[ 掲示板に戻る ]
記事No.2190に関するスレッドです
★ 図形と方程式の問題 / 氷わさび ♂ [北海道] [高校１年生]
2直線x+3y-7=0,2x-3y+4=0の交点を通り、直線3x+2y-1=0に
平行である直線の方程式は（　　　）
垂直である直線の方程式は（　　　）
である。


もうこのテストは3回ほど受けています。（受けるたびに与式が変わります。問題文は同じです。）
平行の場合はいつもあっているのですが垂直の場合はいつも間違えてしまいます（＾＾；）
なので今回は垂直の場合のみ質問させていただきたいです。


自分は画像のように考えました。
K≠1のときkの値が出ないので答えを導き出せずにいます。


よろしくお願いいたします。
No.2190 - 2009/02/11(Wed) 17:30:58
☆ Re: 図形と方程式の問題 / ka-o ♂ [東海] [学校教員]
氷わさびさん、こんばんは。

少し抽象的になってしまうかもしれませんが、これから数学をやっていくにあたって重要なことですので、おつきあい願います。

まず、任意の直線の方程式を表すのに、x,y以外の文字はいくつ必要ですか？
No.2191 - 2009/02/11(Wed) 18:44:26
☆ Re: 図形と方程式の問題 / 氷わさび ♂ [北海道] [高校１年生]
すいません、スレッド立てる際あいさつを忘れてしまいました。以後気をつけますm(_ _)m
そしてka-o先生、よろしくお願いします。

y=mx+nより、傾きmとy切片nの2つが必要だと思います。
No.2195 - 2009/02/12(Thu) 08:03:04
☆ Re: 図形と方程式の問題 / ka-o ♂ [東海] [学校教員]
氷わさびさん、こんばんは。

>y=mx+nより、傾きmとy切片nの2つが必要だと思います。
実はy=mx+nという形では表せない直線が存在するんですね。
それは、傾きが存在しない直線：つまりx=kの形で表わされる直線です。
よってすべての直線を表すにはax+by+c=0という形が必要で、文字は全部で3つ必要になります。

それと同じようなことが、x＋3y-7+k(2x-3y+4)=0という形で表わされるものにも言えるんですね。実はx+3y-7=0と2x-3y+4=0の交点を通る直線でも、上の形で表せないものがただ一つ存在するのですが、その直線の式を考えてみてください。
（ヒントは、灯台もと暗しです。）
No.2200 - 2009/02/12(Thu) 20:05:27
☆ Re: 図形と方程式の問題 / 氷わさび ♂ [北海道] [高校１年生]
すいません、まったくわかりません。
No.2226 - 2009/02/14(Sat) 22:01:15
☆ Re: 図形と方程式の問題 / ka-o ♂ [東海] [学校教員]
氷わさびさん、こんばんは。
答えをいってしまうと、2x-3y+4=0になるのですが、
x+3y-4+k(2x-3y+4)=0
という形では直線2x-3y+4=0を表すことができない、「考えてみればそうだな」と、思えるでしょうか？

一般に、ただ一つの交点をもつ二つの直線f(x)とｇ(x)について、
f(x)+kg(x)=0
という形では、ｇ(x)だけはどのような実数kを使ってもあらわすことができません。

この問題の場合、直線2x-3y+4=0の傾きは2/3、kの値がでなかったのはこのためなんですね。

疑問に思った点などがありましたらカキコしてください。
No.2227 - 2009/02/14(Sat) 23:22:50
☆ Re: 図形と方程式の問題 / ka-o ♂ [東海] [学校教員]
少し気になった点がありまして、過去３回のテストではどのように間違ってしまっているのでしょうか？

いつも同じように間違っているのなら、相当意地の悪い先生だと思われますが・・

またこういうタイプの問題では、交点の座標を求めてから考えていくやり方をおすすめします。
No.2228 - 2009/02/14(Sat) 23:36:33
☆ Re: 図形と方程式の問題 / 氷わさび ♂ [北海道] [高校１年生]
すいません、テスト前でしたので返信遅れてしまいましたm(_ _)m
そして出典を忘れていました、東進衛星予備校の授業後の確認テストです・・・。
このパターンの問題を何回でも受けることができます。（受けるたびに与式が変わります）

すいません、おっしゃってることが理解できません。
何故直線2x-3y+4=0をあらわすことができないのか、何故g(x)だけはどんな実数xを使っても表すことが出来ないのか・・・。
きっとまだきちんと基礎を理解できていないのだと思います。


