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記事No.1753に関するスレッドです
★ 確率 / みゆう ♀ [近畿] [その他]
はじめまして。学生の頃苦手だった数学を独学し直している者です。
１人だと、理解に苦しむ問題がどうしても出てきてしまって困っているところに、このサイトを見つけて思い切って投稿してみました。
よろしくお願いします。早速ですが、問題は…

ｎを正の整数とする。ｎ枚の硬貨を同時に投げて表の出たものを取り去り、次に、硬貨が残っていればそれらを同時に投げて
表の出たものを取り去ることにする。
（１）全部なくなる確率を求めよ。

というものなんですが、うんうん唸って考えた挙句、どうしてもわからなかったので解答を見たのですが、
その考え方がいまいち理解できませんでした。
私は、具体的な数字じゃなく文字で出てくる問題がどうも苦手で、どこから手をつけたらよいかいつも悩みます。
で、お聞きしたいのは、この問題はどこに着眼点を置いて問題を解き始めていけばいいのかヒントをいただけないでしょうか。
No.1722 - 2008/12/13(Sat) 17:19:05
☆ Re: 確率 / londontraffic [教育関係者]
みゆうさん，こんばんは．
独学は辛いですよね．特に苦手だったというお話なので尚更です．
少しでもお手伝いできたらと思います．

さて，いきましょう．
>その考え方がいまいち理解できませんでした。
んー，残念ながらその「いまいち」が私には理解できないのですよ．
具体的に○○がと言ってくれると有り難いです．
>私は、具体的な数字じゃなく文字で出てくる問題がどうも苦手で、どこから手をつけたらよいかいつも悩みます。
これはみゆうさんに限ったことではなくて，私も含め，多くの人が苦手にしています．
ですから，そんなに凹むことはないですよ．

まあそんなことばかり言っていても始まらないので・・・・

最初はn=2で考えてみましょう．
初めに表が出るのは，
1)2枚　2)1枚　3)0枚
の場合です．
1)のとき，初めに２枚表となるのは(1/2)^2であり，もう残っていませんので，確率は1/4
2)のとき，初めに１枚表となるのは2C1(1/2)^1･(1/2)^1で1/2．次は残り１枚が表となるので，1/2
ゆえに，1/2･1/2=1/4となります．
3)のとき，初めは２枚とも裏なので(1/2)^2であり，次は２枚とも表で(1/2)^2
ゆえに(1/2)^2･(1/2)^2=1/16
1)〜3)より1/4+1/4+1/16=9/16が解になります．

これと同様にn=3をやってみてください．できてもできなくてもレスください．待っています(^_^)
No.1723 - 2008/12/13(Sat) 18:14:22
☆ Re: 確率 / みゆう ♀ [近畿] [その他]
はじめまして、londontraffic先生。早速のご返事ありがとうございます。

>>その考え方がいまいち理解できませんでした。
>んー，残念ながらその「いまいち」が私には理解できないのですよ．
具体的に○○がと言ってくれると有り難いです．

この掲示板を通じて自分に合った解法を見つけ出せたらなぁと思いまして、あえて載せませんでした。すいません(><)
えぇと、一応書いておくと…
「ｎ枚のコインを１,２,３，…，ｎと区別をつけ、１枚のコインを続けて２回投げることを１，２，…，ｎの順に行う，と考える。」
という考え方です。区別をつけるまではいいのですが、その後がどうも。。。

>これと同様にn=3をやってみてください．できてもできなくてもレスください．待っています(^_^)

はい！ここに式を書いてもいいですか？と言いつつ書いていますが(^^;
うえの通りにやってみました。

初めに表が出るのは、
1)3枚 2)2枚 3)1枚 4)0枚
1)のとき，(1/2)^3=1/8
2)のとき，3C2(1/2)^2(1/2)･1/2=3/16
3)のとき，3C1(1/2)(1/2)^2･(1/2)^2=3/32
4)のとき，(1/2)^3･(1/2)^3=1/64
1)〜4)より，27/64　となりました！（説明を省いてしまいました。）

