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記事No.2201に関するスレッドです
★ (No Subject) / 冷えたミソスープ ♂ [中国] [社会人]
数学検定準一級を目指す社会人（通信制大学在学）です。目標達成までにはまだまだ時間と努力が必要ですが、投げ出さずにこつこつ励んでいきたいと思っています。
今は数学?T・Ａの全体像を掴んだくらいの段階です。
今後も理解できないことがあれば、お力を貸ししていただくことになると思いますので、どうかよろしくお願いします。
このようなテキスト形式で数式を書くのは表記が難しく、誤解を招く恐れがあるので、お絵かきソフトで問題文と自分なりの解答を書いて載せました。
お願いします。
No.2201 - 2009/02/12(Thu) 23:42:49
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
冷えたミソスープさん、こんばんは。河童です。

ユニークなお名前ですね＾＾
おっしゃるとおり、投げ出さずにこつこつ励めば、数学検定合格までの道のりも、
すぐに、スープの冷めない距離になると思います。
頑張ってください。

さて、判別式から導かれた?Aの式

p ( - 3 p + 4 ) ＜ 0

ですが、ここまではいいのですが、この式から、

0 ＜ p ＜ 4/3

と結論された部分が間違いなんですね。
おそらく冷えたミソスープさんは、不等号の向きで、結果を記憶されているのだと思います。
では、この?Aの不等式の左辺のカッコの中から、マイナスを外に出すとどうなりますか？
No.2204 - 2009/02/13(Fri) 01:19:13
☆ Re: / 冷えたミソスープ ♂ [中国] [社会人]
?Aの不等式の左辺のカッコの中から、マイナスを外に出すと
-p（3p-4）＜0　・・・?A´

ｐ(-3p＋4)＜0　・・・?A

?A´の範囲は0＜ｐ＜4/3で?Aの範囲域とは矛盾します。
だとすれば、−4/3＜ｐ＜4/3でもいいように思うのですが、これはまだ正しい答えではありません。なぜ？

また、先生の仰る「不等号の向きで、結果を記憶されている」というのは具体的にどういうことでしょうか？（汗
No.2207 - 2009/02/13(Fri) 09:34:44
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
冷えたミソスープさん、こんにちは。


＞　「不等号の向きで、結果を記憶されている」というのは具体的にどういうことでしょうか？（汗

わたしの思い違いならお許しください。
不等式が『＜０』なら２数に挟まれ、『＞０』なら２数の両側、
というふうに単純に覚えてしまっている学生が多いものですから。


＞　?A´の範囲は0＜ｐ＜4/3で?Aの範囲域とは矛盾します。

- p ( 3 p - 4 ) ＜ 0　……?A’

?Aから?A’への変形はこれでいいのですが、?A’の解は、0 ＜ p ＜ 4/3　ではなく、

p ＜ 0　または　3/4 ＜ p

です。
試しに、p に 1 を代入してみてください。
すると左辺は 1 となり、?A’を満たしませんね。

冷えたミソスープさんがこれを確認していただいたら、後の回答で、このような問題の正しい考え方を解説させていただきます。
No.2210 - 2009/02/13(Fri) 14:04:58
☆ Re: / 冷えたミソスープ ♂ [中国] [社会人]
>?A’の解は、0 ＜ p ＜ 4/3　ではなく、p ＜ 0　または　3/4 ＜ pです。

おお、よく考えたらこのグラフは上に凸の「∩」のグラフになるんですね。
だったら０未満を満たす実数ｘの範囲はp ＜ 0　または　3/4 ＜ p　ですね！
てことは、p ( - 3 p + 4 ) ＜ 0　・・・?Aも?A´と同じ範囲ということかぁ。
ポンミスでした、すみません。
でも、回答にはp ＜ 0の表記はありません・・・？？？
p ＜ 0が回答に含まれない理由は何なのでしょう。



