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記事No.4774に関するスレッドです
★ (No Subject) / 槇 [新高校3年生]
この前も質問したのに申し訳ないです。
こんばんは。

進研模試2009年度11月模試です。高校２年のものです。

画像をごらんになってもらいたいのですが
四面体apmqがあってｐから垂線ｈをひきます。
そうすると四面体の高さになると思うのですが
もし平面acd上(acdを伸ばしていく？)にｈ´をとるとすれば
これも四面体の高さになるでしょうか？

よろしくお願いします。
No.4744 - 2010/04/09(Fri) 22:00:35
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
槇さん、こんばんは。河童です。

立体図形は見にくいためにお気持ちは分からないでもないのですが、
残念ながら点 H' は平面ACD上にとることはできません。
つまり、槇さんが書かれた H' という点は、PH'⊥ACD ではないのです。
というのも、既に点 H （Pから底面AMQに下ろした垂線の足ですね）がとられているため、
同じ平面上に（平面AMQと平面ACDは同じ平面です）垂線の足をふたつとることはできないからです。
直線 L と平面 α とが垂直であることの定義は、直線 L と平面 α との交点を通る平面α上のすべての直線と L とが直交することです。
もし、槇さんの H' が垂線の足だとすると、直線 HH' と 直線 PH' が直交するはずです。
ところが、直線 PH も 直線 HH' と直交するのですから、これでは△PHH'の内角のふたつが直角になってしまいますよね。
お分かりでしょうか。
No.4748 - 2010/04/10(Sat) 01:57:13
☆ Re: / 槇 [新高専3年生]
河童先生返信どうもありがとうございます。
いまいちよくわかりません。


既に点 H （Pから底面AMQに下ろした垂線の足ですね）がとられているため、
同じ平面上に（平面AMQと平面ACDは同じ平面です）垂線の足をふたつとることはできないからです。

とありますが私の書き方が悪かったのですがHをとった場合。
H´をとった場合と分けて考えました。
問題を考えるときにHをひかなければいけないことは分かったのですが
じゃあHをひかなければ同じ面だしH´はとれるんじゃないかと思ったんです。

例えば体積の問題で高さを調べるときはその立体のそとに高さのしるし
I←のようなものをかきますよね？

だから平面AMQと平面ACDは同じ平面ならば、Hを高さにする場合orH´を高さに
する場合があるのではないでしょうか？

そして線分ｐｈとｐｈ´の長さは等しくなって
ｐｈ´は四面体apmqの高さにはならないでしょうか？

もちろんそのときはHはひかないでおきますが。

文章が下手で申し訳ないです。どうか読み取ってもらいたいです。

よろしくお願いします。
No.4752 - 2010/04/10(Sat) 18:09:32
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
槇さん、こんばんは。

わたしの方こそ文章が分かりにくかったかも知れません。

＞　既に点 H （Pから底面AMQに下ろした垂線の足ですね）がとられているため、
＞　同じ平面上に（平面AMQと平面ACDは同じ平面です）垂線の足をふたつとることはできないからです。

この部分は、「点Hがとられているから」点H'がとることができない、
という意味ではなく、
「点Hが垂線の足であるから」他の点は「垂線の足にはなり得ない」
という意味です。

もし、頂点のP以外の点P'を、四面体の外側にPP'と底面が平行になるようにとれば、
槇さんのおっしゃるように、点H'をとることができますが、
槇さんの描かれた図のように、頂点Pから点H以外の点に垂線を引くことはできません。
それは、前回のわたしの回答に書いたように、ひとつの点から２本以上の垂線を引くことはできない、ということです。
その詳しい理由は、前回書いておりますので、もう一度じっくりお読みください。
No.4756 - 2010/04/11(Sun) 00:20:14
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
補足です。
槇さんが描かれた図は、このような状況になっているんですね。
No.4757 - 2010/04/11(Sun) 00:44:05
☆ Re: / 槇 [新高校１年生]
先生がせっかくしてくださるのに分かりません...

