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記事No.4311に関するスレッドです
★ (No Subject) / kei ♂ [関東] [浪人生]
おはようございます。　物理板ではいつもお世話になってます。浪人です。

シュワルツの不等式（定積分表示）についての質問です。
等号が成り立つのは常に　tf(x)+g(x)=0　だから、g(x)=kf(x)
と表される時である。　こここがわかりません。　f(x)=x+1 g(x)=2x+1
とすると　tf(x)+g(x)=(t+2)(x+1) になりますが、tの値によっては
０でない時もあるのではとか考えるとよくわかりません。　
お願いします。
No.4311 - 2010/01/30(Sat) 07:18:50
☆ Re: / kei ♂ [関東] [浪人生]
> g(x)=2x+2 のまちがいです。
No.4312 - 2010/01/30(Sat) 07:26:42
☆ Re: / ka-o ♂ [教育関係者]
回答中です。
No.4314 - 2010/01/30(Sat) 17:46:27
☆ Re: / ka-o ♂ [教育関係者]
はじめまして、ka-oです。

分からないのはもっともです！
だって、実際には、任意のtに対してtf(x)+g(x)=0→あるkに対して、f(x)=kg(x)は成り立ちませんので。
任意のｔに対して、tf(x)+g(x)=0ならば、f(x)=g(x)=0ですね。

残念ながら、貼り付けてある解答は、等号成立条件が間違っています。

いったん、はりつけてある模範解答の等号成立条件は無視して考えてみましょう。


まず、f(x)=0または、g(x)=0のときは、等号が成立するのは明らかですね。（かつではなく、またはです）
それでは他の場合を考えてみます。

∫{f(x)}^2dx=A
∫{f(x)g(x)}^2dx=B
∫{g(x)}^2=C

とおくと、
張り付けてある解答にもあるように、

任意のtについて、At^2+2Bt+C≧0
つまり、D/4≦0

ということになります。

よって、等号が成立するのは、D/4=0のとき。というのはよろしいでしょうか？

また、D/4=0のときは、

任意の実数tについて、At^2+2Bt+C=0‥‥?@
ある実数tが存在して、At^2+2Bt+C=0‥‥?A

のどちらだと思われますか。
具体例を考えてみると分かりやすいですよ。
x^2+2x+1みたいな。
No.4315 - 2010/01/30(Sat) 18:17:31
☆ Re: / kei ♂ [関東] [浪人生]
回答ありがとうございます。

f(x)=0,g(x)=0 以外についてはまだ解りません。暫く考えて見ます。
No.4320 - 2010/01/30(Sat) 19:58:47
☆ Re: / ka-o ♂ [教育関係者]
ヒントです。

D/4=0でなかったら等号は成立しないのは、ほぼ明らかですね。
D/4＜0から導きだせるのは、シュワルツの不等式の等号を抜いたバージョンですので。
（つまり、=をつけないとB^2-AC＜0→B^2＜ACしか分からない）

考え方を変えてみてみましょう。

At^2+2Bt+C≦0について、D/4≦0と、=をつけるのはなぜでしょう？

自分の二つ目の質問とも、密接にかかわってきていますね。
No.4321 - 2010/01/30(Sat) 21:17:02
☆ Re: / kei ♂ [関東] [浪人生]
＞任意の実数tについて、At^2+2Bt+C=0‥‥?@
＞ある実数tが存在して、At^2+2Bt+C=0‥‥?A

＞のどちらだと思われますか。
＞具体例を考えてみると分かりやすいですよ。
＞x^2+2x+1みたいな。

2次方程式でD＝0の場合とは重解を持つことだから、?Aですね。
それに?@は恒等式だからA＝B＝C＝0になってしまいますね。

これをヒントに考えてみます。
No.4322 - 2010/01/30(Sat) 22:36:08
☆ Re: / kei ♂ [関東] [浪人生]
やっとわかった気がします。最初の模範解答は赤チャート?Vを基にしたものですが、
誤読してました。

＞等号が成り立つのは常に　tf(x)+g(x)=0　だから、g(x)=kf(x)
あるtに対して　常に　tf(x)+g(x)=0　だから、g(x)=kf(x)と表されるときである。
すると　tf(x)+g(x)=(t+k)f(x) となり　t=-k とすれば　tf(x)+g(x)=0ですね。　

こう考えれば理解出来る気がします。
No.4323 - 2010/01/30(Sat) 23:07:48
☆ Re: / kei ♂ [関東] [浪人生]
こんな感じで理解しました。
No.4324 - 2010/01/30(Sat) 23:18:13
☆ Re: / ka-o [学校教員]
はい、ずばりその通りです！

ただf(x)=0 またはg(x)=0という条件も忘れないように・・
No.4325 - 2010/01/30(Sat) 23:45:15
☆ Re: / kei ♂ [関東] [浪人生]
ありがとうございました。　長い間、誤解してたことがやっとわかりました。
今後ともよろしくお願いします。ｌ
No.4326 - 2010/01/30(Sat) 23:59:11