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記事No.2875に関するスレッドです
★ 順列組み合わせ / りのあ ♀ [九州] [新高校１年生]
はじめてお世話になります。
高校のテストに出ました。

正方形のタイルの表面には、上下左右が対称となるような仕切り線を入れ、８つの部分に分ける。この８つの部分を7種類の色全部を使って塗り分けたい。7色のうち1色（赤色とする）だけ２つの部分にぬることになるが、赤色は少なくとも1か所、外側の部分にぬらなければならないものとして、塗り分けるには何通りの方法があるか。
ただし、赤色は隣り合う部分には塗れないものとする。


答えは　　２５２０通りです。


赤を固定して、他の色を決めていく解き方で解きました。
最後まで解けたと思ったのですが答えがあいません。
　
問題には図がついていたのですが、表記できなくてすみません。
図についてですが・・・

正方形の中に正方形があって縦と横に分割されている。
『』のような形が出てきます。
よろしくお願いします。
No.2872 - 2009/05/06(Wed) 23:33:42
☆ Re: 順列組み合わせ / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
りのあさん、こんにちは。河童です。

ご質問の内容と解答を併せて考えると、下のような図になるのですが、いかがですか？
図をクリックしてみてください。
もし、見られないときはおっしゃってくださいね。
No.2875 - 2009/05/07(Thu) 14:03:58
☆ Re: 順列組み合わせ / りのあ ♀ [九州] [高校１年生]
ありがとうございます！
はい、図はその通りです。

解説の方を、どうぞよろしくお願いします。
No.2878 - 2009/05/07(Thu) 17:39:05
☆ Re: 順列組み合わせ / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
りのあさん、こんばんは。

解説の前に、いきなりで申し訳ないのですが、次の問題を考えてみてください。
りのあさんは、『赤を固定して』と書いてらっしゃいますが、
固定することの意味をどのように理解されているか知りたいのです。

あっ、でも、間違えてもぜーんぜん気にしなくていいですよ＾＾
そのために勉強しているんですからね。

さて、では。
本問に似通った問題にしましょう。

【問題】　異なる６色の色球をひとつずつと（例えば、白、黒、青、黄、緑、橙）、
　　　　　それと異なる色球２つ（例えば、赤×２）の合計８つを円形に並べる。
　　　　　このときの円順列の数を求めなさい。

答えだけでなく、どのように考えたのかも書いてくださいね。
No.2884 - 2009/05/08(Fri) 00:32:34
☆ Re: 順列組み合わせ / りのあ ♀ [九州] [高校１年生]
こんばんは。ありがとうございます。

【問題】を解いてみました。

赤の位置関係が、隣同士・一個離れ・二個離れ・向い側、と四種類あり、円順列で、赤を区別しないため、赤の固定は４通り。
あとの６つは６！。
∴４×６！で、２８８０


私は、区別しない同じ色などの物が出てくる順列・組み合わせが苦手なので、解き方を詳しく教えてください。よろしくお願いします。
No.2886 - 2009/05/08(Fri) 19:16:49
☆ Re: 順列組み合わせ / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
りのあさん、こんばんは。

やはり、赤の場所で場合分けされましたね。
もちろん間違った方法ではないのですが、実は、赤ではなく他の色を固定する方がいいんです。
というより、赤は固定できないんです。
ビックリしましたか？
赤は固定できないという意味は、あとで分かると思います。

円順列は、『全体がどう見えるか』ではなく、『他のものがどう見えるか』が重要なんです。

りのあさんは、円順列というのは回転させて同じに見える場合は同じものと見なす、というルールは知ってますね。
例えば中華料理店の丸いテーブルに座るとき、花子さんが窓際に座ろうと、ドアの近くに座ろうと、はたまたトイレのすぐ近くに座って臭い思いをしようと『第三者にとっては』関係ないわけです。
ところが、『花子さんから見て』花子さんの向かいに大好きな太郎君が座るのと、苦手な次郎君が座るのでは『花子さんにとって』大きな違いですよね。

さて、いまわたしが出した【問題】の円順列の数が正しく数えられたとして、そのすべてが書き出してあるとしましょう。
りのあさんが例えば白い球になったとして考えてみてください。
自分の右隣に赤がいて、その右隣にも赤がいて、そのまた右隣には青がいて、黒、黄、緑と続いて自分の左隣の橙が最後。
そんな状況を想像してみてください。
さて、この並び方は、さっきの書き出したリストの中にありますか？
もちろんありますよね。
だって、このリストにはすべての場合が書き出してあるんですから。
では、今度は、黒と黄の席を入れ替えてみましょう。
これもリストに載ってますよね？
そして、ここが大事なんですが、最初の並び方と、黒と黄を入れ替えた並び方は、同じ並び方ですか？それとも違う並び方ですか？
違う並び方ですよね。
だって、りのあさんから見て、黒と黄の位置が違うんですから。

