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記事No.4175に関するスレッドです
★ (No Subject) / T ♂ [甲信越] [高校2年生]
はじめまして。自分は数学がとても苦手なので教えてもらえるとありがたいです。

三角関数でわからない問題があるので教えてください。

?@２直線y=x+1 y=-(2+√３）?I-1 のなす鋭角θを求めよ

という問題です。全体的によくわからないのでよろしくお願いします。
No.4160 - 2010/01/04(Mon) 14:11:00
☆ Re: / おむすびころりん ♂ [九州] [その他]
まず、直線の方程式y＝mx＋nについて、mは傾きといっていましたよね。

三角関数(三角比)で傾きに相当するものはsin, cos, tanのうちどれでしたか。＿＿＿

直線y＝mx＋nがx軸の正の向きとなす角をθ(0°≦θ＜180°)とおくと、
この直線の傾きについて、(傾き＝)m＝＿＿＿θが成り立つことになります。
(※　本問ではθの範囲を−90°＜θ＜90°と考えてもかまいません。)

同じように考えると、
直線y＝x＋1がx軸の正の向きとなす角をα(0°≦α＜180°)とおくと、
＿＝＿＿＿α,
直線y＝−(2＋√3)x−1がx軸の正の向きとなす角をβ(0°≦β＜180°)とおくと、
＿＿＿＿＿＿＿＝＿＿＿β
が成り立ちます。

とりあえずここまで考えてみて下さい。

ここまで考えたら、次は三角関数の加法定理を用いることになります。
No.4161 - 2010/01/04(Mon) 14:55:39
☆ Re: / T ♂ [甲信越] [高校2年生]
一つ目の空白の意味はわかったんですが二つ目の空白からわからなくなりました；；
No.4162 - 2010/01/04(Mon) 15:41:33
☆ Re: / おむすびころりん ♂ [九州] [その他]
一つ目の空白は、sin, cos, tanのうち何でしょうか。
No.4163 - 2010/01/04(Mon) 15:45:22
☆ Re: / T ♂ [甲信越] [高校2年生]
tanだと思います。
No.4164 - 2010/01/04(Mon) 16:17:38
☆ Re: / おむすびころりん ♂ [九州] [その他]
> tanだと思います。
正解です。合ってますよ。

では、

直線y＝mx＋nがx軸の正の向きとなす角をθ(0°≦θ＜180°)とおくと、
この直線の傾きについて、(傾き＝)m＝＿＿＿θが成り立ちます。

この空白はどうなると思いますか。1つ目の答えがヒントです。
No.4165 - 2010/01/04(Mon) 16:33:40
☆ Re: / T ♂ [甲信越] [高校１年生]
そこが全然わからないです・・・　
すいません・・・
No.4166 - 2010/01/04(Mon) 16:36:48
☆ Re: / T ♂ [甲信越] [高校１年生]
あ！！！
わかりました！
tanθですね！
No.4167 - 2010/01/04(Mon) 16:38:05
☆ Re: / おむすびころりん ♂ [九州] [その他]
実例を挙げてみましょう。

直線y＝√3・x＋2の傾きは√3で、
この直線がx軸の正の向きとなす角をθ(0°≦θ＜180°)とおくとθ＝60°なので、
この直線の傾きについて、(傾き＝)√3＝＿＿＿60°

これは三角関数の問題です。1つ目の答えもヒントです。
No.4168 - 2010/01/04(Mon) 16:44:33
☆ Re: / T ♂ [甲信越] [高校2年生]
tanってことですね！
No.4169 - 2010/01/04(Mon) 16:46:30
☆ Re: / おむすびころりん ♂ [九州] [その他]
> tanθですね！
正解です。合っています。

直線y＝mx＋nがx軸の正の向きとなす角をθ(0°≦θ＜180°)とおくと、
この直線の傾きについて、(傾き＝)m＝tanθが成り立ちます。

これを

直線y＝x＋1の傾きは＿で、
この直線がx軸の正の向きとなす角をα(0°≦α＜180°)とおくと、(傾き＝)＿＝＿＿＿α

直線y＝−(2＋√3)x−1の傾きは＿＿＿＿＿＿＿で、
この直線がx軸の正の向きとなす角をβ(0°≦β＜180°)とおくと、(傾き＝)＿＿＿＿＿＿＿＝＿＿＿β

にも同じように当てはめてみて下さい。
No.4170 - 2010/01/04(Mon) 16:49:12
☆ Re: / T ♂ [甲信越] [高校2年生]
上から順番に答えていくと