解いてみて、少し規則性が見えてきましたが、やはり次へのもっていきかたが分かりませんでした。
答えが、(3/4)^2と、(3/4)^3ということは分かったのですが、
n=2とn=3の場合を書いて、(3/4)^nが答えだ、と解答に書いたらダメですよね…？
No.1724 - 2008/12/13(Sat) 20:10:59
☆ Re: 確率 / londontraffic [教育関係者]
レスありがとうございます．
まず
>「ｎ枚のコインを１,２,３，…，ｎと区別をつけ、１枚のコインを続けて２回投げることを１，２，…，ｎの順に行う，と考える。」
のことです．

これは「n枚のコインを投げる」ときに起こる事象と「１枚のコインをn回投げる」ときに起こる事象を同じように扱うことができるという説明です．
例えば，「３枚のコインを投げるときに２枚表が出る確率」と「１枚のコインを３回投げるときに２回表が出る確率」が同じになるということです．
私はこの事実を認めますのでどちらの確率も3C2(1/2)^2･(1/2)^1=3/8と計算しますが，みゆうさんはいかがですか？

では次です．
>1)〜4)より，27/64　となりました！（説明を省いてしまいました。）
私もそうなりました(^_^)
>答えが、(3/4)^2と、(3/4)^3ということは分かったのですが、
>n=2とn=3の場合を書いて、(3/4)^nが答えだ、と解答に書いたらダメですよね…？
そうですね．２個だけ調べてそれを事実とするのは説得力が無いです．
数学的帰納法を使って証明すればokですが，残念ながら「できますね」と今私は即答できません．

さて，今回実際に手を動かしてn=2や3での確率を求めたり，推測してみたことがかなり重要になります．それは自分の出した結果（nでやってみたときの結果）が正しいかどうかを判定できるからです．
そしてもう一つ重要なこと．それは，n=3でみゆうさんが答えを出せたということは，みゆうさんはnのままで計算できる可能性があるということです．

では，nのままでやってみましょう．
最初にn枚のうち，m枚が表になる確率はnCm(1/2)^m･(1/2)^{n-m}=nCm(1/2)^nになります．表が出たm枚を除いて残ったn-m枚が次に全て表になる確率は(1/2)^{n-m}ですから，
最初にm枚表がでて，２回目に残りのn-m枚全て表がでるの確率は nCm(1/2)^n×(1/2)^{n-m}
これはm=0でもm=nでも成り立ちます．

ここまでどうですか？
No.1725 - 2008/12/13(Sat) 21:46:08
☆ Re: 確率 / みゆう ♀ [近畿] [その他]
>これは「n枚のコインを投げる」ときに起こる事象と「１枚のコインをn回投げる」ときに起こる事象を同じように扱うことができるという説明です．
>例えば，「３枚のコインを投げるときに２枚表が出る確率」と「１枚のコインを３回投げるときに２回表が出る確率」が同じになるということです．
>私はこの事実を認めますのでどちらの確率も3C2(1/2)^2･(1/2)^1=3/8と計算しますが，みゆうさんはいかがですか？

なんとなく判るような気がするのですが、
『１枚のコインを３回投げる場合』を考えた時、１回目が「表」だったら、そこで試行が終わってしまうと私は考えてしまい、『１枚のコインを３回投げる時「２回表」が出る』事象が思いつきませんでした（; ;）

>では，nのままでやってみましょう．
>最初にn枚のうち，m枚が表になる確率はnCm(1/2)^m･(1/2)^{n-m}=nCm(1/2)^nになります．表が出たm枚を除いて残ったn-m枚が次に全て表になる確率は(1/2)^{n-m}ですから，
>最初にm枚表がでて，２回目に残りのn-m枚全て表がでるの確率は nCm(1/2)^n×(1/2)^{n-m}
>これはm=0でもm=nでも成り立ちます．

