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記事No.4988に関するスレッドです
★ 積分の応用 / みー [高校3年生]

こんばんは。
テスト前なのになかなか問題集が進まず焦っています。
力を貸してください!!

問題と解答は画像のとおりです。
オレンジの矢印の過程でどういう
計算が行われたのかがわかりませんでした。
よろしくお願いいたします。
No.4988 - 2010/05/21(Fri) 21:11:02
☆ Re: 積分の応用 / kai ♂ [関東] [大学生]
はじめまして。回答させていただきます。


ポイントとしては(x-1)'=1 という当たり前のことに着眼して下さい。

もっと突っ込んだヒントを出しますと

∫[2→e+1]{log(x-1)}dx=∫[2→e+1]{(x-1)'log(x-1)}dx

として部分積分に持ち込んでください。

なお、問題集(?)の解答の書き方からして本来部分積分から導かれる

∫logx=xlogx-x+C (ただしCは積分定数）

を公式化しているように思えますが理系であり余裕があれば上述の公式を準公式として覚えておくのも試験中の時間短縮の一つの手段かと思われます。
No.4990 - 2010/05/21(Fri) 22:06:46
☆ Re: 積分の応用 / みー

こんばんは。
迅速な回答ありがとうございます。

部分積分を使うと
式の後半部分が
-∫[2→e+1]{1/(x-1)}(x-1)dx
となり、最終1になる気が
するのですが…。

No.4991 - 2010/05/22(Sat) 04:27:26
☆ Re: 積分の応用 / kai ♂ [関東] [大学生]
おはようございます。

被積分関数が1と定数になってしまうということでしょうか？

ではまず、いずれの(解答と今回提示した回答)方法でも最終的な答えが1になる事は確認できていますでしょうか？


数式上では[x][2→e+1]も[x-1][2→e+1]も最終的な答えが同じになりますから同じものです。
前者の場合は(e+1)-2となり後者の場合は{(e+1)-1}-(2-1)となるのですから等しくなるのはあきらかですね。

ここで、みーさんの疑問に移りますと

解答の途中式と合わないので疑問に思われたものと察しますが、上記の様な理由でどちらも計算上は正しいということが分かっていただけますでしょうか？

では何故このような違いが生じるかと言いますと解答の途中式の二段目の後半に出てくるx-1の「-1」の部分は私が挙げた方法では不定積分で言うところのいわゆる積分定数の部分にふくまれるものです。

私が解答の式を見て対数の積分を公式化してると感じたのはこのような理由からです。
（公式化されたxにx-1をそのまま代入すれば同じ式が得られますね？）

こういうところも数学の楽しさの一つだと思います。

いかがでしょう？
No.4992 - 2010/05/22(Sat) 05:28:34
☆ Re: 積分の応用 / みー

あのあとの計算を止めずに
最後まで解くと答えが合いました!

たしかにこの解答では
かなり公式化しているような
書き方ですね…(;･_･)

ところで、部分積分では
式の途中にもう一度∫を書かなければならない
部分がありますよね(今回悩んでいたところです)。

あのとき、不定なら何も考えずに∫を
書けばよかったのですが、
定の場合この部分の∫にも
範囲を書かなければ
いけないのでしょうか。
定のときの途中式の書き方に
いまいち慣れていないです。

No.4993 - 2010/05/22(Sat) 10:17:08
☆ Re: 積分の応用 / kai ♂ [関東] [大学生]
こんばんは。返信遅れてしまい申し訳ありません。


定積分の場合は部分積分の第二項目につく積分記号にも積分区間をつけなければなりません。

解答作成の際の途中式でもしっかりと積分区間を明記しましょう。
No.5005 - 2010/05/22(Sat) 23:46:25
☆ Re: 積分の応用 / みー

そうなんですか。
範囲のことが分かれば
解決です!

とてもわかりやすく
すっきりしました。

ありがとうございました。

No.5006 - 2010/05/23(Sun) 05:22:12