１、１、tan、-(2+√3)、-(2+√3)、tan

ですか？
No.4172 - 2010/01/04(Mon) 17:25:30
☆ Re: / おむすびころりん ♂ [九州] [その他]
> 上から順番に答えていくと　１、１、tan、-(2+√3)、-(2+√3)、tan ですか？
はい、合っています。

直線y＝x＋1の傾きをm1とすると、m1＝1＝tanα(0°≦α＜180°)
直線y＝−(2＋√3)x−1の傾きm2とすると、m2＝−(2＋√3)x＝tanβ(0°≦β＜180°)
これを用いた計算(三角関数の加法定理)を行ないます。

その前に、以下の空欄を埋めてみて下さい。

一般に、2つの直線が1点で交わるとき、2つの直線が作る角は＿個でき、
この＿個の角は、同じ大きさの角が＿個ずつある。　←　3か所とも整数

直線y＝x＋1と直線y＝−(2＋√3)x−1によってできる角と
直線y＝xと直線y＝−(2＋√3)xによってできる角は＿＿＿。　←　3文字
No.4173 - 2010/01/04(Mon) 17:40:18
☆ Re: / T ♂ [甲信越] [高校１年生]
上から順に

４、４、２、最後が微妙にわかりません；；
No.4174 - 2010/01/04(Mon) 17:43:14
☆ Re: / おむすびころりん ♂ [九州] [その他]
> ４、４、２、最後が微妙にわかりません；；
4, 4, 2は合っています。最後は「等しい」です。

どうしてこのようなことを聞いたかというと、

一般に、2つの直線が1点で交わるとき、2つの直線が作る角は4個でき、
この4個の角は同じ大きさの角が2個ずつあり、
この2個ずつの角のうち、小さい方の角が答えになり、

また、直線y＝x＋1と直線y＝−(2＋√3)x−1を平行移動させて、
交点が原点になるようにしたら考えやすくなるので、
直線y＝xと直線y＝−(2＋√3)xによってできる鋭角を考えよう　

ということを押さえておいて欲しかったからです。

グラフを投稿しようとして失敗したので、
直線y＝xと直線y＝−(2＋√3)xのグラフを書いてみて下さい。
原点でβ−αとα−β＋180°の2つの角ができ、
小さい方が答えになります。

一見、角度が分かりにくいですが、
1＝tanα(0°≦α＜180°), −(2＋√3)x＝tanβ(0°≦β＜180°)を導いていますので、
ここで、三角関数の加法定理を用いて、tan(β−α)を求めてみて下さい。
No.4175 - 2010/01/04(Mon) 18:03:38
☆ Re: / T ♂ [甲信越] [高校2年生]
図はどうやってみればいいんでしょうか？
No.4176 - 2010/01/04(Mon) 18:11:12
☆ Re: / T ♂ [甲信越] [高校2年生]
y=xのグラフは何となくかけたんですが、−(2＋√3)xのグラフがいまいちわからないです。

あと「β−αとα−β＋180°の2つの角ができ」というところが微妙です。
No.4177 - 2010/01/04(Mon) 18:17:37
☆ Re: / おむすびころりん ♂ [九州] [その他]
先の書き込みに図を追加しましたので、図を参考にして下さい。
クリックすると、拡大表示されるかと思います。

直線y＝xと直線y＝−(2＋√3)xによって、原点でβ−αとα−β＋180°の2つの角ができ、
小さい方が答えになることを確認しましたら、

1＝tanα(0°≦α＜180°), −(2＋√3)x＝tanβ(0°≦β＜180°)を用い、
三角関数の加法定理より、tan(β−α)を求めてみて下さい。
この計算は少し面倒ですが、計算結果が出ると0°≦β−α＜180°なので、
β−αが具体的に何度と分かります。
No.4178 - 2010/01/04(Mon) 18:19:47
☆ Re: / T ♂ [甲信越] [高校１年生]
なるほど！
大きい角から小さい角を引けばいいんですね！
No.4179 - 2010/01/04(Mon) 18:21:32
☆ Re: / T ♂ [甲信越] [高校１年生]
ここからどうすればいいんですか？
No.4180 - 2010/01/04(Mon) 18:25:18
☆ Re: / おむすびころりん ♂ [九州] [その他]
まず、三角関数の加法定理tan(β−α)＝…を教科書で少し確認してみて下さい。
ここからの計算は、tanの加法定理の公式を覚えていることが前提になります。
No.4181 - 2010/01/04(Mon) 18:30:17
☆ Re: / T ♂ [甲信越] [高校１年生]
tan(β-α)=tanβ+tanα/1+tanβtanα