ですが、考えてみました。kの値によって傾きなどが変わってしまうため2直線は垂直にならない、ということなのでしょうか？（必ず垂直になるようなkの値もありそうな気がするのですが・・・。）
No.2327 - 2009/02/24(Tue) 21:38:07
☆ Re: 図形と方程式の問題 / ka-o ♂ [東海] [学校教員]
氷わさびさん、こんばんは

さて、
x+3y-4+k(2x-3y+4)=0
についてですが、これを展開して整理すると、
(1+2k)x+(3-3k)y+(-4+4k)=0
になります。
さて、これで2x-3y+4=0を表すためには、xの係数が2、もしくは2の倍数、yの係数が-3,もしくは-3の倍数、そして定数項が4,もしくは4の倍数になっていなければいけません。
つまり実数ｎを用いて、
1+2k=2n、3-3k=-3n、-4+4k=4n
と表せなければいけないのですが、それぞれの式をkについて整理すると、
k=(2n-1)/2、k=n+1、k=n+1
となり、実質的に、文字２つに対して式２つで、いかにも、これを満たす実数ｎが存在しそうなのですが、
(2n-1)/2=n+1を解こうとすると、nが消え、-1=3となり、解くことができません。

よって、条件を満たすkは、どのような実数ｎを使っても表せない、つまりさかのぼると、2x-3y+4=0はどのような実数kを使ってもあらわすことができません。

よろしいでしょうか？
これと同じように考えて、一般のax+by+c=0とdx+ey+f=0の場合も、やや面倒ではありますが、証明は可能です。（変数が２つなのでf(x),g(x)でなくf(x,y),g(x,y)と表記すべきでした。すみません。）

>>kの値によって傾きが変わってしまうため２直線は垂直にならない
視覚的にはそういうことなんですね。ただしこの場合、あくまで２直線が垂直にならなかったのは偶然です。たとえば求めるべき直線の傾きが2/3でなければ、しっかりとkの値を求められます。

f(x,y)+kg(x,y)=0という形では交点を通る中でもg(x,y)=0「だけ」が表せない、これは結構盲点になっているところだと思われます。感覚的にとらえにくいものですが、これはこの機会に覚えてしまってください。
これまでの内容がよろしいようでしたら、次のスレでこの証明を書きたいと思います。

なにか疑問に思う点がありましたらカキコしてください。
No.2331 - 2009/02/25(Wed) 02:25:42
☆ Re: 図形と方程式の問題 / 氷わさび ♂ [北海道] [高校１年生]
ありがとうございます。
kの値で解の有無があるのは理解できました。

ですがここでひとつ疑問が生まれました。
kの値によって垂直になる・ならないという場合があるんですよね？
そのなるかならないかを区別するためにはやはりx,y,定数項のそれぞれが○または○の倍数ということに注目してそれを実数nで置き、等記号で結んでnが消える（存在しない）のを確かめる必要があるのでしょうか？

そして理解できましたので証明お願いします。m(_ _)m
No.2366 - 2009/02/28(Sat) 20:24:19
☆ Re: 図形と方程式の問題 / ka-o ♂ [東海] [学校教員]
氷わさびさん、こんばんは
返信遅くなってすみません。

>kの値によって垂直になる・ならないという場合があるんですよね？
すみませんが、この意味があまりよく理解できません。

この問題の考え方を説明すると、
まず、直線の方程式としての観点から考えれば、ただ一つの交点を持つ直線f(x,y)=0とg(x,y)=0について、
f(x,y)+kg(x,y)=0
という表し方では、この２直線の交点を通る直線の中でもg(x,y)=0だけが表すことができないということで、
直線の傾きだけとしての観点からみれば、直線f(x,y)+kg(x,y)=0は、kの値によって傾きを変えるが、どのようなｋであっても、ただ一つの傾きだけはとりようがなく、それがg(x,y)=0の傾きである、
ということになります。

すこし、具体例を考えてみます。
２直線x+3y-7=0,2x-3y+4=0の交点を通り、3x+2y-1=0に垂直な直線の方程式を求めよ、という問題では、求める直線の傾きが2/3です。そこで、
x+3y-7+k(2x-3y+4)=0‥‥?@
という形で、傾きが2/3の直線が表されるかを調べてみたいときには、x+3y-7=0と2x-3y+4=0の交点を通るが、?@の形ではどうしても表せない直線2x-3y+4=0の傾きを調べてみればいいわけです。2x-3y+4=0の傾きは2/3であるので、?@の形では傾きが2/3の直線は表せないことがわかりました。もし求めるべき直線の傾きが2/3でなかったら、これは?@のかたちで表すことができます。

