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記事No.5114に関するスレッドです
★ 図形と方程式 / あんず ♀ [東北] [高校3年生]
こんばんは。
進研[センター試験]対策数学重要問題演習数学 というテキストでわからないところがあるので質問します。

図形と方程式の分野です。
[問題]

aを実数とし、座標平面状に
　円x^2+y^2+(3a+9)x+(a+1)y+4a+8=0……?@　がある。
　円?@は、aの値に関係なく2定点Ａ(アイ,ウ),Ｂ(エオ,カキ)を通り、aが変化するとき、
円?@の中心の軌跡は
　直線x-クy+ケ=0……?A である。
　円?@の半径が最小となるのはa=コサのときであり、そのとき、円の半径は√シス/セである。
　また、直線?A上の点Pに対して、三角形ABPが正三角形となるのは、点Pのy座標が
(ソ±√タ)/チのときである。


この、ア〜チに入る数字を求めるということです。
ア〜キまでは求めることが出来ました。
そこまでの過程を書きます。
↓
?@より、
x^2+y^2+3ax+9x+ay+y+4a+8=0
(3x+y+4)a+x^2+y^2+9x+y+8=0
これより、
3x+y+4=0…?A
x^2+y^2+9x+y+8=0…?B
?Aより、y=-3x-4
?Bに代入
x^2+(3x+4)^2+9x-3x-4+8=0
10x^2+30x+20=0
x^2+3x+2=0
(x+2)(x+1)=0 x=-2,-1
x=-2のときy=2、x=-1のときy=-1
よって、2定点A(-2,2),(-1,-1)を通る。


ですが、クから先が分かりません。
テストが近いのであせっています...
どうか教えていただけないでしょうか。よろしくおねがいします！！
No.5104 - 2010/06/12(Sat) 23:13:01
☆ Re: 図形と方程式 / londontraffic [教育関係者]
あんずさん，おはようございます．

次の「コサ」は半径の問なので，まず?@の中心の座標と半径を求めましょう．
中心，半径を求めたら，カキコしてください．
No.5105 - 2010/06/13(Sun) 07:43:15
☆ Re: 図形と方程式 / あんず ♀ [東北] [高校3年生]

おはようございます。
返信ありがとうございます！

?@より
{x+(3a+9)/2}^2+{y+(a+1)/2}^2-(3a+9)^2/4-(a+1)^2/4+4a+8=0
{x+(3a+9)/2}^2+{y+(a+1)/2}^2-(9a^2-54a-81)/4-(a^2+2a+1)/4+4a+8=0
{x+(3a+9)/2}^2+{y+(a+1)/2}^2+(-10a^2-56a-82)+4a+8=0
{x+(3a+9)/2}^2+{y+(a+1)/2}^2-(10a^2-40a-50)/4=0
{x+(3a+9)/2}^2+{y+(a+1)/2}^2＝(5a^2+20a+25)/2
{x+(3a+9)/2}^2+{y+(a+1)/2}^2＝5/2(a^2+4a+5)

よって　中心[-(3a+9)/2,-(a+1)/2]

半径が分かりません。
(半径)^2なら、5/2(a^2+4a+5) です...
No.5106 - 2010/06/13(Sun) 10:43:50
☆ Re: 図形と方程式 / londontraffic [教育関係者]
>中心[-(3a+9)/2,-(a+1)/2]
>半径が分かりません。
>(半径)^2なら、5/2(a^2+4a+5) です...
はい．中心，半径^2もそれでokですよ．

さて，いよいよ本番．
例えば，tを任意の実数とするとき，x=t，y=t^2を満たしている点(x, y)はこの２つの式からtを消した
放物線 y=x^2 上にあります．
今回は，
x=-(3a+9)/2, y=-(a+1)/2
からaを消去すれば「クケ」が求められます．
チャレンジしてみてください．
No.5107 - 2010/06/13(Sun) 12:06:54
☆ Re: 図形と方程式 / あんず ♀ [東北] [高校3年生]
x=-(3a+9)/2…?C
y=-(a+1)/2…?D
?Cより、2x=-3x-9…?C'
?Dより、2y=-a-1
a=-2y-1…?D'
?D'を?C'に代入
2x=-3(-2y-1)-9
2x=6y+3-9
x-3y+3=0
よって円?@の中心の軌跡はx-3y+3=0

と、なりました。
No.5108 - 2010/06/13(Sun) 13:53:06
☆ Re: 図形と方程式 / londontraffic [教育関係者]
okですよ．
次は「コサシスセ」．
半径が最小値をとるのは，半径^2が最小値をとるとき．
ゆえに，
5/2(a^2+4a+5)
が最小値をとるときです．
これは２次式ですから，２次式の最大，最小を求める時は・・・
もうお分かりですよね．
No.5109 - 2010/06/13(Sun) 17:26:15
☆ Re: 図形と方程式 / あんず ♀ [東北] [高校3年生]
はい。

y=5/2(a^2+4a+5)とおくと、
y=5/2(a^2+4a)+25/2
y=5/2(a+2)^2+5/2

a=-2で最小値√10/2をとる。

でいいですか？？
No.5113 - 2010/06/14(Mon) 18:50:04
☆ Re: 図形と方程式 / londontraffic [教育関係者]
ok！

ラストです．下に図を入れておきました．
円の中心をPとすると，
「　　」=AB
が成り立ちます．

上の「」に当てはまるものをがわかれば，答えが出てくるはずです．
いかがですか？
No.5114 - 2010/06/14(Mon) 19:33:21
☆ Re: 図形と方程式 / あんず ♀ [東北] [高校3年生]
「AP」=AB
ABの直径は√1^2+3^2=√10
AP=√(3y-1)^2+(y-2)^2
=√10y^2-10y+5
AP=ABより、
√10=√10y^2-10y+5
10y^2-10y-5=0
y=(1±√3)/2

できました！
No.5118 - 2010/06/15(Tue) 21:13:27
☆ Re: 図形と方程式 / londontraffic [教育関係者]
good!
私は「」に入るものを「半径」とイメージしていて
sqrt{10}=sqrt{5/2(a^2+4a+5)}
からaを求めてとやるつもりでした．
が，あんずさんの解答の方がすっきりですね(^_^)
No.5119 - 2010/06/15(Tue) 21:50:21
☆ Re: 図形と方程式 / あんず ♀ [東北] [高校3年生]
そうだったんですか！

でも、とりあえず解決することが出来てよかったです！
londontrafficさんにはこの間もお世話になりましたが、ほんとうに解説がわかりやすいです。

今、定期テスト期間中で、明後日が数学のテストなんです；
教えてもらったことを生かして頑張ります！！
No.5120 - 2010/06/15(Tue) 22:15:59