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記事No.4616に関するスレッドです
★ (No Subject) / ももんが ♀ [近畿] [新高校１年生]
初めまして・・この４月に高校１年になるのですが、進学する高校から課題が出ております。
L1：ｙ＝ｍｘ　L2：ｙ＝-1/ｍｘ+2がある。（ｍ＝0でない）ｍが0以外のいろんな値をとるとき.２直線L１とL2の交点Pはどのような曲線上にあるか説明せよ・・という問題なんですが、何か公式とかがあるのでしょうか？全然かわらないので教えてください。
また、２直線とy軸で囲まれた部分をｙ軸の周りに１回転してできる立体の体積の最大値を求めよ。
という二つの問題です。よろしくお願いします。
No.4590 - 2010/03/18(Thu) 00:16:56
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
ももんがさん，こんばんは．
はじめに確認です．
この問題をちゃんと解くには，高校の数学IIの知識を必要とします．
0) これまでに，ももんがさんは高校数学を学んだことがありますか？

さて本題に入りましょう．
1) 0でないmに対してL1とL2は必ず交わりますが，m=1のときL1とL2はどこの点で，角度は何度でまじわりますか？
2) 0でないmに対してL1は必ずある点を通ります．L2も必ずある点を通ります．それぞれどんな点を通りますか？

とりあえず，上の0)〜2)までにお答えてください．よろしくお願いいたしますm(_ _)m
No.4591 - 2010/03/18(Thu) 02:36:34
☆ Re: / ももんが ♀ [近畿] [新高校１年生]
お返事ありがとうございます。
0）に関しては.この四月がら高校生になるので、高校数学は習ったことがありません。

1）は９０度でまじわると思います。

2）はL1は原点だと思うのですが・・・LはY軸（0,2)だと思います・・・

よろしくお願いします。(-"-)
No.4600 - 2010/03/18(Thu) 21:19:07
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
はい．okです．
1)ですが，90°ですが，点(1,1)【下の図では点Bのところです】で交わりますね．
同様にして，m=-1のとき２つの直線は点C(-1,1)で垂直に交わります．
2)で求めてもらった点(0,2)は下の図で点Aのところです．

「傾きの積が-1となる２つの直線は垂直に交わる」
という事実を先述の数学IIで学びます．
よってL1,L2の傾きの積はどんな数mを選んでも必ず m×(-1/m)=-1となり，２つの直線は垂直に交わります．

またこのことから，L1は原点，L2は点(0,2)を必ず通るので，原点と点(0,2)を直径とする円周上に必ず２直線の交点があります．

ここまでの話はわかりますか？分からないところは遠慮無くカキコしてくださいね．
No.4610 - 2010/03/19(Fri) 19:51:40
☆ Re: / ももんが ♀ [近畿] [新高校１年生]

「傾きの積が-1となる２つの直線は垂直に交わる」
というのは知りませんでした。　覚えておきます。

ここまでは理解することができました。
No.4613 - 2010/03/19(Fri) 21:25:15
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
はい．では「ｙ軸の周りに１回転」にいきましょう．

図を見て分かるとおり，m=1（交点がB）のときの△OBAをぐるっとy軸の周りに１回転するとき，△OCAと重なるときがありますよね．ということは，y軸の右側に交点があるときを考えれば十分ですよね．
で，回転したときにできる図形はそろばんの玉（そろばん知らないかな・・・汗）のような形です．

例えば左下のように点B(1,1)が交点であるとき，y軸に点D(0,1)をとると，△ABOをy軸の周りに回転した図形の体積は，△ADB（濃いグレー）をy軸の周りに回転した図形すなわち底面が半径１である円すいと△ODB（薄いグレー）をy軸の周りに回転した図形すなわち底面が半径１である円すいの体積の和と考えることができます．

では，ももんがさんに下の２つの場合の体積を計算をしてもらいたいと思います．右側は，SとTの距離を r として，計算してみてください．

よろしくお願いしますm(_ _)m
No.4616 - 2010/03/20(Sat) 07:56:54
☆ Re: / ももんが ♀ [近畿] [新高校１年生]

そろばんの形知っています（*^_^*）
たとえがわかりやすかったので簡単にイメージできました。

左下は点Bが（1,1)のときですよね…？
1×1×2×π×1/3＝2/3π
右下は
r×r×2×π×1/3＝2/3πr＾2
　　　　　になりますか？
No.4617 - 2010/03/20(Sat) 08:17:48
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
ご理解いただけてよかったです．
計算もokですよ．

そうすると，2/3πr＾2は r の関数と考えることができます．これは中学で習った２次関数ですよね．
今，r の変域がどうなっているかというと，0 < r ≦ 1です．
【最初の図で言えば，２直線の交点Tはmを変化させることによって，OからBを通ってAに近づくイメージ】
よって，最大値をとるのは r=1 すなわち点PがBと一致するときになり，その値は2/3πです．
No.4618 - 2010/03/20(Sat) 08:45:21
☆ Re: / ももんが ♀ [近畿] [新高校１年生]
理解しました　
ありがとうございました。
非常にわかりやすかったです。　
またなにかあればよろしくお願いします((+_+))
No.4620 - 2010/03/20(Sat) 08:56:05