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記事No.2183に関するスレッドです
★ 連続性 / ALIVE ♂ [関東] [高校2年生]
こんばんは。また久しぶりにこの掲示板を利用させていただきます。

【問題】
定義域を-1≦x≦2として関数h(x)=[x]の連続性について調べよ。ただし[]はガウス記号とする。

解説
-1≦x<0のときh(x)=-1,0≦x<1のときh(x)=0,1≦x<2のときh(x)=1,h(2)=2
よってlim[x→-0]h(x)=-1≠lim[x→+0]h(x)=0から極限値lim[x→0]h(x)は存在しない。
同様にlim[x→1]h(x)も存在しない。
またlim[x→2-0]h(x)=1≠h(2)=2
ゆえに区間[-1,0),[0,1),[1,2)で連続、x=0,1,2で不連続。

今回ガウス記号がはいっている連続性に関する問題はどれも解説をみてもよく理解できないので一番初めに出てきた問題を解きました。
この問題も
>よってlim[x→-0]h(x)=-1≠lim[x→+0]h(x)=0
の部分で左側極限と右側極限を考えている理由がよく分かりません。
その後も
>lim[x→2-0]h(x)=1≠h(2)=2
と片側極限を考える必要があるのかな？と思いました。
これも基本は「不連続のときlim[x→a]f(x)≠f(a)」ということなんですよね…？

正直混乱していて疑問点がこの文で伝わっているのかが不安ですがよろしくお願いします。
No.2182 - 2009/02/11(Wed) 02:17:17
☆ Re: 連続性 / londontraffic [教育関係者]
ALIVEさん，おはようございます．夜遅くまで頑張ってますね．

まず，連続の定義を確認しましょう．

関数f(x)がx=aで連続であるとは
1.f(a)=αとなる有限な値αが存在する．
2.lim_{x to a}f(x)=βとなる有限な値βが存在する．
3.α=βである
の３つの条件全てを満たすとき．
なお２は
(1)lim_{x to a+0}f(x)=β
(2)lim_{x to a-0}f(x)=β
【右極限と左極限が一致】を満たしている状態．

この右極限・左極限を考えることによって，閉区間の端点における連続性も定義されます．

>この問題も
>>よってlim[x→-0]h(x)=-1≠lim[x→+0]h(x)=0
>の部分で左側極限と右側極限を考えている理由がよく分かりません。
まず（定数関数を含む）整関数は任意の区間で連続です．
>-1≦x<0のときh(x)=-1,0≦x<1のときh(x)=0,1≦x<2のときh(x)=1,h(2)=2
このことから，-1≦x<0,0≦x<1,1≦x<2の連続性は保証されます．
定義域-1≦x≦2の中で残っているのはx=0,1,2の３点です．・・・・・（あ）
x=0での連続性を調べるのに，上記１を満たすαは0．
次は２のβを探すのですがそのままではわからないので，左右の極限が一致する・しないを調べているのです．

>その後も
>>lim[x→2-0]h(x)=1≠h(2)=2
>と片側極限を考える必要があるのかな？と思いました。
閉区間端点での連続性も定義されるので，（あ）より，x=2でも連続かどうかを調べなくてはいけません．

いかがでしょうか？
No.2183 - 2009/02/11(Wed) 08:16:38
☆ Re: 連続性 / ALIVE ♂ [関東] [高校2年生]
こんばんは。
返信が遅れてしまい申し訳ありません。

右側左側極限が一致することで極限値が定まるという事を問題を解いているときにはスッカリわすれていました。
大体は理解できたのですが一つだけ質問してもよろしいでしょうか？

>>-1≦x<0のときh(x)=-1,0≦x<1のときh(x)=0,1≦x<2のときh(x)=1,h(2)=2
このことから，-1≦x<0,0≦x<1,1≦x<2の連続性は保証されます．
定義域-1≦x≦2の中で残っているのはx=0,1,2の３点です．・・・・・（あ）

の部分なのですが「定義域の中で残っている」というのは定義域内で考えていない範囲があるという事なのでしょうか？
だとすると-1≦x<0,0≦x<1,1≦x<2の範囲について考えたのでx=1,2,3の場合も考えていることになると思うのですがどうなのでしょう？
No.2205 - 2009/02/13(Fri) 01:25:28
☆ Re: 連続性 / londontraffic [教育関係者]
そうですね．誤解を招く表現で申し訳ありません．
以下，前レスで添付した図を見てもらうと理解が深まると思います．

次の行は納得してもらえてますよね．
>>このことから，-1≦x<0,0≦x<1,1≦x<2の連続性は保証されます．
この事実から
x=0においては0の右隣の実数とは繋がっている（「右連続」と呼びます）が，左隣と繋がっているかどうかはわかりません．x=1においても同様です．
またx=2においては区間の右端なので右隣の実数を考える必要はなく，左隣の実数と繋がっているかどうかわからない状態です．

ちなみにx=aにおける右連続とは
lim_{x to a+0}f(x)=f(a)（ただし，f(a)は有限な値）
を満たしている時．
同様に
lim_{x to a-0}f(x)=f(a)（ただし，f(a)は有限な値）
であれば「左連続」と呼び，右連続と左連続を共に満たしているとき連続であると言えます．

いかがですか？
No.2206 - 2009/02/13(Fri) 04:41:31
☆ Re: 連続性 / ALIVE ♂ [関東] [高校2年生]
こんばんは。

いえいえ。こちらの理解不足ですみません(^^;

xの範囲を考えるときに何の断りも無いのに勝手にxは整数だと思い込んでいたようです。
もう一度londontraffic先生の上げてくださいました定義
>関数f(x)がx=aで連続であるとは
1.f(a)=αとなる有限な値αが存在する．
2.lim_{x to a}f(x)=βとなる有限な値βが存在する．
3.α=βである
の３つの条件全てを満たすとき．
なお２は
(1)lim_{x to a+0}f(x)=β
(2)lim_{x to a-0}f(x)=β
【右極限と左極限が一致】を満たしている状態．

に立ち戻って内容をしっかりと理解した上で類題を問題集で解いてみたところガウス記号が含まれる問題も解けました。
分かりやすい解説ありがとうございました！
No.2215 - 2009/02/13(Fri) 23:31:22