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記事No.2885に関するスレッドです
★ pattun さんへ / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
pattun さん、こんばんは。

連立方程式の基本的な解き方は今まで述べたとおりでよいのですが、二点ほど気を付けなければいけないことがあります。

『?@かつ?A』という連立方程式で、?@÷?A のように辺々割り算して?Bが得られたとします。
この場合、?A×?Bから?@が得られますので、元の連立方程式は『?Aかつ?B』と同値です。
しかし、?@÷?Bをすれば?Aが得られるからといって、『?@かつ?B』と同値であるとするのは少し危険です。
というのも、?Bの辺々が０である場合を考慮しなければならないからで、この場合は、どちらに代入してもいいというわけにはいきませんね。

また、連立方程式を代入法で解く場合も注意が必要です。
『?@かつ?A』という連立方程式で、?@を?Aに代入して?Bが得られたとします。
この場合、得られた?Bは、必ず?@に代入してください。
?Aの方に代入してはいけません。
この理由は、今まで述べたことの証明とともに、あとのレスでお話しします。

ここまではよろしいでしょうか。
No.2873 - 2009/05/07(Thu) 00:18:53
☆ Re: pattun さんへ / pattun ♂ [中国] [高校１年生]
こんばんは

はい
そこまでは大丈夫です。
No.2880 - 2009/05/07(Thu) 22:50:33
☆ Re: pattun さんへ / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
pattun さん、こんばんは。

それでは、証明に入りますが、たいしたことではありません。
しかし、理解できるまでに時間がかかるかも知れません。
そのときは、証明はともかく、今まで述べた連立方程式の解き方をマスターすることに力を注いでください。

では、下の図を見てください。クリックすれば拡大されます。
これは、

?@ かつ ?A　→　?B

をベン図で表したものです。
?@ かつ ?A　を表す部分（真理集合）が、?Bのそれにスッポリ含まれていますね。
さて、ここで、この図の中の『?@ かつ ?B』にあたる部分を探してください。
先程の ?@ かつ ?A の部分は、この ?@ かつ ?B の部分にもスッポリ含まれていませんか？
確かめてみてください。
これはすなわち、

?@ かつ ?A　→　?B　が成り立つとき　?@ かつ ?A　→　?@ かつ ?B　も成り立つ

ことを意味します。

では、逆に、?B と ?@ を組んで ?A が得られたとしましょう。
つまり、

?@ かつ ?B　→　?A

です。
このとき、先程と同様に、?@ かつ ?B　→　?@ かつ ?A　が成り立ちます。
すなわち、

?@ かつ ?B　→　?A　が成り立つとき　?@ かつ ?B　→　?@ かつ ?A　も成り立つ

ことを意味します。
上の赤字の部分をよおく見てください。
『?@ かつ ?A』と『?@ かつ ?B』が同値であることが分かりましたね。
どうでしょうか？

では、最後に、代入法にいきましょう。

y = f(x)　……　?@　かつ　g( x, y ) = 0　……　?A

これは、?@ かつ ?A という連立方程式で、
?@は、y について解いた式で、右辺は x の式です。
また、?A は、x と y の式です。

さて、?@ を ?A に代入しますと、

g( x, f(x) ) = 0　……　?B

という式ができますね。
この ?B と 元の ?@ を組むと、?A と同じ式が出来ますね。
?B の f(x) の部分を y に変えるだけですからね。
つまり、?@ かつ ?A　は、?@ かつ ?B と同値、言い換えれば、出てきた?Bを?@に代入すればよいことになります。

ところが、出てきた?Bを、今度は?Aの方と組んでみますと、

g( x, y ) = g( x, f(x) )

という式が出来ますね。
ところが、これから、?@ の　y = f(x) は得られませんね。
何故なら、式 g の値が等しいからと言って、その中の y と f(x) が等しいとは限らないからです。
例えば、sin x = sin y だからといって、x = y とは限りませんよね。
つまり、代入法で解く場合は、?Aの方に代入してはまずいんですね。

最後の方は駆け足で進みましたが、これでお分かりでしょうか。
No.2885 - 2009/05/08(Fri) 02:40:54
☆ Re: pattun さんへ / pattun ♂ [中国] [高校3年生]
こんばんは

校内模試など、多忙でパソコンをつける機会がなく
返信が遅れてしまったこと誠に申し訳ありませんでした


そして、分かりやすい説明ありがとうございます。

よく分かりました。
No.2984 - 2009/05/14(Thu) 22:50:39