蛇足ですが、不等号の問題は不可解な点が結構ありますね・・・。
−Ｘ二乗＋Ｘ＜０を
−Ｘ（Ｘ−１）＜０
にしてはならないと参考書に書かれていましたが、なぜそれが駄目なのか見当がつきません。
No.2212 - 2009/02/13(Fri) 20:02:59
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
冷えたミソスープさん、こんばんは。

＞　p ＜ 0が回答に含まれない理由は何なのでしょう

だって、冷えたミソスープさんも書いてらっしゃるじゃないですか。

p ＞ 0　……?@

って＾＾

＞　−Ｘ（Ｘ−１）＜０
＞　にしてはならないと参考書に書かれていましたが、なぜそれが駄目なのか見当がつきません

これが、わたしが言った、『不等号の向きで結果を記憶している』ということですね。
ただ単に不等号の向きで記憶してしまうと、この解を 0 ＜ x ＜ 1 としてしまうから気を付けろってことでしょうね。
でも、きちんと考えればどうってことありませんから、この形でもいっこうに構いません。

ところで、よろしければもう少しお付き合いいただきたいのですが。

冷えたミソスープさんは、

＞　おお、よく考えたらこのグラフは上に凸の「∩」のグラフになるんですね

このように、グラフで考えましたね。
もちろんそれで構わないのですが、もっと本質的な考えを理解していただきたいのです。
というのは、例えば、不等式が次のようになっていたらどうしますか？

X ( X - 1 )( X - 2 )( X - 3 ) ＜ 0

この左辺は X の４次関数ですから、数?Tの範囲ではグラフが描けませんね。
ちょっと考えていただけますか？
No.2214 - 2009/02/13(Fri) 23:19:16
☆ Re: / 冷えたミソスープ ♂ [中国] [社会人]
お返事が遅れました。すみません。

＞例えば、不等式が次のようになっていたらどうしますか？
　X ( X - 1 )( X - 2 )( X - 3 ) ＜ 0・・・?@

?@をｙ＝f（X）の関数とし、
　　ｆ（０）かつｆ（１）かつｆ（２）かつｆ（３）のとき０以下になればいい
　　しかしこれらでは０＜０で明らかにおかしい。このやり方で条件立ては不可・・・。

?@の変形式
（X二乗−３X）（X二乗−３X＋２）＜０・・・?@´
「X二乗−３X」をAとする
A（A＋２）＜０

何となくですが、
ここから先が先生の言う「本質を理解してほしい」という領域ですね？

思うにこのAがくせ者なんですよね。−２＜A＜０としてはならないのは、
直感的にわかります。Aはマイナスの場合もあるから。
だとしたらこの場合分けかな？

（?@）A≧０　すなわち　X≧０　X≦３で
この条件ならA（A＋２）＜０は符号変化なしで、−２＜A＜０

（?A）A＜０　すなわち　０＜X＜３で
この条件なら上に凸の「∩」のグラフになることに注意して、
A＜−２　　A＞０　　

ここまで合ってます？
No.2221 - 2009/02/14(Sat) 15:30:29
☆ Re: / 冷えたミソスープ ♂ [中国] [社会人]
ん！？
（?A）は−２以下の数だと成立しないぞ！？
なぜに・・・。
No.2222 - 2009/02/14(Sat) 15:48:30
☆ Re: / 冷えたミソスープ ♂ [中国] [社会人]
X≧０　X≦３の範囲なら「X二乗−３X＋２＜０」のグラフ
０＜X＜３の範囲で「X二乗−３X＋２＞０」のグラフ
無い知恵しぼって出した結果がこれです。
No.2223 - 2009/02/14(Sat) 16:27:14
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
冷えたミソスープさん、こんばんは。

わたしは、『グラフが描けないから不等式が解けない』では困るという意味で言ったのですが……
言葉足らずでしたね。

ただ、冷えたミソスープさんは、少し考えすぎのようです＾＾

X ( X - 1 )( X - 2 )( X - 3 ) ＜ 0　……★

★の不等式の左辺はすでに因数分解してあります。
つまり、４数のかけ算の形ですから、その符号は、負の数の個数で決まります。

十分大きな数を考えてみてください。
正確に言えば ３ より大きな数なのですが、そんなぎりぎりの数でなく、
例えば X が１００ ならどうでしょう。
X も X - 1 も X - 2 も X - 3 もすべて正になります。火を見るより明らかですね。
ということは、X = 100 は、この不等式の解ではない。
だって、正の数を４つ掛けても正ですもの。
では、９９ならどうか？
９８なら？
９７なら？

