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記事No.3349に関するスレッドです
★ (No Subject) / たろう ♂ [関東] [高校１年生]
こんばんは。初めて利用します。よろしくお願いします。

aは正の定数とし、f(x)=｜x＾2−2ax｜とする。区間0≦x≦1における関数y=f(x)の最大値をMとおく。
問１　Mをaで表せ。
問２　Mを最小にするaの値を求めよ。

絶対値記号がついているので正負で場合分けするというのは分かるのですが、それ以降の解き方
がわかりません。
どのようにして解いていけばよいのでしょうか。
No.3325 - 2009/06/21(Sun) 23:24:43
☆ Re: / たろう ♂ [関東] [高校１年生]
新矢さん、ご指摘ありがとうございました。
編集で言葉をつけたさせて頂きました。失礼しました。

参考書の問題なのですが、解説がかなり短いものなので全く分かりません・・。
改めまして、ご指導よろしくお願いします。
No.3338 - 2009/06/23(Tue) 22:09:24
☆ Re: / すもも ♀ [北海道] [教育関係者]
たろうさん、こんばんは。
すももと申します。
新矢先生から回答を引き継ぎますのでよろしくお願いします。

ではこの問題の解説に入る前にたろうさんに質問があります。
?@　|x^2−2ax|の絶対値を外すことはできますか？
?A　もしf(x)＝x^2−2axだったとしたらこの問題を解くことはできますか？

この問題を解く上で上記２つの理解度の確認が必要になります。
たろうさんの状況をふまえた上で回答したいのでお返事をお待ちしていますね。
No.3339 - 2009/06/23(Tue) 23:03:20
☆ Re: / たろう ♂ [関東] [高校１年生]
すもも先生、こんにちは。
これからお世話になります。よろしくお願いします。

?@は、絶対値は外す際に正と負で場合分けをして考えるので、
　　　x＾2−2axと−x＾2＋2axです。
?Aは、(1)　x＾2−2axを変形して(x−a)＾2−a＾2より軸はx＝aで0≦x≦1なので、aを1／2との大小で場合分けします。よって、
　　　a＜1／2のとき、x＝1で最大値M＝−2a＋1
　　　a＝1／2のとき、x＝0、1で最大値M＝0、−2a＋1
　　　1／2＜aのとき、x＝0で最大値M＝0
　　　となります。
　　　(2)　(1)より最大値Mの最小値は0 よってMを最小にするaの値は1／2です。

　　　これでどうでしょうか？
No.3344 - 2009/06/24(Wed) 20:40:06
☆ Re: / すもも ♀ [北海道] [教育関係者]
たろうさん、こんばんは。

早速いきましょう。
まず?@に関してです。
絶対値を外した結果は正解です。
…なんだか回りくどい言い方ですよね。
なぜこんな言い回しをするかというと、絶対値を外す場合は絶対値の中身の場合分けが重要だからです。
今回の場合はx^2−2axがどのような時に正となり、また負となるかがポイントになります。
つまりxの範囲によってf(x)はx＾2−2axと−x＾2＋2axのどちらかを採用することになります。
それをふまえた上で元の問題の問1はy＝|x^2−2ax|のグラフを書いて考えます。
もちろんaは変数ですから、aの位置については場合分けが必要になります。
この場合分けを確認したくて?Aの質問をしたわけです。

?Aに関してもほぼ正解です。
またもや回りくどいですね。
まず場合分けの2番目はaの値が決まっているのですから−2a＋1ではなく代入した値、つまりM＝0でよいわけです。
でも、じつは一番のポイントは?Aの問2、つまりMの最小値を求めるときにあります。
?Aの場合は最小値Mの最小値0までは決まるのですがaは値ではなく範囲で与えられるのです。
たろうさんは場合分けはきちんとできているので後はグラフを書いて考えていただければある程度理解できるのではないかとお見受けします。

そこでまず私の質問?Aの問2に関してご自分でグラフを書いてなぜ“aが値ではなく範囲で与えられる”のかを考えてみて下さい。
その後本来のご質問であるy＝|x^2−2ax|のグラフを書いてください。
通常の二次関数とは多少形が違うものができますが、aの位置を動かしながら考えていくと問1の答えが見えてくるはずです。

問2に関しても先ほどの?Aと同様、aの範囲について注意して場合分けをした上でグラフを書いてみて下さい。

全体的に回りくどい回答になってしまいました。
たろうさんのレスをお待ちしています。
No.3345 - 2009/06/24(Wed) 23:18:40
☆ Re: / たろう ♂ [関東] [高校１年生]
すもも先生、こんにちは。

