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ヨッシーの八方掲示板(算数・数学 質問掲示板)

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(No Subject) / 守田
以下の問題を教えて下さい。宜しくお願いします。

(1)放射能の強さの時間変化を数式で表せ。
(2)ヨウ素-131の半減期は8日である。ヨウ素-131原子が1秒間に壊変する確率はいくつか?

No.65257 - 2020/05/13(Wed) 14:13:36

Re: / 関数電卓
元素の放射性崩壊は,微分方程式
 dN/dt=−kN …(1) (k:崩壊定数;元素により固有)
で支配されます。
(1)を解くと
 N=N0e^(-kt) (t=0 のとき N=N0)
 ↑が求める放射線強度
N/N0=1/2 となる t を半減期とよび T で表します。
即ち,e^(-kT)=1/2 ∴ k=log2/T …(2)
(1)より ΔN/N=−kΔt で,Δt=1 秒としたときの |ΔN/N|=k が所要の確率だから
求める確率=k=log2/(3600・24・8)=0.6935/691200≒1.003×10-6
となります。

No.65278 - 2020/05/13(Wed) 19:00:44
幾何学 / hoppy
2曲線𝐶1: r1(𝑡) = (𝑡2,√3𝑡2,𝑡2)、𝐶2: r2(𝑡) = (𝑡,√3𝑡,𝑡2)に対してそれ ぞれ以下を求めよ(0 ≦ 𝑡 ≦ 1)。
(a)単位接線ベクトル
(b)𝑡 = 0から𝑡 = 1までの弧長
上記分かりません、宜しくお願いします。

No.65255 - 2020/05/13(Wed) 13:27:45

Re: 幾何学 / X
問題の二曲線のベクトル方程式を
𝐶1: ↑r1(𝑡) = (𝑡^2,(√3)𝑡^2,𝑡^2)
𝐶2: ↑r2(𝑡) = (𝑡,(√3)𝑡,𝑡^2)
と解釈して回答を。

(a)
条件から
d↑r[1]/dt=(𝑡,(√3)𝑡,𝑡)=t(1,√3,1)
∴↑u=(1,√3,1)
と置くと、C[1]の単位接線ベクトルは
↑u/|↑u|=(1/√5,√(3/5),1/√5)
又、C[2]の単位接線ベクトルは
(d↑r[2]/dt)/|d↑r[2]/dt|=(1,√3,2𝑡)/{2√(1+t^2)}
=(1/{2√(1+t^2)},(1/2)√{3/(1+t^2)},t/√(1+t^2))

(b)
(a)の過程から
|d↑r[1]/dt|=t√5
|d↑r[2]/dt|=2√(1+t^2)
∴求めるC[1],C[2]の弧長をそれぞれl[1],l[2]とすると
l[1]=∫[t:0→1]|d↑r[1]/dt|dt
=(1/2)√5
l[2]=∫[t:0→1]|d↑r[2]/dt|dt
=∫[t:0→1]{2√(1+t^2)}dt
=…

No.65270 - 2020/05/13(Wed) 17:54:04
(No Subject) / 開成高校4年
数Vをやっていてふと疑問に思ったのですが、両辺を2乗して得られた方程式の解は確認が必要と書いてありました。例えば写真のような問題でmについてといたときも確認が必要ですか?模範解答では確認していないように思うのですが…
No.65253 - 2020/05/13(Wed) 12:59:52

Re: / ヨッシー
一般に
 x^2=y^2 ⇔ x=y
ではありません。
 (-2)^2=2^2 と -2=2
が反例です。
ところが、x≧0 かつ y≧0 (まれに x<0 かつ y<0) の場合、
 x^2=y^2 ⇔ x=y
が言えます。

この問題の場合、
 |3m+2|=2√(m^2+1)
の両辺とも、mに関わらず正なので、
 (3m+2)^2=4(m^2+1)
と同値になり、確認は不要です。

もっとも、そういう接線が存在するということが
一番の確認ですが。(上図のグラフがその証左となる)

