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記事No.2116に関するスレッドです
★ シュワルツの不等式 / みゆう ♀ [近畿] [再受験生]
こんにちは。お願いします。
シュワルツの不等式で質問があるのですが、問題はニューアクションβの練習55です。

（問題）文字は全て実数とする時、シュワルツの不等式を用いて、次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つのはどういうときか。
（１）a^2+b^2+c^2=1, x^2+y^2+z^2=1のとき-1≦ax+by+cz≦1

シュワルツの不等式に代入して、
(ax+by+cz-1)(ax+by+cz+1)≦0より、-1≦ax+by+cz≦1
というところまで自分で解いたのですが、等号成立の条件を間違ってしまいました。
私は、「ax+by+cz=1または、ax+by+cz=-1のとき」とダメダメな答えを書いてしまいました。そこで、解答を見たのですが、

【等号が成り立つのは、x/a=y/b=z/cのとき
これをkとおくとx=ak,y=bk, z=ck。これらをax+by+cz=1に代入すると、k=1、ax+by+cz=-1に代入すると、k=-1。
よって、x=-a,y=-b,z=-cのとき、-1≦ax+by+cz≦1の不等式において左の等号が成り立ち、x=a,y=b,z=cのとき、右の等号が成り立つ。】

と書いてあり、なんとなくわかるのですが、これって必ずこのように調べなければならないのかなぁといまいち納得できずにいます。
シュワルツの不等式は、abcとxyzの文字が出てきますが、xyzを主体で考えているのですか？
No.2094 - 2009/01/29(Thu) 20:12:56
☆ Re: シュワルツの不等式 / 七 ♂ [近畿] [社会人]
みゆうさん，こんばんは。

> シュワルツの不等式は、abcとxyzの文字が出てきますが、xyzを主体で考えているのですか？

そういうわけではありません。

シュワルツの不等式の証明は覚えていますか？
普通に差を計算する方法と，ベクトルを用いる方法があるのですが…
No.2098 - 2009/01/29(Thu) 22:56:43
☆ Re: シュワルツの不等式 / みゆう ♀ [近畿] [再受験生]
七さん、はじめまして。宜しくお願いします。

>> シュワルツの不等式は、abcとxyzの文字が出てきますが、xyzを主体で考えているのですか？

>そういうわけではありません。

そうなのですか…。等号成立のx/a=y/b=z/cや、解答の「x=-a,y=-b,z=-cのとき」
と書いている点で、てっきりxyz中心なのかと思ったのです。
では、a/x=b/y=c/zのように、abcとxyzが逆でもいけるということですよね？

>シュワルツの不等式の証明は覚えていますか？

(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)≧(ax+by+cz)^2　や、
(a^2+b^2)(x^2+y^2)≧(ax+by)^2　ですよね（o'。'o)

>普通に差を計算する方法と，ベクトルを用いる方法があるのですが…

私の質問の場合は、普通に差を計算する方法のほうだと思います。
ベクトルでもシュワルツの不等式が使われるのですね（＞＜）！

えぇっと、教えていただきたいところがうやむやになってしまっていて申し訳ないのですが、
上の問題の等号成立の出し方のところをなぜこういう風に出さなくてはいけないのか教えていただけると嬉しいです。
No.2107 - 2009/01/30(Fri) 18:13:31
☆ Re: シュワルツの不等式 / 七 ♂ [近畿] [社会人]
誤解されているようです。
シュワルツの不等式
(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)≧(ax+by+cz)^2　や、
(a^2+b^2)(x^2+y^2)≧(ax+by)^2
を覚えているかではなく
証明を片方でもかまいませんからしてみてください。
No.2108 - 2009/01/30(Fri) 18:37:35
☆ Re: シュワルツの不等式 / みゆう ♀ [近畿] [再受験生]
こんにちは、七さん。
証明と書かれていましたね！ごめんなさい。

左辺ー右辺＝(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)-(ax+by+cz)^2
=ay^2+az^2+bx^2+bz^2+cx^2+cy^2-2abxy-2bcyz-2cazx
=(ay-bx)^2+(az-cx)^2+(bz-cy)^2≧0
したがって、(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)≧(ax+by+cz)^2
等号が成立するのは、ay=bx,az=cx,bz=cyすなわち、x/a=y/b=z/cのときである。

