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記事No.232に関するスレッドです
★ こんばんは！ / k-700 ♂ [東海] [高校3年生]
前回質問したのは随分前になりますが、二回目の質問です。

このHPでも、お薦めの参考書に挙がっている　標準問題精構?T・Aからの問題なのですが、

標問62
nは2≦n≦10なる自然数とする。(1+x)^n　の展開式のx^r-1,x^r,x^r+1の項の係数がこの順序で等差数列となるようなrがあるとき、nの値を求めよ。(旭川医大)

[解]
(1+x)^nの展開式のx~r-1,x^r,x^r+1の係数である
nCr-1,nCr,nCr+1がこの順に等差数列をなす条件は、
2nCr=(nCr-1)+(nCr+1)
よって、
2×n!/{r!(n-r)!}=n!/(r-1)!(n-r+1)! + n!/(r+1)!(n-r-1)!

ここまでは、理解できたのですが、この後、どう計算していけばいいのか、解説を読んでもよく分かりません。よろしくお願いします。
No.225 - 2008/05/29(Thu) 22:12:59
☆ Re: こんばんは！ / 七 ♂ [近畿] [社会人]
k-700 さん，おはようございます。このあとは分かりますか？
No.232 - 2008/05/30(Fri) 08:59:58
☆ Re: こんばんは！ / k-700 ♂ [東海] [高校3年生]
おはようございます。返信ありがとうございます。
この後は、両辺を展開して整理して、nの値を出し、この値が条件に合うかどうかを調べればいいですか？
No.233 - 2008/05/30(Fri) 12:47:29
☆ Re: こんばんは！ / 七 ♂ [近畿] [社会人]
> おはようございます。返信ありがとうございます。
> この後は、両辺を展開して整理して、nの値を出し、この値が条件に合うかどうかを調べればいいですか？

展開して整理した式の処理が少し特殊だと思いますので
とりあえず，整理してみてください。
No.234 - 2008/05/30(Fri) 13:00:55
☆ Re: こんばんは！ / k-700 ♂ [東海] [高校3年生]
展開して整理してみると、
　(2r-n)^2=n+2 となり、左辺が２乗でであるので、右辺のn+2が平方の数になり、条件から2≦n≦10より　4≦n+2≦12であるから、n+2=4,9　よって、n=2,7 ここから、n=2,7のそれぞれの場合が条件を満たすかどうかについて考えようと思ったのですが、rの条件がいまいちよく分かりません。どのように考えたらよいのでしょうか？
No.236 - 2008/05/30(Fri) 19:35:58
☆ Re: こんばんは！ / 七 ♂ [近畿] [高校１年生]
nについてはそれでいいですね。
r−1 と r＋1 も存在しなければならないので
1≦r≦n−1
となります。
No.237 - 2008/05/30(Fri) 20:13:04
☆ Re: こんばんは！ / k-700 ♂ [東海] [高校3年生]
じゃあ・・・　
n=2のとき、(2r-2)^2=4
2r-2 = ±2 よって、r=0,2 となるが、1≦r≦n-1であるので、1≦r≦1であるから、r=0,2は不適。よって、n=2は条件に合わない。

n=7のとき、(2r-7)^2=9
2r-7 = ±3 よって、r=2,5 となる。 1≦r≦n-1であるので、1≦r≦6であり、r=2,5はこの範囲を満たす。よって、n=7は条件に適する。

以上から、求めるnの値は、　n=7

こんな感じでどうですか？　1≦r≦1の部分がちょっと微妙かなと思うのですが・・・
No.239 - 2008/05/30(Fri) 21:05:10
☆ Re: こんばんは！ / 七 ♂ [近畿] [社会人]
それでOKです。
1≦r≦1 は r＝1 と同値です。
No.240 - 2008/05/30(Fri) 23:47:40
☆ Re: こんばんは！ / k-700 ♂ [東海] [高校3年生]
おはようございます。
丁寧な解説本当にありがとうございました。疑問は全てなくなりました。またよろしくお願いします。
No.245 - 2008/05/31(Sat) 09:55:57
☆ Re: こんばんは！ / 七 ♂ [近畿] [社会人]
遅くなったかも知れませんが
r＝1 のときは r−1＝0になりますから
定数項をx0の係数と見なすのであれば
1≦r≦n−1ですが
定数項を含めないのであれば
2≦r≦n−1
でした。
申し訳ない。
No.247 - 2008/05/31(Sat) 11:34:57