私が問題をかかなかったからかも知れません。

問題

右のような四面体abcdがあり、aｂ＝ac＝8
ad=bd=6√2、cos∠bac=4/5 ∠cad=45°である
辺ACの中点をMとし辺AB上にAC⊥PMとなるように
点Pを辺AD上にAC⊥QMとなるように点Qをとる。

（1）tan∠bacの値を求めよ
また線分PMの長さを求めよ

（2）線分pqの長さを求めよ

（3）点Pから平面ACDに垂線をひき、その交点をHとする
線分PHの長さを求めよ。

（3)の平面acdに垂線のひきかたが分からないんです。
acd上ならそれに続くところにHをとってもいいですか？

添付した画像が本当の問題です。
最初に添付したものは問題を解く過程のものでした
すみません
No.4761 - 2010/04/11(Sun) 12:31:39
☆ Re: / 槇 [新高校１年生]
こっちが本当の画像です
ごめんなさい

よろしくお願いします
No.4762 - 2010/04/11(Sun) 12:36:50
☆ Re: / 槇 [新高校１年生]
追記です

質問というのはこの画像で
acdと同じ面上にHをとっても
底面amqとした時、四面体apmqの体積の高さに
なるでしょうか？

これが聞きたいことです。
何度も申し訳ありません。
No.4766 - 2010/04/11(Sun) 20:20:47
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
槇さん、こんばんは。

たしかに、下の図のように、垂線が外にはみ出ることはあり得ます。

また、

＞（3)の平面acdに垂線のひきかたが分からないんです

ということですが、「引く必要はない」というのがわたしの回答です。
逆に、問題が面倒になればなるほど、垂線が引ける場合はほとんどない、と思ってください。
槇さんが最初に貼られた解説の図には、PH という垂線が引かれていました。
これは単に説明のために引かれているもので、PH の長さを求めるために引かれているものではありません。
解説にも書いてあると思いますが、通常体積を利用して垂線の長さ（高さ）を求めます。
本問の(1)と(2)、それと、AC⊥PM　および　AC⊥QM　がそのための準備になってますね。
No.4773 - 2010/04/12(Mon) 00:19:11
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
図を忘れていました。
No.4774 - 2010/04/12(Mon) 00:22:28
☆ Re: / 槇 [新高校１年生]
先生図までありがとうございます。
で結局のところacdと同じ面上にHをとっても
底面amqとした時、四面体apmqの体積の高さに
なるでしょうか？

なんども申し訳ないです

お願いします！
No.4775 - 2010/04/12(Mon) 00:55:56
☆ Re: / 槇 [新高校１年生]
先生の図にアルファベットをうってみました
こうであってますか？

これであってれば私の疑問は解消されるんですが

よろしくお願いします。
No.4781 - 2010/04/12(Mon) 14:58:48
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
槇さん、こんばんは。
そうですね、その図であってますよ＾＾

ただ、ちょっと誤解されそうなので言っておきますが、本問の場合は解説の図のように△AMQの内部に垂線の足Hがありますから、この図のようにはなりませんよね。
No.4785 - 2010/04/13(Tue) 00:20:21
☆ Re: / 槇 [新高校１年生]
こんばんは　でもこの問題の図はこのスレッドの上から7番目のやつなんです。
もし△amqの内部に垂線の足があったらまずいですね。

私が変な図をはってしまったからごめんなさい。
No.4786 - 2010/04/13(Tue) 00:30:19
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
槇さん、こんばんは。

なるほど！
∠PMQ が鈍角のようですので、たしかに三角形の外部に垂線が引けそうですね。
失礼しました。

ただ、この問題の本質は、垂線の位置を考える必要がないということだとお考えください。
No.4794 - 2010/04/14(Wed) 00:20:08
☆ Re: / 槇 [新高校１年生]
はい分かりました
どうもありがとうございました！！
No.4795 - 2010/04/14(Wed) 16:08:01