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記事No.5420に関するスレッドです
★ 積分の応用 / masaki ♂ [関東] [高校3年生]
東進の確認テストというシステムの中の問題です。
問題は画像の通りです。申し訳ありませんが、解答はありません。
（２）に関しての解説をお願いします。
tanα＝aとおくことで、与式どのように利用できるのかがわかりません。
（３）は自力で解いてみたいと思います。よろしくお願いします。
No.5393 - 2010/08/21(Sat) 00:51:58
☆ Re: 積分の応用 / ゆう ♂ [東北] [大学生]
おはようございます。
今回、初めて回答させていただきます国立大学理学部の学生です。よろしくお願いします。

まず、被積分関数に絶対値を含む部分｜tanx-a｜がありますから、積分の計算をするためには、この絶対値をはずさなければいけません。
そこで絶対値の中身tanx-aの値が正か負かによってはずし方が変わります。

絶対値の中身がちょうど0になる場合を考えるとtanx＝aです。また積分区間が0からπ/4ですからtanxは0から1までの値をとることになります。
そこでaが0以下、0以上1以下、1以上の３つの場合分けが生じます。
（２）では、aが0以上1以下の場合ですので、tanx＝aを満たすxが0からπ/4の範囲にただ一つ存在することが分かります（tanの単調増加性より）。
しかし、その解のはっきりとした形が分からないので、それをαとおくとtanα＝a、ただしαの範囲は0からπ/4まで、となります。
このとき、xの範囲が0からαの時はtanx-aは負の値で、xの範囲がαからπ/4までの時はtanx-aは正の値をとります（このことは、y=tanxとy=aのグラフを書いてみると分かりやすいかと思います）。
以上から、積分区間を２つに分けると、絶対値をはずして計算できますので、もう一度考えてみて下さい。
また、分からないことがあれば、出来たところまで説明して下さるとありがたいです。
それでは頑張って下さい。
No.5399 - 2010/08/21(Sat) 09:27:16
☆ Re: 積分の応用 / masaki ♂ [関東] [高校3年生]
画像の通りのの計算結果となりました。ここまでは大丈夫でしょうか？
また、どのようにしてこれらをS(a)＝の形にするのかわかりませんでした…。
No.5420 - 2010/08/25(Wed) 01:45:15
☆ Re: 積分の応用 / ゆう ♂ [東北] [大学生]
masakiさん、おはようございます。

まず計算結果ですが、∫cosx（tanx-a）dx ＝ ∫（sinx-acosx）dx ですので間違っています。
被積分関数のtanx−aに括弧をつけて計算してください。

次に（２）の場合、積分区間を二つに分けて計算したそれらの和が
S(a)＝∫[0,α]＋∫[α,π/4]となります。[]は積分区間を表します。

∫[0,π/4]＝∫[0,α]＋∫[α,π/4]として計算したわけです。
いかがでしょうか？　不明な点があれば遠慮なく質問してください。
No.5421 - 2010/08/25(Wed) 07:35:38
☆ Re: 積分の応用 / masaki ♂ [関東] [高校3年生]
こんにちは。
計算した結果、S(a)＝２(cosα＋asinα)−a/√２−１−１/√２　となりました。
まだ、どこか間違っているでしょうか？
また、もし正しいのなら(cosα＋asinα)をどのように変形して、aの式で表すのでしょうか？
No.5422 - 2010/08/25(Wed) 12:24:44
☆ Re: 積分の応用 / ゆう ♂ [東北] [大学生]
こんにちは。

S(a)の計算結果、合っています。
今、tanα＝a （0≦α≦π/4）ですから、三角関数の相互関係（1+tan^2＝1/cos^2 等）から
sinα、cosαの値がaを用いて表されます。これでS(a)がaのみの式になります。

※ 0≦α≦π/4 なので、tanα＝a から、斜辺が√(1+a^2)、他の２辺が1、a の直角三角形を描いて
sinα、cosαの値を求めることも出来ます。±の符号に注意すれば、こちらの方が計算量が少ないので便利ですよ。
No.5423 - 2010/08/25(Wed) 14:45:15
☆ Re: 積分の応用 / masaki ♂ [関東] [高校3年生]
おかげさまで(3)まで解くことができました！
この問題のせいで数?Vの勉強が行き詰っていたのですごく助かりました。
最後までわかりやすい解説ありがとうございました！
No.5424 - 2010/08/25(Wed) 15:32:50