001 - 2020/01/10(Fri) 01:05:11
(No Subject) / アブドゥル
この問題では、軸で場合わけしてないのに、次レスの画像の問題では軸で場合わけしてるのはなんでですか?

前者ではaを定数としていて、後者のaは変数(定数とはいってないから)ですか?

No.62985 - 2020/01/08(Wed) 00:58:07

Re: / アブドゥル
こちらです。

特定の定義域内で少なくとも一つ実数解をもつ条件を求めるという点では同じだと思うのですが。。

No.62986 - 2020/01/08(Wed) 00:59:16

Re: / アブドゥル
すみません。後者でも軸で場合わけしてましたm(_ _)m
No.62997 - 2020/01/09(Thu) 19:14:56

Re: / アブドゥル
すみません。後者でも軸で場合わけしてましたm(_ _)m
無かったことにしてくださいm(_ _)m

No.62998 - 2020/01/09(Thu) 19:15:45
(No Subject) / たけ
下線を引いたところのしきになる理由がわかりません。お願いします教えていただきたいです
No.62981 - 2020/01/07(Tue) 23:00:11

Re: / らすかる
△BADにおいてsin∠BAD=BD/ABだからです。

# 直角三角形の直角でないある角の角度をθとすると
# sinθ=(θの対辺)/(斜辺)ですね。

No.62982 - 2020/01/07(Tue) 23:52:25
展開したとき、項の係数を求める問題。 / YUKI
n:自然数ㅤk≦mとする

(1+x+x²+x³+…+xᵐ)ⁿを展開したとき、x^kの係数を求めよ。

という問題です。

答えは (n+k-1)!/k!(n-1)! です。


しかし問題集の解説が分かりにくく、理解できず困っています。

詳しい方おられましたら、答えにたどり着くまでの過程をご教授いただけないでしょうか?

何卒よろしくお願いいたします。

No.62976 - 2020/01/07(Tue) 03:05:22

Re: 展開したとき、項の係数を求める問題。 / IT
> ㅤ
> しかし問題集の解説が分かりにくく、理解できず困っています。
>

その解説がどんなものでどこまで分かってどこが分からないかわからないと、より分かり易い解説は無理かと思います。

(具体的なn,kで考えると分かってくる場合もあります。)

No.62978 - 2020/01/07(Tue) 18:02:14

Re: 展開したとき、項の係数を求める問題。 / CORNO
>しかし問題集の解説が分かりにくく、
もしかして,解説に「重複組み合わせ」の語がありますか?

解説に「重複組み合わせ」の語があるか否かは置くとして,
YUKI さんは「重複組み合わせ」の問題は解いたことがありますか?

No.62980 - 2020/01/07(Tue) 18:14:15

Re: 展開したとき、項の係数を求める問題。 / YUKI
ありがとうございます!もう一度自分で考えてみます。
No.62983 - 2020/01/08(Wed) 00:29:17
大学数学 重積分 / ウィニー
次のDを図示し、重積分の値を求めよ。
(1) ∫ ∫D (x+y)^2 dxdy
(Dは(1,0)、(0,2)、(-3,-3)を頂点とする3角形の周及び内部)

(2) ∫ ∫D (x-y)cos(3x+5y) dxdy
(D={(x,y)|0≦3x+5y≦π,0≦x-y≦π})

(3) ∫ ∫D (x^2-y^2+2) dxdy
(D={(x,y)|(x^2+y^2)^2≦x^2-y^2,x≧0})

(4) ∫ ∫D √(x^2+y^2) dxdy
(D={(x,y)|-6x≦x^2+y^2≦9})

よろしくお願いいたします。

No.62975 - 2020/01/06(Mon) 23:03:08

Re: 大学数学 重積分 / ウィニー
すみません、間違えて大学数学の質問を書いてしまいました。
無視していただいて構いません。

No.62977 - 2020/01/07(Tue) 12:53:07
代数学 / う
7.6のa,bが分かりません。
No.62974 - 2020/01/06(Mon) 21:38:41
(No Subject) / アブドゥル
この問題の(2)において、「点Oは直径をABとした円周上にある」と書いてあるのですがなぜですか?
No.62973 - 2020/01/06(Mon) 20:31:18

Re: / CORNO
問題に
  「∠AOB=90°の直角三角形AOBが〜」
とあるからです.
直径の上に立つ円周角は90°である,ということです.