さあ、ここまで言えば分かったでしょうか。
『一つしかないものを固定』すれば、つまり上の例ではりのあさん、白い球ですね、これを固定してやれば、あとは、残ったものを並べればいいんですね。
その順列の数こそがすべての数になるんですね。

ここまでは理解できましたか？
No.2893 - 2009/05/09(Sat) 04:26:20
☆ Re: 順列組み合わせ / りのあ ♀ [九州] [高校１年生]
こんばんは。説明ありがとうございます。

多分理解できたと思います。


その方法で【問題】を解いてみると、

赤を固定するのではなく、他の６つの色球のうちの１つを固定するから、（８−１）！
正し、赤を区別しないため、２！で割る。よって、
２５２０通り

この前の解答とでた値が違うのですが…。どうぞよろしくお願いします。
No.2926 - 2009/05/10(Sun) 01:17:46
☆ (No Subject) / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
りのあさん、こんばんは。

大正解です！！
多分などと言わず、この際ですからしっかり理解しましょうね^^
要は簡単なことで、りのあさんから見て違う並び方に見えるものはすべて異なる場合のはずで、しかもそれ以外にはない。
それ以外にはないというのは、りのあさんが実際に席について見た並び方以外のものが、先のリストの中にあるわけがないということです。
だって、リストの中のすべてに、りのあさんが登場するんですから。
場合の数を数える上で最も大切な、『重複がなく』『数え漏れもない』という条件を満たしていますね。

さて、では、最初のりのあさんの答案のどこが間違っているのか。

＞　赤の位置関係が、隣同士・一個離れ・二個離れ・向い側、と四種類あり、
＞　円順列で、赤を区別しないため、赤の固定は４通り。
＞　あとの６つは６！。
＞　∴４×６！で、２８８０

この四種類の場合分けのうち、四つ目の『向い側』が問題ですね。
赤を『ふたつとも』固定した場合、一方の赤ともう一方の赤のふたり（？）から見た風景（他のひとの並び方）に同じものがあったらまずいですよね。
分かりますか？
分かりにくければ、赤が向かい合って座っている場合を考えてみてください。
赤のＡさんから見た並び方と、赤のＢさんから見た並び方がまったく同じ場合が出てきませんか？
それが分かれば、他の三つの固定の仕方についてはＯＫだということが分かると思います。

とりあえず、このレスは以上にして、その他諸々のことについてはりのあさんの返事を待ってお話ししましょう。
No.2936 - 2009/05/11(Mon) 03:48:30
☆ Re: 順列組み合わせ / りのあ ♀ [九州] [高校１年生]
こんばんは。ありがとうございます。

円順列＝１，周りの風景は気にしない。
　　　　２，１人しか存在しない人、物を固定する。
　　　　３，その固定した人から見る他の人、物の並び方が円順列となる。

というのが、私が理解したことです。
間違いや足りないことがありましたら、教えてください。お願いします。


【問題】では、向い側以外の３つの固定に関しては、いいので、３×６！
向い側にある場合は、どちらの赤球でみるかで、同じ場合がでてくるので、
６！÷２　ということになる。

３つの固定がいい理由は、２つどちらで見るかで、風景が変わってしまうからですよね？
よろしくお願いします。
No.2947 - 2009/05/12(Tue) 00:33:46
☆ Re: 順列組み合わせ / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
りのあさん、こんばんは。

そのような理解でおよそよろしいかと思います。

＞　向い側にある場合は、どちらの赤球でみるかで、同じ場合がでてくるので、
＞　６！÷２　ということになる。

そういうことですね。
赤のＡが向かいの赤のＢの位置にくるように１８０度回転させたとき、まったく同じ並び方が２度ずつダブるわけですね。
それに対して他の３つの場合は、一回転させる間に、赤の並び方が同じになることがありませんよね。

ところで、今回のように、ひとつしか存在しないものがない場合、
例えば、赤２個、白４個のような場合に、固定させるものがないため、今回のように簡単にいきません。
そこで、もうひとつの、『回転』による考え方で答案を書いておきます。
これがしっかり理解できると、先の４つの場合分けの中で、何故３つが良かったのか、その理由もはっきり分かると思います。
りのあさんは、とりあえず次の答案を理解された上で、いよいよ本題の解答にとりかかってください。

【別解】まず、円順列でなく、ふつうの順列を考える。つまり、回転させて同じになっても別の並び方と考える。
　　　　このとき、すべての場合の数は、赤×２、その他６色が１つずつの順列で、

