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記事No.2980に関するスレッドです
★ 数?V / 花 ♀ [東北] [高校3年生]

はじめましてこんばんは！
出典は精説 高校数学準拠問題集第４巻です。


数?Vの微分の方程式の実数解の個数の問題です。
aは定数とする。方程式の異なる実数解の個数を求めよ。
x^3-ax+2a=0

未知定数分離してx≠0よりx^3/(x-2)=a
y=x^3/(x-2)よりy'=2x^2(x-3)/(x-2)^2
y'=0とするとx=3,2

というところまでやりました。
ここでまず質問なんですが、
y=x^3/(x-2)を変形して漸近線を出すのって
どのようにすればいいんでしょうか？
やってみたらy=x^2+{2x^2/(x-2)}となってしまいました。
y=x^2が漸近線になるわけないのでどこかで
間違ってるんだと思うのですがどこか分からず…
そして何よりグラフの書き方がよく分かりません。
双曲線かな、とは思うのですが…

どなたか教えてください。
よろしくお願いします！
No.2934 - 2009/05/10(Sun) 22:51:48
☆ Re: 数?V / londontraffic ♂ [教育関係者]
花さん，こんばんは．
理解したい気持ちが伝わってきます(^_^)
花さんの助けになればと思っています．よろしくお願いします．

漸近線の話にすぐいければいいのですが，その前に
>y'=0とするとx=3,2
が違うようです．

>y=x^3/(x-2)よりy'=2x^2(x-3)/(x-2)^2
ここまではokです．y'=0の解を求めるときは分子が0になる場合なので，2x^2(x-3)=0
すなわち，x=0,3のときです．

もう一つ．x=2のとき，y=x^3/(x-2)の右辺の分母は０になりますよね．
「０で割ってはならない」と学校で習いませんでしたか？

以上２点についてレスください．お願いします．
No.2941 - 2009/05/11(Mon) 18:04:09
☆ Re: 数?V / 花 ♀ [東北] [高校3年生]
londontrafficさん、回答ありがとうございます！

すみません、x=0,3のときですね^^;
x=2のときは分母が０になるので微分不可能ということですよね？




No.2942 - 2009/05/11(Mon) 19:14:01
☆ Re: 数?V / londontraffic ♂ [教育関係者]
はい．そのとおりです．
では次にいきましょう．

漸近線は直線なので，次の２つのタイプがあります．
1)x=p
2)y=mx+n

関数をy=f(x)とします．
まず，1)のタイプです．
1)のタイプは
lim_{x to p-0}f(x)=±∞,lim_{x to p+0}f(x)=±∞
のいずれかが成り立つときなので，今回に関して言えば
lim_{x to 2-0} x^3/(x-2)=-∞,lim_{x to 2+0} x^3/(x-2)=+∞
から，x=2が漸近線になります．

また，2)のタイプは
lim _{x to ±∞}{f(x)-(mx+n)}=0
が成り立つときです．

ここまでどうでしょう．
No.2943 - 2009/05/11(Mon) 19:28:22
☆ Re: 数?V / 花 ♀ [東北] [高校3年生]
あっ！1)x=pのタイプを考えるのを忘れてました^^;
2)y=mx+nのタイプばっかり気にしていたら…

じゃあまず１つめの漸近線はx=2ということですね^^
No.2944 - 2009/05/11(Mon) 20:27:52
☆ Re: 数?V / londontraffic ♂ [教育関係者]
レス遅れました．ごめんなさい．
次にいきます．

2)の方です．例えば 関数
f(x)=(x^2-x+1)/(x-1)
だと，f(x)=x+1/(x-1)と変形できて
lim_{x to ∞}{f(x)-x}=0,lim_{x to -∞}{f(x)-x}=0であることから 直線y=xが漸近線になります．
このとき，上の黒い部分に注目してください．
lim_{x to ±∞}1/(x-1)=0
であることからlim_{x to ∞}{f(x)-x}=0,lim_{x to -∞}{f(x)-x}=0が言えます．
では，花さんの式を見てみましょう．
>y=x^2+{2x^2/(x-2)}
の後ろの部分の極限を考えてみると
lim_{x to ±∞}2x^2/(x-2)=∞となってしまいます．
つまりこの変形では漸近線はよくわからないということになります．

ここまでどうですか？
No.2950 - 2009/05/12(Tue) 06:27:31
☆ Re: 数?V / 花 ♀ [東北] [高校3年生]
せっかく回答してくださったのにレス遅れてしまってすみません！