ぐっと近づけて、3.1 ならどうでしょうか？
もっと近づけましょうか。
3.000001 ならどうですか？
そして、ここが重要なのですが、X - 3 という数が、正から負に変わる瞬間はいつなんでしょう？
そして、X - 3 が負に変わった瞬間、他の３数の符号はどうなんでしょう？
そして、全体の符号はどうなってしまうのでしょう？
No.2229 - 2009/02/15(Sun) 02:51:17
☆ Re: / 冷えたミソスープ ♂ [中国] [社会人]
X＝3.1でやって見ようと思います
3.1×2.1×1.1×0.1＜0
で、これはおかしい。
X＝3.000001 でも
3.000001×2.000001×1.000001×0.000001＜0
不可です。
負に変わる瞬間はX＜3と踏んで、
仮にX＝２で
2×1×0×−1＜0だけど、0＜0になってるから不可。
X＝−２でも−1000000でも不可。
ここまではわかります。
No.2230 - 2009/02/15(Sun) 10:09:28
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
冷えたミソスープさん、こんにちは。

わたしの言い方がまわりくどかったようですね。

3 ＜ X のときは、４数 X, X - 1, X - 2, X - 3　すべてが正ですので、全体の符号も正

2 ＜ X ＜ 3 のときは、４数のうち X - 3 だけが負になりますので、全体の符号は負

1 ＜ X ＜ 2 のときは、X - 3 にくわえ X - 2 も負になりますので、つまり負の数がひとつ増えますので、全体の符号は正

と、こんなふうに、全体の符号が、正、負、正、負というように変化していくんですね。
No.2240 - 2009/02/16(Mon) 13:51:43
☆ Re: / 冷えたミソスープ ♂ [中国] [社会人]
2 ＜ X ＜ 3 と1 ＜ X ＜ 2 のときXを★に代入したら全体は0になると思ったけど、
1、2、3そのものを含まないから、たとえば２．２とかもOKってことだ！
もう少し考えます・・・
No.2263 - 2009/02/18(Wed) 17:51:16
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
冷えたミソスープさん、頑張って　く(￣Д￣)ノガンバレーーー♪
No.2268 - 2009/02/18(Wed) 23:36:26
☆ Re: / 冷えたミソスープ ♂ [中国] [社会人]
お返事遅れてすいません！！！

X ( X - 1 )( X - 2 )( X - 3 ) ＜ 0　……★
この問題なんですけど、グラフが蛇みたいに変化するんでつかみどころがないです。
これって数?T範囲で処理できる問題ですか？（汗
降参です、降参。ｗ

今日、数?Uの?伯v算に突入しました。
だいぶ忘れてますわ・・・。
No.2313 - 2009/02/23(Mon) 20:09:18
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
冷えたミソスープさん、こんばんは。
返事が遅れて申し訳ありません。

どうも、最初から最後まで、グラフに拘ってらっしゃるようですね。
実は、2/16 の回答で、わたしは答えを書いているんですよ。

確かにグラフ自体は数?Tの範囲ではありませんが、数検となるとどうでしょうか……

数?UのΣに入られたとのことですが、もう少し進んで微分法をされるときに『増減表』を書く機会があると思います。
そこで、この問題に直面されるはずです。
それまでこの問題はお預けにしておきましょうか。
No.2337 - 2009/02/25(Wed) 22:56:47
☆ Re: / 冷えたミソスープ ♂ [中国] [社会人]
そうですね。その機会のときにまたお願いしますね！
勉強を始めてまだ一か月しかたってません。
目標達成まで一年でも二年でも、根気よくやっていくつもりです。

ありがとうございました。
No.2339 - 2009/02/25(Wed) 23:42:20