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記事No.5199に関するスレッドです
★ はじめまして / ごんた ♂ [甲信越] [高校3年生]
はじめまして。どうしても理解できなかった問題があり、質問させていただきます。

ハイレベル精選問題演習数学?TA?UBのｐ６６からです。

円に内接する四角形ABPCは次の条件を満たす。

・三角形ABCは正三角形である。
・APとBCの交点は線分BCをｐ：１−ｐ(０＜ｐ＜１)の比に内分する。
このときベクトルAPをベクトルBC、ベクトルAC、ｐを用いて表せ。


自分は、線分PCを引き、三角形BAQ∽三角形PCQでAQ:QPを求め、答えを出したのですがあってなかったです。

回答例をみると、｜ベクトルAB｜＝｜ベクトルAC｜＝１にして、円の中心DとAを結び、その延長線上にある円との交点をEと置いて、ベクトルAQ・ベクトルAE＝Oを使って求めていました。
自分の考えのどこが間違っているのかわからないです。


よろしくお願いします
No.5199 - 2010/07/07(Wed) 10:48:20
☆ Re: はじめまして / 森の水だより [塾講師]
はじめまして。これは２０００年の京大の問題ですね。
＞自分は、線分PCを引き、三角形BAQ∽三角形PCQでAQ:QPを求め、答えを出したのですがあってなかったです。

この方針でできますよ。
やったところまで書いてみてください。
No.5200 - 2010/07/07(Wed) 13:04:20
☆ 返信ありがとうございます / ごんた ♂ [甲信越] [高校１年生]
ベクトルAQ＝(１−ｐ)ベクトルAB＋ｐベクトルAC

点A,Q,Pは同一直線状にあるので、ベクトルAP＝ｋベクトルAQ(ｋは実数)となる

三角形BAQと三角形PCQにおいて、同じ弧に立つ円周角は等しいので
∠BAQ＝∠PCQ
∠ABQ＝∠CPQ
よって三つの角が等しいので
三角形BAQ∽三角形PCQ

BQ：CQ＝ｐ：１−ｐより、相似比はｐ：１−ｐ

よってAQ:PQ＝ｐ：１−ｐ

ゆえにPQ＝(ｐ/１−ｐ)AQ

AP＝AQ＋QPより、AP＝(１/1ーｐ)AQ

よってｋ＝１/１−ｐより、

ベクトルAP＝ベクトルAB＋(ｐ/１−ｐ)ベクトルAC

です。よろしくお願いします。
No.5201 - 2010/07/07(Wed) 14:31:07
☆ (No Subject) / 森の水だより [塾講師]
＞BQ：CQ＝ｐ：１−ｐより、相似比はｐ：１−ｐ
＞よってAQ:PQ＝ｐ：１−ｐ

の「相似比はｐ：１−ｐ　よってAQ:PQ＝ｐ：１−ｐ」
のところが違いますね。
三角形の相似比を出すには対応する辺の比をもとにしなければなりません。
三角形BAQ∽三角形PCQなのですから、BQ：CQ＝ｐ：１−ｐだからといって
相似比はｐ：１−ｐとは言えませんね？
相似比はBA：PCかAQ：CQかBQ：PQ　になるのですから。
No.5202 - 2010/07/07(Wed) 15:57:52
☆ Re: はじめまして / ごんた ♂ [甲信越] [高校１年生]
おそくなりすみません。

解けました！比の取りミスに全く気づけなかったです；；
ありがとうございました！
No.5205 - 2010/07/09(Fri) 15:35:12