なるほど！∞では分かりにくいですね。
では、第二次導関数を求めればよいのでしょうか？
それともこの問題の場合グラフを書けというものでは
ないので必要ないのでしょうか。
でも理解を深めるためには求めておいたほうがいいでしょうか^^
No.2970 - 2009/05/13(Wed) 23:57:37
☆ Re: 数?V / londontraffic ♂ [教育関係者]
>それともこの問題の場合グラフを書けというものでは
>ないので必要ないのでしょうか。
漸近線の話を終わらせてからこの話をしようと思っていたので，もう少し漸近線の話を続けます．

y=f(x)において
・f(x)=mx+n+g(x)
・lim_{x to ±∞}g(x)=0
となっているとき，lim _{x to ±∞}{f(x)-(mx+n)}=0となります．

今回の場合，分母はx-2（１次式）であるので，分子を定数まで次数を落とすとg(x)の部分が作り出せます．
y=x^3/(x-2)=x^2+2x+4+8/(x-2)
（赤の部分がg(x)に相当します）
そうすると，
lim_{x to ±∞}{x^3/(x-2)-(x^2+2x+4)}=0
となることが分かります．

漸近線を曲線まで拡張して考えれば，この場合放物線 y=x^2+2x+4 が漸近線となりますが
（下の図を参考にしてください．薄いグレーが関数・青が漸近線です．）
高等学校では直線に限って漸近線を考えます．
よって，今回の関数について言えば x=2 だけが漸近線になります．

ここまでいいですか？
No.2980 - 2009/05/14(Thu) 18:04:03
☆ Re: 数?V / 花 ♀ [東北] [高校3年生]
また遅れてしまいました、すみません＞＜

> 今回の場合，分母はx-2（１次式）であるので，分子を定数まで次数を落とすとg(x)の部分が作り出せます．
> y=x^3/(x-2)=x^2+2x+4+8/(x-2)
> （赤の部分がg(x)に相当します）
> そうすると，
> lim_{x to ±∞}{x^3/(x-2)-(x^2+2x+4)}=0
> となることが分かります．

というところを全く考えていませんでした…
今まで自分の漸近線に対する知識が甘かったことが
よくわかりました^^;

ここまで理解できました。
No.3000 - 2009/05/17(Sun) 12:12:25
☆ Re: 数?V / londontraffic ♂ [教育関係者]
はい．ご理解いただいてよかったです．
では，約束通り
>それともこの問題の場合グラフを書けというものでは
>ないので必要ないのでしょうか。
の話です．

今回の問題をもう一度思い出しましょう．
単純に処理ができなかったから，定数分離したのですよね．
x^3/(x-2)=a
からf(x)=x^3/(x-2)としたとき，直線y=aとy=f(x)の共有点のx座標が与方程式の解となるので，その個数を求めにいくのでした．
ここでy=aという直線はy軸に垂直です．
例えばy=1/xのように，y軸に垂直な漸近線をもつ関数とy=aの共有点を考える場合，漸近線を分かっている必要は大いにあります．それとは対照的にx=p，y=mx+n(mキ0)などのタイプの漸近線は，直線y=aと曲線の共有点を考えるときにあまり重要ではありません．

ではどうするか？となりますよね．
大切なのはy=aとの共有点がハッキリ分かるグラフの概形を作ることです．必要に応じて第２次導関数まで利用してください．

今回 f(x)=x^3/(x-2) とするとf(x)はxキ0で微分可能であり，f'(x)=0の解は x=0,3
増減表は下のようになります．
この時点で直線x=2が漸近線であることがわかります．
次に上に書いたとおり，y軸に垂直な直線が漸近線であるかどうか調べます．
lim_{x to ∞}f(x)，lim_{x to -∞}f(x)を計算して，どちらか（あるいは両方）が有限な値αに収束するとき直線 y=α が漸近線になるので計算してみると，lim_{x to ∞}f(x)=∞，lim_{x to -∞}f(x)=∞となるので，y軸に垂直な直線は漸近線にならないのがわかります．それと同時に，無限大に発散することもわかるので，グラフの概形が描けるます．

ここまでいかがですか？
No.3014 - 2009/05/18(Mon) 08:42:26
☆ Re: 数?V / 花 ♀ [東北] [高校3年生]