No.65254 - 2020/05/13(Wed) 13:23:34

Re: / 開成高校4年
なるほど!ありがとうございます😊
No.65256 - 2020/05/13(Wed) 13:35:05
V / 瑛
分母にだけ-がかかっているのってなぜなんでしょうか。
No.65247 - 2020/05/13(Wed) 12:35:45

Re: V / ヨッシー
分子には絶対値が付いていないからです。
No.65249 - 2020/05/13(Wed) 12:38:59

Re: V / 瑛
|-x|=xで、分母は正にはならないんでしょうか。
No.65250 - 2020/05/13(Wed) 12:45:05

Re: V / ヨッシー
それは、
 |−(-2)|=-2 で、正にはならないんでしょうか。
と言っているのと同じです。
x<0 のときは、−xが正なのです。

No.65252 - 2020/05/13(Wed) 12:53:44

Re: V / 瑛
そうでした!
助かりました…ありがとうございます!

No.65280 - 2020/05/13(Wed) 20:33:35
指数・対数関数 / 大野
この計算方法を教えてください。
よろしくお願いいたします。

No.65245 - 2020/05/13(Wed) 12:06:18

Re: 指数・対数関数 / ヨッシー
(1)
log[9]5√64=log[9]2^(6/5)
 =log[2]2^(6/5)÷log[2]3^2
 =6/5÷2log[2]3
よって
 (与式)=log[2]3×6/5÷2log[2]3=3/5

(2)
log[10]5=log[10](10÷2)=log[10]10−log[10]2
 =1−log[10]2
X=log[10]2 とおくと
 (与式)=X^2+2X(1−X)+(1−X)^2
   ={X+(1−X)}^2=1

No.65248 - 2020/05/13(Wed) 12:37:43

Re: 指数・対数関数 / 大野
ありがとうございました!
No.65289 - 2020/05/13(Wed) 23:02:35
指数関数・対数関数 / はん
この問題がわかりません。
説き方を教えてください。

No.65244 - 2020/05/13(Wed) 11:55:41

Re: 指数関数・対数関数 / ヨッシー
(7)
a√a=a^(3/2)=(a^2)^(3/4)
a^5=(a^2)^(5/2)
よって、
 (与式)=log[a^2]a√a−log[a^2]a^5
  =3/4−5/2=−7/4

(8)
1000005√10=10^5×10^(1/5)=10^(26/5)
4√10^(26/5)=10^(26/5×1/4)=10^(13/10)
よって、
 (与式)=13/10

No.65251 - 2020/05/13(Wed) 12:49:45
図形 / 神谷勝
証明お願いします
No.65241 - 2020/05/13(Wed) 11:43:23
(No Subject) / わおん
解き方教えてください
No.65240 - 2020/05/13(Wed) 11:40:53

Re: / ヨッシー
1/2=2^(-1) なので、
 (1/2)^(-1)={2^(-1)}^(-1)=2^{(-1)×(-1)}=2
よって、
 (与式)=2^(-1/2)×2^1=2^(-1/2+1)=2^(1/2)
ここまででも良いですし √2 としても良いでしょう。

 

No.65246 - 2020/05/13(Wed) 12:27:38
(No Subject) / 開成高校4年
こころのΣってなんで2mまでじゃなくてmまでなんですか??
No.65236 - 2020/05/13(Wed) 08:35:44

Re: / ヨッシー
Σの中の式が (2k−1)^2−(2k)^2 ですので、
2m まで足すと
 (1^2−2^2)+(3^2−4^2)+・・・+{(4m−1)^2−(4m)^2}
になってしまいます。

No.65237 - 2020/05/13(Wed) 08:39:25

Re: / 開成高校4年
言われてみればそうでした!ありがとうございます😊
No.65238 - 2020/05/13(Wed) 08:54:19
三角関数 / うい
これは三角関数の合成をした結果ですよね……?
なんでΠ/4が出てきたのでしょうか、教えてください。
わからなくなってしまいました……