ですか？
No.4182 - 2010/01/04(Mon) 18:33:49
☆ Re: / おむすびころりん ♂ [九州] [その他]
> tan(β-α)=tanβ+tanα/1+tanβtanα　ですか？
惜しい!　微妙におかしい所があります。
また、こういった掲示板では以下のように分子と分母はそれぞれ全体を括弧でくくって下さい。
tan(β−α)＝(tanβ＋tanα)/(1＋tanβtanα)　←　1文字おかしいです。
No.4183 - 2010/01/04(Mon) 18:39:39
☆ Re: / T ♂ [甲信越] [高校１年生]
次から気をつけるようにしたいと思います＾＾；
tan(β−α)＝(tanβ-tanα)/(1＋tanβtanα)ですかね！
No.4184 - 2010/01/04(Mon) 18:42:15
☆ Re: / おむすびころりん ♂ [九州] [その他]
> tan(β−α)＝(tanβ-tanα)/(1＋tanβtanα)ですかね！
覚えにくいんですよね。そう思います。

今までの経過で
1＝tanα(0°≦α＜180°), −(2＋√3)x＝tanβ(0°≦β＜180°)とありましたね。
tan(β−α)＝(tanβ−tanα)/(1＋tanβtanα)＝(＿＿＿＿＿−＿)/(1＋＿＿＿＿＿×＿)＝…と頑張って計算してみて下さい。
少し計算が面倒です。最後に約分すると、ある数…が出てきます。
No.4185 - 2010/01/04(Mon) 18:49:42
☆ Re: / T ♂ [甲信越] [高校１年生]
１になったんですけど違いますか？
No.4187 - 2010/01/04(Mon) 19:28:16
☆ Re: / おむすびころりん ♂ [九州] [その他]
> １になったんですけど違いますか？
残念ながら1ではありません。
どこか計算間違いがあると思いますので、計算内容を確認してみて下さい。
それでも分からない場合は計算の途中経過を書き込んで下さい。
No.4188 - 2010/01/04(Mon) 19:49:48
☆ Re: / T ♂ [甲信越] [高校１年生]
√３になりました。
No.4189 - 2010/01/04(Mon) 19:53:48
☆ Re: / おむすびころりん ♂ [九州] [その他]
> √３になりました。
合ってます!!

答えまであとわずかです。

0°≦β−α＜180°で、tan(β−α)＝√3なので、β−α＝＿＿°である。
また、α−β＋180°＝180°−(β−α)＝＿＿＿°である。
したがって、2直線のなす鋭角は＿＿°である。　←　答えです。

スレッドが長くなったので、Tさんが答えを出した後、もう少し説明をします。
No.4190 - 2010/01/04(Mon) 20:16:26
☆ Re: / T ♂ [甲信越] [高校１年生]
上から６０、１２０、６０ですね！！！！

あと少しだけ質問よろしいでしょうか？

0°≦β−α＜180°←なぜこのようになるのですか？

長くなってしまいすいません；；
No.4191 - 2010/01/04(Mon) 21:05:53
☆ Re: / おむすびころりん ♂ [九州] [その他]
> 上から６０、１２０、６０ですね！！！！
答えまでたどり着きましたね。

> 0°≦β−α＜180°←なぜこのようになるのですか？

途中で、

一般に、2つの直線が1点で交わるとき、2つの直線が作る角は4個でき、
この4個の角は、同じ大きさの角が2個ずつある。

ということを確認しましたが、

4個の角を全部足すと360°で、2個ずつ同じ大きさの角があるので、
大きさの異なる2個の角を足したものは180°になり、
この大きさの異なる2個の角はともに180°より絶対に小さくないといけないということです。

0°≦α＜180°, 0°≦β＜180°, β＞αであれば、
β−αは、この大きさの異なる2個の角の確実にどちらか一方になります。

0°≦α＜180°, 0°≦β＜180°, α＞βであれば、
α−βは、この大きさの異なる2個の角の確実にどちらか一方になります。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

解答は、以下の内容があればOKだと思います。

直線y＝x＋1がx軸の正の向きとなす角をα(0°≦α＜180°)とおくと、1＝tanα,
直線y＝−(2＋√3)x−1がx軸の正の向きとなす角をβ(0°≦β＜180°)とおくと、−(2＋√3)＝tanβが成り立ち、
tan(β−α)＝(tanβ−tanα)／(1＋tanβtanα)＝(省略)＝√3となる。
0°≦β−α＜180°とすると、β−α＝60°となり、
2直線のなす角は60°と(180°−60°＝)120°となるので、2直線のなす鋭角θは、θ＝60°である。
No.4192 - 2010/01/04(Mon) 21:47:00