すもも先生の解説と参考書のこの問題の解説を照らし合わせて考えた結果、解き方が分かりました。合っている自信はあまり無いのですが。

参考書の解説の所にグラフが書いてあり、その形がx＾2−2ax、−x＾2＋2axのそれぞれの正の部分を組み合わせた Ｗのような形で、一体何故正の部分のみなのかずっと疑問に思ってました。　そこで、すもも先生の解説と照らし合わせた結果、そのグラフはf(x)＝|x＾2−2ax|のxの範囲に対する最大値ではないかと思いました。xの範囲に対する最大値を示すグラフだから正の部分のみなんですよね？

それ以降は1とaと(1＋√2)aの大小で場合分けをすればいいんですよね？
そこでまた疑問が生じました。
僕は1＜a、a＜1＜(1＋√2)a、(1＋√2)a＜1で場合分けをしたのですが参考書の解説では、僕が＜と考えた所が≦になっていました。
≦では正しくないと思うのですが‥
どうなのでしょうか？
No.3347 - 2009/06/25(Thu) 19:04:27
☆ Re: / すもも ♀ [北海道] [教育関係者]
たろうさん、こんばんは。

まず気になったことがあります。
もしかして、たろうさんはまだ2次不等式を履修されていないのではないでしょうか？
そうだとすると、今回の2次式の絶対値を外す外し方がわからないのは当然です。
まだ履修されていないと仮定して解説したいと思います。

文字が入っているとさらに考えにくいかと思うので一度y＝|x^2−2x|で考えてみましょうか。
絶対値を外すときは絶対値の中身の符号がポイントとなります。
x^2−2x≧0のとき、|x^2−2x|＝x^2−2x，x^2−2x＜0のとき、|x^2−2x|＝−x^2＋2x　です。
つまりy＝|x^2−2x|のグラフはy＝x^2−2xの一部とy＝−x^2＋2xの一部の組み合わせたものとなります。
では、どの部分を使えばよいのでしょうか？
これを求めるにはx^2−2x≧0とx^2−2x＜0を解く必要があります。
2次関数のグラフを使って考えてみます。
y＝x^2−2xのグラフを書いてそのグラフのy≧0になっているxの範囲とy＜0となっているxの範囲を調べてみてください。
x≦0またはx≧2の部分ではy＝x^2−2x≧0，0＜x＜2の部分ではy＝x^2−2x＜0となっていませんか。
このことから、y＝|x^2−2x|のグラフはx≦0またはx≧2の部分はy＝x^2−2xのグラフを、0＜x＜2の部分ではy＝−x^2＋2xのグラフを採用することになるわけです。
ここまでは大丈夫でしょうか？
No.3349 - 2009/06/25(Thu) 21:45:03
☆ Re: / たろう ♂ [関東] [高校１年生]
すもも先生、こんばんは。

すみません、２次不等式は既に履修しています。
ですが、参考書のセクションから２次不等式を使用しなければならないことが推測できませんでした、すみません。


はい、理解できます。大丈夫です。
No.3350 - 2009/06/25(Thu) 22:50:21
☆ Re: / すもも ♀ [北海道] [教育関係者]
たろうさん、こんばんは。

私の老婆心でしたね(^^;
謝る必要はないですよ。
高校数学はさまざまな知識をいかに融合させて考えるかを問われてきます。
たろうさんはまだ1年生です。これから時間をかけて“考える力”をつければいいことです。

では本題に戻りましょう。
まずf(x)=｜x^2−2ax｜の絶対値の中身を場合分けします。

(?@)x^2−2ax≧0のとき　　x(x−2a)≧0
　　a＞0よりx≦0またはx≧2aのとき
　　｜x^2−2ax｜＝x^2−2ax
(?A)x^2−2ax＜0のとき　　x(x−2a)＜0
a＞0より0＜x＜2aのとき
｜x^2−2ax｜＝−x^2＋2ax

ここで確認しておきたいことがあります。
今回は0と2aの大きさを比べる際にaが正の数という条件があったからx≦0またはx≧2aとなったわけです。
もしaが正という条件がなければa＞0，a＝0，a＜0の場合分けがさらに必要になります。