です！
No.2113 - 2009/01/31(Sat) 13:09:19
☆ Re: シュワルツの不等式 / 七 ♂ [近畿] [社会人]
> 左辺ー右辺＝(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)-(ax+by+cz)^2
> =ay^2+az^2+bx^2+bz^2+cx^2+cy^2-2abxy-2bcyz-2cazx
> =(ay-bx)^2+(az-cx)^2+(bz-cy)^2≧0
> したがって、(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)≧(ax+by+cz)^2
> 等号が成立するのは、ay=bx,az=cx,bz=cy のとき
その通りです。この最後の等号成立条件までがシュワルツの不等式です。
覚えておくならここまでを覚えておかなければなりません。

実をいうとこれはabc≠0(xyz≠0)という条件がなければ
> すなわち、x/a=y/b=z/cのときである。
とはなりません。
しかし x＝ak，y＝bk，z＝ck(または a＝xk，b＝yk，c＝zk) は成り立ちます。
No.2115 - 2009/01/31(Sat) 14:47:13
☆ Re: シュワルツの不等式 / 七 ♂ [近畿] [社会人]
最初の疑問は解けたと思いますが
再受験性ということなのでついでに
No.2116 - 2009/01/31(Sat) 15:19:44
☆ Re: シュワルツの不等式 / みゆう ♀ [近畿] [再受験生]
七さん、こんばんは。お返事ありがとうございます。

七さんには申し訳ないのですが、まだ疑問は解けていません（＞＜）

（問題）文字は全て実数とする時、シュワルツの不等式を用いて、次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つのはどういうときか。
（１）a^2+b^2+c^2=1, x^2+y^2+z^2=1のとき-1≦ax+by+cz≦1

シュワルツの不等式に代入して、（省略してます）
(ax+by+cz-1)(ax+by+cz+1)≦0より、-1≦ax+by+cz≦1

とここまで解いてから、等号成立がどういう時に成立するのかを解く時、
(ax+by+cz-1)(ax+by+cz+1)≦0　の式から、x/a=y/b=z/cを出したのではなく、
始めに、シュワルツの不等式を用い（てこの式が出てき）たから、等号成立がx/a=y/b=z/cとなるのでしょうか？
No.2117 - 2009/01/31(Sat) 20:39:43
☆ Re: シュワルツの不等式 / 七 ♂ [近畿] [社会人]
> (ax+by+cz-1)(ax+by+cz+1)≦0　の式から、x/a=y/b=z/cを出したのではなく、
> 始めに、シュワルツの不等式を用い（てこの式が出てき）たから、等号成立がx/a=y/b=z/cとなるのでしょうか？
ほぼその通りです。
「シュワルツの不等式」も 不等式 と 等号成立条件は セットです。
当然等号成立条件ay=bx,az=cx,bz=cyつまり，a：b：c＝x：y：z を使います。

x/a=y/b=z/c を使うのは減点対象になります。
No.2120 - 2009/02/01(Sun) 01:26:03
☆ Re: シュワルツの不等式 / みゆう ♀ [近畿] [再受験生]
七さん、こんばんは。

>x/a=y/b=z/c を使うのは減点対象になります。

ということですが、上の問題での解答は、abc≠0(xyz≠0)という条件がないけれど、なんの断りもなく等号成立をx/a=y/b=z/cとおき、x/a=y/b=z/c=kとおくと……と続けていますが、a：b：c＝x：y：z = k とおいたほうがよいということでしょうか？
No.2129 - 2009/02/01(Sun) 17:50:41
☆ Re: シュワルツの不等式 / 七 ♂ [近畿] [社会人]
その通りです。
0かも知れないものを何のためらいもなく分母にしてはいけません。
No.2130 - 2009/02/01(Sun) 20:26:20
☆ Re: シュワルツの不等式 / みゆう ♀ [近畿] [再受験生]
こんばんは、七さん。

>0かも知れないものを何のためらいもなく分母にしてはいけません。

はい、わかりました！！他の教科書でも当たり前のように、等号成立はx/a=y/b=z/c！なんて書いてありますが、暗記モンで終わらせるだけでなく、論理的にちゃんと教えて欲しいなぁと思いました。

長い間、質問を聞いていただきありがとうございますm(_ _)m
No.2138 - 2009/02/02(Mon) 22:43:11