なるほど！表がn回出たら、(1/2)^nとなり、表が0回だったら、(1/2)^2nとなり、
さっき実際の数字を入れた式と同じになるのですね！
ここまで、分かりました♪ここから先、自分で色々考えてみたのですけど、
nCmをどのように処理すればいいのでしょうか…？分からないことばかりですみません。
No.1726 - 2008/12/13(Sat) 23:30:36
☆ Re: 確率 / londontraffic [教育関係者]
>なんとなく判るような気がするのですが、
私の言葉が足らなかったようです．
・同じ試行を繰り返す「反復試行」の確率nCr･p^{n-r}･(1-p)^rが，コインを○回投げるでも使えます
ということが書いてあるのですよ．

さて本題．ここからですが他の方法があるのかもしれません（お手元の解答が別のものであれば，次のレスでカキコをしていただきたいです）が，私が思いついたのは「二項定理」を利用する方法です．
みゆうさんは学生生活から間があるようなので，確認のために二項定理を書いておきますね．
二項定理 (a+b)^n=nC0a^n+nC1a^{n-1}b^1+nC2a^{n-2}b^2+・・・+nC{n-1}a^1b^{n-1}+nCnb^n
これをΣを用いて表すと，(a+b)^n=sum_{k=0}^n nCka^{n-k}b^k ・・・（あ）となります．

>最初にm枚表がでて，２回目に残りのn-m枚全て表がでるの確率は nCm(1/2)^n×(1/2)^{n-m}
これは全部のサイコロがなくなる場合の「全て」ではなくて，「最初にm個除かれる場合」の確率でしかありません．では全ての場合はどうすれば良いかというと，mに0,1,2,・・・,nを代入したものを加えてあげればよいのです（みゆうさんは，n=3のとき，1)3枚 2)2枚 3)1枚 4)0枚として加えましたよね）．
その和をpとすると，p=sum_{m=0}^n nCm(1/2)^n×(1/2)^{n-m}．nはmに無関係なので，
p=(1/2)^nsum_{m=0}^n nCm(1/2)^{n-m}
と変形できます．ここで二項定理の登場です．（あ）において，k=m，a=1，b=1/2としたものが，上の赤の部分と一致しますよね．ですから，代入すれば
p=(1/2)^n(1+(1/2))^n=(1/2)^n･(3/2)^n=(3/4)^n
となり，解が求められます．

長くなりましたが，いかがですか？
No.1728 - 2008/12/14(Sun) 07:46:03
☆ Re: 確率 / みゆう ♀ [近畿] [その他]
返信がすっかり遅くなってすみません！今日はなかなかパソコンへ向かう時間がなかったもので（汗）

>同じ試行を繰り返す「反復試行」の確率nCr･p^{n-r}･(1-p)^rが，コインを○回投げるでも使えます
>ということが書いてあるのですよ．

そうだったのですか！「反復試行」だったんですね。
手元の解答が別のものなので、続きを書きます。

ｎ枚のコインを１，２，…，ｎとおき、１枚のコインを続けて２回投げることを１，２，…，ｎの順に行う、と考える。
１枚のコインを２回投げた時、そのコインがなくならない確率は　1/2･1/2=1/4 ……?@
また、１枚のコインがなくなるためには少なくとも１回表が出ればいいので、
１枚のコインを２回投げた時、そのコインがなくなる確率は?@より　1-1/4=3/4 ……?A
よって、２回投げた時に全てのコインがなくなるためには１，２，…，ｎのすべてについて?Aが起こればいいので　3/4･3/4･…･3/4=(3/4)^n

でした。「少なくとも１回表になる確率3/4」ということは「反復試行」だと知って分かったのですが、
その後、（表、裏）（裏、表）（裏、裏）の「裏」で残ったコインの処理はこの場合どうなっているのでしょうか…？

>長くなりましたが，いかがですか？

やっと、すっきり理解できましたぁ〜!!!（●＾Ｕ＾●）
でも、この問題は私にはまだハードルが高かったように思います。
知らないことが多すぎました（＾＾；
しかし！londontraffic先生と一緒にこの問題を考えられて（結局、最後まで先生に解いてもらう格好になってしまいましたが…）
今まで、この問題のように、文字を数字のように考えて解く問題を分かった振りをして逃げていましたので、
今回長い時間をかけましたが、幾たびも頭がショートしてしまいながらも（笑）問題と真剣に向き合えた気がします。
これからも、このような問題を嫌がらずにいっぱい解いて自分のものにしたいです。
No.1745 - 2008/12/14(Sun) 23:57:28
☆ Re: 確率 / londontraffic [教育関係者]
お手元の解答の方が簡単でいいですね．勉強になりました（涙）
まあ，とりあえず理解していただいてよかったです(*^_^*)