テストなどでも2x-3y+4=0が?@の形で表せないことは証明なしで用いても構いません。

なお、上で説明した考え方をg(x,y)=0だけがｆ(x,y)+kg(x,y)=0という形で表わせないことの証明にも用いていますので、混乱しないためにも証明は氷わさびさんがその考え方を理解したことの確認後にしたいと思います。
No.2403 - 2009/03/05(Thu) 04:14:42
☆ Re: 図形と方程式の問題 / 氷わさび ♂ [北海道] [高校１年生]
いまいちピンときません・・・。
g(x,y)=0だけ表すことができないのをイメージで表すことはできないのでしょうか。


あと、
>>直線の傾きだけとしての観点からみれば、直線f(x,y)+kg(x,y)=0は、kの値によって傾きを変えるが、どのようなｋであっても、『ただ一つの傾きだけはとりようがなく、それがg(x,y)=0の傾きである』

『』の部分がピンときません・・・。
No.2412 - 2009/03/07(Sat) 16:07:17
☆ Re: 図形と方程式の問題 / ka-o ♂ [東海] [学校教員]
氷わさびさん、こんばんは

自分の表現の仕方が下手なもので混乱させてしまっているのかもしれず、大変申し訳ありません。

まずはg(x,y)=0だけを表すことができない、ということを理解するために、次の手順で考えていこう、というわけです。
(自分の導き方が下手なもので今までのスレ内容では今やろうとしていることがわからないと思われてしまったかもしれず、申し訳ありません。）

1. f(x,y)+kg(x,y)=0という表し方では、２直線f(x,y)=0とｇ(x,y)=0の交点を通る直線の式を表している。

2. g(x,y)=0を傾きが存在する直線とする。f(x,y)+kg(x,y)=0という表し方で、もし交点を通る中でもg(x,y)=0だけを表せないと仮定すると、kの値によって傾きを変える直線
f(x,y)+kg(x,y)=0が取りえない傾きは一つだけであり、それがg(x,y)=0の傾きである。

３. g(x,y)=0が傾きが存在する直線のとき、f(x,y)+kg(x,y)=0という表し方ではただ一つの傾きだけはとりようがないことを示す。（同時に、そのとりようがない傾きが、g(x,y)=0の傾きであることも示す。）

4. g(x,y)=0が傾きが存在しない直線（x=tとあらわされる直線）の時も同様に、f(x,y)+kg(x,y)=0ではｇ(x,y)=0を表せないことを示す。

大筋はこんな感じです。2,3(4)番を示せればg(x,y)=0だけを表すことができないことを示せている、それがわかりますか？

今までのスレでは２番までの話をしてきています。２番ではあくまで、g(x,y)=0が表せないと「仮定」した場合の話をしているにすぎないことに注意してください。

2番を理解する上でのポイントは「定点（この場合は交点）を通る直線で一つの傾きだけはとりようがない→その傾きをとる１直線だけは表しようがない）」ということです。2番の内容はこの逆なのですが、納得できるでしょうか？

２番までどうでしょうか？
No.2423 - 2009/03/10(Tue) 19:59:46
☆ Re: 図形と方程式の問題 / 氷わさび ♂ [北海道] [高校１年生]
返信遅れました、申し訳ないですm(_ _)m
2番まで理解できました、詳しい説明ありがとうございます。
No.2509 - 2009/03/20(Fri) 08:17:49
☆ Re: 図形と方程式の問題 / ka-o ♂ [東海] [学校教員]
氷わさびさん、こんばんは。

それでは3番にいきましょう。

一般の場合も方針は全く変わりませんので、具体的な例で示したいと思います。

f(x)=x+3y-7=0,g(x)=2x-3y+4=0とします。
x+3y-7+k(2x-3y+4)=0、これを整理して(1+2k)x+3(1-k)y+4k-7=0。
k=1の時、f(x)+kg(x)=0は傾きが存在しない直線を表す。
k≠1の時、f(x)+kg(x)=0の傾きは(2k+1)/3(k-1)。この値がkの値によって変化するのは明
らかであるが、ただ一つの実数値だけはとりえないことを示せばよい。
(2k+1)/3(k-1)=(2/3)+1/(K-1)‥‥?@
と変形できる。ここで1/(k-1)≠0は明らかなので、(2k+1)/3(k-1)はどのようなｋであっ
ても2/3を表せないことが示された。ここで1/(k-1)について、k=1/t+1とおけば、1/(k-1)
は任意の実数t(≠0)あらわせるので、以上より、(2k+1)/3(k-1)はどのようなｔを用いて
も、2/3だけを表せない。またこの場合2/3はg(x)の傾きである。よってf(x)+kg(x)=0が通
りえない傾きはひとつだけでそれがg(x)の傾きである。

?@の変形は、2k+1を3(k-1)で割ると、商が2/3、余りが３となるので、
(2k+1)=2/3×3(k-1)+3より、
これを変形したものです。なおこの変形は数?Vで登場します。

