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記事No.2261に関するスレッドです
★ (No Subject) / ルイ ♀ [東北] [高校2年生]
あと、質問させていただきたいのは極限の2問だけになりました。
まずはその1つ目です。用意した図の上のような問題が、4STEPという問題集にありました。それは解けたのですけれど、そこで下の図のように限りなく敷き詰めていけば充填率はどうなるのか？という疑問が沸きました。

直感としては100%になりそうなんですが、円の面積の総和では、半径の比が実数比で表されるならπが残ってしまいますが、三角形の面積にはπは登場しませんから、充填率100％にはならないことに気づきました。

そこで実際に計算してみました。

中央の内接円の半径をrとします。その面積はπr2
次の小さい円の半径はr/3、その次はr/9というように公比1/3です。
n番目に大きい円の半径はr/3n−1で、その面積はπ(r/3n−1)＝πr2(1/9n−1)です。
またn番目に大きい円は図より、3n−1個あるのは明らかです。
よってn番目に大きい円までの面積の総和は、
1×πr2×1/1＋3×πr2×1/9＋9×πr2×1/81＋…＋3n−1×πr2×(1/9n−1)となると考えました。
3n−1と(1/9n−1)を計算して、公比が1/3であることが分かります。

n番目に大きい円だけの面積の総和Sn＝πr2(1/3n−1)

これを限りなく行うと、その全ての円の総和は、公比1/3、初項πr2の無限等比級数ですから、その和は公式により、S＝πr2/(1−1/3)＝3πr2/2

となりました。今度は正三角形の面積を求めます。高さ3r、底辺(2√3)rだから、その面積は(3√3)r2です。

よって充填率は、100π/2√3(％)です。π≒3.14、√3≒1.73とすれば、約88.2％となるのですけれども、こんなに低いものなのでしょうか？予想では100％近くだと思っていたのですが…どこか間違ってませんでしょうか？
No.2260 - 2009/02/18(Wed) 17:38:42
☆ Re: / ルイ ♀ [東北] [高校１年生]
図です。
No.2261 - 2009/02/18(Wed) 17:39:23
☆ Re: / ルイ ♀ [東北] [高校１年生]
そもそも9個の黄色の円が合同ではないのでしょうか？
No.2262 - 2009/02/18(Wed) 17:43:34
☆ Re: / 一ノ谷 ♂ [社会人]
ルイさん，こんにちは．一ノ谷です．

問題を発展させる姿勢は非常に大切ですが，設定を少し変えただけで格段に難しくなることが数学ではよくあります．

＞ そもそも9個の黄色の円が合同ではないのでしょうか？

その通りです．赤色の円の半径を s とおき，赤色，青色の両方と接する黄色の円の半径を t とおくと
　1/√{t} ＝ 1/√{r} ＋ 1/√{s}
となることが3平方定理から判りますから，これに s=r/3 を代入すれば t≠r/9 が確かめられます．

また，次のステップの27個の円のうち6個は，それぞれ3個の円に外接しますが，そのような円の半径を x，外接する3円の半径を a，b，c とおくと
　1/x ＝ 1/a ＋ 1/b ＋ 1/c ＋ 2√{ 1/(ab) ＋ 1/(bc) ＋1/(ca) }
となることも初等的に示せます．ただし，ステップが進むと外接する3円の組合せが複雑になることは明らかでしょう．

さらに，根本的な点を申し上げるなら，一般に
「ＡがＢの部分集合で，それらが同じ面積を持つとしても，Ａ＝Ｂとは限りません」
ので，たとえ円の面積の総和が3角形の面積と一致しても，埋め尽くしていることの証明にはならないわけです．

以上，否定的な面ばかり書きましたが，反復して図形を詰めて（または取り去って）いった極限は，学問としての数学においても研究の対象とされるもので，時間があれば「フラクタル図形」などのキーワードで検索してみるのもよいかと思います．
No.2274 - 2009/02/19(Thu) 15:43:32
☆ Re: / ルイ ♀ [東北] [高校2年生]
こんばんは。根本的に間違っていたようですね(汗

しかし1つ疑問があります。
＞ＡがＢの部分集合で，それらが同じ面積を持つとしても，Ａ＝Ｂとは限りません
とのことですが、全ての円は、この操作の上で三角形からはみ出ることもなく、互いに重なることもないのにどうして円の面積の総和と三角形の面積が一致しても埋め尽くしている証明にはならないのでしょうか？
No.2293 - 2009/02/21(Sat) 20:29:56
☆ Re: / 一ノ谷 ♂ [社会人]
＞ＡがＢの部分集合で，それらが同じ面積を持つとしても，Ａ＝Ｂとは限りません

このような例は，ｘｙ平面上の
　Ａ：０＜ｘ＜１，０＜ｙ＜１　Ｂ：０≦ｘ≦１，０≦ｙ≦１
など幾らでもありますね.
No.2295 - 2009/02/21(Sat) 22:51:08
☆ Re: / ルイ ♀ [東北] [高校１年生]
わけに分からない質問に付き合ってくださり、ありがとうございました。

＞　Ａ：０＜ｘ＜１，０＜ｙ＜１　Ｂ：０≦ｘ≦１，０≦ｙ≦１　は確かにそうですね・・・
No.2333 - 2009/02/25(Wed) 20:59:36