　　　　8！ / 2 ! = 20160 （通り)

　　　　このうち、任意の１つを考える。
　　　　この１つの並びを、一回転させるとき、３６０度回転で元にもどる。
　　　　８個の球の中に、ただひとつしかないものがあるため、３６０度回転させる間、元と同じ並び方になることはない。
　　　　従って、20160 通りのうち、同じものが８通りずつダブることになる。
　　　　よって、求めるべき円順列は、

　　　　20160 ÷ 8 = 2520
　　　　

　　　　

　　　　
No.2948 - 2009/05/12(Tue) 02:57:18
☆ Re: 順列組み合わせ / りのあ ♀ [九州] [高校１年生]
こんばんは。

円順列の仕組みは理解できたのですが、私が質問した問題への利用の仕方が分かりません。赤を固定できないなら、他の１色を固定するということですか？
また、円順列の問題かどうかというのさえわかりません。

解説よろしくお願いします。
No.2955 - 2009/05/12(Tue) 22:42:51
☆ Re: 順列組み合わせ / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
りのあさん、こんばんは。

問題の図は、90°回転で元に戻る形をしていて、円順列そのものですよね。
４つのものを円形に並べるのと同じです。
「円じゃなくて四角じゃないか」なんて言わないでくださいね^^
問題の正方形を円に変えればいいんですから。

ところで、りのあさんがされたように、赤を固定してももちろん問題ありません。
あるいはそちらの方が、計算自体は楽なのかも知れません。
しかし、最初に赤を固定してしまうと、どうしても重複を考慮しなければいけません。
実際りのあさんもどこかで間違えましたよね。
それに対して、他のひとつ（以降、白でいきます）を固定すると重複の心配がなくなるのは、いままで見てきたとおりです。
そこで、徹底的に白を主役にして考えてみます。

まず、白を外側の正方形のどれかに固定します。
そして、赤の位置によって場合分けします。
既に白を固定してしまったので、今度は赤を固定しても重複の心配が要らないのが嬉しいところです。
お分かりですか？
次に白を内側の正方形に固定します。
同様に赤の位置で場合分けして終わりです。

ひとつだけわたしがやってみますので、続きはりのあさんが挑戦してください。

【白が外側、赤が外に１個、内に１個】

外の３つのどこに赤を置いても、内には３通りの赤の置き方があり、残りはどこに置いてもよいので、

3 × 3 × 5 ！ （通り）
No.2956 - 2009/05/13(Wed) 03:40:39
☆ 追記です / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
お分かりのように、白を外側に固定すると、『内側までも見渡せる』ところが嬉しいですね。
つまり、いままで見てきたように、白を外側に固定した瞬間、『白から見てどう見えるか』だけを考えればよいのです。
白から見えるすべての場合を求めればいいんですね。
ところが、このとき、白が内側にある場合がまったく現れません。
ですから、次に、白が内側にいる場合も考えなければいけません。
この両方を考えて初めて、『重複も漏れもなく』数えることができるわけです。
No.2957 - 2009/05/13(Wed) 03:59:17
☆ Re: 順列組み合わせ / りのあ ♀ [九州] [高校１年生]
こんばんは。

上記のようにすると、
（白、赤、赤）＝（外、外、外）：１×５！
　　　　　　　＝（外、外、内）：３×３×５！
　　　　　　　＝（内、外、外）：２×５！
　　　　　　　＝（内、外、内）：３×５！＋２×５！

これで宜しいでしょうか？
No.2965 - 2009/05/13(Wed) 18:17:27
☆ Re: 順列組み合わせ / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
りのあさん、こんばんは。


＞　（白、赤、赤）＝（外、外、外）：１×５！
　　　　　　　　　＝（外、外、内）：３×３×５！
　　　　　　　　　＝（内、外、外）：２×５！
　　　　　　　　　＝（内、外、内）：３×５！＋２×５！

最後の　（内、外、内）の部分は、３×５！＋３×２×５！　ですね。
もしかすると、記入ミスかな？
丁寧に書くと、

１×３×５！＋３×２×５！

です。
外の赤、内の赤、赤以外の順に掛けています。
白のすぐ外（隣り）に赤を置いた場合、内の３つに赤が置けて、
それ以外の３カ所に赤を置いた場合、内に置ける場所は２カ所になりますね。
これで合計

２１×５！＝２５２０

ですね。
No.2968 - 2009/05/13(Wed) 23:35:12
☆ Re: 順列組み合わせ / りのあ ♀ [九州] [高校１年生]
こんばんは。

すみません、記入ミスでした。この問題は完璧に理解できたと思います。
毎日お世話になりました。ありがとうございました。
No.2983 - 2009/05/14(Thu) 21:30:51