>その後、（表、裏）（裏、表）（裏、裏）の「裏」で残ったコインの処理はこの場合どうなっているのでしょうか…？
おそらくみゆうさん，勘違いされているのでしょう．
（表、表）（表、裏）・・・最初に表がでるので，１回目で取り除かれる
（裏、表）・・・初めて表がでるのが２回目なので，２回目に取り除かれる
（裏、裏）・・・取り除かれない
になっています．どうでしょう？
No.1750 - 2008/12/15(Mon) 07:19:30
☆ Re: 確率 / みゆう ♀ [近畿] [その他]
>お手元の解答の方が簡単でいいですね．勉強になりました（涙）
>まあ，とりあえず理解していただいてよかったです(*^_^*)

いえいえ。こういう発想が出てこない時はどうしても地道にやっていくしかないので、
別の解答も知ることができて良かったです。あいまいだった二項定理の記憶もだいぶ固まってきました。

>（表、表）（表、裏）・・・最初に表がでるので，１回目で取り除かれる
>（裏、表）・・・初めて表がでるのが２回目なので，２回目に取り除かれる
>（裏、裏）・・・取り除かれない
>になっています．どうでしょう？

（表、裏）も一回目で取り除かれるのかぁ…（＠0＠）！
だから、コインがなくなるのは四通り中三通りあるんですね。
でも、やっぱりどうしても一回目に表が出たのに、なぜ二回目に裏が出ることを考えなきゃいけないか
スッキリとしないこの私の頭は、固すぎますよね（；；）考えたのですけど…
「コインがなくなるためには、1)一回目に表が出る確率が、1/2
2)一回目に裏が出て、二回目に表が出る確率が、1/2･1/2=1/4
２つを足して、3/4」でも、同じことですか？
No.1751 - 2008/12/15(Mon) 17:04:27
☆ Re: 確率 / londontraffic [教育関係者]
>でも、やっぱりどうしても一回目に表が出たのに、なぜ二回目に裏が出ることを考えなきゃいけないか
（表、表）は気にならないですか？

>「コインがなくなるためには、1)一回目に表が出る確率が、1/2
>2)一回目に裏が出て、二回目に表が出る確率が、1/2･1/2=1/4
>２つを足して、3/4」でも、同じことですか？
はい．同じ事なのでokです．この発想が出てくるので，みゆうさんは頭が固いのではないですよ．おそらく経験が足りないのです．

みゆうさんは，１回目に表が出たとき２回目を考えていないですよね．
２回目を考慮すると１回目に表が出るのは（表、表）、（表、裏）の場合で1/4+1/4=1/2になり，みゆうさんが出した２回目を考えないものと同じになります．

納得できますか？
No.1753 - 2008/12/15(Mon) 18:56:03
☆ Re: 確率 / みゆう ♀ [近畿] [その他]
こんにちは。

>（表、表）は気にならないですか？

そうでした。こちらも気になっていました。

>納得できますか？

おぉーー！はい！納得できますっ（o’□’o)!!
私の考える「表1/2」には、結果的に２回目の表1/4、裏1/4が含まれている、というか、
その２つをあわして「表1/2」という数字があるのですね！

ここまで、本当にありがとうございましたm(_ _)m m(_ _)m
学生の頃からなんやかんやと細かいことまで疑問を抱き、
自分で「こうだから、こうなんだ」と無理やり解釈したり、暗記しているところがありましたが、
こんなに最後まで、とことん疑問を聞いてくれたのは初めてかもしれません。
これからもお世話になると思いますが、どうぞよろしくお願いします。
No.1760 - 2008/12/16(Tue) 17:09:24