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記事No.2422に関するスレッドです
★ (No Subject) / みずき ♂ [関東] [高校2年生]

　こんばんは。
　学校で配られたプリントの数列の問題なのですがよろしくお願いします。
　
　b{1}=1,b{n+1}=3b{n}+2^n-1(n=1,2,3)
　によって定められる数列b{n}の一般項を求めよ。

　解説お願いします。
No.2277 - 2009/02/20(Fri) 00:50:01
☆ Re: / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんばんわ。

｢書き込まれる方へのお願い｣にありますように，問題文のみの書き込みはご遠慮いただいております。
どこで詰まっているのかがわからないと，回答のしようがないのです。
No.2278 - 2009/02/20(Fri) 02:57:15
☆ Re: / みずき ♂ [関東] [高校2年生]

　失礼しました。本当にすいませんでした。
　以後気を付けます。

　
　b{n+1}=3b{n}+2^n-1を2^n-1で割って
　b{n+1}/2^n-1=3b{n}/2^n-1+1
　にしてb{n+1}/2^n-1と3b{n}/2^n-1を文字に置き換えて
　解こうとしたのですがどうすればよいのかわかりません。

　解説お願い出来ますでしょうか
　
No.2284 - 2009/02/20(Fri) 23:56:59
☆ Re: / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
みずきさん，こんばんわ。

多くの漸化式は，いかにして等比数列を作るか？　がテーマになりますね。

3b{n}/2^n-1 を変形します。2^{n-1}=2・2^{n-2} ですから，
3b{n}/2^{n-1} =3b{n}/{2・2^{n-2}}=(3/2){b{n}/2^{n-2}}

そして，b{n}/2^{n-2}=c{n} とおきかえてみましょう。
No.2285 - 2009/02/21(Sat) 01:24:17
☆ Re: / みずき ♂ [関東] [高校2年生]

　こんばんわ。
　解説ありがとうございます。
　
　c{n+1}=3/2c{n}+1

　でよろしいのでしょうか。
　もしよかったのでしたらなぜb{n+1}/2^n-1がc{n+1}なのでしょうか。

　解説お願いします。
No.2308 - 2009/02/22(Sun) 23:46:22
☆ Re: / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
みずきさん，こんにちは。

＞ c{n+1}=3/2c{n}+1
はい。これでＯＫですよ。

＞なぜb{n+1}/2^n-1がc{n+1}なのでしょうか。

f(x)=x^2+x+1 という関数があったとします。
f(1)=1^2+1+1=3 ですよね。
f(a)なら,xにaを代入して f(a)=a^2+a+1 です。
f(x+1) なら xにx+1 を代入して f(x+1)=(x+1)^2+(x+1)+1 となりますね。

数列a{n}もこれと似ています。
　一般項が　a{n}=n^2+n+1 であらわされる数列があるとします。
　a{1}=1^2+1+1=3 はＯＫかと思います。
　a{k}なら nにkを代入して　a{k}=k^2+k+1 です。
では，a{n+1} はどうなるでしょう？
No.2312 - 2009/02/23(Mon) 14:27:19
☆ Re: / みずき ♂ [関東] [高校2年生]

　新矢さんこんばんわ。
　解説ありがとうございます。
　
　a{n+1}=(n+1)^2+n+1+1

　だと思うのですが、問題とどう照らし合わせていいのかよくわかりません。

　解説お願いします。
No.2319 - 2009/02/24(Tue) 01:00:00
☆ Re: / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんばんわ。

＞ a{n+1}=(n+1)^2+n+1+1
ＯＫですよ。

では，c{n}=b{n}/2^{n-2} としたとき，c{n+1} はどうなりますか？
No.2323 - 2009/02/24(Tue) 02:20:57
☆ Re: / みずき ♂ [関東] [高校１年生]

新矢さんこんばんわ。
　解説ありがとうございます。
　
　c{n}=b{n}/2^{n-2}のとき
　c{n+1}=b{n+1}/2^{n-1}
　
　でよいでしょうか
　自分なりにひらめいた気がするので、考えを書いてみます。
　間違いなどがありましたら解説をお願いします。
　
　b{n+1}=3b{n}+2^{n-1}
　2^n-1で両辺をわって
　b{n+1}/2^n-1=3b{n}/2^{n-1}+1
　b{n+1}/2^n-1=3/2×b{n}/2^{n-2}+1
c{n}=b{n}/2^{n-2}とおくと
　c{n+1}=3/2c{n}+1

　ここまでなのですが解説お願いします。
No.2329 - 2009/02/25(Wed) 00:07:39
☆ Re: / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
はい，それでバッチシですよ。

あとは c{1}の値を求めれば，いわゆる隣接２項漸化式の基本形ですから，大丈夫かと思います。最後までやってみましょう。
No.2330 - 2009/02/25(Wed) 00:10:52
☆ Re: / みずき ♂ [関東] [高校2年生]

　新矢さんこんばんわ。
　ありがとうございます。

　c{n+1}=3/2c{n}+1
　c{n}=c{1}×(3/2)^n-1
c{n}=1/2^-1×(3/2)^n-1

だと思うのですが、すごく基本的なことで
　申し訳ないのですが1/2^-1はどう計算すればよいのでしょうか
　間違いなども含め解説お願いします。
　
No.2340 - 2009/02/26(Thu) 00:39:10
☆ Re: / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんにちは。

c{n}は等比数列ではありません。
c{n+1}=3/2c{n}　なら等比数列ですが，今は　c{n+1}=3/2c{n}+1 ですよ。

この問題をやっているということは，　a{n+1}=pa{n}+q （p,qは定数）のタイプの漸化式，具体的には　a{n+1}=2a{n}-1 のような形のものは学習済みのはずです。　