どうでしょうか？
4番の証明については、まずは氷わさびさんに自力で考えていただきたいです。
No.2517 - 2009/03/20(Fri) 21:09:00
☆ Re: 図形と方程式の問題 / 氷わさび ♂ [北海道] [新高校１年生]
k=1/t+1はどこから出てくるのでしょうか・・・
No.2532 - 2009/03/22(Sun) 09:10:47
☆ Re: 図形と方程式の問題 / ka-o ♂ [東海] [学校教員]
氷わさびさん、こんばんは。

実はここでは、逆から考えておりまして、もし1/(k-1)が任意の実数t(≠0)を表せるなら、
1/(k-1)=t
より、k=1/t+1となります。
ここから、k=1/t+1とおけば、1/(k-1)=tとなるので任意の実数t(≠0)を表されるではないかという結論に至りました。

若干せこくて正しくないように見えるかもしれませんが、あくまでk=1/t+1とおけば1/(k-1)=tとなるので、結果、これで任意の実数tを表せているのです。

なお事情により次回のスレは約１週間後になってしまいますことをお許しください。
No.2536 - 2009/03/22(Sun) 18:38:17
☆ Re: 図形と方程式の問題 / 氷わさび ♂ [北海道] [新高校１年生]
お久しぶりです。
新年度お互い頑張りましょうm(_ _)m


先生の考えを使っていますが、まずは自分でも考えました。


＞4.g(x,y)=0が傾きが存在しない直線（x=tとあらわされる直線）の時も同様に、f(x,y)+kg(x,y)=0ではｇ(x,y)=0を表せないことを示す。

(∵)
f(x)=x+3y-7,g(x)=2x-3y+4とする。
x+3y-7+k(2x-3y+4)=0
⇔(2k+1)x-3(k-1)y+4k-7=0
x=t(t:定数（実数？）)となるにはk-1=0⇔k=1でなければならない
k=1のとき、x=(4k-7)/(2k+1)
このとき、xの係数は2または2の倍数、定数項は4または4の倍数
実数（定数？）nを用いて、2k+1=2n,4k-7=4n
連立して解くと、9=0　これは不合理
よって、g(x)はf(x,y)+kg(x,y)=0の傾きになりえない。□


これはどうでしょうか。
定数と実数の違いがわからなく不安ですが（＾＾；）
あと、改めて見返してみたのですがNo.2403の先生の証明（？）理解できました。
No.2714 - 2009/04/07(Tue) 19:30:05
☆ Re: 図形と方程式の問題 / ka-o ♂ [東海] [学校教員]
こんばんは。
考え方はしっかり伝わってきます。

ただg(x,y)=0の例として、傾きが存在する直線をあげていては、意味がないですね‥‥

この点を直してもう一度お願いします。

定数と実数のどちらの表記を使うか。これは氷わさびさんが改めて直した解答をもとに説明したいと思います。
No.2716 - 2009/04/07(Tue) 23:02:44
☆ Re: 図形と方程式の問題 / 氷わさび ♂ [北海道] [高校１年生]
最近復習していて傾きが取りえない理由がわかったような気がします
証明ではないのですが、f(x,y)+kg(x,y)としたとき、k=0ならf(x,y)だけの式がでてきますがkに何を代入してもg(x,y)だけの式が出てこないのでg(x,y)の傾きだけを表せない、ということでしょうか？
No.3072 - 2009/05/22(Fri) 06:31:48
☆ Re: 図形と方程式の問題 / ka-o ♂ [学校教員]
氷わさびさん、こんばんは。

その通りです。
「g(x,y)=0だけが表せない」ということと「g(x,y)=0の傾きだけが表せない」ということは
全く同じことです。

f+kg=0はkの値によって傾きを変えます。そのためもちろん、kに何を代入しても、gだけが
表せなかったら、gの傾きは表せず、逆にgの傾きが表せなかったら、f+kg=0という形ではg
は表せません。

今までのスレでは後者のほうを用いてgだけが表せないことを証明しようとしてきました。

なお、しばらく書き込みができないなどといった事情があるときは、そのことを、わかっている限りは前もって書いておくなど、をするようにしてください。
No.3078 - 2009/05/22(Fri) 21:12:27
☆ Re: 図形と方程式の問題 / 氷わさび ♂ [北海道] [高校2年生]
>>なお、しばらく書き込みができないなどといった事情があるときは、そのことを、わかっている限りは前もって書いておくなど、をするようにしてください。

すいませんでした。以後、前もって言うようにします。
ありがとうございました。
No.3178 - 2009/05/30(Sat) 21:32:50