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記事No.1941に関するスレッドです
★ 二次関数について / ベン [社会人]
はじめまして。
二次関数の最大値、最小値の問題をしているのですが、すごく初歩的な質問をさせてください。
例えば、０≦Ｘ≦Ａにおける関数Ｙ＝−Ｘ＾２＋４Ｘ＋１の最小値を求めよ。
という問題で、参考書では場合わけを
１．０＜Ａ＜４のとき
２．Ａ＝４のとき
３．４＜Ａのとき

としています。
また、この最大値を求める場合は
１．０＜Ａ＜２のとき
２．２≦Ａのとき

としています。

インターネット等をみていると、５つに場合わけをしているものもありますが、
必ずしもこの分け方でしなければいけないのでしょうか？

よろしくお願いいたします。
No.1932 - 2009/01/16(Fri) 01:09:18
☆ Re: 二次関数について / londontraffic [教育関係者]
ベンさん，こんばんは．

>必ずしもこの分け方でしなければいけないのでしょうか？
私にとって，この文から考えられるものが２通りあります．以下の２つのうちどちらでしょうか．
１．A=2と4ではないところで，場合分けをする
２．A=2と4が場合分けの切れ目になるが，３個と２個や５個ではなくて
　　　0 < A ≦ 2, 2 ≦ A ≦ 4,4 ≦ A の ３個（など）で場合分けをする
レスお願いいたします<(_ _)>
No.1934 - 2009/01/16(Fri) 18:07:28
☆ (No Subject) / ベン [社会人]
頂点が２になるので、４で考えるというのはわかるのですが、
2番の場合わけの条件が理解できません・・。

よろしくお願いします。
No.1936 - 2009/01/16(Fri) 18:46:08
☆ Re: 二次関数について / londontraffic [教育関係者]
レスありがとうございます．
>頂点が２になるので、４で考えるというのはわかるのですが、
では，２も場合分けの切れ目になるということを考えてみます．
下の図をご覧になりながらでお願いします．

まず，放物線y=-x^2+4x+1はベンさんの仰るとおり，点(2,5)を頂点とする上に凸の放物線です（図１）．
A<2のとき定義域に頂点は含まず，x=Aで最大値-A^2+2A+1をとります（図２）・・・（あ）
また2<Aのとき，定義域内に頂点を含みます．ゆえに，頂点のところで関数は最大となるので，x=2で最大値5をとります（図３）・・・（い）
（あ）と（い）で最大値をとるxの値がそれぞれAと２です．その境目はA=2でありこの２で場合分けをすれば，最大値を求めることができます．

いかがですか？
No.1941 - 2009/01/16(Fri) 21:21:07
☆ ありがとうございます / ベン [社会人]
ちょっと細かいことを聞いてもよろしいですか！？

この問題は、場合わけをするとき、１に、０＜Ａ＜４となっています。

同じような問題で、
０≦Ｘ≦Ａにおける関数Ｙ＝Ｘ＾２−４Ｘ＋５の最大値を求めよ。とあります。

これの答えは、
０≦Ａ＜４のとき
Ａ＝４のとき
４＜Ａのとき
となっています。
一番目の０≦Ａ＜４は、なぜ０≦Ａなのでしょうか？０＜Ａではおかしいのでしょうか？

すみませんが、教えていただけると助かります。
No.1944 - 2009/01/16(Fri) 22:39:28
☆ Re: 二次関数について / londontraffic [教育関係者]
２問ともA < 0では０≦Ｘ≦Ａが成り立たなくなるので，通常は問題文に「A > 0とする」と書いてあるハズです．
そのような記述があれば，A=0を含めません．

もし
・Aの条件の記述がない
のであれば厳密にやると
1) A < 0のときは，０≦Ｘ≦Ａが成り立たなくなるので不適
2)０≦Ａ＜４のとき・・・・・もしくは，2)A=0のとき・・・・・
としなくてはなりません．
・「A ≧ 0とする」と記述されている
のであれば，上の2)からスタートとなります．

ただしA=0であるとき，定義域は「x=0」であり，最大値・最小値は一致します．
余程シビアな状況でない限り，出題者は「A=0を含める・含めない」などという些末なことを問うているのではなく，場合分けの切れ目が理解できていて，しっかりと計算出来ているかを見たいのです．

いかがですか．
No.1949 - 2009/01/17(Sat) 06:15:33
☆ (No Subject) / ベン [社会人]
わかりやすい説明でずっと悩んでいたことが解決しました！！
ありがとうございます。

入試でもそんな厳密に採点はされないってことですよね。

1歩進めることができてうれしいです。ありがとうございました。
No.1960 - 2009/01/17(Sat) 18:37:45