No.65234 - 2020/05/13(Wed) 08:29:02

Re: 三角関数 / うい
問題文です
No.65235 - 2020/05/13(Wed) 08:30:45

Re: 三角関数 / ヨッシー
sinθ+cosθ=sinθcosα+cosθsinα
と書けたなら、加法定理により
 sin(θ+α)
になるのですが、残念ながら、
 cosα=1、sinα=1
となるようなαは存在しません。sin, cos の値として成り立つには、
 sin^2α+cos^2α=1
を満たす必要がありますが、cosα=1、sinα=1 だと
 sin^2α+cos^2α=2
になってしまいます。そこで、sinα, cosα それぞれ √2 で割って、
 cosα=1/√2、sinα=1/√2
にすると、
 sin^2α+cos^2α=1
を満たします。すると今度は、
 sinθcosα+cosθsinα=(1/√2)sinθ+(1/√2)cosθ=(1/√2)(sinθ+cosθ)
となり、全体が 1/√2 倍になってしまいます。
(√2 で割ったので当然ですが)
そこで、その分 √2 を掛けてやると
 √2(sinθcosα+cosθsinα)=sinθ+cosθ
ここで、
 cosα=1/√2、sinα=1/√2
なので、α=π/4 となります。

変形をまとめると、
 sinθ+cosθ=√2{(1/√2)sinθ+(1/√2)cosθ}
  =√2{cos(π/4)sinθ+sin(π/4)cosθ}
  =√2sin(θ+π/4)
となります。

合成の公式は、加法定理の応用ですので、詰まったら、
加法定理に立ち戻って考えれば、解くことが出来ます。
と言うか、私は合成の公式や和積の公式は、都度、加法定理から作っています。
(覚えなくて済むので)

No.65239 - 2020/05/13(Wed) 08:54:47
何度もすみません… / うい
-1≦sin(θ+Π/4)≦1
は、単位円一周分だから こういう範囲になるということですか?

No.65231 - 2020/05/13(Wed) 06:57:24

Re: 何度もすみません… / らすかる
この問題ではたまたま一周分ですが、一周分でなくても-1〜1になり得ます。
θ+π/4のとる値にπ/2+2nπ(1になる値)と(3/2)π+2nπ(-1になる値)が含まれていれば-1〜1です。
もちろん一周分ならばπ/2+2nπと(3/2)π+2nπが含まれていますので-1〜1になります。

No.65232 - 2020/05/13(Wed) 07:22:44

Re: 何度もすみません… / うい
理解できました!
ありがとうございます

No.65233 - 2020/05/13(Wed) 08:20:38
(No Subject) / 神谷勝
中学範囲の問題です。模範解答をお願いしたいのですがいいでしょうか?
No.65229 - 2020/05/13(Wed) 02:40:10
ルート(平方根)の問題が解けません。 / 田中隆
添付写真の下の方に写っております、
□×□ = 1.21 × 1.69が
1.43という答えになる計算の方法を教えていただけると幸いです。

※算数・数学がかなり苦手な者です。
宜しくお願い致します。

No.65224 - 2020/05/12(Tue) 23:01:07

Re: ルート(平方根)の問題が解けません。 / ヨッシー
1.21=1.1×1.1
1.69=1.3×1.3
なので、
 1.21×1.69=1.1×1.1×1.3×1.3
   =(1.1×1.3)×(1.1×1.3)
   =1.43×1.43

No.65225 - 2020/05/12(Tue) 23:17:56
(No Subject) / int
x^2 - 4 x y - 16 y^2 - 4 y - k = 0 が 2 直線に 分解するよう kを定め;x^2 - 4 x y - 16 y^2 - 4 y - kを一次式の積表示願います;x^2 - 4 x y - 16 y^2 - 4 y = 0 の整数解は無限にあることの表示を願います;
[[また このような 問題を解析している書籍を御教示願います]]

