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記事No.1597に関するスレッドです
★ (No Subject) / hPa [高校2年生]
こんばんは。
空間図形の問題でどうしても分からないのがあるので教えて下さい。

立方体ABCD-EFGHにおいて、辺AB,BF,FG,GH,HD,DAの中点をそれぞれL,M,N,P,Q,Rとするとき、六角形LMNPQRは正六角形であることを証明せよ。

[回答]
立方体の1辺の長さを2aとすると、
LM＝MN＝NP＝PQ＝QR＝RL＝(√2)a
また、辺BC,CDの中点をそれぞれS,TとするとRL//TS、更に平面ABCDと平面EFGHは平行であるからTS//PN
よってRL//PN
したがって、平行な2線分RL、PNは1つの平面を決定する。同様にRQ//MN、PQ//MLから、PQ,MN,RLは1つの平面を決定し、L,M,N,P,Q,Rは同じ平面上にある。よって六角形LMNPQRは正六角形である。

とあるのですが、どうしてこの証明でいいのでしょうか？まず、6点L〜Rを取った時点で、これらが1平面上にあるとは限りませんよね？まず、RLPNが同一平面(αとする)上にあることを証明していますよね？同様にして、LMPQも同一平面(βとする)上に、MNQRも同一平面(γとする)上にあることを証明しています。この場合、平面αとβはともに2点LPを通ることも可能ですよね(αとβの交わる部分が直線LPをなす時)？更に、このとき4点MNQRを含む平面γが存在します(正八面体のように)。

どうしてこの証明で6点が1平面上にあることがいえるのでしょうか？ご教授お願いします。
No.1580 - 2008/11/16(Sun) 23:30:36
☆ Re: / hPa [高校１年生]
少し、不足がありました。

平面は2点だけでは確定しないので、平面αとβが一致しなくても、2点L、Pを同時にとおることは可能です。更に、正八面体のように平面αとβが一致しなくても、残りの4点を同時に通る平面が存在するのですが…ということです。
No.1581 - 2008/11/16(Sun) 23:34:07
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
河童皿回し中
No.1586 - 2008/11/18(Tue) 00:14:25
☆ こんばんは / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
hPaさん、こんばんは。河童です。

どんな風に回答しようか迷ったのですが、
ここはひとつ、わたしが言うとおりに、紙の上に描きながら読んでいただけますか。
その前に、立方体の見取り図を描いておけば、なおいいですね。

さて、それではまず、横長の長方形を描いてください。
正確に描くには、横を縦の √3 倍に描くのですが、まあ適当に、横長の長方形を。
その長方形に、左上から反時計回りに、ＬＭＰＱ と命名しましょう。

立方体の中に、この長方形（平行四辺形）ＬＭＰＱ がとれるのはいいですね？

次に、対角線 ＱＭ を引いてください。

さて、次がちょっと難しいのですが（ほんとは簡単＾＾）、
先程の対角線 ＱＭ を対角線に持つ、長方形 ＲＭＮＱ を描きます。
ほんとは簡単＾＾と書いたのは、正六角形ができることが分かっているからなんですが、
ともかく、Ｒ と Ｎ の位置は、最初の長方形 ＬＭＰＱ の上下に位置しますね。
ここまでは描けましたか？

この時点では、２つの長方形が、対角線 ＱＭ によってつながっている図ができているはずです。

hPaさんの考えでは、例えばこの図を切り抜いて、
２点 Ｍ、Ｑ を親指と人差し指で支え、点 Ｒ のあたりに息をふうっと吹きかければ、
長方形 ＲＭＮＱ が、ＭＱ を軸にしてクルクル回りそうだ、というわけですね。
さあ、果たしてそうでしょうか。

では、次に、今度は色を変えて、赤かなにかで、長方形 ＲＬＮＰ を作ってください。
そして、対角線 ＬＰ を引きましょう。
この長方形も、立方体の中にとれることは認めますね？

ただ、もしかしたら、hPaさんの考えのように、この赤い長方形は、
いま使っている紙の上にはなく、実際には、宙に浮いているかも知れません。
しかしながら、少なくとも対角線 ＬＰ は、同じ紙の上にありますよね。
だって、対角線 ＬＰ は、最初の長方形 ＬＭＰＱ の対角線でもあるのですから。

さあ、クライマックスです。

Ｒ と Ｎ に注目してください。
Ｒ も Ｎ も、直線 ＭＱ と同じ平面上にありますね。
Ｒ も Ｎ も、ＭＱ を対角線にもつ長方形の頂点なんですから。

同じく、Ｒ と Ｎ は、直線 ＬＰ と同じ平面上にありますね。
Ｒ も Ｎ も、ＬＰ を対角線にもつ長方形の頂点なんですから。

ということは、Ｒ も Ｎ も、直線 ＭＱ と 直線 ＬＰ の両方と同じ平面上に同居している。
つまり、Ｒ も Ｎ も、もっと言えば、６つの点すべてが、長方形 ＬＭＰＱ の作る平面、
すなわち、いまhPaさんが使っていらっしゃる紙の上に乗っている。
ということに他ならないですよね。


ふう〜っ、長かったあ＾＾
hPaさん、疲れましたね＾＾
どうです？
分かりましたか？

No.1589 - 2008/11/18(Tue) 01:04:05
☆ Re: / hPa [高校１年生]
こんばんは。回答ありがとうございます^^お忙しいなか付き合っていただいてありがとございます。

指示通り図を描いて考えてみましたが、どうしても
「・・・ということは、RもNも、直線MQと・・・同居している」
というのが理解できません。

2点R、Nは長方形MNQRにあるので、線分MQの平面にあること、
また同時に長方形LNPR上にあるので、線分LPの平面にあること
は分かりました。

長方形LMNQを高さ0mの地面として、
Nが地下に、Rが空中の位置関係にあるとしても、
このようなことはやはり起こりうると思うのですが…
また、指示通りに描いた図はやはり八面体にも見える気がします…
何か条件を取りこぼしているのでしょうか？
No.1594 - 2008/11/18(Tue) 19:33:19
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
hPa さん、こんばんは。

２つの線分 ＭＱ と ＬＰ は交わっていますので、ひとつの平面を決定します。
その平面というのが図を描いた紙そのものです。
それはいいですね？

他の言い方をすれば、この２つの線分は、

『 この平面以外の平面上にはない 』

ということですね。

ところが、その平面上に、２点 Ｒ、Ｎ はあるのです。

これで分かりますか？


下の画像をクリックしてみてください。
部屋の隅に立方体が置かれ、それを壁に立てかけた三角形が横切っている図です。
これを見れば、正六角形が出来る様子が分かると思います。
No.1597 - 2008/11/18(Tue) 23:06:46