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記事No.2594に関するスレッドです
★ (No Subject) / 冷えたミソスープ ♂ [中国] [社会人]
サイコロで1、2、3、4の目が出る確率は4/6。
二回サイコロを振り、二回とも1、2、3、4の目が出る確率は4/6×4/6。

今まで「二回とも1、2、3、4の目が出る確率」は無意識的に4/6×4/6とやっていたんですけど、なぜ4/6を二回かけたら「二回とも1、2、3、4の目が出る確率」になるのかが、うまくイメージできず、説明も出来ません。
なぜ4/6×4/6で「二回とも1、2、3、4の目が出る確率」になるのでしょうか？

幼稚な質問とは承知していますが、どうかお願いいたします。
No.2551 - 2009/03/26(Thu) 19:08:40
☆ Re: / gaku [新高校１年生]
こんばんは。gakuです。
イメージはこんなのはどうでしょう。
ダーツで的が６等分されていて、１から６まで書かれています。
３にあたる確率は1/6です。さらに、３の書かれている部分が6等分されていて
1から６まで書かれています。3の中の３に当たるのは、1/6のさらに1/6だから1/(36)

さいころで３が続けて出るのは、ダーツでいうと、３の的に当たって、さらにその中の３に当たったことになる

一般に、独立した２つの事象が同時におこる確率はかけ算ですよね。無理矢理イメージさせてみました。
No.2552 - 2009/03/26(Thu) 19:37:21
☆ Re: / 冷えたミソスープ ♂ [中国] [社会人]
分かりやすいイメージですね。絵にかきましたけど・・・。
でも確率4/6が二回繰り返されるというのはさすがに絵にしにくいですね。
これは仕方がないのかな。

「一般に、独立した２つの事象が同時におこる確率はかけ算」というのは知識としてはあっても実感として「何でそう言い切れるんや！？ほんまにそうなるんかい？」という感はぬぐえないんです。そこが確率分野が苦手な大きな理由なんですよね。
素直に公式に当てはめるより、何でその公式が出てきたんだろうかって何時間も悩む性格もありますし。

「独立した２つの事象が同時におこる確率はかけ算」と言い切れるのは何故なんでしょう？
No.2556 - 2009/03/26(Thu) 20:29:20
☆ Re: / gaku [社会人]
こんばんは。
むずかしいですね。
樹形図を考えてみました。たとえば、ある事象Aが確率3/5の場合、「起こる」道と「起こらない」道にわかれています。
独立しているのだから、事象Bがどの枝分かれでも2/5で起こるとすると、どの枝分かれでもさらに「起こる」道と「起こらない」道にわかれています。
「起こる」「起こる」の道はたった一本でその道を通るためには、3/5×2/5
なんかうまくいってませんね。なぜかけるのかの答えになってないし、ダーツを樹形図にかえただけって感じ。
No.2558 - 2009/03/27(Fri) 00:31:55
☆ Re: / 冷えたミソスープ ♂ [中国] [社会人]
無意識的に、機械的にやってきたことでも「なんでそうするの？」と聞かれたら、答えに窮するということって結構ありますね。今回の僕の質問もそういう部類だったのかな？

話題を変えましょうか・・・。

箱の中に?@が一枚、?Aが二枚、?Bが三枚、?Cが四枚、?Dが五枚の合計15枚の
カードが入っていて、この箱から三枚同時に取り出すとき、最大のカードが
?Cになる確率を求めよ。

三枚中一枚は?Cで、他の二枚は?@〜?C（最初に引いた?Cを除く）の九枚から選ぶ、
ということで
4C1×9C2/15C3
とやったら外れてました。何がまずかったのかよく分かりません。
お願いします。
No.2561 - 2009/03/27(Fri) 14:38:41
☆ Re: / gaku [社会人]
初めはあっているように思いましたが，間違いが見つかりました。
番号に記号を振ってみると
冷えたミソスープさんのやり方では，はじめに選んだのが4Aとすると，
(4A，4B，1)や(4A，4B，2A)や(4A，４B，３A)などを数えています。
ここまではいいのですが，はじめに選んだのが４Bの場合，
(4B，４A，1)や(4B，４A，2A)や(4B，4A，3A)など同じものをまた数えてしまうことになります。

冷えたミソスープさんの考え方を続けるとすると，
4が1枚の場合・・・4C1×6C2
4が2枚の場合・・・4C2×6C1
4が3枚の場合・・・4C3
このように分けて考えると，ダブりません。

また，一般的な解答はこうだと思います。
最大数が4以下になる場合は10C3，そのうち，最大数が3以下になる場合は6C3
4以下になる場合から3以下になる場合を取り除くと100通りになりました。
No.2564 - 2009/03/27(Fri) 16:15:06
☆ Re: / 冷えたミソスープ ♂ [中国] [社会人]
お返事遅れました。申し訳ありません。
えーと、いまいちよくわからんのんです。
何となく、イメージを書きましたが・・・

話をすりかえると、例えば、カード?Cの四枚から三枚とる場合、
一気に三枚取る場合4C3/15C3と
一枚ずつ引く場合4C1・3C1・2C1/15C3
とでは話が違ってくるって事がこの問題ではキーポイントになるんですよね。
だから三枚中一枚は?Cで、他の二枚は?@〜?C（最初に引いた?Cを除く）の九枚から選ぶ、
という所の（最初に引いた?Cを除く）の九枚ってのがOUTなんですよね？

