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記事No.2721に関するスレッドです
★ (No Subject) / カイト ♂ [近畿] [新高校3年生]
初めましてだと思います。
数?Uについて、初歩的なことなのですが、
数?U・Ｂの青チャートの例題１７８についてです。
解答の五行目にf（x）が極値を持つための条件はf'（x）＝０が異なる２つの実数解をもつことであると記してありますが、f’（a）＝０であってもf（x）はx＝aで極値をとるとは限らないと教科書にはあります。ここらへんがこんがらがってしまってよくわからないのですが詳しくおしえていただけないでしょうか。よろしくお願いします。
No.2704 - 2009/04/06(Mon) 22:10:53
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
カイトさん，こんばんは．londontrafficと申します．
早速いきましょう！

手元に青チャートは無いのですが，ご質問の趣旨は理解できました．
>f’（a）＝０であってもf（x）はx＝aで極値をとるとは限らないと教科書にはあります。
そうですね．これ凄く大切なので，忘れないでくださいね．

まず，極値をとるときの条件を確認してみましょう．
関数f(x)がx=aで極値をとるときの条件は，「x=aの前後で，f'(x)の符号が変わる」です．
符号が+から−に変わるときは極大，-から+に変わるときは極小となります．

次に本題の，
>f（x）が極値を持つための条件はf'（x）＝０が異なる２つの実数解をもつことである
これが何を指しているかを考えてみましょう．
f(x)=ax^3+bx^2+cx+dとして，f'(x)=0の異なる２つの解をα,β（α < β）とすれば，f'(x)=a(x-α)(x-β)と因数分解できます．
このときに，
a>0であれば，x=αの前後でf'(x)の符号は+から-，x=βの前後でf'(x)の符号は−から+に変化し，
a<0であれば，x=αの前後でf'(x)の符号は-から+，x=βの前後でf'(x)の符号は+から-に変化します．

ここまでどうですか？
No.2711 - 2009/04/07(Tue) 18:50:12
☆ Re: / カイト ♂ [近畿] [新高校3年生]
すみません、なんとなくはわかるような気がするのですが、いまいちしっくりこない部分もあります。
f'(x)=0が重解を持つときはだめですよね。結局、異なる二つの解をもっていればf(x)は必ず極値をもつのでしょうか。そのときの反例ってあるんでしょうか。
（わかりにくい質問ですみません）
No.2719 - 2009/04/08(Wed) 15:18:02
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
３次関数の（大まかな）形は６パターンしかありません．
導関数は２次式で，その実数解の個数によって下のように分類できます．

導関数=0が異なる２つの実数解をもてば，必ず極大値・極小値が存在し，重解をもつ場合や実数解が存在しない場合は，極大値・極小値が存在しない（単調に増加または単調に減少である）のです．

いかがですか？
No.2721 - 2009/04/08(Wed) 18:22:42
☆ Re: / カイト ♂ [近畿] [新高校3年生]
なるほど、よくわかりました。わかりにくい質問であったにもかかわらず、丁寧に教えてくださってありがとうございました。
受験がんばります。
No.2723 - 2009/04/08(Wed) 19:58:51