No.62979 - 2020/01/07(Tue) 18:06:33

Re: / アブドゥル
ありがとうございましたm(__)m
No.62984 - 2020/01/08(Wed) 00:54:59
二項定理 / 耐水性
画像の問題の解き方を教えていただきたいです。
宜しくお願い致します。

No.62969 - 2020/01/06(Mon) 17:17:03

Re: 二項定理 / X
(2)だけ解きますので参考にして(1)(3)はご自分でどうぞ。

(2)
二項定理により
(x^2-3y)^4=Σ[k=1〜4](4Ck){(x^2)^k}(3y)^(4-k)
=Σ[k=1〜4]{(4Ck)・3^(4-k)}{x^(2k)}y^(4-k)
∴(x^2)(y^3)の項についてxの指数に注目すると
2k=2
これより
k=1
よって求める係数は
(4C1)・3^(4-1)=4・3^3=108

No.62970 - 2020/01/06(Mon) 18:38:30
(No Subject) / うい
(35/8)^2-(21/8)^2
を工夫して簡単に解く方法はありますか?

No.62964 - 2020/01/06(Mon) 09:08:50

Re: / らすかる
例えば
(35/8)^2-(21/8)^2
=(35^2-21^2)/8^2
=(35+21)(35-21)/8^2
=56×14/8^2
=28×28/8^2
=(28/8)^2
=(7/2)^2
=49/4

No.62965 - 2020/01/06(Mon) 10:54:03
(No Subject) / アブドゥル
この問題の(2)の最初の等式が成り立つことを証明しました。あっていますか?(次レスに私の答案をのせます)
No.62957 - 2020/01/05(Sun) 21:02:52

Re: / アブドゥル
こちらが私の証明です。このようなやり方はあっていますか?
(1枚目の画像の鉛筆で書き込まれた数字は答えです。)

ご回答よろしくお願いしますm(_ _)m

No.62958 - 2020/01/05(Sun) 21:04:02

Re: / ヨッシー
x1+x2+・・・+x10=55,
y1+y2+・・・+y10=75
 ・・・
x1y1+x2y2+・・・=445
のときに限り、
 x1^2+・・・=10{sx^2+(x~)^2}
が成り立つことを示せ
という問題ならそれで良いかもしれませんが、
一般に(どんな場合にも)
 x1^2+・・・=10{sx^2+(x~)^2}
が成り立つことを示せ
という問題なので、分散の公式から導き出さないといけません。

No.62963 - 2020/01/06(Mon) 04:33:48

Re: / アブドゥル
なるほど、よくわかりました。
丁寧に教えていただき感謝します。
ありがとうございましたm(_ _)m

No.62968 - 2020/01/06(Mon) 17:02:44
確率について / aufchan
70%の確率でランダムに1を生成する機械が2台あると、
二つが同時に1を出す確率は何%になるでしょうか

0.7*0.7*100でいいのでしょうか。
またこれをn回続けた時、全体としての一致率の期待値はどうなるでしょうか。

No.62955 - 2020/01/05(Sun) 12:23:18

Re: 確率について / らすかる
0.7*0.7*100でOKです。
一致率が「両方1または両方0」ならば
0.7*0.7*100+0.3*0.3*100=58(%)
です。

No.62956 - 2020/01/05(Sun) 16:39:01

Re: 確率について / aufchan
> 0.7*0.7*100+0.3*0.3*100=58(%)
> です。


質問する前に確率論があまりよくわからなかったのでパソコンに5000回試させたところ本当にほぼ58%になってそのメモが残っていてびっくりしました。大変助かりました。ありがとうございました!

No.62966 - 2020/01/06(Mon) 13:10:39
四角形の性質 / ぱー
四角形の対角線が等しいという情報から得られることってあるのでしょうか?台形になるのでしょうか。。?