これでグラフを書いて考えるのはたろうさんのお考えの通りです。
では、なぜ1＜a、a＜1＜(1＋√2)a、(1＋√2)a＜1の不等号にイコールがついてもよいかを説明しますね。
添付したグラフを見て下さい。
(?@)のグラフではx＝1のときf(x)は最大値2a−1をとることがわかります。
ではもし、a＝1となったとして考えてみて下さい。
そうなったとしても最大値はx＝1＝aで先ほどと変わらないですね。
同じことが(?A)，(?B)でも言えませんか？
このようにもしイコールをつけても矛盾が生じない場合は≦,≧としても大丈夫です。
私が以前質問した問題を思い出してください。
あの問題の場合分けも、
＞a＝1／2のとき、x＝0、1で最大値M＝0,−2a＋1＝0
となり、これをa＜1/2のときやa＞1/2のときに加えて考えても矛盾は生じませんよね？
逆にイコールをつけないとすると、先ほどの場合分けに加えてa＝1，a＝1/2，a＝√(2)−1の3パターンも加えなければなりません。
でも、それをしても手間がかかるだけであまり得るものはないですね。

すべてに等号をつけることに抵抗があるかも知れませんが入試では問題ありません。（勿論矛盾がなければ、ですよ）
が、学校の先生にはたまに抵抗感を示す方がいらっしゃいます(^^;
定期テストなどでは数学担当の先生に合わせたほうが無難かも知れません。

以上を考えると問1は
M＝2a−1 (0＜a≦√(2)−1，a≧1のとき）←グラフの(?@)と(?B)の場合に相当
M＝a^2 (√(2)−1≦a≦1のとき) ←グラフ(?A)の場合に相当
となります。
問2は問1の結果をもとにMとaの関係を表すグラフを書いて考えます。
No.3353 - 2009/06/26(Fri) 01:16:31
☆ Re: / たろう ♂ [関東] [高校１年生]
すもも先生、こんにちは。

一つ腑に落ちない箇所があります。
すもも先生は、

M＝2a−1(0＜a≦√(2)−1、a≧1のとき)←グラフの(?@)と(?B)の場合に相当
M＝a^2(√(2)−1≦a≦1のとき)←グラフの(?A)の場合に相当
となります。

としていますが、参考書の解答では、

M＝−2a＋1(0＜a≦√(2)−1のとき)
M＝a^2(√(2)−1≦a≦1のとき)
M＝2a−1(1≦aのとき)

となっています。

(0＜a≦√(2)−1)のときは、x^2−2axのグラフのxに1を代入するので−2a＋1が正しいのではないでしょうか？
No.3362 - 2009/06/26(Fri) 18:01:28
☆ Re: / すもも ♀ [北海道] [教育関係者]
たろうさん、こんばんは。

ご指摘の点ですが、私の計算ミスです。
ご迷惑をかけてすみません。
正しくは
M＝−2a＋1(0＜a≦√(2)−1のとき)←グラフ(?B)の場合に相当
M＝a^2(√(2)−1≦a≦1のとき)←グラフ(?A)の場合に相当
M＝2a−1(a≧1のとき)←グラフ(?@)の場合に相当
です。

その他の点は大丈夫でしたか？
No.3363 - 2009/06/26(Fri) 20:16:34
☆ Re: / たろう ♂ [関東] [高校１年生]
すもも先生、こんばんは。

問２の、問１の結果をもとに書くグラフについてよく分からないので教えて下さい。
参考書にもグラフが書いてあるのですが、いまいちよくわかりません。
No.3365 - 2009/06/26(Fri) 22:09:53
☆ Re: / すもも ♀ [北海道] [教育関係者]
たろうさん、こんばんは。

それでは問2について考えます。
まず問1のグラフについて考えてみましょう。
こちらのほうがなじみのあるxy平面のグラフですし、場合分けも少ないですからね。
まずy＝x^2−2axとy＝−x^2＋2axのグラフを点線で書きます。
その上でそれぞれの定義域の部分のみ実線にすると問1のグラフになります。

これと同様に問2のグラフを書きます。
今度はxとyの関係式ではなくMとaの関係式なので座標軸はMとaでとります。
先ほどと同様にM＝−2a＋1，M＝a^2，M＝2a−1のグラフをそれぞれ点線で書きます。
その上でそれぞれの定義域の部分のみ実線にすると…
問2のグラフになりませんか？
このグラフからMの最小値とそれを与えるaの値がわかりますね。
No.3366 - 2009/06/26(Fri) 23:00:16
☆ Re: / たろう ♂ [関東] [高校１年生]
すもも先生、こんばんは。

そういうことだったんですね。
よく分かりました。
ありがとうございます。
No.3374 - 2009/06/27(Sat) 22:19:25