うーん、文章と思考がごちゃごちゃだ・・・。
No.2594 - 2009/03/28(Sat) 19:05:22
☆ Re: / gaku [社会人]
こんばんは。
冷えたミソスープさんの力作の絵がいまいちわかりません。
もう一度，どうダブっているのかというと，
4C1×9C2の場合，
まず4C1で4枚の4のうちどれか1枚選びます。例えば，ここで4Aを選びます。
その後の9C2で，9枚のうちの2枚を選びます。例えば，(4B，1)
この選び方で(4A|4B，1)という1通り完成しました。

ところが，4C1で，4Bをまず選ぶ場合もあります。すると，9枚のうち4Aはまだ残っています。
その後の9C2で，(4A，1)の選び方もありです。
この選び方で(4B|4A，1)という1通りが完成しました。

でも，この2つの選び方は同じものです。
4C1×9C2の数え方は，これらは別のものとしてカウントしています。

他にも(4A|4C，4D)(4C|4A，4D)(4D|4A，4C)なども同じものなのに3通りと数えてしまっています。

いかがでしょうか。
No.2596 - 2009/03/28(Sat) 22:36:04
☆ Re: / 冷えたミソスープ ♂ [中国] [社会人]
ほぉ！
「三枚同時に取り出すとき」ってのが条件だから、4C1×9C2の場合だと
これらは同じものが4通り、別のものとしてカウントされるのか。

それなら、

計十五枚の中から?@?A?B?Cを選ぶ確率10C3／15C3から
計十五枚の中から?@?A?Bを選ぶ確率6C3／15C3
を引けば出ますね。

gakuさんの解法
4が1枚の場合・・・4C1×6C2
4が2枚の場合・・・4C2×6C1
4が3枚の場合・・・4C3
の考え方をもう少し詳しく教えてください。
No.2602 - 2009/03/29(Sun) 21:23:41
☆ Re: / gaku [社会人]
こんばんは。
これは，冷えたミソスープさんの方法のダブりを修正したものです。
4C1×9C2のばあい，4を1枚とってから，もう一度4も含めて9枚から2枚とります。そうすると前回のようにダブってしまいます。あとからダブっている分だけ引くのは大変です。
考え方というほどたいそうなものではありません。
4は1枚しか入ってない場合，2枚入っている場合，3枚の場合と限定してやっただけです。
そうすると各場合の選び方に同じものはありません。

たとえば，4が2枚の場合Cで数えているので，(4A，４B）という選び方を数えていますが(4B，4A)を数えてないので
冷えたミソスープさんのダブりが解消されているというわけです。
No.2605 - 2009/03/29(Sun) 21:41:51
☆ Re: / 冷えたミソスープ ♂ [中国] [社会人]
なるほど、「箱から三枚同時に取り出す＝組み合わせの数」なのに
4C1×9C2だと?CのカードにABCDの区別が発生して、ヘンテコなことになるんですね。

最後にですが、

＞他にも(4A|4C，4D)(4C|4A，4D)(4D|4A，4C)なども同じものなのに3通りと数えてしまっています。
＞いかがでしょうか。

とありますが、これは三通りじゃなくて四通りではないのですか？
No.2657 - 2009/04/01(Wed) 21:04:20
☆ Re: / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
冷えたミソスープ さん，こんにちは。
事情により回答を引き継ぎます。

＞4C1×9C2の数え方は，これらは別のものとしてカウントしています。
＞他にも(4A|4C，4D)(4C|4A，4D)(4D|4A，4C)なども同じものなのに3通りと数えてしまっています。

これは３通りでいいのです。
4C1×9C2の考え方で，最終的に(4A,4C,4D)が選ばれるのは３通りあるということです。

最初の4C1 で，4A を選び，
次の9C2 で，4B,4C,4D を含む9枚から，4Cと4Dの2枚を選んだ場合。(4A|4C，4D)

最初の4C1 で，4C を選び，
次の9C2 で，4A,4B,4D を含む9枚から，4Aと4Dの2枚を選んだ場合。(4C|4A，4D)

最初の4C1 で，4D を選び，
次の9C2 で，4B,4C,4D を含む9枚から，4Aと4Cの2枚を選んだ場合。(4D|4A，4C)

これら３つはいずれも　(4A,4C,4D)　を選んだことになるということです。
No.2660 - 2009/04/02(Thu) 15:12:14
☆ Re: / 冷えたミソスープ ♂ [中国] [社会人]
なるほど。
最初の出だしが4C1だったから、4通りかと勘違いしてました。

ありがとうございました。
No.2666 - 2009/04/03(Fri) 00:40:02
☆ Re: / 冷えたミソスープ ♂ [中国] [社会人]
・・・これで本当に最後なのでもう一つ確認させてください。

(4A　4C　4D)が三通りあるのは分かるのですが、
それでは（４　１　２）などの場合には、
（４A　１　２）（４B　１　２）（４C　１　２）（４D　１　２）
のように四通りになるんですか？
それともこれは単純に（４　１　２）の一通りしかないのですか？
No.2667 - 2009/04/03(Fri) 00:51:07
☆ Re: / 冷えたミソスープ ♂ [中国] [社会人]
。。。はっきりいってしまえば、4C1×9C2のとき、
なぜ４のカードにＡＢＣＤの区別が付いてしまうのか
まだよく理解できないんです。
別にＡＢＣＤの区別をつけようと思ってつけているわけじゃないのに・・・。

ほんとに理解力なくてすいません。（泣
No.2668 - 2009/04/03(Fri) 00:59:26
☆ Re: / 新矢 （運営者） ♂ [中国] [塾講師]
こんばんわ。
記事が長くなりましたので，新しく記事を作りました。
No.2670 - 2009/04/03(Fri) 01:08:06