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記事No.1794に関するスレッドです
★ 積分の場合分けの必要性 / てつ ♂ [関東] [浪人生]
こんばんは！浪人生のてつですお久しぶりです。

今日は青学の過去問を解いていたのですが
添付ファイルの問題で（１）において
０〜ｘまでの範囲を微分するときにaの値も定まってないから

０≦ｘ≦a
a≦x≦2a
2a≦xのように場合わけしないといけないかな、いや平気かな、、みたいに自信がもてませんでした。

でも結局は３x^２を積分しろといわれたらx^3＋Ｃと特に範囲に関係なくするのでそのままやったのですが

面積かなにかの問題で図を描いたときにｘ軸をまたぐ場合とまたがない場合のように場合わけした記憶があるのですが今回はなんでそのままでよかったのでしょうか？
No.1794 - 2008/12/25(Thu) 17:35:32
☆ Re: 積分の場合分けの必要性 / londontraffic [教育関係者]
てつさん，こんばんは．

>面積かなにかの問題で図を描いたときにｘ軸をまたぐ場合とまたがない場合のように場合わけした記憶があるのですが
そうですね．例えば
・y=(x-a)(x-1)とx軸とで囲まれる部分の面積を求めよ
・int_0^2|(x-1)(x-a)|dxを求めよ
など，面積や絶対値の問題に定数がある場合は，場合分けをすることが多いですね．

定数があるときに
>場合わけしないといけないかな、いや平気かな、、
みたいに警戒するのは必要です．
上の赤い部分で示したように，面積や絶対値がくる場合は　超警戒　です．
また，面積や絶対値でなくとも　int_0^a (x-1) dx （ただしa>0）　なんていうのも場合分けが必要です．

しかし今回は場合分けは要らないです．ではどうやったら場合分け「する」・「しない」を判断できるか．
それはてつさんが書いた
>ｘ軸をまたぐ場合とまたがない場合
が鍵になっているのです．
「面積」・・・上から下を引く原則（「２つの関数の差f(x)-g(x)の正負」＝「f(x)-g(x)<0ならg(x)-f(x)にして積分」）により場合分け
「絶対値」・・・常に正にするため（常にx軸上もしくはそれより上）に場合分け
「積分区間」・・・区間によってはx軸の下になっているものを上にするために場合分け

今回は上のどの場合にも当てはまりません．というか
d/dx(int_0^xf(t)dt)=f(x)
は何人たりとも認めざるを得ない事実です．

いかがでしょう？
No.1798 - 2008/12/26(Fri) 19:52:35
☆ Re: 積分の場合分けの必要性 / てつ ♂ [関東] [高校１年生]
londontrafficさんこんばんは。よろしくお願いします。
なんとなく分かりますし、授業でもやったるのですが
今回は積分区間ではないのですか??０からＸまで積分するんですよね？

なんだか積分区間と、そして積分区間と面積の違いがこんがらがってきました。
積分区間というのは今回のようにある区間からある区間までとにかくそのまま計算する。
面積というのは上と下が変わるときなどはその点を境に複数回積分する。だから今回のもんだいでももし面積を求めろという問題だたとしたら、場合わけが必要になってくる。

ここまででなにかおかしいことはありますか？
No.1820 - 2008/12/29(Mon) 20:54:02
☆ Re: 積分の場合分けの必要性 / てつ ♂ [関東] [浪人生]
すみません。間違えて投稿するを押してしまったため中途半端なものが投稿されてしまいました；

londontrafficさんこんばんは。よろしくお願いします。
なんとなく分かりますし、授業でもやったのですが、このなんとなくということがまさに当てはまるかのように確信がもててないです。

今回は積分区間ではないのですか??０からＸまで積分するんですよね？

なんだか積分区間と、そして積分区間と面積の違いがこんがらがってきました。
積分区間というのは今回のようにある区間からある区間までとにかくそのまま計算する。
面積というのは上と下が変わるときなどはその点を境に複数回積分する。だから今回のもんだいでももし面積を求めろという問題だたとしたら、場合わけが必要になってくる。

ここまででなにかおかしいことはありますか？またそもそも積分ってなんのためにあるんでしょうか？面積を求められるのは画期的だとおもいますが、積分区間で計算した場合なんか利点はあるのでしょうか？
No.1821 - 2008/12/29(Mon) 20:58:10
☆ Re: 積分の場合分けの必要性 / londontraffic [教育関係者]
んー，私の表現の仕方が良くなかったようですね．
私が「積分区間」としたのは，積分区間に定数が入っているものです．

例えば int_{-1}^1 (-x)dx を計算すると0になりますよね．
下に図を入れましたが，関数 y=-x（-1≦x≦1）と直線x=-1，x=1，y軸で囲まれる部分の面積を求めるなら
int_{-1}^1 (-x)dx ではなくて，int_{-1}^1｜-x｜dx を計算しますよね．

今回はx軸の上下は関係ありません．定数aを含んでいますが，上で挙げたint_{-1}^1 (-x)dxと同じように上下関係なく積分すればいいのです．
No.1823 - 2008/12/29(Mon) 21:37:25