同じプリントか，前回渡されたプリントに収録されているはずです。
教科書や授業のノートを確認して，a{n+1}=pa{n}+q の形の漸化式を復習後，もう一度この問題を考えてみましょう。

復習時に疑問が生じた場合は，もちろん質問にお答えしますが，その際は別記事を立ててください。
No.2343 - 2009/02/26(Thu) 14:03:05
☆ Re: / みずき ♂ [関東] [高校2年生]

　新矢さんこんばんわ。
　解説ありがとうございます。
　
　c{n+1}=3/2c{n}+1
　c{n}=c{1}+3/2(n-1)
c{n}=b{1}/2^-1+3/2n-3/2
c{n}=b{n}/2^n-2より
3/2n+1/2^-1-3/2=b{n}/2^n-2
b{n}=2^n-2(3/2n+1/2^-1-3/2)

　という形になったのですが解説お願いします。
　
　
No.2350 - 2009/02/26(Thu) 23:29:04
☆ Re: / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
みずきさん，こんにちは。

c{n}は等差数列でもありません。
昨日のレスに書きましたが，a{n+1}=pa{n}+q の形の漸化式は復習されましたか？
↓の34ページもご参考ください。

http://lykeion.info/suugaku/math_b/suuretu.pdf
No.2351 - 2009/02/27(Fri) 14:04:00
☆ Re: / みずき ♂ [関東] [高校2年生]


　新矢さんこんばんわ。返事遅れてすいません。
　ありがとうございます。
　
　c{n+1}=3/2c{n}+1
　X=3/2cX+1　X=-2なので
　c{n+1}+2=3/2c{n+2}
{cn+2}は初項c{1}+2=1/2^-1+2
公比3/2なので
　c{n}=(1/2^-1+2)×(3/2)^n-1-2

という形になったのですが
　解説お願いします。
No.2374 - 2009/03/01(Sun) 23:28:14
☆ Re: / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんにちは。

数学II の指数関数のところで，a^{-1}=1/a ということを学習していますので，教科書を確認してみましょう。

(1/2)^{-1}=2 ですから，

初項 c{1}+2=1/2^-1+2=2+2=4 です。
No.2379 - 2009/03/03(Tue) 14:01:02
☆ Re: / みずき ♂ [関東] [高校2年生]

　こんばんわ新矢さん
　返信遅れてすいません。ありがとうございます。
　
　c{n+1}+2=3/2c{n+2}
c{1}+2=1/2^-1+2=2+2=4,c{n+1}=b{n+1}=b{n+1}/2^n-1

　から解いてみたのですがどうしても答えが出ません。
　すいませんが解説お願いできますでしょうか。

No.2413 - 2009/03/08(Sun) 00:13:29
☆ Re: / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんにちは。
3/1 のみずきさんのレスの

＞c{n+1}=3/2c{n}+1
　X=3/2cX+1　X=-2なので
　c{n+1}+2=(3/2){c{n}+2}

の変形は正しいのですよ。

数列 c{n}+2 が等比数列というところもOKです。
公比は 3/2 でいいのですが，初項を　c{1}+2=1/2^-1+2 とされていたので，これは更に計算でき，c{1}+2=2+2=4 になるということを前回のレスで申しあげたのです。
ですから，

c{n}=(1/2^-1+2)×(3/2)^n-1-2=4・(3/2)^{n-1}-2
となります。
No.2420 - 2009/03/09(Mon) 14:16:59
☆ Re: / みずき ♂ [関東] [高校2年生]

　新矢さんこんにちわ。
　解説ありがとうございます。

　c{n}=4・(3/2)^{n-1}-2
　c{n}=b{n}/2^n-2より
　b{n}/2^n-2=4・(3/2)^{n-1}-2
　2^n-2を両辺にかけて
　b{n}=4・2^n-2・(3/2)^{n-1}-2・2^n-2
　b{n}=2^n・(3/2)^{n-1}-2^n-1

　と変形出来たのですがよろしいのでしょうか
　解説お願いします。
　
　
No.2421 - 2009/03/10(Tue) 11:02:46
☆ Re: / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
みずきさん，こんにちは。

そこまではOKです。
添付の画像のように，指数法則で計算すると更にすっきりするので，ここまで変形しておくべきです。ということで，答えは

　b{n}=2・3^{n-1}-2^{n-1}　です。

このように，数列の問題では指数計算が必要になるものが多いので，数IIの指数のところを復習しておきましょう。

もうひとつ。
みずきさんは，最初に　b{n+1}=3b{n}+2^n-1　の両辺を 2^{n-1} で割りましたが，2^{n} で割っても，2^{n+1} で割っても構いません。
2^{n+1} で割って解き直してみてください。もちろん答えは同じです。
指数の計算部分が少し楽だと感じるかもしれません。
No.2422 - 2009/03/10(Tue) 14:39:30
☆ Re: / みずき ♂ [関東] [高校2年生]

　新矢さんこんばんわ。
　解説ありがとうございます。

　最後のところも納得がいきました。
　わからないところばかりですいませんでした。
　でも基本的なところもしっかり教えていただいたので
　理解できました。
　ありがとうございました。

　
No.2424 - 2009/03/11(Wed) 00:05:22