宜しくお願い致します。

No.62952 - 2020/01/05(Sun) 04:39:23

Re: 四角形の性質 / らすかる
2本の対角線の長さが等しい、という意味ならば
(一般には)少なくとも「台形」のような有名な名称のついた
四角形にはなりませんので、単に
「2本の対角線の長さが等しい四角形」
というだけだと思います。

No.62953 - 2020/01/05(Sun) 05:21:52
高校入試問題です / 健児
どちらも(3)の問題の解き方がわかりません。ご指導ください。
No.62951 - 2020/01/05(Sun) 04:30:41

Re: 高校入試問題です / ヨッシー
上の問題

図のように球Qに外接する正四面体(元の正四面体と3面を共有する)を
考えると、2つの正四面体の相似比(=PとQの半径比)から球の体積比を出すことが出来ます。

下の問題
BCの中点をMとし、△AMHと、球の関係を考えます。

図において、Iは、正四面体に内接する球の中心、OはAHの中点です。
Iから面ABCに下ろした垂線の長さは、IHに等しいです。
Oから面ABCに下ろした垂線の長さはAI:AOから求められます。
すると、面ABCによって、球を切ったときの断面の半径PAが出ます。
図の右のように、半径PAの円と正三角形の共通部分が求める面積となります。
ただし、正三角形の1つの頂点は円周上にあり、そこから引いた中線は円の直径上にあるものとします。

No.62954 - 2020/01/05(Sun) 07:48:20
(No Subject) / アブドゥル
この問題の解説に疑問あります。
No.62946 - 2020/01/04(Sat) 23:32:20

Re: / アブドゥル
赤線のところです。

「平面AMBと底面BCDが垂直であるから外接球の中心Oは平面AMB上にあり」

とありますが、

確かに点Oが平面AMB上にあれば、OHとMBは垂直に交わりますが、点Oが平面AMB上にないのにMBと垂直に交わる可能性があるような気がします。

解説のように「平面同士が垂直→点Oは平面AMB上にある」と言い切ってるのはなぜですか?

No.62947 - 2020/01/04(Sat) 23:37:13

Re: / アブドゥル
図を書いてみました。明らかにおかしいですが、こういう可能性はないのですか?
No.62948 - 2020/01/04(Sat) 23:41:48

Re: / ヨッシー
そういう可能性はありません。
2点C,Dから等距離にある点は、線分CDの垂直二等分面、
すなわち平面AMB上にあるためです。

CP=DP である点Pを取ると、
△CMPと△DMPにおいて、
 CP=DP、CM=DM、MPは共通
より
 △CMP≡△DMP
となり、
 ∠PMC=∠PMD=90°
となるためです。

No.62949 - 2020/01/05(Sun) 01:29:45

Re: / アブドゥル
納得できました。よく理解しました。
ありがとうございましたm(__)m

No.62950 - 2020/01/05(Sun) 02:47:39
収束する無限級数のグラフを描く問題です。 / YUKI
このf(x)のグラフを描け。という問題です。

初項=0 (cosx)^2=0の場合と

初項≠0 (cosx)^2≠0を場合分けして描かなければならないのか


それとも初項=0は考慮しなくてもいいのか、教えていただきたいです。


もし初項=0 (cosx)^2=0を考えるならπ/2と3π/2で不連続になりますが、そこがどちらにしてよいのかはっきり分かりません。

No.62937 - 2020/01/04(Sat) 17:49:36

Re: 収束する無限級数のグラフを描く問題です。 / IT
各x毎に計算する必要があるので場合分けが必要となります。

不連続で良いのでは?
f(π/2) =f(3π/2)= 0 ですよね。

No.62940 - 2020/01/04(Sat) 19:04:34

Re: 収束する無限級数のグラフを描く問題です。 / YUKI
ありがとうございます。質問してみて、やっと意味が分かってきました。
No.62943 - 2020/01/04(Sat) 20:33:57
√2次式の値が自然数となる条件 / health-p
(2)の赤線を引いているところでです。
(m+n)-(m-n)=2nでなぜこの式の差が偶数と仮定できたか分かりません。教えてください。

