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記事No.4706に関するスレッドです
★ 楕円上の点の表示の仕方 / ヘボ太 [浪人生]
恥ずかしながらたびたびよろしくお願いします。

問題は、
「楕円x^2/a^2+y^2/b^2=1上に2点P,Qがあって∠POQ=90°であるとき、(1/OP^2)+(1/OQ^2)の値を求めよ。」

というもので、自分は楕円上の点であることからP(acosθ,bsinθ)と楕円のパラメーター表示でおいてその後は単純に計算したんですが、θがうまく消せずに解けませんでした。

回答を見ると、OP=p,OQ=qとして、P(pcosθ,psinθ)となどという風に違う置き方をして以下計算して解いていました。

前者のようなPの置き方ではこの問題は解けませんか？
No.4704 - 2010/04/04(Sun) 19:34:42
☆ Re: 楕円上の点の表示の仕方 / londontraffic [教育関係者]
おはようございます．再びlondontrafficです．

>前者のようなPの置き方ではこの問題は解けませんか？
解けるか解けないかと言えば，解けるかもしれません．が，ヘボ太さんが勘違いをしている可能性があるので，それについて以下に書いてみます．

三角関数を利用した円のパラメータ表示における角度は，そのまま図形に反映されます．
しかし楕円においてはそうではありません．
下につけた図形は，円x^2+y^2=4と楕円(x/2)^2+y^2=1，そして直線y=xです．
当然直線y=xがx軸正の向きとなす角は45°（π/4）で，点Mの座標は(sqrt{2},sqrt{2})．
また点Nの座標は，連立方程式を解くことにより，(2/sqrt{5},2/sqrt{5})とわかるのですが，楕円のパラメータ表示に照らし合わせると
2cosθ=2/sqrt{5}，sinθ=2/sqrt{5}
となり，θは45°ではない角になります．で，楕円のパラメータ表示において角を45°とした点(2cos45°,sin45°)は，M'にあります．
つまりP(acosθ,bsinθ)，Q(acosθ',bsinθ')，θ-θ'=90°とはできません．

いかがでしょう？
No.4706 - 2010/04/05(Mon) 08:04:47
☆ Re: 楕円上の点の表示の仕方 / ヘボ太 [新高校１年生]

おっしゃるとおり勘違いしていました。
楕円のパラメーター表示でいうθの図形的な意味はわかっていたのですが、それでもQ(acos(θ+90),bsin(θ+90))と置いて計算していました。
そうなると後者の置き方が楽ですね。。
回答ありがとうございます。
No.4708 - 2010/04/05(Mon) 11:42:05