No.65222 - 2020/05/12(Tue) 22:22:16
(No Subject) / 開成高校4年
部分分数分解のときこの問題で言ったら2k−1と2k+1をどっちを前持ってくればいいかとかルールというかなんか決まりあるのですか?いつも悩んでしまいます。
No.65216 - 2020/05/12(Tue) 20:13:57

Re: / ヨッシー
普通は分母の小さいほうを前に持ってきますが、
逆になったとしても、
 1/(2k-1)−1/(2k+1)

 −1/(2k+1)+1/(2k-1)
になるだけで、結果は同じです。
 

No.65218 - 2020/05/12(Tue) 20:21:57

Re: / 開成高校4年
ありがとうございます!
No.65219 - 2020/05/12(Tue) 20:33:36
(No Subject) / int
1151 x^2+7310 x y+1040 x+9455 y^2+2960 y+160=0の整数解を全て求めて!
(導出法をも記して)

No.65215 - 2020/05/12(Tue) 19:18:50
積分 / 豆田
画像の下線部について
(x)´f(x)としているのですが、どのようなときにこのように(x)´を掛けるのか目安がありましたら教えてください。

No.65213 - 2020/05/12(Tue) 19:11:16

Re: 積分 / ヨッシー
部分積分
 ∫g'(x)f(x)dx=g(x)f(x)−∫g(x)f'(x)dx
を使うために、左辺の g' に当たるものをなんとか作り出したいわけです。
そこで、f(x)=1×f(x) なので、微分して 1 になる関数として、
 g(x)=x
を使うわけです。

No.65214 - 2020/05/12(Tue) 19:18:24
面積の最小値 / su
楕円面 ;x^2/6^2 + y^2/9^2 + z^2 =1 の第一象限の点Pに於いて接平面を作り,x軸,y軸,z軸と交わる点をA,B,Cとする。三角形ABCの面積の最小値を求めよ。
またこのときの点P の座標を求めよ。 以上をお願いします;

No.65212 - 2020/05/12(Tue) 18:43:08
(No Subject) / はん
1/2log3√2-3/2log3∛12+log3√8
の計算方法及び答えがわかりません。教えて下さると嬉しいです。

No.65208 - 2020/05/12(Tue) 16:29:00

Re: / らすかる
問題が
(1/2)log[3]√2-(3/2)log[3](12^(1/3))+log[3]√8
ならば
(1/2)log[3]√2-(3/2)log[3](12^(1/3))+log[3]√8
=(1/2)(1/2)log[3]2-(3/2)(1/3)log[3]12+(1/2)log[3]8
=(1/4)log[3]2-(1/2)log[3](2^2・3)+(1/2)log[3]2^3
=(1/4)log[3]2-(1/2)log[3]2^2-(1/2)log[3]3+(1/2)log[3]2^3
=(1/4)log[3]2-(1/2)・2log[3]2-(1/2)log[3]3+(1/2)・3log[3]2
=(1/4)log[3]2-log[3]2-1/2+(3/2)log[3]2
=(3/4)log[3]2-1/2

No.65210 - 2020/05/12(Tue) 16:38:12

Re: / はん
ありがとうございました!
No.65243 - 2020/05/13(Wed) 11:51:32
解析 / キュリオシティ
連立方程式
◦e^x・y^3=1
◦x+2logy=e^x・y^3
の(x,y)の解が出ません。
宜しくお願い致します

No.65207 - 2020/05/12(Tue) 16:27:54

Re: 解析 / らすかる
e^x・y^3=1 から
y^3=e^(-x)
3logy=-x
logy=-x/3
これを第2式に代入して
x+2logy=x-2x/3=e^x・y^3=1
∴x=3
y^3=e^(-x)=e^(-3)からy=1/e
従って
(x,y)=(3,1/e)

No.65209 - 2020/05/12(Tue) 16:33:58
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