No.62935 - 2020/01/04(Sat) 17:29:29

Re: √2次式の値が自然数となる条件 / IT
(m+n)-(m-n)=2n は恒等式です。仮定したのではなくて常に成立します。
No.62938 - 2020/01/04(Sat) 18:00:46

Re: √2次式の値が自然数となる条件 / health-p
ありがとうございます!
No.62944 - 2020/01/04(Sat) 21:03:55
(No Subject) / 橋
波線部分がなぜこうなるのかわからないのですが、教えていただいたきたいです!
No.62930 - 2020/01/04(Sat) 14:47:48

Re: / IT
下記のように考えるのが簡単では

51人のクラスに、そのクラスの平均体重の生徒が1人が転入して来ても、

その52人のクラスの平均体重は元の51人のクラスのときから変化しない。

No.62931 - 2020/01/04(Sat) 15:10:10
大学数学 / ほう
演習9.1について解説回答いただきたいです。
よろしくお願いします。

No.62928 - 2020/01/04(Sat) 13:47:58
(No Subject) / 名前
円周上に3点A,B,CについてB,Cにおける接線の交点をP,BCの中点をMとすると∠BAM=∠CAPを示せ。

ご教授願います。

No.62926 - 2020/01/04(Sat) 11:42:58
(No Subject) / アブドゥル
この問題の(3)を解答と違うやり方で答えたが、答えが一致したのですが、私のやり方はあっていますか?以下の私のやり方はABCのひく順番を考えていないので間違ってる気がします。

i)3人とも当たる場合、(1)より1/406

ii)2人とも当たる場合
3C2*5/30*4/29*25/28=25/406
(3C2は当たる人の選び方)

i)+ii)=13/203(答え一致)

私は計算がたまたまあってただけなのか、考え方もあっているのか教えて下さい。くじ引きを引く順番に有利不利に関係ないなどの知識があって混乱しています。

よろしくお願いしますm(__)m

No.62925 - 2020/01/04(Sat) 02:03:26

Re: / IT
> ii)2人とも当たる場合
「ちょうど2人が当る場合」だと思いますが

> 3C2*5/30*4/29*25/28=25/406
> (3C2は当たる人の選び方)


どういう考え方で計算しているかをもう少し記述されないと 何とも言えないと思います。

No.62927 - 2020/01/04(Sat) 11:49:42

Re: / アブドゥル
ありがとうございます。
もう一度書き直します。

ii)ちょうど2人あたる場合

3C2は当たる人の選び方
5/30(当たりのくじの数5本から1本選ぶ選び方/全部のくじの数30本から1本選ぶ選び方)
4/29(当たりのくじの数5本から1引いた本数の4本から1つ選ぶ選び方/全部のくじの数30本から1引いた本数の29本から選ぶ選び方)
25/28(はずれのくじの数25本から1本選ぶ選び方/全部のくじの数30本から2引いた本数の28本から1本選ぶ選び方)

を積の法則ですべてかけて、3C2*5/30*4/29*25/28=25/406

No.62929 - 2020/01/04(Sat) 14:46:47

Re: / IT
心配しておられるように
ABが当りCが外れる、ACが当りBが外れる、BCが当りAが外れる。
”これらの確率が互いに等しいこと”を言っておく必要があると思います。

”これ”は、正しいですが「自明」という訳ではないので、この問題の場合ちゃんとした証明が必要だと思います。

No.62934 - 2020/01/04(Sat) 15:40:14

Re: / IT
30本のくじを左から順に並べておく。それを左から順にA,B,Cが引いていく。と考えると。

A,B,Cの当る確率が互いに等しい。ことが理解(説明)しやすいかも知れません。

No.62939 - 2020/01/04(Sat) 18:04:39

Re: / アブドゥル
ありがとうございます。助かりましたm(__)m
No.62945 - 2020/01/04(Sat) 23:29:44
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