なるほど。やはりグラフを書くのに漸近線は不可欠ですね！
ここまでの話は理解できたのですが、ひとつ疑問なのが
今回添付してくださった増減表で右斜め下を向いた矢印が３つ
並んでいますが、このような増減表になったときは
前に示してくださったグラフの薄いグレーの関数のような
形になるのでしょうか？つまり増減表の矢印によって
グラフの形を判断するのか、ということです。
今まで私はf(x)=x^3/(x-2)という関数で、f(x)=x^3というのが入って
いるからここからなんとなくグラフの形を推測していたので…
本当に基本的な事項を質問してしまってごめんなさいm(_ _)m
No.3020 - 2009/05/18(Mon) 22:42:41
☆ Re: 数?V / londontraffic ♂ [教育関係者]
>つまり増減表の矢印によってグラフの形を判断するのか、ということです。
んん？逆に花さんにお聞きしたいです．
「いままでどうやってグラフを描いてきましたか？」と．
>今まで私はf(x)=x^3/(x-2)という関数で、f(x)=x^3というのが入って
>いるからここからなんとなくグラフの形を推測していたので…
もしかして典型的なパターンのグラフを覚えていて，なんとなく当てはめてとか・・・
全てのパターンを身につけていればそれもアリですよね．でも私には「全てのパターン」って分からないです．知っているものは何種類かありますが，それで足りているとは思えないです(>_<)
やっぱり増減表を見て判断します．

折角ですので今回のf(x)について増減表を利用しながらグラフの概形を考えてみましょう．

>今回添付してくださった増減表で右斜め下を向いた矢印が３つ並んでいますが、
そうですね．３つ同じ矢印が並んでいるとかなり気になると思いますが，まず初めにめを付けていただきたいのは，曲線がいくつに分かれているかです．
f(x)はx=2で定義されないので，増減表を見ても分かるとおりx=2で曲線が切れます．よって，右と左で分けて考えてみましょう．
左側の増減は，右下がり・０・右下がりです．y=-x^3のグラフをイメージするといいですかね．
右側は右下がり・０・右上がりなので，イメージ的には下に凸の放物線がいいかもしれません．
そうするとなんとなく
>グラフの薄いグレーの関数のような形
になりませんか？
No.3027 - 2009/05/19(Tue) 18:51:51
☆ Re: 数?V / 花 ♀ [東北] [高校3年生]
はい、そうです><
学校でグラフの書き方について詳しい説明をあまり
してもらえなかったので、参考書などに載っている
グラフのパターンを覚えて書いていました…
今回のようなグラフのときはアウトですね;;

私はグラフで考えるのが結構苦手だったのですが
今回の質問から得るものはかなり大きいです。
これに漸近線を書けばＯＫですよね^^？
No.3046 - 2009/05/20(Wed) 23:19:16
☆ Re: 数?V / londontraffic ♂ [教育関係者]
>これに漸近線を書けばＯＫですよね^^？
はい．それでokです．
あとはy=aを引いて，共有点の個数を調べてくださいね．
No.3053 - 2009/05/21(Thu) 06:49:26
☆ Re: 数?V / 花 ♀ [東北] [高校3年生]

共有点の個数を調べたら、
a＞27のとき３個
a=27のとき２個
a＜27のとき１個
となりました。

合っているでしょうか？
No.3080 - 2009/05/22(Fri) 22:44:44
☆ Re: 数?V / londontraffic ♂ [教育関係者]
それでokですよ．

>学校でグラフの書き方について詳しい説明をあまりしてもらえなかったので、
数IIIを学ぶレベルになると，授業のスピードが速くなっていると思います．
細かいところまで説明したくても，なかなか時間がとれないのかもしれませんね．

数IIIだとグラフがないと説明しづらい問題が沢山あり，やりとりの時間が勿体ないので，学校の先生に質問するのが一番いいと思いますが，それがイヤならば勿論こちらを利用してくださって構いません．親切で教え方の上手な先生が沢山いらっしゃいますので．
No.3085 - 2009/05/23(Sat) 07:47:31
☆ Re: 数?V / 花 ♀ [東北] [高校3年生]

遅れました＞＜

今回は学ぶべきところがたくさんありました。
練習を重ねてすらすら解けるようにしたいと思います。
また何か分からない問題があったら
是非お世話になりたいと思います。


londontrafficさん、２週間以上に渡り
解説してくださって本当に本当にありがとうございました！
No.3142 - 2009/05/27(Wed) 20:17:47